Ako riešiť rovnice s veľkými mocninami. Riešenie rovníc vyšších stupňov rôznymi metódami. Vyňatie spoločného faktora zo zátvoriek

Zvážte riešenie rovníc s jednou premennou o stupeň vyššou ako druhá.

Stupeň rovnice P(x) = 0 je stupeň polynómu P(x), t.j. najväčšia z mocnín svojich členov s nenulovým koeficientom.

Takže napríklad rovnica (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 má piaty stupeň, pretože po operáciách otvárania zátvoriek a privádzania podobných dostaneme ekvivalentnú rovnicu x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 piateho stupňa.

Pripomeňme si pravidlá, ktoré budú potrebné na riešenie rovníc stupňa vyššieho ako je druhý.

Výroky o koreňoch polynómu a jeho deliteľoch:

1. Polynóm n-tý stupeň má počet koreňov nepresahujúci počet n a korene násobnosti m sa vyskytujú presne m-krát.

2. Polynóm nepárneho stupňa má aspoň jeden skutočný koreň.

3. Ak α je koreň Р(х), potom Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), kde Q n – 1 (x) je polynóm stupňa (n – 1) .

4.

5. Redukovaný polynóm s celočíselnými koeficientmi nemôže mať zlomkové racionálne korene.

6. Pre polynóm tretieho stupňa

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d je možná jedna z dvoch vecí: buď sa rozloží na súčin troch dvojčlenov

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ), alebo sa rozloží na súčin dvojčlenu a štvorcového trojčlenu P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + y ).

7. Akýkoľvek polynóm štvrtého stupňa sa rozšíri na súčin dvoch štvorcových trinómov.

8. Polynóm f(x) je bezo zvyšku deliteľný polynómom g(x), ak existuje polynóm q(x) taký, že f(x) = g(x) q(x). Na delenie polynómov sa uplatňuje pravidlo „delenie rohom“.

9. Aby bol polynóm P(x) deliteľný binomom (x – c), je potrebné a postačujúce, aby číslo c bolo koreňom P(x) (dôsledok Bezoutovej vety).

10. Vietova veta: Ak x 1, x 2, ..., x n sú skutočné korene polynómu

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, potom platia nasledujúce rovnosti:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Riešenie príkladov

Príklad 1

Nájdite zvyšok po vydelení P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 (x - 1/3).

Riešenie.

Podľa záveru Bezoutovej vety: "Zvyšok delenia polynómu binómom (x - c) sa rovná hodnote polynómu v c." Nájdite P(1/3) = 0. Preto zvyšok je 0 a číslo 1/3 je koreňom polynómu.

Odpoveď: R = 0.

Príklad 2

Rozdeľte "roh" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 o (x + 2). Nájdite zvyšok a neúplný kvocient.

Riešenie:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Odpoveď: R = 3; podiel: 2x 2 - x.

Základné metódy riešenia rovníc vyšších stupňov

1. Zavedenie novej premennej

Spôsob zavedenia novej premennej je už známy z príkladu bikvadratických rovníc. Spočíva v tom, že na vyriešenie rovnice f (x) \u003d 0 sa zavedie nová premenná (substitúcia) t \u003d xn alebo t \u003d g (x) a f (x) sa vyjadrí prostredníctvom t, čím sa získa a nová rovnica r (t). Potom vyriešením rovnice r(t) nájdite korene:

(ti, t2, ..., t n). Potom sa získa množina n rovníc q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n, z ktorej sa nájdu korene pôvodnej rovnice.

Príklad 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3 x 2 - 3 x - 1 = 0.

Riešenie:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Náhrada (x 2 + x + 1) = t.

t2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Opačná výmena:

x 2 + x + 1 = 2 alebo x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 alebo x 2 + x = 0;

Odpoveď: Z prvej rovnice: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, z druhej: 0 a -1.

2. Faktorizácia metódou zoskupovania a skrátených vzorcov násobenia

Základ túto metódu tiež nie je nový a spočíva v zoskupení pojmov takým spôsobom, že každá skupina obsahuje spoločný faktor. Na to musíte niekedy použiť nejaké umelé triky.

Príklad 1

x 4 - 3 x 2 + 4 x - 3 = 0.

Riešenie.

Predstavte si - 3x 2 = -2x 2 - x 2 a skupina:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 alebo x 2 + x - 3 \u003d 0.

Odpoveď: V prvej rovnici nie sú žiadne korene, z druhej: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. Faktorizácia metódou neurčitých koeficientov

Podstatou metódy je, že pôvodný polynóm sa rozloží na faktory s neznámymi koeficientmi. Pomocou vlastnosti, že polynómy sú rovnaké, ak sú ich koeficienty rovnaké pri rovnakých mocniciach, sa nájdu neznáme expanzné koeficienty.

Príklad 1

x 3 + 4 x 2 + 5 x + 2 = 0.

Riešenie.

Polynóm 3. stupňa možno rozložiť na súčin lineárnych a štvorcových faktorov.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Riešenie systému:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1,
(b=3,
(c = 2, t.j.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Korene rovnice (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 sa dajú ľahko nájsť.

Odpoveď: -1; -2.

4. Spôsob výberu koreňa najvyšším a voľným koeficientom

Metóda je založená na aplikácii teorémov:

1) Akýkoľvek celočíselný koreň polynómu s celočíselnými koeficientmi je deliteľom voľného člena.

2) Aby bol ireducibilný zlomok p / q (p je celé číslo, q prirodzený) koreňom rovnice s celočíselnými koeficientmi, je potrebné, aby číslo p bolo celočíselným deliteľom voľného člena a 0 a q je prirodzený deliteľ najvyššieho koeficientu.

Príklad 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Riešenie:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Preto p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Po nájdení jedného koreňa, napríklad - 2, nájdeme ďalšie korene delením rohom, metódou neurčitých koeficientov alebo Hornerovou schémou.

Odpoveď: -2; 1/2; 1/3.

Máte nejaké otázky? Neviete, ako riešiť rovnice?
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Používanie rovníc je v našich životoch veľmi rozšírené. Používajú sa pri mnohých výpočtoch, stavbe konštrukcií a dokonca aj v športe. Rovnice používal človek už od staroveku a odvtedy sa ich používanie len zvyšuje. V matematike sú rovnice vyšších stupňov s celočíselnými koeficientmi celkom bežné. Na vyriešenie tohto druhu rovnice potrebujete:

Určite racionálne korene rovnice;

Vypočítajte polynóm, ktorý je na ľavej strane rovnice;

Nájdite korene rovnice.

Predpokladajme, že dostaneme rovnicu nasledujúceho druhu:

Poďme nájsť všetky jeho skutočné korene. Vynásobte ľavú a pravú stranu rovnice \

Zmeňme premenné \

Takto sme dostali redukovanú rovnicu štvrtého stupňa, ktorá je riešená podľa štandardného algoritmu: skontrolujeme deliteľa, vykonáme delenie a výsledkom je, že rovnica má dva reálne korene \ a dva komplexné tie. Na našu rovnicu štvrtého stupňa dostaneme nasledujúcu odpoveď:

Kde môžem vyriešiť rovnicu vyšších mocnín online pomocou riešiteľa?

Rovnicu môžete vyriešiť na našej webovej stránke https: //. Bezplatný online riešiteľ vám umožní vyriešiť online rovnicu akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Jediné, čo musíte urobiť, je zadať svoje údaje do riešiteľa. Môžete si tiež pozrieť video návod a naučiť sa riešiť rovnicu na našej webovej stránke. A ak máte nejaké otázky, môžete sa ich opýtať v našej skupine Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridajte sa k našej skupine, vždy vám radi pomôžeme.

Metódy riešenia algebraických rovníc vyšších stupňov.

Khabibullina Alfiya Yakubovna ,

učiteľ matematiky najvyššej kategórie MBOU stredná škola №177

mesto Kazaň, Vážený učiteľ Tatarskej republiky,

kandidát pedagogických vied.

Definícia 1. Algebraická rovnica stupňa n je rovnica tvaru P n (x)=0, kde P n (x) je polynóm stupňa n, t.j. P n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n a 0.

Definícia 2. Root rovnica - číselná hodnota premennej x, ktorá po dosadení do tejto rovnice dáva správnu rovnosť.

Definícia 3. vyriešiť rovnica znamená nájsť všetky jej korene alebo dokázať, že žiadne neexistujú.

ja Metóda rozkladu polynómu na faktory s následným delením.

Rovnicu možno rozložiť a vyriešiť metódou delenia, to znamená jej rozdelením na množinu rovníc menších stupňov.

Komentujte: Vo všeobecnosti by sa pri riešení rovnice metódou delenia nemalo zabúdať, že súčin sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule, pričom ostatné si zachovávajú svoj význam.

Spôsoby rozkladu polynómu:

1. Vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek.

2. Štvorcový trojčlen možno faktorizovať pomocou ach vzorce 2 + in + c \u003d a (x-x 1 ) (x-x 2 ), kde 0, x 1 a x 2 sú korene štvorcového trojčlenu.

3. Použitie skrátené vzorce násobenia :

an - v n \u003d (a - c) (a n-1 + Cn- 2 a n-2 c + Cn- 3 a n-3 c + ... + C1 a v n-2 + v n- 1), č N.

Kompletný štvorcový výber. Polynóm môže byť faktorizovaný pomocou vzorca rozdielu štvorcov, ktorý predtým zvýraznil celú druhú mocninu súčtu alebo rozdielu výrazov.

4. zoskupenie(v kombinácii s odstránením spoločného faktora zo zátvoriek).

5. Použitie výsledku Bezoutovej vety.

1) ak rovnica a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n-1 x + a n = 0, a 0 0 s celočíselnými koeficientmi má racionálny koreň x 0 = (kde - neredukovateľný zlomok, s
q
), potom p je deliteľ voľného člena a n a q je deliteľ vedúceho koeficientu a 0 .

2) ak x \u003d x 0 je koreň rovnice P n (x) \u003d 0, potom P n (x) \u003d 0 je ekvivalentný rovnici

(x - x 0) P n-1 (x) \u003d 0, kde P n-1 (x) je polynóm, ktorý možno nájsť delením

P n (x) na (x - x 0) „rohu“ alebo metódou neurčitých koeficientov.

II . Metóda na zavedenie novej premennej (Substitution )

Uvažujme rovnicu f(x)=g(x). Je ekvivalentná rovnici f (x) -g (x) \u003d 0. Označme rozdiel f (x) - g (x) \u003d h (p (x)) a
. Zavedme zmenu t=p(x) (zavolá sa funkcia t=p(x). substitúcia ). Potom dostaneme rovnicu h (p (x)) \u003d 0 alebo h (t) \u003d 0, vyriešením poslednej rovnice nájdeme t 1, t 2, ... Vráťme sa k substitúcii p (x) \u003d t 1, p (x) \u003d t 2,…, nájdeme hodnoty premennej x.

III Metóda prísnej monotónnosti.

Veta. Ak je y = f(x) striktne monotónne na P, potom rovnica f(x) = a (a - const) má na množine P najviac jeden koreň. (Funkcia je striktne monotónna: buď iba klesajúca alebo iba rastúca)

Komentujte. Môžete použiť modifikáciu tejto metódy. Uvažujme rovnicu f(x)=g(x). Ak je funkcia y= f(x) monotónne klesajúca na P a funkcia y= g(x) monotónne klesajúca na P (alebo naopak), potom rovnica f(x)=g(x) má max. jeden koreň na množine P.

IV. Metóda na porovnanie množiny hodnôt oboch častí rovnice (metóda odhadu)

Veta Ak pre ľubovoľné x z množiny P sú nerovnosti f(x) a, a g(x) a, potom rovnica f(x)=g(x) na množine Р je ekvivalentná systému
.

Dôsledok: Ak je na súprave P
alebo
, potom rovnica f(x)=g(x) nemá korene.

Táto metóda je pomerne účinná pri riešení transcendentálnych rovníc

V. Metóda enumerácie deliteľov extrémnych koeficientov

Uvažujme rovnicu a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0

Veta. Ak x 0 = je koreň algebraickej rovnice stupňa n a i sú celočíselné koeficienty, potom p je deliteľ voľného členu a n a q je deliteľ vedúceho koeficientu a 0 . Keď je 0 \u003d 1 x 0 \u003d p (deliteľ voľného termínu).

Dôsledok Bezoutova veta: Ak x 0 je koreň algebraickej rovnice, potom P n (x) sa vydelí (xx 0) bez zvyšku, tj P n (x) \u003d (xx 0) Q n-1 (x) .

VI Metóda neurčitých koeficientov.

Vychádza z nasledujúcich tvrdení:

dva polynómy sú zhodné práve vtedy a len vtedy, ak sú ich koeficienty rovnaké pri rovnakých mocninách x.

akýkoľvek polynóm tretieho stupňa sa rozkladá na súčin dvoch faktorov: lineárneho a štvorcového.

akýkoľvek polynóm štvrtého stupňa sa rozloží na súčin dvoch polynómov

druhého stupňa.

VII. Hornerova schéma .

Pomocou tabuľky koeficientov podľa Hornerovho algoritmu sa výberom nájdu korene rovnice medzi deliteľmi voľného člena.

VIII . Derivačná metóda.

Veta. Ak 2 polynómy P(x) a Q(x) majú identicky rovnaké derivácie, potom existuje C-konštanta taká, že P(x)=Q(x)+C pre X R.

Veta. Ak
(x) a
(x) sú deliteľné
, potom
(x) je deliteľné
.

Dôsledok: Ak
(x) a
(x) sú delené polynómom R(x) , potom
(x) je deliteľné (x) a najväčší spoločný deliteľ polynómov
(x) a
(X) má korene, ktoré sú iba koreňmi polynómu
x) s násobkom najmenej 2.

IX . Symetrické, recipročné rovnice .

Definícia. Rovnica a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0 sa nazýva symetrické , ak

1. Uvažujme prípad, keď n je párne, n = 2k. Ak
, potom x = 0 nie je koreňom rovnice, čo dáva právo rozdeliť rovnicu na

0
+
+
+=0 Uveďme zmenu t=
a s prihliadnutím na lemu riešime kvadratickú rovnicu vzhľadom na premennú t. Spätná substitúcia poskytne riešenie pre premennú x.

2. Uvažujme prípad, keď n je nepárne, n=2k+1. Potom = -1 je koreň rovnice. Rozdeľte rovnicu podľa
a dostaneme prípad 1.. Spätná substitúcia vám umožňuje nájsť hodnoty x. Všimnite si, že keď m=-1, rovnica sa nazýva Premeňme algebraickú rovnicu P n (x)=0 (kde P n (x) je polynóm stupňa n) na rovnicu tvaru f(x)=g (X). Nastavte funkcie y=f(x), y=g(x); popíšeme ich vlastnosti a vykreslíme grafy v jednom súradnicovom systéme. Úsečky priesečníkov budú koreňmi rovnice. Kontrola sa vykonáva substitúciou do pôvodnej rovnice.

Trieda: 9

Základné ciele:

1. Upevniť koncept celočíselnej racionálnej rovnice t. stupňa.
2. Formulujte hlavné metódy riešenia rovníc vyšších stupňov (n > 3).
3. Naučiť základné metódy riešenia rovníc vyšších stupňov.
4. Učiť podľa tvaru rovnice určiť najviac efektívna metóda jeho rozhodnutia.

Formy, metódy a pedagogické techniky, ktoré učiteľ v triede používa:

• Prednáškovo-seminárny vzdelávací systém (prednášky - výklad novej látky, semináre - riešenie problémov).
• Informačné a komunikačné technológie (frontálny prieskum, ústna práca s triedou).
• Diferencovaný tréning, skupinová a individuálna forma.
• Využitie výskumnej metódy vo vyučovaní, zameranej na rozvoj matematického aparátu a rozumových schopností každého jednotlivého žiaka.
• Tlačený materiál - individuálne zhrnutie hodiny (základné pojmy, vzorce, výroky, materiál z prednášky je komprimovaný vo forme diagramov alebo tabuliek).

Plán lekcie:

1. Organizácia času.
   Účel etapy: zahrnúť študentov do vzdelávacích aktivít, určiť obsah hodiny.
2. Aktualizácia vedomostí žiakov.
   Účel etapy: aktualizovať vedomosti študentov o predtým preštudovaných súvisiacich témach
3. Učenie sa novej témy (prednáška). Účel etapy: formulovať hlavné metódy riešenia rovníc vyšších stupňov (n > 3)
4. Zhrnutie.
   Účel etapy: opäť zdôrazniť kľúčové body v materiáli študovanom na lekcii.
5. Domáca úloha.
   Účel etapy: formulovať domáca úloha pre študentov.

Zhrnutie lekcie

1. Organizačný moment.

Znenie témy vyučovacej hodiny: „Rovnice vyšších stupňov. Metódy ich riešenia“.

2. Aktualizácia vedomostí žiakov.

Teoretický prieskum - rozhovor. Opakovanie niektorých predtým preštudovaných informácií z teórie. Študenti formulujú základné definície a uvádzajú potrebné vety. Uvádzajú sa príklady, ktoré demonštrujú úroveň predtým získaných vedomostí.

• Pojem rovnica s jednou premennou.
• Pojem koreňa rovnice, riešenie rovnice.
• Pojem lineárna rovnica s jednou premennou, pojem kvadratickej rovnice s jednou premennou.
• Pojem ekvivalencie rovníc, rovnica-dôsledky (koncept cudzích koreňov), prechod nie následkom (prípad straty koreňov).
• Koncept celého racionálneho vyjadrenia s jednou premennou.
• Koncept celej racionálnej rovnice n stupeň. Štandardná forma celej racionálnej rovnice. Redukovaná celá racionálna rovnica.
• Prechod na množinu rovníc nižších stupňov rozkladom pôvodnej rovnice.
• Pojem polynóm n stupeň od X. Bezoutova veta. Dôsledky z Bezoutovej vety. Koreňové vety ( Z-korene a Q-odmocniny) celej racionálnej rovnice s celočíselnými koeficientmi (redukovanými a neredukovanými).
• Hornerova schéma.

3. Učenie sa novej témy.

Zoberieme do úvahy celú racionálnu rovnicu n mocnina štandardného tvaru s jednou neznámou premennou x:Pn(x)= 0, kde P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0– polynóm n stupeň od X, a n ≠ 0. Ak a n = 1 potom sa takáto rovnica nazýva redukovaná celá racionálna rovnica n stupeň. Zoberme si takéto rovnice pre rozdielne hodnoty n a uveďte hlavné spôsoby ich riešenia.

n= 1 je lineárna rovnica.

n= 2 je kvadratická rovnica. Diskriminačný vzorec. Vzorec na výpočet koreňov. Vietov teorém. Výber celého štvorca.

n= 3 je kubická rovnica.

metóda zoskupovania.

Príklad: x 3 – 4 x 2 – x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 X 1 = 4 , x2 = 1,X 3 = -1.

Reciproká kubická rovnica tvaru sekera 3 + bx 2 + bx + a= 0. Riešime spojením členov s rovnakými koeficientmi.

Príklad: X 3 – 5X 2 – 5X + 1 = 0 (X + 1)(X 2 – 6X + 1) = 0 X 1 = -1, X 2 = 3 + 2, X 3 = 3 – 2.

Výber Z-koreňov na základe vety. Hornerova schéma. Pri aplikácii tejto metódy je potrebné zdôrazniť, že enumerácia je v tomto prípade konečná a korene vyberáme podľa určitého algoritmu v súlade s vetou o Z-korene redukovanej celej racionálnej rovnice s celočíselnými koeficientmi.

Príklad: X 3 – 9X 2 + 23X– 15 = 0. Rovnica je redukovaná. Vypíšeme deliteľa voľného termínu ( + 1; + 3; + 5; + 15). Aplikujme Hornerovu schému:

Dostaneme ( X – 1)(X 2 – 8X + 15) = 0 X 1 = 1, X 2 = 3, X 3 = 5.

Rovnica s celočíselnými koeficientmi. Výber Q-koreňov na základe vety. Hornerova schéma. Pri aplikácii tejto metódy je potrebné zdôrazniť, že enumerácia je v tomto prípade konečná a korene vyberáme podľa určitého algoritmu v súlade s vetou o Q-korene neredukovanej celej racionálnej rovnice s celočíselnými koeficientmi.

Príklad: 9 X 3 + 27X 2 – X– 3 = 0. Rovnica nie je redukovaná. Vypíšeme deliteľa voľného termínu ( + 1; + 3). Vypíšme delitele koeficientu pri najvyššej mocnine neznámej. ( + 1; + 3; + 9) Preto budeme hľadať korene medzi hodnotami ( + 1; + ; + ; + 3). Aplikujme Hornerovu schému:

Dostaneme ( X – )(9X 2 + 30X + 9) = 0 X 1 = , X 2 = - , X 3 = -3.

Pre pohodlie výpočtu pri výbere Q -korene môže byť vhodné vykonať zmenu premennej, prejsť na vyššie uvedenú rovnicu a upraviť Z -korene.

Formula Cardano. Na riešenie kubických rovníc existuje univerzálna metóda – ide o Cardanov vzorec. Tento vzorec je spojený s menami talianskych matematikov Gerolama Cardana (1501 – 1576), Nicola Tartaglia (1500 – 1557), Scipia del Ferra (1465 – 1526). Tento vzorec je mimo rozsahu nášho kurzu.

n= 4 je rovnica štvrtého stupňa.

metóda zoskupovania.

Príklad: X 4 + 2X 3 + 5X 2 + 4X – 12 = 0 (X 4 + 2X 3) + (5X 2 + 10X) – (6X + 12) = 0 (X + 2)(X 3 + 5X- 6) = 0 (X + 2)(X– 1)(X 2 + X + 6) = 0 X 1 = -2, X 2 = 1.

Variabilná metóda výmeny.

• Bikvadratická rovnica tvaru sekera 4 + bx 2+s = 0 .

Príklad: X 4 + 5X 2 - 36 = 0. Striedanie r = X 2. Odtiaľ r 1 = 4, r 2 = -9. Preto X 1,2 = + 2 .

Riešime spojením pojmov s rovnakými koeficientmi nahradením tvaru

• Zovšeobecnená spätná rovnica štvrtého stupňa tvaru sekera 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k2 a = 0.

Príklad 3 . Výmena celkového pohľadu(vyplýva z tvaru konkrétnej rovnice).

n = 3.

Rovnica s celočíselnými koeficientmi. Výber Q-korenov n = 3.

Všeobecný vzorec. Na riešenie rovníc štvrtého stupňa existuje univerzálna metóda. Tento vzorec je spojený s menom Ludovica Ferrariho (1522-1565). Tento vzorec je mimo rozsahu nášho kurzu.

n > 5 - rovnice piateho a vyššieho stupňa.

Rovnica s celočíselnými koeficientmi. Výber Z-koreňov na základe vety. Hornerova schéma. Algoritmus je podobný tomu, ktorý je uvedený vyššie n = 3.

Rovnica s celočíselnými koeficientmi. Výber Q-korenov na základe vety. Hornerova schéma. Algoritmus je podobný tomu, ktorý je uvedený vyššie n = 3.

Symetrické rovnice. Každá recipročná rovnica nepárneho stupňa má koreň X= -1 a po rozložení na faktory dostaneme, že jeden faktor má tvar ( X+ 1) a druhým faktorom je recipročná rovnica párneho stupňa (jej stupeň je o jeden menší ako stupeň pôvodnej rovnice). Ľubovoľná recipročná rovnica párneho stupňa spolu s koreňom tvaru x = φ obsahuje aj koreň tvaru . Pomocou týchto tvrdení riešime problém znížením stupňa skúmanej rovnice.

Variabilná metóda výmeny. Použitie homogenity.

Na riešenie celých rovníc piateho stupňa neexistuje všeobecný vzorec (ukázali to taliansky matematik Paolo Ruffini (1765–1822) a nórsky matematik Nils Henrik Abel (1802–1829)) a vyššie mocniny (ukázali to Francúzi matematik Evariste Galois (1811 – 1832)).

• Opäť si pripomeňme, že v praxi je možné použiť kombinácie metódy uvedené vyššie. Je vhodné prejsť na množinu rovníc nižších stupňov pomocou faktorizácia pôvodnej rovnice.
• Mimo rámca našej dnešnej diskusie sú v praxi široko používané grafické metódy riešenie rovníc a približné metódy riešenia rovnice vyšších stupňov.
• Sú situácie, keď rovnica nemá R-korene.
Potom sa ukáže, že rovnica nemá korene. Aby sme to dokázali, analyzujeme správanie uvažovaných funkcií na intervaloch monotónnosti. Príklad: Rovnica X 8 – X 3 + 1 = 0 nemá korene.
• Použitie vlastnosti monotónnosti funkcií
. Sú situácie, kedy nám využitie rôznych vlastností funkcií umožňuje zjednodušiť úlohu.
Príklad 1: Rovnica X 5 + 3X– 4 = 0 má jeden koreň X= 1. Na základe vlastnosti monotónnosti analyzovaných funkcií neexistujú žiadne iné korene.
Príklad 2: Rovnica X 4 + (X– 1) 4 = 97 má korene X 1 = -2 a X 2 = 3. Po analýze správania zodpovedajúcich funkcií na intervaloch monotónnosti sme dospeli k záveru, že neexistujú žiadne iné korene.

4. Zhrnutie.

Zhrnutie: Teraz sme si osvojili základné metódy riešenia rôznych rovníc vyšších stupňov (pre n > 3). Našou úlohou je naučiť sa efektívne využívať vyššie uvedené algoritmy. V závislosti od typu rovnice sa budeme musieť naučiť určiť, ktorá metóda riešenia je v tomto prípade najefektívnejšia, ako aj správne aplikovať zvolenú metódu.

5. Domáce úlohy.

: položka 7, strany 164–174, čísla 33–36, 39–44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Možné témy správ alebo abstraktov na túto tému:

• Formula Cardano
• Grafická metóda riešenia rovníc. Príklady riešení.
• Metódy približného riešenia rovníc.

Analýza asimilácie materiálu a záujmu študentov o danú tému:

Prax ukazuje, že záujmom študentov je na prvom mieste možnosť selekcie Z-korene a Q-korene rovníc pomocou pomerne jednoduchého algoritmu s použitím Hornerovej schémy. Študentov zaujímajú aj rôzne štandardné typy premennej substitúcie, ktoré môžu výrazne zjednodušiť typ problému. Obzvlášť zaujímavé sú zvyčajne grafické metódy riešenia. V tomto prípade môžete úlohy dodatočne analyzovať do grafickej metódy riešenia rovníc; diskutovať všeobecná forma grafika pre polynóm 3, 4, 5 stupňov; analyzovať, ako súvisí počet koreňov rovníc 3, 4, 5 stupňov s typom príslušného grafu. Nižšie je uvedený zoznam kníh, v ktorých môžete nájsť ďalšie informácie o tejto téme.

Bibliografia:

1. Vilenkin N.Ya. atď. „Algebra. Učebnica pre žiakov 9. ročníka s hĺbkovým štúdiom matematiky “- M., Vzdelávanie, 2007 - 367 s.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.„Za stránkami učebnice matematiky. Aritmetika. Algebra. Ročníky 10-11“ – M., Osveta, 2008 – 192 s.
3. Vygodsky M.Ya."Príručka matematiky" - M., AST, 2010 - 1055 s.
4. Galitsky M.L.„Zbierka problémov v algebre. Návod pre ročníky 8-9 s hĺbkovým štúdiom matematiky “- M., Vzdelávanie, 2008 - 301 s.
5. Zvavich L.I. a kol., „Algebra a začiatky analýzy. 8-11 buniek Príručka pre školy a triedy s hĺbkovým štúdiom matematiky “- M., Drofa, 1999 - 352 s.
6. Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N.„Úlohy z matematiky na prípravu na písomnú skúšku v 9. ročníku“ - M., Vzdelávanie, 2007 - 112 s.
7. Ivanov A.A., Ivanov A.P. “Tematické testy pre systematizáciu vedomostí z matematiky, 1. časť - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 s.
8. Ivanov A.A., Ivanov A.P.„Tematické testy na systematizáciu vedomostí z matematiky“ 2. časť - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 s.
9. Ivanov A.P.„Testy a testy z matematiky. Návod". - M., Fizmatkniga, 2008 - 304 s.
10. Leibson K.L.„Zbierka praktických úloh z matematiky. 2. – 9. časť triedy“ – M., MTsNMO, 2009 – 184 s.
11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.„Algebra. Doplnkové kapitoly do školskej učebnice 9. ročníka. Učebnica pre študentov škôl a tried s hĺbkovým štúdiom matematiky.“ - M., Školstvo, 2006 - 224 s.
12. Mordkovich A.G.„Algebra. Hĺbkové štúdium. 8. trieda. Učebnica“ – M., Mnemosyne, 2006 – 296 s.
13. Savin A.P. “encyklopedický slovník mladý matematik“ – M., Pedagogika, 1985 – 352 s.
14. Survillo G.S., Simonov A.S.„Didaktické materiály o algebre pre 9. ročník s hĺbkovým štúdiom matematiky“ - M., Vzdelávanie, 2006 - 95 s.
15. Chulkov P.V.„Rovnice a nerovnosti v školskom kurze matematiky. Prednášky 1–4“ – M., 1. september, 2006 – 88 s.
16. Chulkov P.V.„Rovnice a nerovnosti v školskom kurze matematiky. Prednášky 5–8“ – M., prvý september, 2009 – 84 s.