Komplexné nerovnosti. Nerovnosti. Druhy nerovností. Úvod do nerovností

V článku zvážime riešenie nerovností. Hovorme na rovinu ako vybudovať riešenie nerovností s jasnými príkladmi!

Predtým, ako sa budeme zaoberať riešením nerovníc s príkladmi, poďme sa zaoberať základnými pojmami.

Úvod do nerovností

nerovnosť sa nazýva výraz, v ktorom sú funkcie spojené vzťahovými znakmi >, . Nerovnosti môžu byť číselné aj abecedné.
Nerovnice s dvoma vzťahovými znakmi sa nazývajú dvojité, s tromi - trojité atď. Napríklad:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Nerovnosti obsahujúce znamienko > alebo alebo nie sú prísne.
Riešenie nerovnosti je akákoľvek hodnota premennej, pre ktorú platí táto nerovnosť.
"Vyriešte nerovnosť“ znamená, že musíte nájsť množinu všetkých jeho riešení. Sú rôzne metódy riešenia nerovností. Pre riešenia nerovností použite číselnú os, ktorá je nekonečná. Napríklad, riešenie nerovnosti x > 3 je interval od 3 do + a číslo 3 nie je zahrnuté v tomto intervale, takže bod na priamke je označený prázdnym kruhom, pretože nerovnosť je prísna.
+
Odpoveď bude: x (3; +).
Hodnota x=3 nie je zahrnutá v množine riešení, preto je zátvorka okrúhla. Znak nekonečna je vždy uzavretý v zátvorke. Znak znamená "patriaci".
Zvážte, ako vyriešiť nerovnosti pomocou iného príkladu so znamienkom:
x2
-+
Hodnota x=2 je zahrnutá v množine riešení, takže hranatá zátvorka a bod na priamke sú označené vyplneným kruhom.
Odpoveď bude: x.

Teraz zvážte lineárne nerovnosti s dvoma premennými. Takéto úlohy sa spravidla redukujú na obraz množiny bodov, ktorých súradnice spĺňajú nerovnosť v rovine súradníc.

Na súradnicovej rovine znázorníme množinu bodov, ktorých súradnice spĺňajú nerovnosť y-2 > x-3.

Zapíšme túto nerovnosť ako y > x-1. Najprv nakreslíme lineárnu funkciu y = x-1 (priamka). Táto priamka rozdeľuje všetky body súradnicovej roviny na body nachádzajúce sa na tejto priamke a body nachádzajúce sa pod touto priamkou. Pozrime sa, ktoré body spĺňajú túto nerovnosť.

Z prvej oblasti si vezmime napríklad kontrolný bod A (0; 0) – počiatok. Je ľahké skontrolovať, či je splnená nerovnosť y > -1. Z druhej oblasti si vyberme napríklad kontrolný bod B (1; -1). Pre takýto bod nie je splnená nerovnosť y > x-1. Preto je táto nerovnosť splnená bodmi umiestnenými nad a na priamke y \u003d x-1 (to znamená bodmi podobnými bodu A). Tieto body sú tieňované.

Pre aké hodnoty parametra a nemá rovnica ax 2 + x - 1 = 0 riešenia?

Keďže vodiaci koeficient rovnice závisí od parametra a, je potrebné zvážiť dva prípady.

a) Ak je a 0, potom rovnica ax 2 + x - 1 \u003d 0 je kvadratická. Takáto rovnica nemá riešenia, ak má diskriminant D< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

b) Ak a \u003d 0, potom rovnica ax 2 + x - 1 \u003d 0 je lineárna a má tvar x - 1 \u003d 0. Je zrejmé, že rovnica má jedinečné riešenie x \u003d 1.

Takže pre (-; -) táto rovnica nemá riešenia.

Vyriešme nerovnosť |x – 1| + x 2 + 2 x + 1< 0.

Zapíšme nerovnosť ako |x – 1| + (x + 1) 2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| >0 a a 2 > 0 pre všetky hodnoty a, potom súčet

|a| + a 2 > 0 pre všetky a. Preto nerovnosť |a| + a 2< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем линейное уравнение х + 1 = 0, решение которого х = – 1. Итак, решение данного неравенства х = – 1.

Podobný typ nerovnosti existuje aj pri dvoch premenných.

Na súradnicovej rovine znázorníme množinu bodov, ktorých súradnice spĺňajú nerovnosť y-1< х 2 .

Nerovnosť zapíšeme ako y< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

1. Analyticky vyriešte nerovnosť:

2. Pre všetky hodnoty a vyriešte nerovnosť:

3. Pre aké hodnoty parametra je rovnica

a) 3x 2 - 2x + a \u003d 0 nemá korene;
b) 2x 2 - 3x + 5a = 0 má dva rôzne korene;
c) 3ax 2 - 4x + 1 = 0 má dva rôzne korene;
d) ax 2 - 3x + 2 = 0 má aspoň jeden koreň.

4. Analyticky (a ak je to možné, graficky) vyriešte nerovnosti: