Priama a nepriamo úmerná závislosť 6. Priama a nepriama úmernosť. Otázky na samovyšetrenie

Proporcionalita je vzťah medzi dvoma veličinami, v ktorom zmena jednej z nich znamená zmenu druhej o rovnakú hodnotu.

Proporcionalita je priama a inverzná. V tejto lekcii sa pozrieme na každý z nich.

Priama úmernosť

Predpokladajme, že sa auto pohybuje rýchlosťou 50 km/h. Pamätáme si, že rýchlosť je vzdialenosť prejdená za jednotku času (1 hodina, 1 minúta alebo 1 sekunda). V našom príklade sa auto pohybuje rýchlosťou 50 km / h, to znamená, že za hodinu prejde vzdialenosť rovnajúcu sa päťdesiatim kilometrom.

Nakreslite si vzdialenosť prejdenú autom za 1 hodinu.

Nechajte auto jazdiť ďalšiu hodinu rovnakou rýchlosťou päťdesiat kilometrov za hodinu. Potom sa ukáže, že auto prejde 100 km

Ako vidno z príkladu, zdvojnásobenie času viedlo k zvýšeniu prejdenej vzdialenosti o rovnakú hodnotu, teda dvojnásobnú.

Hovorí sa, že veličiny ako čas a vzdialenosť sú priamo úmerné. Vzťah medzi týmito veličinami je tzv priama úmernosť.

Priama úmernosť je vzťah medzi dvoma veličinami, v ktorom zvýšenie jednej z nich znamená zvýšenie druhej o rovnakú hodnotu.

a naopak, ak sa jedna hodnota zníži o určitý počet krát, potom sa druhá zníži o rovnakú hodnotu.

Predpokladajme, že pôvodne sa plánovalo prejsť autom 100 km za 2 hodiny, no po prejdení 50 km sa vodič rozhodol pre pauzu. Potom sa ukáže, že znížením vzdialenosti na polovicu sa čas zníži o rovnakú hodnotu. Inými slovami, zníženie prejdenej vzdialenosti povedie k zníženiu času rovnakým faktorom.

Zaujímavosťou priamoúmerných veličín je, že ich pomer je vždy konštantný. To znamená, že keď sa hodnoty priamo úmerných veličín zmenia, ich pomer zostane nezmenený.

V uvažovanom príklade bola vzdialenosť najskôr 50 km a čas bol jednu hodinu. Pomer vzdialenosti k času je číslo 50.

Čas pohybu sme však predĺžili 2-krát, čím sa rovná dvom hodinám. V dôsledku toho sa prejdená vzdialenosť zvýšila o rovnakú hodnotu, to znamená, že sa rovnala 100 km. Pomer sto kilometrov k dvom hodinám je opäť číslo 50

Volá sa číslo 50 koeficient priamej úmernosti. Ukazuje, koľko vzdialenosti je za hodinu pohybu. V tomto prípade koeficient zohráva úlohu rýchlosti pohybu, pretože rýchlosť je pomer prejdenej vzdialenosti k času.

Proporcie môžu byť vyrobené z priamo úmerných množstiev. Napríklad pomery a tvoria pomer:

Päťdesiat kilometrov súvisí s jednou hodinou, ako sto kilometrov súvisí s dvomi hodinami.

Príklad 2. Cena a množstvo nakupovaného tovaru sú priamo úmerné. Ak 1 kg sladkostí stojí 30 rubľov, potom 2 kg rovnakých sladkostí bude stáť 60 rubľov, 3 kg - 90 rubľov. S nárastom nákladov na nakupovaný tovar sa jeho množstvo zvyšuje o rovnakú sumu.

Keďže hodnota tovaru a jeho množstvo sú priamo úmerné, ich pomer je vždy konštantný.

Zapíšme si pomer tridsať rubľov k jednému kilogramu

Teraz si napíšme, čomu sa rovná pomer šesťdesiat rubľov k dvom kilogramom. Tento pomer sa bude opäť rovnať tridsiatim:

Tu je koeficient priamej úmernosti číslo 30. Tento koeficient ukazuje, koľko rubľov na kilogram sladkostí. V tomto príklade hrá koeficient úlohu ceny jedného kilogramu tovaru, pretože cena je pomer ceny tovaru k jeho množstvu.

Inverzná úmernosť

Zvážte nasledujúci príklad. Vzdialenosť medzi oboma mestami je 80 km. Motocyklista opustil prvé mesto a rýchlosťou 20 km/h sa dostal do druhého mesta za 4 hodiny.

Ak bola rýchlosť motocyklistu 20 km/h, znamená to, že každú hodinu prekonal vzdialenosť rovnajúcu sa dvadsiatim kilometrom. Znázornime na obrázku vzdialenosť, ktorú prejde motocyklista a čas jeho pohybu:

Cestou späť išiel motorkár rýchlosťou 40 km/h, na rovnakej ceste strávil 2 hodiny.

Je ľahké vidieť, že pri zmene rýchlosti sa o rovnakú hodnotu zmenil aj čas pohybu. Navyše sa zmenilo v opačnom smere - teda rýchlosť sa zvýšila, ale čas sa naopak znížil.

Veličiny ako rýchlosť a čas sa nazývajú nepriamo úmerné. Vzťah medzi týmito veličinami je tzv inverzná úmernosť.

Inverzná úmernosť je vzťah medzi dvoma veličinami, v ktorom zvýšenie jednej z nich znamená zníženie druhej o rovnakú hodnotu.

a naopak, ak sa jedna hodnota zníži o určitý počet krát, potom sa druhá zvýši o rovnakú hodnotu.

Napríklad, ak by na ceste späť bola rýchlosť motocyklistu 10 km/h, potom by rovnakých 80 km prešiel za 8 hodín:

Ako je zrejmé z príkladu, zníženie rýchlosti viedlo k zvýšeniu času jazdy rovnakým faktorom.

Zvláštnosťou nepriamo úmerných veličín je, že ich súčin je vždy konštantný. To znamená, že keď sa hodnoty nepriamo úmerných veličín zmenia, ich súčin zostáva nezmenený.

V uvažovanom príklade bola vzdialenosť medzi mestami 80 km. Pri zmene rýchlosti a času motocyklistu zostala táto vzdialenosť vždy nezmenená.

Túto vzdialenosť zvládol motocyklista prejsť rýchlosťou 20 km/h za 4 hodiny, rýchlosťou 40 km/h za 2 hodiny a rýchlosťou 10 km/h za 8 hodín. Vo všetkých prípadoch sa súčin rýchlosti a času rovnal 80 km

Páčila sa vám lekcia?
Pripojte sa k našej novej skupine Vkontakte a začnite dostávať upozornenia na nové lekcie

Hodina matematiky v 6. ročníku

na tému „Priamo a spätne proporcionálne závislosti"

Vyvinuté
učiteľ matematiky
MOU „Michajlovskaja stredná škola pomenovaná po
Hrdina Sovietskeho zväzu V.F. Nesterov"
Kleymenová D.M.

Ciele lekcie :

1. Didaktické :

podporovať formovanie a upevňovanie zručností a schopností riešiť problémy pomocou proporcií;

naučiť sa rozlišovať dve veličiny v podmienkach problémov a určiť typ závislosti medzi nimi;

napíšte krátky záznam a vytvorte pomernú časť;

upevniť zručnosti a schopnosti riešiť rovnice, ktoré majú tvar proporcie.

2. Vývojové :

rozvíjať pamäť, pozornosť, pokračovať v rozvoji matematickej reči žiakov;

podporovať rozvoj tvorivej činnosti a záujmu žiakov o predmet matematika.

3. Výchovné :

pestovať presnosť, formovať záujem o matematiku;

pestovať schopnosť pozorne počúvať názory iných, pestovanie sebavedomia, pestovanie kultúry komunikácie.

Vybavenie: Celkové náklady na vlastníctvo potrebné na prezentáciu: počítač a projektor, hárky na zapisovanie odpovedí, kartičky na reflexiu (po tri), ukazovateľ.

Typ lekcie: lekciu aplikácie vedomostí.

Formy organizácie lekcií:frontálna, kolektívna, individuálna práca.

Štruktúra lekcie:

Organizačná chvíľa, pozdravy, priania.

Kontrola naštudovaného materiálu.

Téma lekcie.

Opakovanie preberanej látky.

Etapa kontroly a sebakontroly vedomostí a metód konania.

Fáza zhrnutia lekcie.

Domáca úloha.

Reflexia.

Počas vyučovania

Organizácia času. (snímka 3)
(Pozdravenie, náprava neprítomných, kontrola pripravenosti študentov na vzdelávací proces, distribúcia letákov a kariet na reflexiu, kontrola pripravenosti triedy na hodinu, organizácia pozornosti študenta).

Učiteľ číta: (snímka číslo 3)

Matematika je základom a kráľovnou všetkých vied,
A radím ti, aby si sa s ňou spriatelil, priateľ môj.
Jej múdre zákony, ak ich budete dodržiavať,
Zvýšte svoje vedomosti
Budete ich používať.
Môžete plávať v mori
Môžete lietať vo vesmíre.
Môžete postaviť dom pre ľudí:
Bude stáť sto rokov.
Nebuďte leniví, tvrdo pracujte
Poznanie soli vied.
Snažte sa všetko dokázať
Ale nevzdávaj sa.

2. Kontrola naštudovaného materiálu.

(identifikuje problémy vo vedomostiach a spôsoboch činnosti žiakov a zisťuje príčiny ich vzniku, odstraňuje medzery zistené počas testu.)

Ústny prieskum: (snímka číslo 4)

Aký je pomer dvoch čísel?

Ako nájsť zlomok čísla?

čo je pomer?

Aké množstvá sú priamo úmerné?

Čo ukazuje pomer dvoch čísel?

Ako nájsť číslo podľa jeho zlomku?

Základná vlastnosť proporcie.

Aké množstvá sa nazývajú nepriamo úmerné?

Dokončite vetu: (snímka 5). (Deti najskôr plnia úlohu samy, na hárky zapisujú iba písmená zodpovedajúce správnej odpovedi. Potom zdvihnú ruku. Potom učiteľ nahlas prečíta otázku a žiaci odpovedajú).

Priama úmernosť je taká závislosť veličín, v ktorých ...

Inverzne úmerný vzťah je taká závislosť veličín, pri ktorých ...

Ak chcete nájsť neznámy extrémny termín proporcie...

Stredná hodnota podielu je...

Pomer je správny, ak...

S)…keď sa jedna hodnota zvýši niekoľkokrát, druhá sa zníži o rovnakú hodnotu.

X) ... súčin extrémnych členov sa rovná súčinu stredných členov podielu.

A) ... keď sa jedna hodnota zvýši niekoľkokrát, druhá sa zvýši o rovnakú hodnotu.

P) ... potrebujete rozdeliť súčin stredných členov podielu známym extrémnym členom.

Y) ... keď sa jedna hodnota zvýši niekoľkokrát, druhá sa zvýši o rovnakú hodnotu.

E) ... pomer súčinu extrémnych členov k známemu priemeru.

odpoveď:ÚSPECH.(snímka 6)

Grafický diktát (snímky 7-10).

„Áno“ a „nie“ nehovorte,

A nakreslite ikonu.

„Áno“ so znamienkom „+“, nie so znamienkom „-“.

(Žiaci pracujú samostatne. Odpovede sa píšu na hárky papiera. Autotest pomocou snímky č. Na konci hodiny si hárky prezrie učiteľ)

Ak je plocha obdĺžnika konštantná, jeho dĺžka a šírka sú nepriamo úmerné.

Rast dieťaťa a jeho vek sú priamo úmerné.

Pri konštantnej šírke obdĺžnika sú jeho dĺžka a plocha priamo úmerné.

Rýchlosť auta a čas jeho pohybu sú nepriamo úmerné.

Rýchlosť auta a jeho prejdená vzdialenosť sú nepriamo úmerné.

Tržby v pokladni divadla sú priamo úmerné počtu predaných vstupeniek, predaných za rovnakú cenu.

Nosnosť strojov a ich počet sú nepriamo úmerné.

Obvod štvorca a dĺžka jeho strany sú priamo úmerné.

Pri konštantnej cene sú náklady na komoditu a jej hmotnosť nepriamo úmerné.

Odpoveď: + - + + - + + - -(Snímka číslo 10)

Získajte odhad. (snímka číslo 11)

8-9 správnych odpovedí - "5"

6-7 správnych odpovedí - "4"

4-5 správnych odpovedí - "3"

Ústne počítanie: (snímky 12 – 13)

No tak, ceruzky bokom!

Žiadne papiere, žiadne perá, žiadna krieda!

Slovné počítanie! Robíme túto vec

Len silou mysle a duše!

Cvičenie: Nájdite neznámy člen podielu:

Odpovede: 1) 39; 24; 3; 24; 21.

2)10; 3; 13.

Téma lekcie. snímka číslo 14 (Poskytuje motiváciu študentov učiť sa.)

Témou našej lekcie je "Priame a nepriamo úmerné vzťahy."

V predchádzajúcich lekciách sme uvažovali o priamej a nepriamo úmernej závislosti veličín. Dnes v lekcii vyriešime rôzne problémy pomocou proporcií a určíme typ vzťahu medzi údajmi. Zopakujme si hlavnú vlastnosť proporcií. A ďalšia lekcia, na záver na túto tému, t.j. vyučovacia hodina - kontrolná práca.

Na displeji snímka číslo 15

Etapa zovšeobecňovania a systematizácie poznatkov.

1) Úloha 1.

Urobte proporcie na riešenie problémov:(práca v zošitoch)

a)Cyklista prejde 75 km za 3 hodiny. Ako dlho potrvá cyklistovi prejsť 125 km rovnakou rýchlosťou?

b) 8 rovnakých potrubí naplní bazén za 25 minút. Koľko minút bude trvať 10 takýchto rúr na naplnenie bazéna?

c) Tím 8 pracovníkov dokončí úlohu za 15 dní. Koľko pracovníkov dokáže dokončiť túto úlohu za 10 dní pri rovnakej produktivite?

d) Z 5,6 kg paradajok sa získajú 2 litre paradajkovej omáčky. Koľko litrov omáčky možno získať z 54 kg paradajok?

Skontrolujte odpovede. ( Snímka číslo 16) (sebahodnotenie: vložte + alebo - ceruzkounotebooky; analyzovať chyby)

odpovede:a) 3:x=75:125c) 8:x=10:15

b) 8:10= X:2 5 d) 5,6:54=2: X

2) Telesná výchova. (snímka číslo 17-22)

Kvôli stolom sme rýchlo vstali

A kráčali na mieste.

A potom sme sa usmiali

Ťahané vyššie a vyššie.

Sadni si - vstaň, sadni si - vstaň

Nabral silu v priebehu niekoľkých minút.

Narovnajte ramená

Zdvihnúť, znížiť

Odbočte doprava, odbočte doľava

A znova si sadnite za stôl.

3) Vyriešte problém (snímka číslo 23)

№788 (str. 130, Vilenkinova učebnica)(po analýze sami)

Na jar pri ekologizácii mesta boli na ulici vysadené lipy. Akceptovaných bolo 95 % míľnikov vysadených líp. Koľko líp sa vysadilo, ak sa ich zobralo 57?

Prečítajte si úlohu.

Aké dve veličiny sú uvedené v úlohe?(o počte limetiek a ich percentách)

Aký je vzťah medzi týmito veličinami?(priamo úmerné)

Urobte si krátku poznámku, pomer a vyriešte problém.

rozhodnutie:

;
; x = 60.

Odpoveď: Vysadených bolo 60 líp.

4) Vyriešte problém: (snímka č. 24-25) (po analýze sa rozhodnite sami; vzájomná kontrola, potom sa riešenie zobrazí na obrazovke snímka č. 23)

Na vykurovanie budovy školy sa ťažilo uhlie 180 dní pri spotrebe 0,6 tony uhlia denne. Koľko dní vydrží táto rezerva, ak sa denne minie 0,5 tony?

rozhodnutie:

Stručný záznam:

Urobme pomer:

;
;
dni

Odpoveď: 216 dní.

5) č. 793 (s. 131)(analýza poľa sami; sebakontrola.

(Snímka číslo 26)

AT Železná ruda 7 dielov železa predstavuje 3 diely nečistôt. Koľko ton nečistôt je v rude, ktorá obsahuje 73,5 tony železa?

rozhodnutie: (snímka číslo 27)

;
;

Odpoveď: 31,5 kg nečistôt.

6) Zhrnutie výsledkov záverečnej fázy. (snímka číslo 28)

Poďme teda sformulovať algoritmus na riešenie problémov pomocou proporcií.

Algoritmus na priame riešenie problémov

a nepriamo úmerné vzťahy:

Neznáme číslo je označené písmenom x.

Podmienka sa zapisuje formou tabuľky.

Určuje sa typ závislosti medzi veličinami.

Priamo úmerná závislosť je označená rovnako smerovanými šípkami a nepriamo úmerná závislosť je označená opačne orientovanými šípkami.

Podiel sa zaznamená.

Neznámy člen je nájdený.

5. Opakovanie preberanej látky. (snímka číslo 29)

№763 (s)(strana 125)(s komentárom na tabuli)

6. Etapa kontroly a sebakontroly vedomostí a metód konania.
(snímka №30-32)

Samostatná práca (10 - 15 minút) (Vzájomná kontrola: na hotových snímkach si žiaci navzájom kontrolujú samostatnú prácu, pričom nastavujú + alebo -. Učiteľ si na konci hodiny zbiera zošity na prezeranie).

Vyriešte problémy vytvorením proporcií.

№1. Na ceste z jednej obce do druhej rýchlosťou 12,5 km/h strávil cyklista 0,7 hod.. Akou rýchlosťou musel ísť, aby prešiel túto cestu za 0,5 hod.

rozhodnutie:

Stručný záznam:

Urobme pomer:

;
;
km/h

Odpoveď: 17,5 km/h

№2. Z 5 kg čerstvých sliviek sa získa 1,5 kg sušených sliviek. Koľko sušených sliviek sa získa zo 17,5 kg čerstvých sliviek?

rozhodnutie:

Stručný záznam:

Urobme pomer:

;
;
kg

Odpoveď: 5,25 kg

№3. Auto najazdilo 500 km, pričom minulo 35 litrov benzínu. Koľko litrov benzínu potrebujete na prejdenie 420 km?

rozhodnutie:

Stručný záznam:

Kapitola 3 VZŤAHY A PROPORCIE

Proporcie môžu byť použité na riešenie problémov.

Viete napríklad, že hodnota tovaru závisí od jeho množstva: čím viac sa tovar nakúpi, tým väčšia bude jeho hodnota. Takéto množstvá sa nazývajú priamo úmerné.

Pamätajte!

O dvoch množstvách sa hovorí, že sú priamo úmerné, ak keď sa jedna veličina niekoľkokrát zvýši (zníži), druhá sa zvýši (zníži) o rovnaký počet krát.

Úloha 1. Za 2 kg sladkostí zaplatili 72 UAH. Koľko bude stáť 4,5 kg týchto sladkostí?

Riešenia.

Poznámka:

ak sú dve veličiny priamo úmerné, potom je pomer tvorený pomerom zodpovedajúcich hodnôt týchto veličín.

V praxi okrem priamej úmernej závislosti veličín existuje aj nepriamo úmerná závislosť. Napríklad cestou do školy, keď sa kráti čas, zvyšujete rýchlosť pohybu, aby ste nemeškali na vyučovanie. Preto rýchlosť vášho pohybu závisí od hodiny pohybu: čím kratší je čas pohybu, tým väčšia bude vaša rýchlosť. Takéto množstvá sa nazývajú nepriamo úmerné.

Pamätajte!

Dve veličiny sa nazývajú nepriamo úmerné, ak keď sa jedna veličina niekoľkokrát zvýši (zníži), druhá veličina sa zníži (zväčší) o rovnaký počet krát.

Úloha 2. Auto, pohybujúce sa rýchlosťou 90 km/h, prešlo vzdialenosť z Čerkasy do Kyjeva za 2 h 3 akou rýchlosťou sa pohyboval v opačnom smere, ak vzdialenosť z Kyjeva do Čerkasy prekonal za 2,5 h?

Riešenia.

Poznámka:

ak sú dve veličiny nepriamo úmerné, potom je pomer tvorený vzájomnými inverznými pomermi zodpovedajúcich hodnôt týchto veličín.

Sú dve veličiny vždy priamo úmerné alebo nepriamo úmerné? Poďme diskutovať. Napríklad počas choroby môže teplota dieťaťa stúpať a klesať niekoľko dní. A tu neexistuje žiadna závislosť, čo znamená, že nemôže existovať žiadna proporcionalita. Ale rast dieťaťa sa s pribúdajúcim vekom neustále zvyšuje. V dôsledku toho existuje vzťah medzi veličinami, čo znamená, že existuje dôvod analyzovať pomery k týmto veličinám. Je zrejmé, že tu neexistuje žiadna proporcionálna závislosť, preto nie je potrebné presne zisťovať, ako sú tieto pomerné veličiny priamo alebo naopak. Ak sú dve veličiny úmerné, potom sú možné len dve možnosti, ktoré sa navzájom vylučujú - buď priama úmernosť alebo nepriama úmernosť.

Dozvedieť sa viac

Meno talianskeho matematického mnícha je nepriamo spojené s históriou zlatého rezu. Leonardo z Pisy (1180 – 1240 str.), známejší ako Fibonacci (syn Bonacciho).

Veľa cestoval po východe, predstavil Európe indické (arabské) číslice. V roku 1202 vyšlo jeho matematické dielo „The Book of the Abacus“ (počítacie dosky), v ktorom boli zhromaždené všetky v tom čase známe problémy. Jedna z úloh znela: „Koľko párov králikov sa narodí z jedného páru za jeden rok?“. Argumentujúc na túto tému, Fibonacci vytvoril nasledujúcu sériu čísel:

0, 1, 1,2, 3, 5, 8, 13,21, 34,55, ... .

Teraz je táto postupnosť čísel známa ako Fibonacciho séria. Zvláštnosťou tejto postupnosti čísel je, že každý z jej členov, počnúc od tretieho, sa rovná súčtu predchádzajúcich dvoch:

0 + 1 = 1; 1+1 = 2; 1+2 = 3; 2 + 3 = 5;

3 + 5 = 8; 5 + 8=13; 8 + 13 = 21; 13 + 21=34

podobne a pomer susedných čísel radu sa blíži pomeru zlatého rezu. Napríklad:

21:34 = 0,617, a34:55 = 0,618.

PAMATUJTE SI HLAVNÉ VECI

1. Aké veličiny sa nazývajú priamoúmerné? Uveďte príklady.

2. Ako riešite problémy priamej úmernosti?

3. Aké veličiny sa nazývajú nepriamo úmerné? Uveďte príklady.

4. Riešim problémy s nepriamou proporcionalitou?

5. Sú dve veličiny vždy úmerné?

589". Dve hodnoty sú priamo úmerné. Ako sa zmení jedna hodnota, ak sa druhá: a) zvýši 5-krát; b) zníži 2-krát?

Vysvetlite odpoveď.

590". Podľa stavu problému urobili skrátený záznam:

1)3-36, 2) 70-3, 3) 2-100,

4-48; 60-2; 4-50.

Sú tieto množstvá priamo úmerné?

591". Dve hodnoty sú nepriamo úmerné, Ako sa zmení jedna hodnota, ak druhá:

a) zvýši sa 4-krát; b) znížiť 6-krát?

Vysvetlite odpoveď.

592". Podľa stavu problému urobili skrátený záznam:

1) 80-4, 2)3-18, 3)10-8,

160 - 2; 5 - 30; 4 - 20.

Sú tieto množstvá nepriamo úmerné?

593 °C. Určite, či je táto závislosť veličín priamo úmerná:

1) náklady na tovar zakúpený za jednu cenu a množstvo tovaru;

2) hmotnosť škatule so sladkosťami a počet rovnakých sladkostí v škatuli;

3) dráhu, ktorú vozidlo prešlo konštantnou rýchlosťou, a čas pohybu;

4) rýchlosť pohybu a čas pohybu na prekonanie určitej vzdialenosti;

5) hmotnosť a výška osoby;

b) hmotnosť bobúľ a hmotnosť cukru na výrobu džemu;

7) obvod obdĺžnika a dĺžka jednej z jeho strán;

8) dĺžka strany štvorca a jeho obvod.

594 °C. Zo skráteného zápisu úlohy nájdite x, ak sú veličiny priamo úmerné.

1) 3 kg sladkostí -36 UAH, 2) 15 častí - 3 hodiny,

6 kg sladkostí x; x -2 hodiny.

595 °C. Koľko stojí 10 kg sladkostí, ak sa za 4 kg takýchto sladkostí zaplatí 128 UAH?

596 °C. Za 3 kg jabĺk zaplatili 24 UAH. Koľko stojí 7 kg týchto jabĺk?

597 °C. Loď prešla 80 km za 4 hodiny. Ako ďaleko prejde loď za 2 hodiny rovnakou rýchlosťou?

598 °C. Turista prešiel 20 km za 5 hodín. Koľko hodín trvá turistovi prejsť vzdialenosť 28 km pri rovnakej rýchlosti?

599 °C. Pri pečení chleba z 1 kg ražnej múky sa získa 1,4 kg chleba. Koľko múky je potrebné na získanie 42 centov chleba?

600°. Z 3 kg surových kávových zŕn sa získa 2,5 kg pražených zŕn. Koľko kilogramov surových kávových zŕn potrebujete vziať, aby ste získali 10 kg praženej?

601°. Auto prešlo vzdialenosť 210 km za 3 hodiny. Aká vzdialenosť je pre auto ľahšia za 2 hodiny pri pohybe rovnakou rýchlosťou?

602°. Gibon opica bez chvosta, ktorá skáče zo stromu na strom, prekoná vzdialenosť 32 km za 2 hodiny. Ako ďaleko prejde gibon za 3 hodiny?

603°. Určite, či je táto závislosť veličín nepriamo úmerná:

1) cena tovaru a kúpna cena;

2) hmotnosť škatule so sladkosťami a jej hodnota;

3) rýchlosť pohybu a čas pohybu na prekonanie určitej vzdialenosti;

4) rýchlosť auta a dráhu, ktorú prešlo konštantnou rýchlosťou;

5) množstvo vykonanej práce a čas jej vykonania;

6) produktivita práce a čas na jej vykonanie určitého množstva práce;

7) počet áut a náklad, ktorý prepravia za určitý čas;

8) dĺžka strany štvorca a jeho plocha.

604°. Pomocou skráteného zápisu úlohy nájdite x, ak sú veličiny nepriamo úmerné.

1) 3 h – 80 km/h, 2) 5 – 8 pracovných dní,

4 h - x; x -10 dní.

605°. 3 stolári zrealizovali zákazku na výrobu nábytku za 12 dní. Za koľko dní vybaví zákazku 6 stolárov, ak je ich produktivita práce rovnaká?

606°, Za koľko dní dokončí úlohu 6 pracovníkov, ak 2 pracovníci dokážu túto úlohu splniť za 9 dní?

607 °C. Klokan červený sa pohyboval 3 hodiny rýchlosťou 55 km/h. Aká by mala byť rýchlosť kengury, aby túto vzdialenosť prekonala za 2,5 hodiny?

608°. Aká by mala byť rýchlosť vlaku podľa nového grafikonu, aby vzdialenosť medzi dvoma stanicami prekonal za 4 hodiny, ak ju podľa starého grafikonu pri rýchlosti 100 km/h prekonal za 5 hodín ?

609. Za 4 kg koláčikov zaplatili 56 UAH. Koľko budú 3 kg sladkostí stáť o 2 UAH viac ako cena koláčikov?

610. 5 kg jabĺk stojí 40 UAH. Nájdite cenu 2 kg hrušiek, ktorých cena je o 4 UAH vyššia ako cena jabĺk.

611. Nástenné hodiny kyvadlo vykonajú 730 výkyvov za 15 minút. Koľko kmitov urobí za 1 hodinu? Ako dlho trvá, kým kyvadlo urobí 2190 kmitov?

612. Natália zaplatila 60 UAH za 24 notebookov. Koľko stojí 20 týchto notebookov? Koľko z týchto notebookov sa dá kúpiť za 45 UAH?

613. V plechovke je 12 litrov mlieka. Rovnomerne sa nalialo do 6 plechoviek. Koľko litrov mlieka je v každej nádobe? Koľko trojlitrových nádob sa dá naplniť mliekom z tejto plechovky?

614. Vodovodným kohútikom pretečie za minútu 6 litrov vody. Koľko vody vytečie z kohútika za pol hodinu? Ako dlho bude trvať, kým kohútikom pretečie 27 litrov vody?

615. Vzdialenosť medzi stanicami je 360 ​​km. Ako dlho bude vlaku trvať, kým prejde 90 km za jednu hodinu? Aká musí byť rýchlosť vlaku, aby prekonal túto vzdialenosť za 4 hodiny a 30 minút?

616. Vzdialenosť medzi obcami je 18 km. O koľko ľahší je dojazd pre cyklistu, ktorého rýchlosť je 12 km/h? Akou rýchlosťou sa musí chodec pohybovať, aby prekonal túto vzdialenosť za 6 hodín?

617. Dva traktory orali pole za 6 dní. Koľko dní budú trvať 4 traktory na prekopanie tohto poľa, ak budú pracovať s rovnakou produktivitou práce? Koľko traktorov je potrebných na oranie tohto poľa za 2 dni?

618. Osem kamiónov dokáže prepraviť náklad za 3 dni. Za koľko dní stihne prepraviť tovar 6 takýchto kamiónov? Koľko kamiónov bude potrebných na prepravu tohto nákladu za 2 dni?

619. Vytvorte a vyriešte úlohu pre:

1) priama úmernosť, na riešenie ktorej musíte urobiť pomer

2) inverzná proporcionalita, na riešenie ktorej musíte vytvoriť pomer x: 4 \u003d 120: 160.

620. Vymyslite a vyriešte úlohu pre: 1) priamu úmernosť, na riešenie ktorej je potrebné urobiť pomer

2) inverzná proporcionalita, na riešenie ktorej je potrebné vytvoriť pomer 3: x \u003d 90: 60.

621*. Tarasik sa zo železničnej stanice dostane do dediny za 20 minút. Ako dlho mu bude trvať cesta na bicykli zo stanice do dediny, ak rýchlosť jeho pohybu na bicykli je 2-krát väčšia ako rýchlosť pohybu pešo?

622*. Majster, ktorý pracuje samostatne, dokončí prácu za 3 dni a spolu so študentom - za 2 dni. Za koľko dní môže študent túto prácu dokončiť sám?

623*. Dima zabehne 4 kolá na bežiacom páse za rovnaký čas ako Katya zabehne 3 kolá. Káťa zabehla 12 kôl. Koľko kôl zabehol Dima počas tejto doby?

624*. Voda sa dá z bazéna odčerpať za 1 hodinu a 15 minút. Ako dlho po začatí prác bude v bazéne 0,2 z množstva vody, ktoré bolo pôvodne?

APLIKOVAŤ V PRAXI

625. Na tlač knihy sa malo umiestniť 28 riadkov na každú stranu, 40 písmen v každom riadku. Ukázalo sa však, že je účelnejšie umiestniť na každú stranu 35 riadkov. Koľko písmen sa v tomto prípade umiestni do každého riadku písmen počas tlače tejto knihy, ak sa počet písmen na strane nezmení?

626. Na prípravu 12 koláčov treba vziať bielkovinu z jedného vajca a 3 polievkové lyžice cukru. Koľko z týchto produktov treba vziať na prípravu 24 takýchto hromádok? Koľko koláčov dostanete, ak máte 3 vajcia?

OPAKOVACIE ÚLOHY

627. Aké číslo treba zadať do poslednej bunky reťazca?

628. Vyriešte rovnicu:

Tieto dve veličiny sú tzv priamo úmerné, ak pri viacnásobnom zvýšení jedného z nich sa o rovnakú sumu zvýši aj druhý. Preto, keď sa jeden z nich niekoľkokrát zníži, druhý sa zníži o rovnakú hodnotu.

Vzťah medzi takýmito veličinami je priamo úmerný vzťah. Príklady priamej úmernosti:

1) pri konštantnej rýchlosti je prejdená vzdialenosť priamo úmerná času;

2) obvod štvorca a jeho strana sú priamo úmerné;

3) náklady na tovar zakúpený za jednu cenu sú priamo úmerné jeho množstvu.

Ak chcete rozlíšiť priamu úmernosť od inverznej, môžete použiť príslovie: "Čím ďalej do lesa, tým viac dreva."

Úlohy pre priamo úmerné veličiny je vhodné riešiť pomocou proporcií.

1) Na výrobu 10 dielov je potrebných 3,5 kg kovu. Koľko kovu sa spotrebuje na výrobu 12 takýchto dielov?

(Hádame sa takto:

1. Do vyplneného stĺpca umiestnite šípku v smere od najväčšieho čísla po najmenšie.

2. Čím viac častí, tým viac kovu je potrebné na ich výrobu. Ide teda o priamo úmerný vzťah.

Na výrobu 12 dielov nech je potrebných x kg kovu. Vypracujeme pomer (v smere od začiatku šípky po jej koniec):

12:10=x:3,5

Aby sme našli , musíme rozdeliť súčin extrémnych výrazov známym stredným výrazom:

To znamená, že bude potrebných 4,2 kg kovu.

Odpoveď: 4,2 kg.

2) Za 15 metrov látky sa zaplatilo 1680 rubľov. Koľko stojí 12 metrov takejto látky?

(1. Do vyplneného stĺpca umiestnite šípku v smere od najväčšieho čísla po najmenšie.

2. Čím menej látky kúpite, tým menej za ňu zaplatíte. Ide teda o priamo úmerný vzťah.

3. Preto druhá šípka smeruje rovnakým smerom ako prvá).

Nech stojí x rubľov 12 metrov látky. Tvoríme pomer (od začiatku šípky po jej koniec):

15:12=1680:x

Aby sme našli neznámy extrémny člen podielu, vydelíme súčin stredných členov známym extrémnym členom podielu:

Takže 12 metrov stojí 1344 rubľov.

Odpoveď: 1344 rubľov.

Trieda: 6

Vo svojej práci používam rôzne formy a vyučovacích metód sa snažím využívať rôznorodé metódy organizácie výchovno-vzdelávacej činnosti tak, aby žiaci mali záujem o prácu v triede. Iba v tomto prípade sa zvyšuje kognitívna aktivita študentov, myslenie začína pracovať produktívnejšie a tvorivejšie. Jedným z prostriedkov zvýšenia záujmu o predmet je využívanie informačných technológií.

Využitie výpočtovej techniky na vyučovacích hodinách umožňuje priebežne meniť formy práce, neustále striedať ústne a písomné cvičenia, realizovať rôzne prístupy k riešeniu matematických úloh, a to neustále vytvára a udržiava intelektuálne napätie žiakov, formuje ich stály záujem o štúdium tohto predmetu.

Skupinová práca v triede stimuluje kognitívnu aktivitu žiakov, podporuje ich zapojenie do tvorivých činností a komunikácie. V procese samostatnej práce sa žiaci sami snažia riešiť problémy, vzdelávanie sa mení na sebavýchovu.

Plnenie tvorivých úloh prispieva k aplikácii školských vedomostí v reálnych životných situáciách.

Typ lekcie: kombinovaná lekcia

Ciele lekcie:

• poznávacie:
  • zabezpečiť vedomú asimiláciu konceptu priamej a nepriamej úmernosti študentmi pri riešení problémov;
  • overiť úroveň vedomostí o danej téme rôzne formy práca.
• Vzdelávacie:
  • aktivovať duševnú aktivitu študentov prostredníctvom účasti každého z nich v procese práce;
  • rozvíjať pozornosť, pamäť, intelektuálne a tvorivé schopnosti;
  • rozvíjať emocionálna sféraštudenti v procese učenia;
  • rozvíjať kontrolu a sebakontrolu.
• Vzdelávacie:
  • formovať zmysel pre spoluprácu, vzájomnú pomoc;
  • formovať praktické zručnosti;
  • vzbudiť záujem o študovaný predmet.

Plán lekcie:

1. Organizačný moment (2 min.)
2. Mentálny účet (4 min.)
3. Analýza úloh riešených študentmi (5 min.)
4. Telesná výchova (2 min.)
5. Upevňovanie preberanej látky, skupinová práca (16 min.)
6. samostatná práca (13 min.)
7. Zhrnutie lekcie (2 min.)
8. Domáca úloha (1 min.)

POČAS VYUČOVANIA

1. Organizačný moment

Vzájomný pozdrav, zaznamenanie témy hodiny. Organizácia práce s kartami sebakontroly.

2. Opakovanie učiva

a) Riešenie úloh dvoch študentov na tabuli pre priamu a nepriamu úmernosť
b) zvyšok slovne zopakuje základné pojmy:

• ako sa volajú čísla x a y v pomere x: a = b: y?
• rovnosť dvoch vzťahov sa nazýva...
• Čo je to priama úmernosť?
• aký druh vzťahu je nepriamo úmerný?
• stotina čísla je...

Práca s kartami sebakontroly (maximálny počet bodov - 1).

3. Mentálny účet

1. Hra "Ticho"

a) Ktorú z rovníc možno nazvať proporciami?

Ak je pomer správny, študenti zdvihnú zelené karty, ak nie, potom červené.

b) Sú nasledujúce vzťahy priamo alebo nepriamo úmerné?

1) počet čitateľov z počtu kníh v knižnici;
2) dráhu prejdenú automobilom konštantnou rýchlosťou a časom jeho pohybu;
3) vek osoby a veľkosť jej topánok;
4) obvod štvorca a dĺžka jeho strán;
5) rýchlosť a čas počas prechodu toho istého úseku cesty.

Ak je tvrdenie pravdivé, potom žiaci zdvihnú zelené karty, ak nie, potom červené.

Pracujte s kartami sebakontroly (maximálne skóre za ústne hodnotenie 2).

2. Analýza úloh, ktoré žiaci riešili na tabuli.

a) Lastovička preletela určitú vzdialenosť za 0,5 hodiny rýchlosťou 50 km/h. Za koľko minút preletí rýchlik rovnakú vzdialenosť, ak je jeho rýchlosť 100 km/h?

rozhodnutie:

Nech x hodín je čas letu swifta.

0,25 h = 25/100 = 1/4 h = 15 min.

Odpoveď: 15 minút.

b) Do cukrovaru bola privezená repa, z ktorej sa získava 12 % cukru. Koľko cukru sa získa z 30 ton repy tejto odrody?

rozhodnutie:

Nech vyjde x ton cukru.

Odpoveď: 3,6 tony

4. Telesná výchova

5. Skupinová práca

Na stoloch máte karty. Majú 4 úlohy. Skupiny 1, 3, 5 rozhodujú počnúc číslom 1. Skupiny 2, 4, 6 sa rozhodnú od čísla 4 (v opačnom poradí).

1) 80 kg zemiakov obsahuje 14 kg škrobu. Nájdite percento škrobu v takom zemiaku.

rozhodnutie:

Nech sa v zemiakoch nachádza x % škrobu.

17,5 % tvorí škrob.

Odpoveď: 17, 5 %

2) Z jednej dediny do druhej po rieke preplávate za 1,5 hodiny Ako dlho bude trvať motorovému člnu túto cestu, ak rýchlosť člna je 3 km/h a rýchlosť člna je 13,5 km /h?

rozhodnutie:

Nech x hodín je čas lode

Odpoveď: 20 minút

3) Pri čistení slnečnicových semien je 28% šupka. Koľko čistého zrna sa získa zo 150 ton slnečnicových semien?

rozhodnutie:

Nech vyjde x t zŕn.

150 – 42 = 108 (t)

108 ton obilia.

Odpoveď: 108 ton

4) Na prepravu nákladu bolo potrebných 48 áut s nosnosťou 7,5 tony Koľko áut s nosnosťou 4,5 tony je potrebných na prepravu toho istého nákladu?

rozhodnutie:

Nech si zoberie x áut s nosnosťou 4,5 tony.

Odpoveď: 80 áut.

Kontrola riešenia úloh na tabuli.

Práca s kartami sebaovládania (maximálny počet bodov - 8; každá úloha 2 body)

5. Samostatná samostatná práca 4 možnosti.

I možnosť

1) Otec zaplatil 48 rubľov za 4 rovnaké škatuľky ceruziek. Koľko stojí 7 týchto krabičiek ceruziek?

2) Traja žiaci vyplili záhradu za 4 hodiny. Koľko hodín bude trvať 2 študentom, kým dokončia rovnakú úlohu?

možnosť II

1) Pri varení mäsa zostáva 65% hmoty. Koľko vareného mäsa sa získa z 2 kg surového mäsa?

2) Štyria murári môžu dokončiť prácu za 15 dní. Za koľko dní môžu traja murári dokončiť túto prácu?

III možnosť

1) Lipový kvet stráca 74% svojej hmotnosti. Koľko suchého lipového kvetu možno získať z 300 kg čerstvého?

2) Motocyklista cestoval 3 hodiny rýchlosťou 60 km/h. Koľko hodín mu bude trvať, kým prejde rovnakú vzdialenosť rýchlosťou 45 km/h?

IV možnosť

1) Kubánski farmári nám ponúkajú cukrovú trstinu na výrobu cukru. Cukrová trstina pri spracovaní na cukor stráca 91 % svojej pôvodnej hmoty. Koľko cukrovej trstiny je potrebné na získanie 900 kg cukru?

2) V horúci deň vypilo sud kvasu 6 kosačiek za 1,5 hodiny Koľko kosačiek vypije ten istý sud za 3 hodiny?

7. Zhrnutie lekcie

Aké typy problémov sme riešili na hodinách?

Študenti zhrnú lekciu do kariet sebakontroly a udeľujú známky

16-17 bodov - "5"
13-15 bodov - "4"
9-12 bodov - "3"

– Ciele hodiny boli dosiahnuté a čo je najdôležitejšie, práca prebiehala v tvorivej atmosfére.

8. Domáce úlohy

Opakujte kroky 13-18.

Úloha z učebnice:č. 817, č. 812, odlíšené č. 818.

Literatúra

1. Učebnica matematiky pre 6. ročník vzdelávacích inštitúcií, autori: N. Ya.Vilenkin, V. I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd, Moskva. "Mnemosyne", 2011.
2. Zbierka testových úloh na tematickú a záverečnú kontrolu Matematika 6. ročníka Moskva, "Intellect Center" 2009.
3. A. I. Ershova, V.V. Goloborodko. Matematika 6. Samostatná a kontrolná práca.- M: Ileksa, 2011.