Bir fonksiyonun tanımını, nasıl tanımlanacağını tartışın. Özet - Sayısal fonksiyonlar ve özellikleri. Doğrudan ve ters orantılılık - dosya n1.doc Sayısal fonksiyonlar ve özellikleri konusunun genelleştirilmesi

n1.doc

OGO DPT Ryazan Pedagoji Koleji

MAKALE

Konu: “Sayısal fonksiyonlar ve özellikleri. Doğrudan ve ters orantılı bağımlılıklar»

Titova Elena Vladimirovna

Uzmanlık: 050709 "Okul öncesi eğitim alanında ek eğitim ile ilköğretim sınıflarında öğretim"

Kurs: 1 Grup: 2

Bölüm: okul

Başkan: Pristuplyuk Olga Nikolaevna
Ryazan

Giriş…………………………………………………………………3
teorik kısım

1. 
   sayısal fonksiyonlar

1.2 İşlevleri ayarlama yolları………………………………………………….6
1.3 Fonksiyon Özellikleri ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………
2. Doğrudan ve ters orantı

2.1 Doğrudan orantılılık kavramı………………..9
2.2 Doğrudan orantılı ilişkinin özellikleri…………………………………………….10
2.3 Ters orantılılık kavramı ve özellikleri…………………………………………………………………-
pratik kısım

3.1 İlk matematik dersinde fonksiyonel propaedeutics ... .11

3.2 Orantılı olarak bağımlı nicelikler için problem çözme……18
Sonuç………………………………………………………..21

Kullanılmış literatür listesi………………………………..22

Tanıtım

Matematikte, büyüklük kavramı ile birlikte bir fonksiyon fikri ortaya çıktı. Geometrik ve mekanik temsillerle yakından ilişkiliydi. İşlev terimi (Latince - performanstan) ilk kez 1694'te Leibniz tarafından tanıtıldı. İşlev olarak, belirli bir çizgiyi tanımlayan bir noktayla ilişkili apsisleri, koordinatları ve diğer bölümleri anladı.
XVIII yüzyılın ilk yarısında. fonksiyon kavramının görsel bir temsilinden analitik bir tanıma geçiş oldu. İsviçreli matematikçi Johann Bernoulli ve daha sonra akademisyen Leonhard Euler, fonksiyonun

Bu analitik ifade, değişken ve sabitten oluşur.

Başka bir deyişle, işlev farklı formül türleri ile ifade edilir: y=ax+b, y==axІ+bx+c, vb.
Bugün bir fonksiyonun sadece matematiksel dilde değil, grafiksel olarak da ifade edilebileceğini biliyoruz. Bu yöntemin öncüsü Descartes'tır. Bu keşif, matematiğin daha da gelişmesinde büyük rol oynadı: noktalardan sayılara, doğrulardan denklemlere, geometriden cebire bir geçiş oldu. Böylece sorunları çözmek için ortak yöntemler bulmak mümkün hale geldi.
Öte yandan, koordinat yöntemi sayesinde geometrik olarak farklı bağımlılıkları tasvir etmek mümkün hale geldi.
Böylece grafikler, nicelikler arasındaki ilişkinin doğasının görsel bir temsilini verir; genellikle bilim ve teknolojinin çeşitli alanlarında kullanılırlar.

Modern okul eğitiminin gelişimindeki ana eğilimler, eğitim sürecinin organizasyonuna insancıllaştırma, insancıllaştırma, aktiviteye dayalı ve öğrenci merkezli yaklaşım fikirlerine yansır.

Bir genel eğitim okulunda matematik öğretiminin temelinde eğitimin gelişimsel işlevinin önceliği ilkesi ön plana çıkmaktadır.

Bu nedenle, ilkokulda sayısal işlev kavramının incelenmesi, okul çocuklarının matematiksel temsillerinin oluşumunda oldukça önemli bir bileşendir. öğretmen için ilkokul Bu kavramın çalışmasına odaklanmak gerekir, çünkü gelecekte çocukların bilim dünyasına girmesine yardımcı olacak işlev ile insan faaliyetinin birçok alanı arasında doğrudan bir ilişki vardır.

Ayrıca , Öğrenciler, kural olarak, fonksiyon kavramının tanımını resmi olarak öğrenirler, fonksiyonel bağımlılığa dair bütünsel bir görüşe sahip değildirler, yani. bilgilerini matematiksel ve pratik problemlerin çözümüne uygulayamazlar; bir işlevi yalnızca değişkenin bulunduğu bir analitik ifadeyle ilişkilendirin. de değişken cinsinden ifade edilir x; farklı modellerde bir fonksiyonun temsillerini yorumlayamaz; özelliklerine göre fonksiyon grafikleri çizerken zorlanır, vb.

Bu zorlukların nedenleri, cebir dersinde işlevsel materyalleri çalışma yöntemiyle değil, aynı zamanda öğrencilerin "fonksiyon" kavramının algılanması ve özümsenmesi için düşünmelerinin hazırlıksızlığı ile de ilişkilidir.
Bu, “fonksiyon” kavramının tanıtılmasından önce, işlevsel düşünme becerilerinin oluşumu üzerinde çalışmak gerektiği anlamına gelir, böylece “genel fonksiyonel bağımlılık fikrinin öğrencilerin bilincine girmesi gerektiği anda, bu bilinç, yalnızca yeni bir kavramın ve ilgili fikirlerin ve becerilerin biçimsel olarak algılanması için değil, nesnel ve etkili olana da yeterince hazırlanmıştı” (A.Ya. Khinchin)

1. Sayısal işlevler

1.1 Matematikte fonksiyonel bağımlılık kavramının gelişimi

Matematiğin en önemli bileşeni olan işlevsel bağımlılığı öğretme alanında pedagojik fikirlerin gelişim sürecini analiz edelim.

Okul dersinin matematik dersinin işlevsel çizgisi cebir, cebir ve analizin başlangıcında önde gelen derslerden biridir. Ana özellik Eğitim materyali Bu çizgi, matematik öğretiminde çeşitli bağlantılar kurmak için kullanılabilmesidir.

Birkaç yüzyıl boyunca, fonksiyon kavramı değişti ve gelişti. Okul matematik dersinde fonksiyonel bağımlılığı inceleme ihtiyacı, ikinci yüzyıldan beri pedagojik basının ilgi odağı olmuştur. XIX'in yarısı Yüzyıl. M. V. Ostrogradsky, V. N. Shklarevich, S. I. Shokhor-Trotsky, V. E. Serdobinsky, V. P. Sheremetevsky gibi tanınmış metodolojistler tarafından çalışmalarında bu konuya çok dikkat edildi.
Fonksiyonel bağımlılık fikrinin gelişimi birkaç aşamada ilerledi:

İlk adım- fonksiyon kavramını (esas olarak analitik bir ifade yoluyla) okul matematik dersine sokma aşaması.

İkinci aşama lise cebiri dersine fonksiyon kavramının dahil edilmesi, temel olarak fonksiyonel bağımlılığın grafiksel bir temsiline geçiş ve çalışılan fonksiyonların kapsamının genişlemesi ile karakterize edilir.

Üçüncü sahne Rus okulunun gelişimi 20'li yıllarda başladı. yirminci yüzyıl. Metodolojik literatürün analizi Sovyet dönemi fonksiyon kavramının okul matematik müfredatına girmesine ateşli tartışmaların eşlik ettiğini gösterdi ve metodolojistlerin görüşlerinde farklılıklar olan dört ana sorunu belirlememize izin verdi, yani:

1) işlev kavramını öğrenciler tarafından çalışmanın amacı ve önemi;

2) fonksiyon tanımlama yaklaşımları;

3) fonksiyonel propaedeutics konusu;

4) okul matematiği dersinde işlevsel materyalin yeri ve hacmi.

dördüncü aşama RSFSR ekonomisinin planlı bir temele aktarılması nedeniyle

1934'te okul, A.P. Barsukov'un editörlüğü altında revize edilen A.P. Kiselev "Cebir" tarafından iki bölümden oluşan ilk kararlı ders kitabını aldı.

İkinci bölümde "Fonksiyonlar ve grafikleri", "İkinci dereceden fonksiyon" bölümleri yer aldı. Ek olarak, "Derece kavramının genelleştirilmesi" bölümünde üstel fonksiyon ve grafiği ve "Logaritmalar" bölümünde - logaritmik fonksiyon ve grafiği ele alınmıştır.

İçinde fonksiyonun bir değişken kavramı ile tanımlanmasıydı: "Sayısal değerleri bir başkasının sayısal değerlerine bağlı olarak değişen bu değişkene bağımlı değişken veya başka bir değişkenin işlevi denir. " Ancak, yazışma fikrini yansıtmaz ve analitik bir ifadeden söz edilmez, bu da bu tanımın önemli bir dezavantajı olduğu sonucuna varmamızı sağlar.
I. Ya. Khinchin, eserlerinde bu soruna çok dikkat etti.

Bilim adamı, bir işlev fikrinin oluşumunu öğretimde formalizmin bir tezahürü olarak gördü. Lisede fonksiyon kavramının yazışma kavramı temelinde incelenmesi gerektiğine inanıyordu.

Bu dönem, işlevleri incelemek için zaman eksikliği, kötü tasarlanmış alıştırma sistemleri, öğrencilerin yanlış anlamaları ile karakterizedir. gerçek öz fonksiyon kavramları, düşük seviye okul mezunlarının işlevsel ve grafik becerileri.

Bu nedenle, ortaokullarda matematik öğretiminde yeniden reform yapma ihtiyacı ortaya çıktı. Tüm okul matematiğinin küme-teorik yaklaşım temelinde yeniden yapılandırılması, işlevsel bağımlılık fikrinin geliştirilmesinde beşinci aşamayı işaret etti. Küme teorisi yaklaşımı fikri, Nicolas Bourbaki takma adı altında bir araya gelen bir grup Fransız bilim adamı tarafından üstlenildi. Roymond şehrinde (Fransa, 1959), tüm geleneksel kursların kaldırılmasının ilan edildiği uluslararası bir konferans düzenlendi. Odak, küme teorisine dayalı tüm okul matematiğinin yapıları ve birleşimleri üzerindeydi.

Reform fikirlerinin geliştirilmesinde önemli bir rol, yazarın erken ve uzun vadeli işlevsel propaedeutiğin önemine dikkat çektiği, bir dizi ön-çalışma gerçekleştirmeyi içeren alıştırmaların kullanılmasını önerdiği VL Goncharov'un makaleleri tarafından oynandı. aynı verilen değişmez ifadede belirtilen sayısal ikameler.

Programların ve ders kitaplarının istikrara kavuşturulması, öğrencilerin işlevsel bilgilerinin kalitesinde olumlu değişikliklerin ortaya çıkmasına zemin hazırladı. Altmışlı yılların sonlarında ve yetmişli yılların başlarında, birlikte olumsuz geribildirim, basında okul mezunlarının işlevler ve programlar hakkındaki bilgilerinde belirli bir gelişme olduğu ortaya çıkmaya başladı. Ancak, öğrencilerin genel matematiksel gelişim düzeyi bir bütün olarak yetersiz kalmıştır. Okul matematik müfredatı örgün eğitime çok fazla zaman ayırmaya devam etti ve öğrencilerin bağımsız öğrenme yeteneklerini geliştirmeye yeterince dikkat etmedi.

1. 
   1.2 İşlevleri ayarlama yolları

Böyle, sayısal işlev X kümesindeki her sayının R kümesindeki tek bir sayıya karşılık geldiği, reel sayıların sayısal kümesi R arasındaki bir yazışmadır.

Buna göre X, fonksiyonun (OOF) alanını temsil eder.

İşlevin kendisi küçük Latin harfleriyle (f, d, e, k) gösterilir.

Eğer f fonksiyonu X kümesinde tanımlanmışsa, X kümesinden x sayısına karşılık gelen y gerçek sayısı f(x) olarak gösterilir (y=f(x)).

x değişkeni denir argüman. Tüm x için f(x) biçimindeki sayılar kümesine denir. fonksiyon aralığıF.

Çoğu zaman, işlevler ayarlanır çeşitli tipler formüller: y=2x+3, y=xІ, y=3xі, y=?3xІ, burada x gerçek bir sayıdır, y ona karşılık gelen tek sayıdır.

Ancak, bir formül kullanarak belirtebilirsiniz bir çok farkı yalnızca tanım alanı tarafından belirlenen işlevler:

Y= 2x-3, burada x reel sayılar kümesine aittir ve y=2x-3,

X - doğal sayılar kümesine ait.

Genellikle, bir formül kullanarak bir fonksiyon belirtilirken, OOF belirtilmez (OOF, f (x) ifadesinin alanıdır).

Sayısal fonksiyonları görsel olarak temsil etmek de oldukça uygundur, yani. koordinat düzlemini kullanarak.
1.3 İşlev özellikleri.

Diğerleri gibi, sayısal işlevlerin özellikleri vardır:

Artan, azalan, monotonluk, bir fonksiyonun tanım alanı ve kapsamı, sınırlılık ve sınırsızlık, düzgünlük ve teklik, periyodiklik.

Bir işlevin kapsamı ve kapsamı.

İlköğretim matematikte, işlevler yalnızca gerçek sayılar kümesi R üzerinde incelenir. Bu, bir işlevin argümanının yalnızca işlevin tanımlandığı gerçek değerleri alabileceği anlamına gelir, yani. ayrıca sadece gerçek değerleri kabul eder. y = f(x) fonksiyonunun tanımlandığı x argümanının tüm kabul edilebilir gerçek değerlerinin X kümesine fonksiyonun alanı denir. Bir fonksiyonun aldığı tüm gerçek y değerlerinin Y kümesine fonksiyonun aralığı denir. Şimdi bir fonksiyonun daha kesin bir tanımını verebiliriz: X ve Y kümeleri arasındaki uygunluk kuralına (yasası), buna göre X kümesindeki her öğe için Y kümesinden bir ve yalnızca bir öğenin bulunabileceğine a denir. işlev.

Aşağıdaki durumlarda bir fonksiyonun verilmiş olduğu kabul edilir: X fonksiyonunun kapsamı verilmişse; Y fonksiyonunun değer aralığı verilir; yazışma kuralı (yasası) bilinir ve öyle ki, argümanın her değeri için fonksiyonun sadece bir değeri bulunabilir. İşlevin bu benzersizlik gereksinimi zorunludur.
Sınırlı ve sınırsız işlevler. Böyle bir pozitif M sayısı varsa, bir fonksiyon sınırlı olarak adlandırılır. f(x) | Tüm x değerleri için M. Böyle bir sayı yoksa, fonksiyon sınırsızdır.

Çift ve tek fonksiyonlar. Fonksiyonun tanım kümesinden herhangi bir x için aşağıdakiler geçerliyse: f (- x) = f (x), o zaman fonksiyon çift olarak adlandırılır; gerçekleşirse: f (- x) = - f (x), o zaman fonksiyona tek denir. Bir çift fonksiyonun grafiği Y eksenine göre simetriktir (Şekil 5) ve tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir (Şekil 6).

Periyodik fonksiyon. f (x) fonksiyonu, fonksiyonun tanım kümesinden herhangi bir x için f (x + T) = f (x) olacak şekilde sıfır olmayan bir T sayısı varsa periyodiktir. Bu en küçük sayıya fonksiyonun periyodu denir. Her şey trigonometrik fonksiyonlar periyodiktir.

Ancak birincil sınıflarda işlevi öğrenmenin en önemli özelliği, monoton.

monotonik fonksiyon. x1 ve x2 bağımsız değişkeninin herhangi iki değeri için x2 > x1 koşulu f (x2) > f (x1) anlamına geliyorsa, işlev | f(x) | artan denir; herhangi bir x1 ve x2 için x2 > x1 koşulu f (x2) anlamına geliyorsa
2. Doğrudan ve ters orantılı bağımlılıklar.
2.1 Doğrudan orantılılık kavramı.

İlkokulda fonksiyon, doğrudan ve ters orantılı bağımlılıklar şeklinde kendini gösterir.

Doğrudan orantılılık her şeyden önce, işlev, y=kx formülü kullanılarak verilebilir, burada k sıfır olmayan bir gerçek sayıdır. y = kx fonksiyonunun adı, bu formülde bulunan x ve y değişkenleriyle ilişkilendirilir. Eğer davranış iki miktar sıfırdan farklı bir sayıya eşittir, o zaman denir doğrudan orantılı.

K, orantılılık katsayısıdır.

Genel olarak, y=kx işlevi, matematiğin ilk dersinde ele alınan birçok gerçek durumun matematiksel bir modelidir.

Örneğin, bir pakette 2 kg un olduğunu ve bu tür paketlerin x kadar satın alındığını varsayalım, o zaman satın alınan unun toplam kütlesi y olsun. Bu şu şekilde yazılabilir: y=2x burada 2=k.
2.2 Doğrudan orantılı ilişkinin özellikleri.

Doğrudan orantılılığın bir takım özellikleri vardır:

• 
  y=kx fonksiyonunun tanım kümesi, R reel sayılar kümesidir;
• 
  Doğrudan orantılılık grafiği, orijinden geçen düz bir çizgidir;
• 
  k>0 için, y=kx işlevi tüm tanım alanı boyunca artar (k için
• 
  f fonksiyonu bir doğru orantılılık ise, (x1,y1),(x2,y2) x ve y'ye karşılık gelen değişken çiftleridir, burada x sıfıra eşit değildir, o zaman x1/x2=y1/y2.

xbirkaç kez karşılık gelen pozitif y değeri aynı miktarda artar (azalır).

2.3 Ters orantılılık kavramı.
ters orantılılık- Bugün nasılsın işlev, y=k/x formülü kullanılarak verilebilir, burada k sıfır olmayan bir gerçek sayıdır. y = k/x fonksiyonunun adı, çarpımı sıfıra eşit olmayan bir gerçek sayıya eşit olan x ve y değişkenleriyle ilişkilidir.

Ters Oransal Özellikler:

• 
  Tanım alanı ve y=k/x fonksiyonunun kapsamı, R reel sayılar kümesidir;
• 
  Doğrudan orantılılık grafiği bir abartmadır;
• 
  Sırasıyla k 0 için, tüm tanım alanı boyunca azalır, dallar - aşağı)
• 
  f fonksiyonu ters orantılıysa, (x1,y1),(x2,y2) x ve y'ye karşılık gelen değişkenlerin çiftleridir, burada x sıfıra eşit değildir, o zaman x1/x2=y2/y1.

Değişkenlerin değerleri isexVeypozitif gerçek sayılardır, o zaman

artan (azalan) değişkenlexkarşılık gelen y değeri birkaç kez aynı miktarda azalır (artır).

pratik kısım
3.1 İlk matematik kursunda fonksiyonel propaedeutics

İşlevsel bağımlılık kavramı, matematik biliminde önde gelenlerden biridir, bu nedenle, bu kavramın öğrencilerde oluşumu, öğretmenin çocukların matematiksel düşünmesini ve yaratıcı etkinliklerini geliştirme amaçlı amaçlı aktivitesinde önemli bir görevdir. İşlevsel düşünmenin gelişimi, her şeyden önce, yeni bağlantılar keşfetme, genel öğrenme teknikleri ve becerilerine hakim olma yeteneğinin gelişimini gerektirir.

Matematiğin ilk dersinde, öğrencilerin cebir ve geometrideki sistematik derslerin çalışmasına hazırlanmasını sağlayan ve ayrıca onları nedensel ilişkileri anlayarak düşünmenin diyalektik doğası konusunda eğiten fonksiyonel propaedeutik'e önemli bir rol verilmelidir. çevreleyen gerçekliğin fenomenleri arasında. Bu bağlamda, L.G.'nin programına göre konunun öğretiminin ilk aşamasında propaedeutik çalışmanın ana yönlerini belirleyeceğiz. Peterson:

Küme kavramı, iki kümenin elemanlarının ve fonksiyonların karşılığı. Aritmetik işlemlerin sonuçlarının bileşenlerin değişimine bağımlılığı.

Fonksiyon belirlemenin tablo, sözel, analitik, grafiksel yolları.

Doğrusal bağımlılık.

Koordinat sistemi, birinci ve ikinci koordinat, sıralı ikili.

En basit kombinatoryal problemleri çözme: olası permütasyonların sayısını derleme ve sayma, sonlu bir kümenin elemanlarının alt kümeleri..

Arsa problemlerini çözmede bir ve iki değişkenin doğal değerlerinin sistematik bir sayımını kullanmak.

Tabloları aritmetik hesaplamalarla doldurma, uygulanan problemlerin koşullarından veriler. Koşullara göre tablodan veri seçimi.

Orantılı değerler arasındaki bağımlılık; grafiklerinin uygulamalı olarak incelenmesi.

İçerik başlangıç ​​kursu matematik, öğrencilerin matematiğin en önemli fikirlerinden biri hakkında bir fikir oluşturmalarını sağlar - uygunluk fikri.İfadelerin değerlerini bulmak, tabloları doldurmak için ödevler yaparken, öğrenciler her bir sayı çiftinin sonuç olarak elde edilen birden fazla sayıya karşılık gelmediğini belirler. Ancak bunu anlamak için tabloların içeriklerini incelemek gerekir.

Cevap 12 ile iki tek basamaklı sayı eklemenin olası tüm örneklerini oluşturun.

Bu görevi tamamlarken, öğrenciler iki terim değeri seti arasında bir ilişki kurarlar. İlk terimin her değeri, sabit bir toplamda ikinci terimin tek bir değerine tekabül ettiğinden, kurulan yazışma bir fonksiyondur.

Bir vazoda 10 elma vardır. 2 elma alınırsa geriye kaç elma kalır? 3 elma? 5 elma? Çözümünüzü tabloya kaydedin. Sonuç neye bağlı? Kaç birim değişir? Niye ya?

Bu sorun aslında işlevi sunar de = 10 - x, değişken nerede x 2, 3, 5 değerlerini alır. Bu görevi tamamlamanın bir sonucu olarak, öğrenciler şu sonuca varmalıdır: çıkarılan sayı ne kadar büyükse, farkın değeri o kadar küçüktür.

İşlevsel yazışma fikri, form alıştırmalarında da mevcuttur:

Matematiksel ifadeleri ve karşılık gelen sayısal değerleri bir okla bağlayın:

15 + 6 27 35

Tanıtım harf sembolleri işlevsel bağımlılık fikri onlarla yakından ilişkili olduğundan, öğrencileri modern matematiğin en önemli kavramlarıyla tanıştırmanıza olanak tanır - bir değişken, bir denklem, bir eşitsizlik, işlevsel düşünmenin gelişimine katkıda bulunur. Öğrenciler bir değişkenle çalışırken, ifadede yer alan harflerin farklı sayısal değerler alabileceğini ve gerçek ifadenin kendisinin sayısal ifadelerin genelleştirilmiş bir gösterimi olduğunu fark ederler.

Büyük propaedeutik öneme sahip olan, öğrencilerin egzersizlerle iletişim kurma deneyimidir. sayısal dizilerde kalıplar oluşturma ve bunların devamı:

1, 2, 3, 4… (de = x + 1)

1, 3, 5, 7… (de= 2 x + 1)

kavram miktarları, sayı kavramı ile birlikte matematiğin başlangıç ​​dersinin ana kavramıdır. Bu bölümün materyali, dolaylı fonksiyonel propaedeutiğin uygulanması için en zengin kaynaktır. Birincisi, seçilen miktar birimi (ölçü) ile sayısal değeri (ölçü) arasındaki bağımlılıktır (ters orantılıdır) - ölçü ne kadar büyükse, bu ölçü ile değerin ölçülmesi sonucunda elde edilen sayı o kadar küçüktür. Bu nedenle, öğrencilerin her bir nicelik ile çalışırken, önce uygun olanı, sonra da tek bir ölçüyü bilinçli olarak seçebilmeleri için, nicelikleri farklı ölçülerle ölçme deneyimi kazanmaları önemlidir.

İkincisi, hareket, iş, satın alma ve satış süreçlerini karakterize eden miktarları incelerken, metin problemlerini çözme sürecinde hız, zaman ve mesafe, fiyat, miktar ve maliyet arasındaki ilişki hakkında fikirler oluşur. aşağıdaki türler- birliğe indirgeme (dördüncü orantılı bulma), bilinmeyeni iki farkla bulma, orantılı bölme.

Öğrenciler için özellikle zorluk, "kavram" nedeniyle bu miktarlar arasındaki ilişkinin farkındalığıdır. orantılı bağımlılık» özel çalışma ve asimilasyon konusu değildir. L.G.'nin programında. Peterson, aşağıdaki teknikleri kullanarak bu sorunu metodik olarak çözer:

- Eksik verilerle ilgili sorunları çözme ("açık" koşul):

Vasya evden okula 540 m, Pasha ise 480 m. Kim daha yakın yaşıyor? Kim oraya daha hızlı varacak?

Sasha, 30 ruble için defter ve 45 ruble için kalem aldı. En çok parayı hangi ürünlere harcadı? Hangi eşyaları daha çok satın aldı?

Bu görevlerin metinlerini analiz ederken, öğrenciler veri eksikliğini ve soruların cevaplarının fiyat ve hıza bağlı olduğunu bulurlar.

- Görevlerin koşullarını sadece bir tabloda (klasik teknikte önerildiği gibi) değil, aynı zamanda bir diyagram şeklinde de sabitleme. Bu, problemde ele alınan bağımlılıkları "görselleştirmenize" izin verir. Bu nedenle, hareketli nesneler farklı zamanlarda (2 saat, 3 saat, 4 saat, 6 saat) 12 km'lik aynı mesafeyi kapsıyorsa, şema kullanılarak ters ilişki açıkça yorumlanır - ne kadar fazla parça (zaman), o kadar küçük her parça (hız).

- Görev verilerinden birinin değiştirilmesi ve problem çözme sonuçlarının karşılaştırılması.

Okul kantinine 48 kg elma getirildi. Tüm kutularda eşit sayıda elma olsaydı kaç kutu getirilebilirdi?

Öğrenciler çeşitli yapılandırma araçlarını kullanarak problemin durumunu tamamlar ve miktarlar arasındaki ilişkiyi düzeltir. teorik bilgi- tabloda, şemada ve sözlü olarak.

Burada, dikkate alınan miktarların çoklu oranına dikkat etmek yararlıdır - miktarlardan biri kaç kez daha fazladır, diğerinin sabit bir üçte biri ile aynı sayıda (daha az).

İlkokulda, öğrenciler örtük olarak tablo, analitik, sözlü, grafik yollar fonksiyon atamaları.

Örneğin hız, zaman ve mesafe arasındaki ilişki şu şekilde ifade edilebilir:

A) sözlü olarak: “mesafeyi bulmak için hızı zamanla çarpmanız gerekir”;

B) analitik olarak: s= v T;

C) tablo: v = 5 km/s

d) grafiksel olarak (bir koordinat ışını veya açısı kullanarak).

v arasındaki bağımlılığı belirtmenin grafiksel bir yolu, T, s birim zaman başına hareketli bir nesnenin konumunda bir değişiklik olarak hız fikri oluşturmanıza olanak tanır (genel olarak kabul edilenle birlikte - birim zaman başına kat edilen mesafe olarak) Ve hareket grafiklerinin karşılaştırılması iki gövdeden (birbirinden bağımsız hareket eden) hız fikrini, hareket hızını karakterize eden bir miktar olarak netleştirir.

Bileşik sayısal ifadeler(parantezli ve parantezsiz), değerlerinin eylem sırası kurallarına göre hesaplanması, öğrencilerin sonucun eylem sırasına bağlı olduğunu anlamalarını sağlar.

Doğru eşitlikleri elde etmek için parantezleri düzenleyin.

20 + 30: 5=10, 20 + 30: 5 = 26

L.G.'nin seyri sırasında. Peterson, öğrenciler dolaylı olarak doğrusal bağımlılık, fonksiyonun özel bir durumu olarak. Bu fonksiyon, formun bir formülü ile tanımlanabilir. de= kh + B, nerede x- bağımsız değişken, k Ve B- sayılar. Tanım alanı, tüm gerçek sayıların kümesidir.

350 kilometre yol kat ettikten sonra tren 60 km/s hızla t saat hareket etmeye başladı. Tren toplamda kaç km yol almıştır?(350 + 60 T)

Adlandırılmış sayılarla görevler gerçekleştiren öğrenciler, bağımlılığın farkındadır. farklı ölçü birimlerinin kullanımından elde edilen niceliklerin sayısal değeri.

Aynı segment önce santimetre, sonra desimetre cinsinden ölçüldü. İlk durumda, ikinciden 135 fazla bir sayı aldık. Segmentin santimetre cinsinden uzunluğu nedir? (bağımlılık= 10 X)

İlk matematik dersini inceleme sürecinde, öğrenciler doğal bir sayı dizisi, doğal bir dizinin bir parçası kavramını oluşturur, doğal bir sayı dizisinin özelliklerini özümser - sonsuzluk, düzenlilik, vb. doğal sayıda sınırsız bir artış veya payında azalma olasılığı fikri.

3-4. sınıflarda matematik dersinde öğrencilere matematik dersinin nasıl kullanılacağının öğretilmesine büyük önem verilmektedir. formüller, onların bağımsız sonucu. Burada öğrencilere aynı bilgiyi başka bir dilde sunmayı öğretmek önemlidir. farklı şekil- Grafiksel ve analitik olarak, öğrencilere kendi bilişsel stillerine uygun formu seçme hakkı verir.

Öğrencilerin büyük ilgisini çeken, değişken değerler tablolarının analizi, aralarındaki bağımlılıkların "keşfi" ve bir formül şeklinde yazma ile ilgili görevlerdir.

Tabloda verilen sayıları analiz ederken, öğrenciler ilk satırdaki sayıların bir, ikinci satırdaki sayıların dört arttığını kolayca fark ederler. Öğretmenin görevi, değişkenlerin değerlerinin ilişkisine dikkat etmektir. fakat Ve B. Matematik eğitiminin uygulamalı yönelimini güçlendirmek için bu durumu “canlandırmak”, arsa durumuna aktarmak gerekir.

Öğrencilerin formül türetme yeteneğini oluşturmak için, onlara matematiksel dilde (eşitlikler şeklinde) çeşitli ifadeler yazmayı öğretmeniz gerekir:

Üç kez idare edin bir kalemden daha pahalı (r = ile + 3);

Numara fakat 5'e bölündüğünde 2 kalanını verir ( fakat= 5 B + 2);

Dikdörtgenin uzunluğu genişliğinden 12 cm fazladır ( fakat = B + 12).

Bir ön koşul, bu miktarların değerleri için olası seçeneklerin uygun tablolar doldurularak tartışılmasıdır.

L.G. kursunda özel bir yer. Peterson aşağıdakilerle ilgili görevleri üstlenir: matematiksel araştırma:

16 sayısını farklı şekillerde iki faktörün bir ürünü olarak hayal edin. Her yöntem için faktörlerin toplamını bulun. Hangi durumda en küçük miktarı aldınız? 36 ve 48 sayıları için de aynısını yapın. Tahmin nedir?

Bu tür görevleri yerine getirirken (bir çokgenin köşe sayısı ile açı ölçülerinin toplam değeri arasındaki ilişkiyi, aynı alana sahip farklı şekillerdeki şekillerin çevre değeri arasındaki ilişkiyi incelemek vb.), öğrenciler gelişir. Çözümü masaya sabitlemek uygun olduğundan, bir masayla çalışma becerileri. Ek olarak, çözümü sabitlemenin tablo yöntemi, standart olmayan matematik problemlerinin sıralı numaralandırma veya rasyonel seçim yöntemiyle çözülmesinde kullanılır.

Sınıfta 13 çocuk var. Kızların parmakları ve ayak parmakları kadar erkeklerin dişleri vardır. Sınıfta kaç erkek ve kaç kız var? (Her çocuğun tam olarak 32 dişi vardır.)

L.G.'nin programına göre matematik öğretimi. Peterson, öğrencilere aritmetik işlemlerin sonuçları ve bileşenleri arasındaki ilişkinin özümsenmesini sağlar, hakkında bir fikir oluşturulur. Bileşenlerdeki değişime bağlı olarak aritmetik işlemlerin sonucunu değiştirmenin "hızı":

Sayı Kompozisyon Çalışmaları;

Özel hesaplama yöntemleri (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 5 = 12 10: 2);

Toplam, fark, ürün, bölümün değerlendirilmesi.

Bu tür görevleri yerine getirirken, bilgiyi çok duyusal olarak sunmak önemlidir.

Bir terim 10 artırılırsa ve ikincisi 5 azaltılırsa toplam nasıl değişecek?

Kenarlardan biri (sayılardan biri) 3 artırılırsa bir dikdörtgenin (veya iki sayının çarpımı) alanı nasıl değişir?

Öğrencilerin önemli bir kısmı, belirli sayısal değerleri yerine koyarak benzer görevleri yerine getirir. Bu durumda metodik olarak okuryazar olan, durumu grafiksel ve analitik olarak yorumlayacaktır.

(fakat+ 3) · B = fakat· B+ 3 ·B

Lisede işlev kavramı ile ilişkilidir koordinat sistemi. L.G.'nin seyri sırasında. Peterson, bu yönde propaedeutik çalışma için materyal içerir:

Sayısal parça, sayısal ışın, koordinat ışını;

Pisagor tablosu, düzlemdeki koordinatlar (koordinat açısı);

Hareket çizelgeleri;

Ayrık değerler arasındaki ilişkiyi görsel olarak temsil eden pasta, sütun ve çizgi grafikler.

Bu nedenle, aritmetik işlemlerin incelenmesi, sayıyı birkaç birim veya birkaç kez artırma ve azaltma, bileşenler ve aritmetik işlemlerin sonuçları arasındaki ilişki, dördüncü orantılı bulma, hız, zaman ve mesafe arasındaki bağlantı için problem çözme; fiyat, miktar ve değer; tek bir öğenin kütlesi, sayıları ve toplam kütlesi; emek verimliliği, zaman ve iş; vb., bir yandan işlev kavramının oluşumunun temelini oluştururken, diğer yandan işlevsel kavramlar temelinde incelenir. Grafik modellemenin oldukça büyük bir propaedeutik değere sahip olduğu belirtilmelidir: problem ifadesinin grafik yorumu, çizim, çizim ve daha fazlası. Grafik biçiminde sunulan bilgilerin anlaşılması daha kolay, kapsamlı ve oldukça koşullu, yalnızca nesnenin temel özellikleri hakkında bilgi taşımak, öğrencilerin grafik becerilerini oluşturmak için tasarlanmıştır.

Ek olarak, işlevsel bağımlılığın propaedeutiğinin sonucu, genç öğrencilerin yüksek zihinsel aktivitesi, entelektüel, genel konu ve belirli matematiksel beceri ve yeteneklerin gelişimi olmalıdır. Bütün bunlar, yalnızca temel matematiğin metodolojik problemlerini çözmek için değil - hesaplama becerilerinin oluşumu, metin problemlerini çözme yeteneği vb. lisede fonksiyonların başarılı çalışması için.

3.2 Orantılı olarak bağımlı nicelikler için problem çözme

Bir sorunu çözmek, mantıksal olarak doğru bir eylemler dizisi yoluyla anlamına gelir.

ve açık veya dolaylı olarak mevcut olan problem sayıları, miktarları,

Görevin gereğini yerine getirmek için ilişkiler (sorusunu cevaplamak için).

Matematikte ana olanlar aritmetik Ve

cebirsel sorunları çözmenin yolları. saat aritmetik yol

sorunun cevabı aritmetik yapılması sonucu bulunur

sayılarla ilgili işlemler

Aynı problemi çözmek için farklı aritmetik yöntemler farklıdır.

veriler, veriler ve bilinmeyenler arasındaki ilişkiler, veriler ve arananlar arasındaki ilişkiler,

aritmetik işlemlerin veya bir dizinin seçiminin altında yatan

eylemleri seçerken bu ilişkilerin kullanılması.

Bir metin problemini aritmetik bir şekilde çözmek karmaşık bir aktivitedir,

belirleyici. Ancak, birkaç aşamaya ayrılabilir:

1. Görevin içeriğinin algılanması ve analizi.

2. Sorunu çözmek için bir plan arayın ve hazırlayın.

3. Çözüm planının uygulanması. Gereksinimin yerine getirilmesine ilişkin sonucun formülasyonu

görev (görev sorusuna cevap).

4. Çözümün doğrulanması ve varsa hataların giderilmesi.

Orantılı bölme problemleri farklı şekillerde tanıtılır: sunabilirsiniz

hazır bir problemi çözmek için veya önce problemi dönüştürerek oluşturabilirsiniz.

dördüncü orantılı bulmak için. Her iki durumda da çözümün başarısı

orantılı bölme için problemler, sağlam bir çözme yeteneği ile belirlenecektir.

dördüncü orantılı bulma sorunu, bu nedenle,

eğitim, bulmak için uygun tipte problemlerin çözümünü sağlamak gereklidir.

dördüncü orantılı Bu yüzden ikincisi tercih edilir.

orantılı bölme problemlerini ortaya çıkarmak için adlandırılmış seçenekler.

Ders kitabından hazır problemlerin yanı sıra derlenen problemlerin çözümüne geçmek

dahil olmak üzere öğretmen çeşitli gruplar değerler, önce ne olduğunu belirlemelisin

görevde atıfta bulunulan miktarları, ardından görevi kısaca tabloya yazın,

kelimeyi içeriyorsa, problemin sorusunu daha önce iki soruya böldükten sonra

her. Karar, kural olarak, öğrencilerin kendi başlarına yaptıkları analiz,

sadece bireysel öğrencilerle gerçekleştirilmiştir. Kısa bir not yerine şunları yapabilirsiniz:

resim. Örneğin, problem madde parçalarından, tel bobinlerinden ve

vb., daha sonra karşılık gelen sayısal yazılarak segmentler olarak gösterilebilirler.

bu miktarların değerleri. Her seferinde kısa bir özet yapmanın gerekli olmadığını unutmayın.

öğrenci problemi okuduktan sonra nasıl çözeceğini biliyorsa, kaydedin veya çizin, o zaman

karar vermesine izin verin ve zor bulanlar kısa bir not veya çizim kullanacaktır.

bir görevi çözmek için. Yavaş yavaş, görevler tanıtılarak daha zor hale gelmelidir.

ek veriler (örneğin: “İlk parçada 16 m madde vardı ve ikincide

2 kat daha az.”) veya bir soru sorarak (örneğin: “Kaç metre

ilk parçada ikinciden daha fazla madde var mıydı?).

Orantısız bölünme sorununun çözümüne aşina olduğunuzda, gidebilirsiniz.

başka bir şekilde: önce hazır sorunları çözün ve daha sonra gerçekleştirin

dördüncüsünü bulma probleminin problemiyle orantılı dönüşümü

orantılı bölme ve bunları çözdükten sonra, hem görevlerin kendilerini hem de

onların kararları.

Dikkate alınan türden problemleri çözme yeteneğinin genelleştirilmesi, alıştırmalarla desteklenir.

yaratıcı doğa. Bazılarına isim verelim.

Çözmeden önce sorunun hangi sorularının cevabında cevap olacağını sormakta fayda var.

daha fazla sayı ve neden ve bu türe karşılık gelip gelmediğimi kontrol etme kararından sonra

çözümü kontrol etmenin yollarından biri olacak olan sonuç sayıları. daha ileri olabilir

Cevapta aynı sayıların elde edilip edilemeyeceğini ve hangi koşullar altında bulunabileceğini öğrenin.

Öğrencilerin sonraki çözümleriyle problemlerin hazırlanması için faydalı alıştırmalar,

yanı sıra görev dönüştürme alıştırmaları. Bu, her şeyden önce, derleme

Çözülenlere benzer görevler. Yani, miktarlarla ilgili sorunu çözdükten sonra: fiyat,

miktar ve maliyet - ile benzer bir sorunu derlemeyi ve çözmeyi önerin

aynı miktarlar veya hız, zaman ve mesafe gibi diğerleriyle.

Bu, ayrı olarak yazılmış, çözümlerine göre görevlerin derlenmesidir.

eylemler ve bir ifade şeklinde, bu, problemlerin amaçlarına göre derlenmesi ve çözümüdür.

kısa şematik gösterim

1 yol:

X \u003d 15 * 30 / 8 \u003d 56 ruble 25 kopek

2 yol: kumaş miktarı 15/8 kat arttı, bu da paranın 15/8 kat daha fazla ödeneceği anlamına geliyor

X \u003d 30 * 15/8 \u003d 56 ruble 25 kopek

2. Bir beyefendi bir marangoz çağırdı ve avlunun yapılmasını emretti. Ona 20 işçi verdi ve kendisi için bir avluyu kaç günde yapacaklarını sordu. Marangoz cevap verdi: 30 gün içinde. Ve ustanın 5 gün içinde inşa etmesi gerekiyor ve bunun için marangoz'a sordu: Kaç kişiye ihtiyacın var ki, onlarla 5 günde bir avlu inşa edebilesin; ve marangoz şaşkın, sana soruyor, aritmetikçi: 5 günde bir avlu inşa etmek için kaç kişi tutması gerekiyor?

Tahtaya bitmemiş kısa bir koşul yazılır:

ben seçenek: orantı

II seçeneği: orantısız

İ.

II. X \u003d 20 * 6 \u003d 120 işçi

3. 7 ay boyunca 560 asker erzak alıp, 10 ay hizmette kalmaları emredildi ve 10 aya yetecek kadar erzak olsun diye insanları kendilerinden uzaklaştırmak istediler. Soru şu ki, kaç kişi azaltılmalı?

Eski görev.

Bu sorunu orantısız çözün:

(Ay sayısı bir kat artıyor yani asker sayısı bir kat azalıyor.

560 - 392 = 168 (asker sayısı azaltılmalıdır)

Eski zamanlarda, birçok problem türünü çözmek için onları çözmek için özel kurallar vardı. Doğrudan bize tanıdık sorunlar ve ters orantılılık, iki miktarın üç değeri ile dördüncüyü bulmanız gereken "üçlü kural" için görevler olarak adlandırıldı.

Üç değer için beş değer verildiyse ve altıncıyı bulmak gerekiyorsa, kurala "beş" adı verildi. Benzer şekilde, dört miktar için bir "yedili kuralı" vardı. Bu kuralların uygulanmasına yönelik görevlere aynı zamanda “karmaşık üçlü kural” görevleri de deniyordu.

4. 3 tavuk 3 günde 3 yumurta yumurtladı. 12 tavuk 12 günde kaç yumurta yumurtlar?

Tavukların sayısı kaç kat arttı? (4 kere)

Gün sayısı değişmediyse yumurta sayısı nasıl değişti? (4 kat arttı)

Gün sayısı kaç kat arttı? (4 kere)

Yumurta sayısı nasıl değişti? (4 kat arttı)

X \u003d 3 * 4 * 4 \u003d 48 (yumurta)

5 . Bir katip 8 günde 15 sayfa yazabiliyorsa, 9 günde 405 sayfa yazmak için kaç katip gerekir?

(Zamana göre yaprak sayısındaki artıştan dolayı katip sayısı artar ve azalır)

Çalışma günlerinin artmasından (yazılar)).

Dört nicelikli daha karmaşık bir problem düşünün.

6. 18 odayı aydınlatmak için 48 günde 120 ton gazyağı harcanmış ve her odada 4 lamba yakılmıştır. 20 oda aydınlatılırsa ve her odada 3 lamba yakılırsa 125 pound gazyağı kaç gün dayanır?

Gazyağı kullanımındaki gün sayısı, gazyağı miktarındaki artıştan dolayı artar.
kez ve lambaları yarı yarıya azaltmaktan.

Odalardaki artışla birlikte gazyağı kullanım gün sayısı azalmaktadır. 20 zamanlar.

X = 48 * * : = 60 (gün)

Sonunda X = 60'tır. Bu, 60 gün için 125 pound kerosenin yeterli olduğu anlamına gelir.

Çözüm

Modüler eğitim bağlamında geliştirilen, ilkokulda işlevsel bağımlılığı incelemek için metodolojik sistem, ana bileşenlerin (hedef, içerik, organizasyonel, teknolojik, tanısal) ve ilkelerin (modülerlik, bilinçli bakış açısı) ilişkisinden oluşan bir bütündür. açıklık, eğitimin öğrencinin kişiliğinin gelişimine odaklanması). , metodolojik danışmanlığın çok yönlülüğü).

Modüler yaklaşım, öğrencilerde fonksiyonel bağımlılığı inceleme sürecini iyileştirmenin bir yoludur. ilkokul hangi izin verir: öğrenciler - işlevsel bilgi sistemine ve eylem yöntemlerine, pratik (operasyonel) becerilere hakim olmak; öğretmen - matematiksel düşüncelerini işlevsel materyal temelinde geliştirmek, öğrenmede bağımsızlığı geliştirmek.

İlkokulda işlevleri inceleme sürecinin metodolojik desteği, konuyu anlamak, eğitim materyali içeriğinin başarılı ve eksiksiz bir şekilde özümsenmesi için gerekli olan temel kalıpları vurgulamanın temeli olan modüler programlar temelinde inşa edilmiştir. öğrenciler tarafından sağlam bilgi, beceri ve yetenekler edinilmesi.

Bibliyografya.

1. 
   Demidova T.E., Tonkikh A.P., Metin problemlerini çözme teorisi ve pratiği: Proc. öğrenciler için ödenek. daha yüksek ped. ders kitabı kuruluşlar. - M.: Yayın Merkezi "Akademi", 2002. -288 s.
2. 
   Fridman L. M. Matematik: öğretici pedagojik üniversite ve kolejlerin öğretmenleri ve öğrencileri için. - M.: Okul basını, 2002. - 208'ler.
3. 
   Stoilova L.P., Pyshkalo A.M. İlk matematik dersinin temelleri: Proc. öğrenciler için ödenek ped. uch - u özel göre. “Erken sınıflarda öğretim genel eğitimdir. Okul" - M.: Aydınlanma, 1998. - 320'ler.
4. 
   Stoilova L.P. Matematik: Öğrenciler için ders kitabı. daha yüksek Peder. ders kitabı kuruluşlar. - M.: Yayınevi "Akakdemiya", 1999. - 424 s.
5. 
   Pekhletsky I. D. Matematik: Ders Kitabı. - 2. basmakalıp baskı - M.: Yayın Merkezi "Akademi"; Ustalık, 2002. – 304 s.
6. 
   Kryuchkova V. V. Gelişme modunda orantılı değerlere sahip problemler üzerinde çalışın: araç seti başlangıçta öğretmenler için sınıflar: Bölüm 2 / Ryazan Bölgesel Eğitim Geliştirme Enstitüsü. Ryazan, 1996. - 75'ler.
7. 
   Padun T. A. İlköğretim matematik dersinde standart olmayan görevler: Metodik. Önerilen İlkokul öğretmenlerine yardım etmek / Ryaz. Bölge in - t eğitimin gelişimi. - Ryazan, 2003 - 85'ler.
8. 
   Glazer G. I. Okulda matematik tarihi: IX - X hücreleri. Öğretmenler için bir rehber. - M.: Aydınlanma, 1983. - 351 s., hasta.
9. 
   Dorofeev G.V. İnsani odaklı kurs - genel bir eğitim okulunda "Matematik" konusunun temeli // Okulda matematik. - 1997. - No. 4. - S.59-66, s. 59.
10. 
    İlköğretim sınıflarında matematik öğretim yöntemlerinin gerçek sorunları. / Ed. Mİ. Moro, AM Pyshkalo. - M.: Pedagoji, 1977. - 262 s.
11. 
    Bantova M.A., Beltyukova G.V. İlköğretim sınıflarında matematik öğretim yöntemleri. - E.: Pedagoji, 1984. - 301 s.
12. 
    Davydov V.V. Matematik, 3. sınıf: 4 yıllık bir ilkokul için ders kitabı. - M.: Yayın Merkezi "Akademi", 1998. - 212 s.
13. 
    Moro M.I. ve diğerleri Matematik: Üç yıllık bir ilkokulun 3. sınıfı ve dört yıllık bir ilkokulun 4. sınıfı için bir ders kitabı. / Ed. Kalyagina Yu.M. - M.: Aydınlanma, 1997. - 240 s.
14. 
    Peterson L.G. Matematik, 3. sınıf. Bölüm 1, 2. 4 yaşındaki ilkokul için ders kitabı. - E.: Balass, 2001.

Birçok özelliğe sahiptirler:

1. fonksiyon çağrılır monoton bazı A aralığında, bu aralıkta artar veya azalırsa

2. Fonksiyon çağrılır artan bazı A aralığında, A kümesindeki herhangi bir sayı için aşağıdaki koşul sağlanır:

Artan bir fonksiyonun grafiğinin bir özelliği vardır: apsis ekseni boyunca aralık boyunca soldan sağa hareket ederken FAKAT grafik noktalarının koordinatları artar (Şekil 4).

3. İşlev çağrılır azalan belirli aralıklarla FAKAT, eğer herhangi bir sayı için kümeleri FAKAT koşul karşılandı:

Azalan bir fonksiyonun grafiğinin bir özelliği vardır: apsis ekseni boyunca aralık boyunca soldan sağa hareket ederken FAKAT grafik noktalarının koordinatları azalır (Şekil 4).

4. Fonksiyon çağrılır hatta bazı setlerde X, koşul karşılanırsa: .

Bir çift fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetriktir (Şekil 2).

5. İşlev çağrılır garip bazı setlerde X, koşul karşılanırsa: .

Tek bir fonksiyonun grafiği, orijine göre simetriktir (Şekil 2).

6. Eğer fonksiyon y = f(x)
f(x) f(x), o zaman fonksiyonun olduğunu söylüyoruz y = f(x) kabul eder en küçük değer de=f(x) de x= x(Şekil 2, fonksiyon koordinatları (0;0) olan noktada en küçük değeri alır).

7. Eğer işlev y = f(x) X kümesinde tanımlanır ve herhangi bir eşitsizlik için f(x) f(x), o zaman fonksiyonun olduğunu söylüyoruz y = f(x) kabul eder en yüksek değer de=f(x) de x= x(Şekil 4, fonksiyon en büyük ve en küçük değerlere sahip değildir) .

Bu fonksiyon için ise y = f(x) listelenen tüm özellikler incelenir, sonra derler ki ders çalışma fonksiyonlar.

sayısal işlev bir sayı kümesi arasındaki böyle bir yazışmaya denir x ve birçok r kümedeki her sayının olduğu gerçek sayılar x bir kümeden tek bir sayıyla eşleşir R. Bir çok x isminde fonksiyon kapsamı . Fonksiyonlar harflerle gösterilir f, g, h vb. F sette tanımlanan bir fonksiyondur x, sonra gerçek sayı y, numaraya karşılık gelen x onların çokluğu x, sıklıkla belirtilir f(x) ve yaz
y = f(x). değişken x argüman denir. Formun sayı kümesi f(x) isminde fonksiyon aralığı

Bir formül kullanılarak bir fonksiyon tanımlanır. Örneğin , y = 2X - 2. Formül kullanarak bir fonksiyon tanımlarken tanım alanı belirtilmiyorsa, fonksiyonun kapsamının ifadenin alanı olduğu varsayılır. f(x).

1. fonksiyon çağrılır monoton bazı A aralığında, bu aralıkta artar veya azalırsa

2. Fonksiyon çağrılır artan bazı A aralığında, A kümesindeki herhangi bir sayı için aşağıdaki koşul sağlanır: .

Artan bir fonksiyonun grafiğinin bir özelliği vardır: apsis ekseni boyunca aralık boyunca soldan sağa hareket ederken FAKAT grafik noktalarının koordinatları artar (Şekil 4).

3. İşlev çağrılır azalan belirli aralıklarla FAKAT, eğer herhangi bir sayı için kümeleri FAKAT koşul yerine getirildi: .

Azalan bir fonksiyonun grafiğinin bir özelliği vardır: apsis ekseni boyunca aralık boyunca soldan sağa hareket ederken FAKAT grafik noktalarının koordinatları azalır (Şekil 4).

4. Fonksiyon çağrılır hatta bazı setlerde X, koşul karşılanırsa: .

Bir çift fonksiyonun grafiği y eksenine göre simetriktir (Şekil 2).

5. İşlev çağrılır garip bazı setlerde X, koşul karşılanırsa: .

Tek bir fonksiyonun grafiği, orijine göre simetriktir (Şekil 2).

6. Eğer fonksiyon y = f(x)
f(x) f(x), o zaman fonksiyonun olduğunu söylüyoruz y = f(x) kabul eder en küçük değer de =f(x) de x= x(Şekil 2, fonksiyon koordinatları (0;0) olan noktada en küçük değeri alır).

7. Eğer işlev y = f(x) X kümesinde tanımlanır ve herhangi bir eşitsizlik için f(x) f(x), o zaman fonksiyonun olduğunu söylüyoruz y = f(x) kabul eder en yüksek değer de =f(x) de x= x(Şekil 4, fonksiyon en büyük ve en küçük değerlere sahip değildir) .

Bu fonksiyon için ise y = f(x) listelenen tüm özellikler incelenir, sonra derler ki ders çalışma fonksiyonlar.

Sınırlar.

A sayısı f-ii'nin limiti olarak adlandırılır, çünkü herhangi bir E>0 için x ∞'e meylederse δ (E)>0 vardır, öyle ki tüm x için |x|>δ eşitsizliği |F(x) eşitsizliğini sağlar. )-A|

A sayısı fonksiyonun limiti olarak adlandırılır, çünkü herhangi bir E>0 için X, X 0'a eğilim gösterir, öyle ki tüm X≠X 0 için |X-X 0 |<δ выполняется неравенство |F(x)-A|

TEK TARAFLI SINIRLAR.

Limiti belirlerken, X'in keyfi bir şekilde, yani herhangi bir yönden X0'a eğilimi vardır. X, her zaman X0'dan küçük olacak şekilde X0'a yöneldiğinde, o zaman limit, soldaki X0 noktasındaki limit olarak adlandırılır. Veya soldan limit. Sağdan limit benzer şekilde tanımlanır.

Bu, bazı kurallara göre D kümesindeki her x öğesinin x'e bağlı olarak belirli bir y sayısıyla ilişkilendirildiği bir yazışmadır. Gösterim: y = f(x) x y Bağımsız değişken veya bağımsız değişkene bağlı değişken veya fonksiyon değeri D(f) E(f) Fonksiyonun tanım kümesi Fonksiyonun tanım alanı D alanlı sayısal fonksiyon

Bir fonksiyonun düzgünlüğü Bir fonksiyon y=f(x) tanım alanından herhangi bir x değeri için f(-x)=f(x) eşitliği doğru olsa bile çağrılır. Tanım alanından herhangi bir x değeri için f(-x)=-f(x) eşitliği doğruysa, y=f(x) işlevine tek denir.

Fonksiyonun monotonluğu (Fonksiyonun artması ve azalması) y \u003d f (x) işlevine, X kümesinde artan denir є D (f), eğer X kümesinin herhangi bir x 1 ve x 2 noktası için x olacak şekilde 1 f (x 2) f(x2)">

Periyodik bir fonksiyonun grafiğini nasıl çizilir y=f(x) fonksiyonunun bir T periyodu varsa, fonksiyon grafiğini çizmek için önce herhangi bir T uzunluğundaki aralıkta grafiğin bir dalını (dalga, kısım) çizmeli ve sonra bu dalı x ekseni boyunca T, 2T, 3T, vb. ile sağa ve sola kaydırın.

Bir fonksiyonun sınırlılığı X kümesindeki y=f(x) fonksiyonuna, X kümesindeki bu fonksiyonun tüm değerleri belirli bir sayıdan büyükse, X є D(f) kümesinde aşağıdan sınırlı denir. (yani, herhangi bir x є X değeri için aşağıdaki eşitsizliğin geçerli olacağı bir m sayısı varsa: f (x) > m. y \u003d f (x) işlevi, X є kümesinde yukarıdan sınırlı olarak adlandırılır. D (f) X kümesindeki tüm değerler belirli bir sayıdan küçükse (yani herhangi bir x є X değeri için aşağıdaki eşitsizliğin geçerli olacağı bir M sayısı varsa: f(x) m. y işlevi X kümesindeki bu fonksiyonun tüm değerleri bir sayıdan küçükse (yani, herhangi bir değer için öyle bir M sayısı varsa) X kümesinde yukarıdan sınırlı olarak adlandırılan =f(x) є D(f) denir. x є X aşağıdaki eşitsizlik doğrudur: f(x)

Fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri M sayısına X є D (f) kümesindeki y \u003d f (x) fonksiyonunun en küçük değeri denir, eğer: 1) f öyle bir xo є X noktası varsa (х o) \u003d m; 2) Herhangi bir x є X değeri için, f(x)f(xo) eşitsizliği, f(x o)=M'yi tutar; 2) Herhangi bir x є X değeri için f (x) f (x o) eşitsizliği

Bir fonksiyonun dışbükeyliği Bir fonksiyon, X aralığında Dif ile yukarı doğru dışbükeydir) grafiğinin herhangi iki noktasını bir segment tarafından X'ten apsislerle bağlayarak, grafiğin karşılık gelen kısmının çizilmiş segmentin üzerinde olduğunu bulursak. Bir fonksiyonun grafiğinin herhangi iki noktasını bir segment tarafından X'ten apsislerle bağlayarak, grafiğin ilgili kısmının çizilenin altında olduğunu bulursak, X aralığında D(f) ile bir fonksiyonun aşağı doğru dışbükey olduğu kabul edilir. segment

Fonksiyonun sürekliliği X aralığında fonksiyonun sürekliliği, fonksiyonun bu aralıktaki grafiğinin kırılma noktalarının olmadığı (yani düz bir çizgi olduğu) anlamına gelir. Yorum. Aslında, bir fonksiyonun sürekliliğinden ancak fonksiyonun sürekli olduğu kanıtlandığında bahsedilebilir. Ancak buna karşılık gelen tanım karmaşıktır ve şimdilik gücümüzün ötesindedir (bunu daha sonra § 26'da vereceğiz). Aynı şey dışbükeylik kavramı için de söylenebilir. Bu nedenle, fonksiyonların bu iki özelliğini tartışırken, şimdilik görsel-sezgisel temsillere güvenmeye devam edeceğiz.

Ekstremum noktaları ve fonksiyon ekstremumu. Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktaları, fonksiyonun uç noktaları olarak adlandırılır. Tanım. Bir x 0 komşuluğundaki tüm x için f(x) f(x 0) eşitsizliği sağlanıyorsa, x 0 noktasına f fonksiyonunun minimum noktası denir. Tanım. Bir x 0 komşuluğundaki tüm x için f(x) f(x 0) eşitsizliği sağlanıyorsa, x 0 noktasına f fonksiyonunun maksimum noktası denir.

Fonksiyonu incelemek için şema 1 - Tanım alanı 2 - çift (tek) 3 - en küçük pozitif periyot 4 - artış ve azalma aralıkları 5 - fonksiyonun ekstrem ve ekstrem noktaları 6 - fonksiyonun sınırlılığı 7 - fonksiyonun sürekliliği 8 - fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri 9 - Değer aralığı 10 - fonksiyonun dışbükeyliği

Dersler 1-2. Sayısal bir işlevin tanımı ve nasıl belirtileceği

Hedef: Bir fonksiyonun tanımını, nasıl tanımlanacağını tartışır.

I. Derslerin konusu ve hedeflerinin iletilmesi

II. 9. sınıf materyalinin tekrarı

Bu konunun çeşitli yönleri 7-9. sınıflarda zaten ele alınmıştır. Şimdi fonksiyonlar hakkındaki bilgileri genişletmemiz ve genelleştirmemiz gerekiyor. Konunun tüm matematik dersi için en önemli konulardan biri olduğunu hatırlayın. Okulun sonuna kadar ve daha sonra yüksek öğretim kurumlarında çeşitli işlevler incelenecektir. Bu konu denklemleri, eşitsizlikleri, kelime problemlerini, ilerlemeleri vb. çözme ile yakından ilgilidir.

Tanım 1. İki gerçek sayı kümesi verilsin D ve E ve yasa belirtilir F hangi her sayı için x∈D tek bir sayı ile eşleşti y ∈ E (şekle bakın). O zaman y = fonksiyonunun f(x ) veya etki alanı (O.O.) ile y(x) D ve değişim bölgesi (O.I.) E. Bu durumda, x değerine bağımsız değişken (veya fonksiyonun argümanı), y değerine bağımlı değişken (veya fonksiyonun değeri) denir.

fonksiyon kapsamı f D'yi gösterir (f ). Tüm sayıların kümesi f(x ) (fonksiyon aralığı f), E(f)'yi gösterir.

örnek 1

işlevi düşününHer x değeri için y bulmak için aşağıdaki işlemleri yapmalısınız: x'ten 2 (x - 2) sayısını çıkarın, bu ifadenin karekökünü çıkarınve son olarak 3 sayısını ekleyinBu işlemlerin toplamına (veya x'in her değeri için y değerinin arandığı yasaya) y(x) işlevi denir. Örneğin, x = 6 için buluruzBu nedenle, verilen bir x noktasında y fonksiyonunu hesaplamak için, bu x değerini verilen y(x) fonksiyonuna koymak gerekir.

Açıktır ki, belirli bir fonksiyon için, herhangi bir kabul edilebilir x sayısı için, yalnızca bir y değeri bulunabilir (yani, x'in her değeri, y'nin bir değerine karşılık gelir).

Şimdi bu fonksiyonun tanım alanını ve değişim alanını düşünün. (x - 2) ifadesinden karekök elde etmek ancak bu değer negatif değilse, yani x - 2 ≥ 0 veya x ≥ 2 ise mümkündür.Aritmetik kökün tanımı gereğisonra bu eşitsizliğin tüm bölümlerine 3 sayısını eklersek, şunu elde ederiz:veya 3 ≤ y< +∞. Находим

Rasyonel fonksiyonlar genellikle matematikte kullanılır. Bu durumda formun işlevleri f(x ) = p(x) (burada p(x) bir polinomdur) tam rasyonel fonksiyonlar olarak adlandırılır. İşlevleri görüntüle(burada p(x) ve q(x) ) - polinomlar) kesirli rasyonel fonksiyonlar olarak adlandırılır. Açıkçası bir kesirpayda ise tanımlanır q(x ) kaybolmaz. Bu nedenle, kesirli rasyonel bir fonksiyonun tanım alanı- polinomun köklerinin hariç tutulduğu tüm gerçek sayılar kümesi q(x).

Örnek 2

rasyonel fonksiyonx - 2 ≠ 0 için tanımlanmış, yani x ≠ 2. Bu nedenle, bu fonksiyonun tanım kümesi, 2'ye eşit olmayan tüm gerçek sayıların kümesidir, yani (-∞; 2) ve (2; ∞) aralıklarının birleşimidir.

A ve B kümelerinin birleşiminin, A veya B kümelerinden en az birinde bulunan tüm öğeleri içeren küme olduğunu hatırlayın. A'dan B'ye kümelerin birleşimi A sembolü ile gösterilir. sen B. Yani, ve (3; 9) parçalarının birleşimi bir boşluğu (kesişmeyen boşlukları) ifade eder.

Örneğe dönersek şunu yazabiliriz:x'in tüm kabul edilebilir değerleri için kesirkaybolmaz, o zaman fonksiyon f(x ) 3 hariç tüm değerleri alır.

Örnek 3

Kesirli-rasyonel fonksiyonun tanım kümesini bulun

Kesirlerin paydaları x = 2, x = 1 ve x = -3'te kaybolur. Bu nedenle, bu işlevin kapsamı

Örnek 4

Bağımlılık artık bir işlev değildir. Gerçekten de, örneğin x \u003d 1 için y değerini hesaplamak istiyorsak, o zaman üst formülü kullanarak şunları buluruz: y \u003d 2 1 - 3 \u003d -1 ve alt formülü kullanarak, : y \u003d 12 + 1 \u003d 2. Böylece, bir değer x(x = 1) iki y değerine karşılık gelir (y = -1 ve y = 2). Dolayısıyla bu bağımlılık (tanım gereği) bir işlev değildir.

Örnek 5

İki bağımlılığın grafikleri verilmiştir y(x ). Hangisinin bir fonksiyon olduğunu belirleyelim.

Şek. ve fonksiyonun grafiği verilir, çünkü herhangi bir nokta x0 sadece bir y0 değerine karşılık gelir. Şek. b, bu tür noktalar olduğundan (örneğin, x0 ) birden fazla y değerine karşılık gelen (örneğin, y1 ve y2).

Şimdi fonksiyonları tanımlamanın ana yollarını ele alalım.

1) Analitik (bir formül veya formül kullanarak).

Örnek 6

İşlevleri göz önünde bulundurun:

Alışılmadık şekle rağmen, bu oran aynı zamanda bir işlevi de tanımlar. Herhangi bir x değeri için y değerini bulmak kolaydır. Örneğin, x = -0.37 için (x'ten beri< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, sonra alt ifadeyi kullanırız) elimizde:y bulma yönteminden, herhangi bir x değeri için yalnızca bir y değeri olduğu açıktır.

c) 3x + y = 2y - x2. Bu bağıntıdan y'nin değerini ifade edelim: 3x + x2 = 2y - y veya x2 + 3x = y. Böylece bu bağıntı aynı zamanda y = x2 + 3x fonksiyonunu da tanımlar.

2) tablo

Örnek 7

x sayıları için y kareler tablosunu yazalım.

Tablo verileri ayrıca bir işlevi tanımlar - x'in her (tabloda verilen) değeri için, tek bir y değeri bulunabilir. Örneğin, y(1.5) = 2.25, y(5) = 25 vb.

3) Grafik

Dikdörtgen bir koordinat sisteminde, y(x) fonksiyonel bağımlılığını görüntülemek için özel bir çizim - bir fonksiyon grafiği kullanmak uygundur.

Tanım 2. Bir fonksiyonun grafiği y(x ) apsisleri bağımsız değişken x'in değerlerine eşit olan koordinat sisteminin tüm noktalarının kümesi olarak adlandırılır ve ordinatlar, bağımlı değişken y'nin karşılık gelen değerlerine eşittir.

Bu tanım sayesinde, y(x) fonksiyonel bağımlılığını sağlayan tüm (x0, y0) nokta çiftleri fonksiyonun grafiğinde yer alır. Bağımlılığı karşılamayan diğer nokta çiftleri y(x ), fonksiyonlar grafikte yer almaz.

Örnek 8

Verilen bir fonksiyon Bu fonksiyonun grafiği şu koordinatlara sahip bir nokta içeriyor mu: a) (-2; -6); b) (-3; -10)?

1. y fonksiyonunun değerini buluny(-2) = -6 olduğundan, A (-2; -6) noktası bu fonksiyonun grafiğine aittir.

2. için y fonksiyonunun değerini belirleyelim. y'den beri (-3) = -11 ise B noktası (-3; -10) bu fonksiyonun grafiğine ait değildir.

y \u003d fonksiyonunun bu grafiğine göre f(x ) tanım alanını bulmak kolaydır D(f ) ve aralık E(f ) fonksiyonlar. Bunu yapmak için, grafik noktaları koordinat eksenlerine yansıtılır. Daha sonra bu noktaların apsisleri tanım alanını oluşturur. D(f ), koordinatlar - aralık E(f).

Bir fonksiyonu tanımlamanın farklı yollarını karşılaştıralım. Analitik yöntem en eksiksiz olarak kabul edilmelidir. Bazı argüman değerleri için bir fonksiyon değerleri tablosu oluşturmanıza, fonksiyonun bir grafiğini oluşturmanıza ve fonksiyon üzerinde gerekli incelemeyi yapmanıza olanak tanır. Aynı zamanda, tablo yöntemi, bazı argüman değerleri için fonksiyon değerini hızlı ve kolay bir şekilde bulmanızı sağlar. Bir fonksiyonun grafiği, davranışını açıkça gösterir. Bu nedenle, bir işlevi tanımlamanın farklı yollarına karşı çıkılmamalıdır; her birinin avantajları ve dezavantajları vardır. Pratikte, bir fonksiyonu tanımlamanın üç yolu da kullanılır.

Örnek 9

y \u003d 2x2 - 3x +1 işlevi verilir.

Bul: a) y (2); b) y (-3x); c) y(x + 1).

Argümanın bir değeri için bir fonksiyonun değerini bulmak için, argümanın bu değerini fonksiyonun analitik formuna koymak gerekir. Böylece şunu elde ederiz:

Örnek 10

y(3 - x) = 2x2 - 4 olduğu bilinmektedir. Bul: a) y(x); b) y(-2).

a) Harf ile belirtmek z = 3-x, sonra x = 3 - z . Bu x değerini, y (3 - x) \u003d 2x2 - 4 fonksiyonunun analitik formuna koyarız ve şunu elde ederiz: y (3 - (3 - z)) \u003d 2 (3 - z) 2 - 4 veya y (z) \u003d 2 (3 - z) 2 - 4 veya y (z) \u003d 2 (9 - 6 z + z 2) - 4 veya y (z) \u003d 2x2 - 12 z + 14. İşlev argümanının hangi harfle ifade edildiği önemli olmadığından - z, x, t veya başka herhangi biri, o zaman hemen şunu elde ederiz: y (x) \u003d 2x2 - 12x + 14;

b) Şimdi y(-2) = 2 (-2)2 - 12 (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46'yı bulmak kolaydır.

Örnek 11

olduğu biliniyor x(y)'yi bulun.

Harf ile belirtmek z = x - 2, sonra x = z + 2 ve sorunun durumunu yazın: veya İle argümanın koşulunu yazıyoruz (- z ): Kolaylık sağlamak için yeni değişkenler sunuyoruz a = y(z) ve b = y(-z) ). Bu tür değişkenler için bir lineer denklem sistemi elde ederiz.

Bilinmeyenle ilgileniyoruz a.

Bunu bulmak için cebirsel toplama yöntemini kullanıyoruz. Bu nedenle, ilk denklemi (-2) sayısıyla, ikinci denklemi - 3 sayısıyla çarparız:

Bu denklemleri ekleyelim:nerede İşlev argümanı herhangi bir harfle gösterilebildiğinden, elimizde:

Sonuç olarak, 9. sınıfın sonunda özelliklerin ve grafiklerin çalışıldığını not ediyoruz:

a) doğrusal fonksiyon y = kx + m (grafik - düz çizgi);

b) ikinci dereceden fonksiyon y = ax2 + B x + c (grafik - parabol);

c) lineer kesirli fonksiyon(grafik bir hiperboldür), özellikle fonksiyonlar

d) güç fonksiyonu y = xa (özellikle, fonksiyonlar

e) y = |x| fonksiyonları.

Malzemeyi daha fazla incelemek için bu fonksiyonların özelliklerini ve grafiklerini tekrarlamanızı öneririz. Sonraki derslerde, grafikleri dönüştürmenin ana yollarını ele alacağız.

1. Sayısal bir fonksiyon tanımlayın.

2. Bir işlevi tanımlamanın yolları hakkında konuşun.

3. A ve A kümelerinin birleşimine ne denir? B?

4. Hangi işlevlere tam rasyonel denir?

5. Hangi işlevlere kesirli rasyonel denir? Bu tür işlevlerin kapsamı nedir?

6. Bir fonksiyonun grafiğine ne denir f(x)?

7. Ana fonksiyonların özelliklerini ve grafiklerini veriniz.

IV. Derslerde ödev

§ 1, sayı 1 (a, d); 2 (c, d); 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 6 (c); 7 (a, b); 8 (c, d); 10 ( a ); 13 (c, d); 16 (a, b); on sekiz.

V. Ödev

§ 1, no 1 (b, c); 2 (a, b); 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 6 (d); 7 (c, d); 8 (a, b); 10 (b); 13 (a, b); 16 (c, d); 19.

VI. Yaratıcı görevler

1. y = fonksiyonunu bulun f(x) eğer:

Yanıtlar:

2. y = fonksiyonunu bulun f(x) eğer:

Yanıtlar:

VII. Dersleri özetlemek