Definujte stupeň čísla s racionálnym exponentom. Stupeň s racionálnym a skutočným exponentom. Vlastnosti stupňov s prirodzenými ukazovateľmi

Po určení stupňa čísla je logické hovoriť stupňa vlastnosti. V tomto článku uvedieme základné vlastnosti stupňa čísla, pričom sa dotkneme všetkých možných exponentov. Tu uvedieme dôkazy o všetkých vlastnostiach stupňa a tiež ukážeme, ako sa tieto vlastnosti uplatňujú pri riešení príkladov.

Navigácia na stránke.

Vlastnosti stupňov s prirodzenými ukazovateľmi

Podľa definície mocniny s prirodzeným exponentom je mocnina a n súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a . Na základe tejto definície a používania vlastnosti násobenia reálnych čísel, môžeme získať a zdôvodniť nasledovné vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom:

hlavná vlastnosť stupňa a m ·a n =a m+n, jej zovšeobecnenie ;
vlastnosť čiastkových mocnín s rovnakými základmi a m:a n =a m−n ;
vlastnosť stupňa produktu (a b) n =a n b n , jeho rozšírenie ;
podielová vlastnosť v naturáliách (a:b) n =a n:b n ;
umocnenie (a m) n =a m n, jeho zovšeobecnenie (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
porovnanie stupňa s nulou:
- ak a>0 , potom a n >0 pre ľubovoľné prirodzené n ;
- ak a=0, potom an=0;
- Ak<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ak a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
ak a a b sú kladné čísla a a
ak m a n sú prirodzené čísla také, že m>n , potom pri 0 0 nerovnosť a m >a n je pravdivá.

Okamžite si všimneme, že všetky písomné rovnosti sú identické za stanovených podmienok a ich pravú a ľavú časť možno zameniť. Napríklad hlavná vlastnosť zlomku a m a n = a m + n s zjednodušenie výrazovčasto sa používa v tvare a m+n = a m a n .

Teraz sa pozrime na každý z nich podrobne.

Začnime vlastnosťou súčinu dvoch mocnín s rovnakými základmi, ktorá je tzv hlavná vlastnosť stupňa: pre ľubovoľné reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n platí rovnosť a m ·a n =a m+n.

Dokážme hlavnú vlastnosť stupňa. Definíciou stupňa s prirodzeným exponentom možno súčin mocnín s rovnakými základmi tvaru a m a n zapísať ako súčin. Vďaka vlastnostiam násobenia možno výsledný výraz zapísať ako a tento súčin je mocninou a s prirodzeným exponentom m+n , teda a m+n . Tým je dôkaz hotový.

Uveďme príklad, ktorý potvrdzuje hlavnú vlastnosť stupňa. Zoberme si stupne s rovnakými základmi 2 a prirodzené stupne 2 a 3, podľa hlavnej vlastnosti stupňa môžeme napísať rovnosť 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Skontrolujeme jeho platnosť, pre ktorú vypočítame hodnoty výrazov 2 2 ·2 3 a 2 5 . Vykonávame umocňovanie, máme 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 a 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, keďže sa získajú rovnaké hodnoty, potom je rovnosť 2 2 2 3 \u003d 2 5 správna a potvrdzuje hlavnú vlastnosť stupňa.

Hlavná vlastnosť stupňa založená na vlastnostiach násobenia sa dá zovšeobecniť na súčin troch alebo viacerých mocnín s rovnakými základňami a prirodzenými exponentmi. Takže pre ľubovoľný počet k prirodzených čísel n 1 , n 2 , …, n k je rovnosť a n 1 a n 2 a n k =a n 1 + n 2 +…+n k.

Napríklad, (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Môžete prejsť na ďalšiu vlastnosť stupňov s prirodzeným indikátorom - vlastnosť čiastkových právomocí s rovnakými základmi: pre ľubovoľné nenulové reálne číslo a a ľubovoľné prirodzené čísla m a n spĺňajúce podmienku m>n platí rovnosť a m:a n =a m−n.

Pred poskytnutím dôkazu o tejto vlastnosti diskutujme o význame dodatočných podmienok vo formulácii. Podmienka a≠0 je nevyhnutná, aby sme sa vyhli deleniu nulou, keďže 0 n = 0, a keď sme sa s delením oboznámili, zhodli sme sa, že nulou sa deliť nedá. Podmienka m>n je zavedená preto, aby sme neprekročili prirodzené exponenty. V skutočnosti pre m>n je exponent a m−n prirodzené číslo, inak bude buď nula (čo platí pre m−n ) alebo záporné číslo (čo platí pre m
Dôkaz. Hlavná vlastnosť zlomku nám umožňuje zapísať rovnosť a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Zo získanej rovnosti a m−n ·a n =a m az nej vyplýva, že a m−n je podiel mocnín a m a a n . To dokazuje vlastnosť čiastkových mocnín s rovnakými základmi.

Vezmime si príklad. Vezmime si dva stupne s rovnakými základňami π a prirodzenými exponentmi 5 a 2, uvažovaná vlastnosť stupňa zodpovedá rovnosti π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Teraz zvážte vlastnosť stupňa produktu: prirodzený stupeň n súčinu ľubovoľných dvoch reálnych čísel a a b sa rovná súčinu stupňov a n a b n , teda (a b) n =a n b n .

Podľa definície stupňa s prirodzeným exponentom máme . Posledný súčin, založený na vlastnostiach násobenia, možno prepísať ako , čo sa rovná a n b n .

Tu je príklad: .

Táto vlastnosť sa rozširuje na stupeň súčinu troch alebo viacerých faktorov. To znamená, že prirodzená mocninná vlastnosť n súčinu k faktorov sa zapíše ako (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

Pre názornosť si túto vlastnosť ukážeme na príklade. Pre súčin troch faktorov s mocninou 7 máme .

Ďalšou vlastnosťou je prírodná vlastnosť: podiel reálnych čísel a a b , b≠0 k prirodzenej mocnine n sa rovná podielu mocnín a n a b n , teda (a:b) n =a n:b n .

Dôkaz je možné vykonať pomocou predchádzajúcej vlastnosti. Takže (a:b) nb n = ((a:b) b) n = a n a rovnosť (a:b) n b n = a n znamená, že (a:b) n je podiel a n delený b n .

Napíšme túto vlastnosť pomocou príkladu konkrétnych čísel: .

Teraz poďme na hlas vlastnosť umocnenia: pre akékoľvek reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n sa mocnina a m na n rovná mocnine a s exponentom m·n , teda (a m) n =a m·n .

Napríklad (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6 .

Dôkazom mocenskej vlastnosti v určitom stupni je nasledujúci reťazec rovnosti: .

Uvažovaná vlastnosť môže byť rozšírená na stupeň v rámci stupňa v rámci stupňa atď. Napríklad pre akékoľvek prirodzené čísla p, q, r a s je to rovnosť . Pre lepšiu prehľadnosť uvádzame príklad s konkrétnymi číslami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Zostáva sa pozastaviť nad vlastnosťami porovnávania stupňov s prirodzeným exponentom.

Začneme dôkazom porovnávacej vlastnosti nuly a mocniny s prirodzeným exponentom.

Najprv zdôvodnime, že a n >0 pre ľubovoľné a>0 .

Súčin dvoch kladných čísel je kladné číslo, ako vyplýva z definície násobenia. Táto skutočnosť a vlastnosti násobenia nám umožňujú tvrdiť, že výsledkom násobenia ľubovoľného počtu kladných čísel bude aj kladné číslo. A mocnina a s prirodzeným exponentom n je podľa definície súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Tieto argumenty nám umožňujú tvrdiť, že pre akúkoľvek kladnú bázu a je stupeň a n kladné číslo. Na základe preukázanej vlastnosti 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 a .

Je celkom zrejmé, že pre každé prirodzené n s a=0 je stupeň a n nulový. Skutočne, 0 n = 0 · 0 · ... · 0 = 0. Napríklad 0 3 = 0 a 0 762 = 0 .

Prejdime k negatívnym základom.

Začnime prípadom, keď je exponent párne číslo, označme ho ako 2 m , kde m je prirodzené číslo. Potom . Pre každý zo súčinov tvaru a·a sa rovná súčinu modulov čísel a a a je teda kladné číslo. Preto bude produkt tiež pozitívny. a stupeň a 2 m . Tu sú príklady: (-6) 4 >0, (-2,2) 12 >0 a .

Nakoniec, keď základ a je záporné číslo a exponent je nepárne číslo 2 m−1, potom . Všetky súčiny a·a sú kladné čísla, súčin týchto kladných čísel je tiež kladný a jeho vynásobením zvyšným záporným číslom a vznikne záporné číslo. Vďaka tejto vlastnosti (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Obrátime sa na vlastnosť porovnávania stupňov s rovnakými prirodzenými exponentmi, ktorá má nasledujúcu formuláciu: dvoch stupňov s rovnakými prirodzenými exponentmi je n menšie ako ten, ktorého základ je menší, a viac ako ten, ktorého základ je väčší. Poďme to dokázať.

Nerovnosť a n vlastnosti nerovností dokazuje sa nerovnosť tvaru a n (2,2) 7 a .

Zostáva dokázať poslednú z uvedených vlastností mocnín s prirodzenými exponentmi. Poďme to sformulovať. Z dvoch stupňov s prirodzenými ukazovateľmi a rovnakými kladnými bázami je menej ako jeden stupeň väčší, ktorého ukazovateľ je menší; a dvoch stupňov s prirodzenými ukazovateľmi a rovnakými základňami väčšími ako jedna, stupeň, ktorého ukazovateľ je väčší, je väčší. Obraciame sa na dôkaz tejto vlastnosti.

Dokážme, že pre m>n a 0 0 v dôsledku počiatočnej podmienky m>n , z čoho vyplýva, že pri 0
Zostáva preukázať druhú časť majetku. Dokážme, že pre m>n a a>1 platí a m >a n. Rozdiel a m −a n po vybratí a n zo zátvoriek nadobúda tvar a n ·(a m−n −1) . Tento súčin je kladný, pretože pre a>1 je stupeň a n kladné číslo a rozdiel a m−n −1 je kladné číslo, keďže m−n>0 v dôsledku počiatočnej podmienky a pre a>1, stupeň a m−n je väčší ako jedna . Preto a m − a n >0 a a m >a n , čo sa malo dokázať. Túto vlastnosť ilustruje nerovnosť 3 7 >3 2 .

Vlastnosti stupňov s celočíselnými exponentmi
Keďže kladné celé čísla sú prirodzené čísla, potom sa všetky vlastnosti mocnín s kladnými celočíselnými exponentmi presne zhodujú s vlastnosťami mocnín s prirodzenými exponentmi uvedenými a dokázanými v predchádzajúcom odseku.

Stupeň so záporným celočíselným exponentom, ako aj stupeň s nulovým exponentom sme definovali tak, že všetky vlastnosti stupňov s prirodzenými exponentmi vyjadrené rovnosťami zostávajú v platnosti. Preto všetky tieto vlastnosti platia ako pre nulové, tak aj pre záporné exponenty, pričom samozrejme základy stupňov sú nenulové.

Takže pre všetky reálne a nenulové čísla a a b, ako aj pre všetky celé čísla m a n, platí nasledovné vlastnosti stupňov s celočíselnými exponentmi:

a m a n \u003d a m + n;

a m: a n = a m-n;

(a b) n = a n b n;

(a:b)n=an:bn;

(a m) n = a m n;

ak n je kladné celé číslo, aab sú kladné čísla a a b-n;

ak m a n sú celé čísla a m>n , potom pri 0 1 je splnená nerovnosť a m >a n.

Pre a=0 majú mocniny a m a a n zmysel iba vtedy, keď sú m aj n kladné celé čísla, teda prirodzené čísla. Práve napísané vlastnosti teda platia aj pre prípady, keď a=0 a čísla m a n sú kladné celé čísla.

Nie je ťažké dokázať každú z týchto vlastností, na to stačí použiť definície stupňa s prirodzeným a celočíselným exponentom, ako aj vlastnosti akcií s reálnymi číslami. Ako príklad ukážme, že mocnina platí pre kladné aj nekladné celé čísla. Aby sme to dosiahli, musíme ukázať, že ak p je nula alebo prirodzené číslo a q je nula alebo prirodzené číslo, potom rovnosti (a p) q =a p q, (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) a (a−p)−q =a (−p) (−q). Poďme na to.

Pre kladné p a q bola v predchádzajúcej podkapitole dokázaná rovnosť (a p) q =a p·q. Ak p=0 , potom máme (a 0) q =1 q =1 a a 0 q =a 0 =1 , odkiaľ (a 0) q =a 0 q . Podobne, ak q=0, potom (a p) 0 = 1 a a p 0 = a 0 = 1, odkiaľ (a p) 0 = a p 0 . Ak p=0 aj q=0, potom (a 0) 0 = 1 0 = 1 a a 0 0 = a 0 = 1, odkiaľ (a 0) 0 = a 0 0 .

Dokážme teraz, že (a −p) q =a (−p) q . Podľa definície stupňa so záporným exponentom celého čísla potom . Vlastnosťou kvocientu v stupni máme . Pretože 1 p =1·1·…·1=1 a , potom . Posledným výrazom je podľa definície mocnina tvaru a −(p q) , ktorú možno na základe pravidiel násobenia zapísať ako a (−p) q .

Podobne .

A .

Rovnakým princípom je možné dokázať všetky ostatné vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom, zapísaným vo forme rovnosti.

V predposlednej z napísaných vlastností sa oplatí pozastaviť sa nad dôkazom nerovnosti a −n >b −n , čo platí pre akékoľvek záporné celé číslo −n a každé kladné číslo a a b, pre ktoré platí podmienka a . Keďže podľa podmienky a 0 Súčin a n ·b n je tiež kladný ako súčin kladných čísel a n a b n . Potom je výsledný zlomok kladný ako podiel kladných čísel b n − a n a a n b n . Odkiaľ teda a −n >b −n , ktoré sa malo dokázať.

Posledná vlastnosť stupňov s celočíselnými exponentmi sa dokazuje rovnakým spôsobom ako analogická vlastnosť stupňov s prirodzenými exponentmi.

Vlastnosti mocnin s racionálnymi exponentmi

Stupeň sme definovali zlomkovým exponentom rozšírením vlastností stupňa o celočíselný exponent. Inými slovami, stupne so zlomkovými exponentmi majú rovnaké vlastnosti ako stupne s celočíselnými exponentmi. menovite:

Dôkaz vlastností stupňov so zlomkovými exponentmi je založený na definícii stupňa so zlomkovým exponentom, na vlastnostiach stupňa s celočíselným exponentom. Dajme dôkaz.

Podľa definície stupňa so zlomkovým exponentom a , potom . Vlastnosti aritmetického koreňa nám umožňujú zapísať nasledujúce rovnosti. Ďalej pomocou vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom dostaneme , z čoho podľa definície stupňa s zlomkovým exponentom máme , pričom exponent získaného stupňa možno previesť takto: . Tým je dôkaz hotový.

Druhá vlastnosť mocnín so zlomkovými exponentmi sa dokazuje presne tým istým spôsobom:

Ostatné rovnosti sú dokázané podobnými princípmi:

Obraciame sa na dôkaz ďalšej vlastnosti. Dokážme, že pre každé kladné a a b platí a b p . Racionálne číslo p zapíšeme ako m/n , kde m je celé číslo a n je prirodzené číslo. Podmienky p<0 и p>0 bude v tomto prípade ekvivalentná podmienkam m<0 и m>0 resp. Pre m>0 a a
Podobne pre m<0 имеем a m >b m , odkiaľ , teda a p >b p .

Zostáva preukázať poslednú z uvedených vlastností. Dokážme, že pre racionálne čísla p a q platí p>q pre 0 0 – nerovnosť a p >a q . Racionálne čísla p a q môžeme vždy zredukovať na spoločného menovateľa, získajme obyčajné zlomky a, kde m 1 a m 2 sú celé čísla a n je prirodzené číslo. V tomto prípade bude podmienka p>q zodpovedať podmienke m 1 >m 2, ktorá vyplýva z . Potom pomocou vlastnosti porovnávania mocnín s rovnakými bázami a prirodzenými exponentmi pri 0 1 – nerovnosť a m 1 >a m 2 . Tieto nerovnosti z hľadiska vlastností koreňov možno prepísať, resp a . A definícia stupňa s racionálnym exponentom nám umožňuje prejsť k nerovnostiam, resp. Z toho vyvodíme konečný záver: pre p>q a 0 0 – nerovnosť a p >a q .

Vlastnosti stupňov s iracionálnymi exponentmi

Z toho, ako je definovaný stupeň s iracionálnym exponentom, možno usúdiť, že má všetky vlastnosti stupňov s racionálnymi exponentmi. Takže pre akékoľvek a>0 , b>0 a iracionálne čísla p a q platí nasledovné vlastnosti stupňov s iracionálnymi exponentmi:

a p a q = a p + q;

a p:a q = a p−q;

(ab) p = apbp;

(a:b)p=ap:bp;

(ap) q = apq;

pre všetky kladné čísla a a b , a 0 nerovnosť a p bp;

pre iracionálne čísla p a q je p>q 0 0 – nerovnosť a p >a q .

Z toho môžeme usúdiť, že mocniny s ľubovoľnými reálnymi exponentmi p a q pre a>0 majú rovnaké vlastnosti.

Bibliografia.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Učebnica matematiky Zh pre 5 buniek. vzdelávacie inštitúcie.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 7 buniek. vzdelávacie inštitúcie.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 8 buniek. vzdelávacie inštitúcie.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 9 buniek. vzdelávacie inštitúcie.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre 10.-11. ročník všeobecných vzdelávacích inštitúcií.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).

Stupeň s racionálnym exponentom
Množina racionálnych čísel zahŕňa celé čísla a zlomkové čísla.
Definícia 1

Mocnina čísla $a$ s celočíselným exponentom $n$ je výsledkom vynásobenia čísla $a$ samým sebou $n$ krát a: $a^n=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$, pre $n>0$; $a^n=\frac(1)(a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)$, pre $n
Definícia 2

Mocnina čísla $a$ s zlomkovým exponentom $\frac(m)(n)$ sa nazýva $n$-tá odmocnina z $a$ na mocninu $m$: $a^\frac(m)(n)=\sqrt[n](a^m)$, kde $a>0 $, $ n$ je prirodzené číslo, $m$ je celé číslo.
Definícia 3

Mocnina nuly so zlomkovým exponentom $\frac(m)(n)$ je definovaný takto: $0^\frac(m)(n)=\sqrt[n](0^m)=0$, kde $m$ je celé číslo, $m>0$, $n$ je prirodzené číslo číslo.
Existuje iný prístup k určovaniu stupňa čísla so zlomkovým exponentom, ktorý ukazuje možnosť existencie stupňa záporného čísla alebo záporného zlomkového exponentu.
Napríklad výrazy $\sqrt((-3)^6)$, $\sqrt((-3)^3)$ alebo $\sqrt((-7)^(-10))$ dávajú zmysel, takže a výrazy $(-3)^\frac(6)(7)$, $(-3)^\frac(3)(7)$ a $(-7)^\frac(-10)(6) $ by mali dávať zmysel, zatiaľ čo podľa definície stupňa s exponentom vo forme zlomku so záporným základom neexistujú.

Dajme inú definíciu:
Mocnina $a$ s zlomkovým exponentom $\frac(m)(n)$ sa nazýva $\sqrt[n](a^m)$ v nasledujúcich prípadoch:
Pre akékoľvek reálne číslo $a$, celé číslo $m>0$ a nepárne kladné celé číslo $n$.

Napríklad $13,4^\frac(7)(3)=\sqrt(13,4^7)$, $(-11)^\frac(8)(5)=\sqrt((-11)^8)$.

Pre akékoľvek nenulové reálne číslo $a$, celé číslo záporné $m$ a nepárne $n$.

Napríklad $13,4^\frac(-7)(3)=\sqrt(13,4^(-7))$, $(-11)^\frac(-8)(5)=\sqrt((-11) ^(-8))$.

Pre akékoľvek nezáporné číslo $a$, kladné celé číslo $m$ a dokonca $n$.

Napríklad $13,4^\frac(7)(4)=\sqrt(13,4^7)$, $11^\frac(3)(16)=\sqrt(11^3)$.

Pre akékoľvek kladné $a$, záporné celé číslo $m$ a dokonca $n$.

Napríklad $13,4^\frac(-7)(4)=\sqrt(13,4^(-7))$, $11^\frac(-3)(8)=\sqrt(11^(-3))$ .

Za iných podmienok nie je možné určiť stupeň s zlomkovým ukazovateľom.

Napríklad $(-13,4)^\frac(10)(3)=\sqrt((-13,4)^(10))$, $(-11)^\frac(5)(4) = \sqrt((-11)^5)$.

Okrem toho pri aplikácii tejto definície je dôležité, aby zlomkový exponent $\frac(m)(n)$ bol neredukovateľný zlomok.

Závažnosť tejto poznámky spočíva v tom, že stupeň záporného čísla so zlomkovým redukovaným exponentom, napríklad $\frac(10)(14)$, bude kladné číslo a stupeň toho istého čísla s už redukovaným exponentom $\frac(5)(7)$ bude záporné číslo.
Napríklad $(-1)^\frac(10)(14)=\sqrt((-1)^(10))=\sqrt(1^(10))=1$ a $(-1)^ \frac(5)(7)=\sqrt((-1)^5)=-1$.
Keď sa teda vykoná redukcia zlomkov $\frac(10)(14)=\frac(5)(7)$, rovnosť $(-1)^\frac(10)(14)=(-1)^ \ frac(5)(7)$.
Poznámka 1

Treba poznamenať, že častejšie sa používa pohodlnejšia a jednoduchšia prvá definícia stupňa s exponentom vo forme zlomku.

V prípade zápisu zlomkového exponentu ako zmiešaného zlomku alebo desatinného miesta je potrebné previesť exponent do tvaru obyčajného zlomku.

Napríklad $(2 \frac(3)(7))^(1 \frac(2)(7))=(2 \frac(3)(7))^\frac(9)(7)=\ sqrt ((2 \frac(3)(7))^9)$, $7^(3,6)=7^\frac(36)(10)=\sqrt(7^(36))$.
Stupeň s iracionálnym a skutočným exponentom
Komu platnéčísla zahŕňajú racionálne a iracionálne čísla.
Analyzujme pojem stupňa s iracionálnym exponentom, keďže stupňa s racionálnym exponentom, ktorý sme uvažovali.
Uvažujme postupnosť aproximácií k číslu $\alpha$, čo sú racionálne čísla. Tie. máme postupnosť racionálnych čísel $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\ldots$, ktoré určujú číslo $\alpha$ s ľubovoľným stupňom presnosti. Ak vypočítame mocniny s týmito exponentmi $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots$, potom sa ukáže, že tieto čísla sú aproximáciou nejaké číslo $ b$.
Definícia 4

Mocnina $a>0$ s iracionálnym exponentom $\alpha$ je výraz $a^\alpha$, ktorý má hodnotu rovnajúcu sa limite postupnosti $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots $, kde $ \alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, … sú postupné desatinné aproximácie iracionálneho čísla $\alpha$.

MBOU "Sidorskaja

základná škola"

Vypracovanie osnovy plánu otvorená lekcia

v algebre v 11. ročníku na tému:

Pripravené a realizované

učiteľ matematiky

Iskhakova E.F.

Náčrt otvorenej hodiny algebry v 11. ročníku.

Téma : "Stupeň s racionálnym exponentom".

Typ lekcie : Učenie sa nového materiálu

Ciele lekcie:

Oboznámiť študentov s pojmom titul s racionálnym ukazovateľom a jeho hlavnými vlastnosťami na základe predtým preštudovaného materiálu (titul s celočíselným ukazovateľom).
Rozvíjať výpočtové schopnosti a schopnosť konvertovať a porovnávať čísla s racionálnym exponentom.
Pestovať u žiakov matematickú gramotnosť a matematický záujem.

Vybavenie : Kartičky úloh, prezentácia študenta o diplome s celočíselným ukazovateľom, prezentácia učiteľa o diplome s racionálnym ukazovateľom, notebook, multimediálny projektor, plátno.

Počas tried:

Organizovanie času.

Kontrola asimilácie preberanej témy na jednotlivých kartách úloh.

Úloha číslo 1.

=2;

B) = x + 5;

Vyriešte systém iracionálnych rovníc: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Úloha číslo 2.

Vyriešte iracionálnu rovnicu: = - 3;

B) = x - 2;

Vyriešte sústavu iracionálnych rovníc: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Prezentácia témy a cieľov lekcie.

Téma našej dnešnej lekcie Stupeň s racionálnym exponentom».

Vysvetlenie nového materiálu na príklade predtým študovaného.

Pojem stupeň s celočíselným exponentom už poznáte. Kto mi pomôže zapamätať si ich?

Opakovanie s prezentáciou Stupeň s celočíselným exponentom».

Pre všetky čísla a , b a akékoľvek celé čísla m a n platí rovnosť:

am* an = am + n;

am: an = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = a mn;

(ab) n = a n * b n;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0);

a1 = a; a 0 = 1 (a ≠ 0)

Dnes zovšeobecníme pojem stupňa čísla a dáme význam výrazom, ktoré majú zlomkový exponent. Poďme sa predstaviť definícia stupne s racionálnym ukazovateľom (Prezentácia "Stupeň s racionálnym ukazovateľom"):

Stupeň a > 0 s racionálnym exponentom r = , kde m je celé číslo a n - prírodný ( n > 1), zavolal na číslo m .

Takže podľa definície to dostaneme = m .

Skúsme túto definíciu aplikovať pri vykonávaní úlohy.

PRÍKLAD #1

Vyjadrím ako koreň čísla výraz:

ALE) B) AT) .

Teraz sa pokúsime aplikovať túto definíciu naopak

II Vyjadrite výraz ako mocninu s racionálnym exponentom:

ALE) 2 B) AT) 5 .

Mocnina 0 je definovaná len pre kladné exponenty.

0 r= 0 pre ľubovoľné r> 0.

Pomocou tejto definície doma dokončíte #428 a #429.

Ukážme teraz, že vyššie uvedená definícia stupňa s racionálnym exponentom zachováva základné vlastnosti stupňov, ktoré platia pre akýkoľvek exponent.

Pre všetky racionálne čísla r a s a akékoľvek kladné a a b platia rovnosti:

1 0 . a r a s =a r+s ;

PRÍKLAD: *

dvadsať . a r: a s = a r-s;

PRÍKLAD: :

3 0 . (a r) s = a rs;

PRÍKLAD: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

PRÍKLAD: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

PRÍKLAD o použití viacerých vlastností naraz: * : .

Fizkultminutka.

Položili sme perá na stôl, narovnali chrbty a teraz siahame dopredu, chceme sa dotknúť dosky. A teraz sme sa zdvihli a naklonili doprava, doľava, dopredu, dozadu. Ukázali mi perá a teraz mi ukáž, ako môžu tvoje prsty tancovať.

Pracujte na materiáli

Všimli sme si ešte dve vlastnosti mocnín s racionálnymi exponentmi:

60 . Nechaj r je racionálne číslo a 0< a < b . Тогда

a r < b r pri r> 0,

a r < b r pri r< 0.

7 0 . Pre akékoľvek racionálne číslar a s z nerovnosti r> s z toho vyplýva

a r> a r pre > 1,

a r < а r na 0< а < 1.

PRÍKLAD: Porovnajte čísla:

A ; 2 300 a 3 200 .

Zhrnutie lekcie:

Dnes sme si v lekcii pripomenuli vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom, naučili sme sa definíciu a základné vlastnosti stupňa s racionálnym exponentom, zvážili uplatnenie tohto teoretického materiálu v praxi pri vykonávaní cvičení. Chcem vás upozorniť na skutočnosť, že téma "Stupeň s racionálnym ukazovateľom" je povinná v USE priradenia. V príprave domáca úloha (č. 428 a č. 429

Od celočíselných exponentov čísla a sa naznačuje prechod k racionálnemu exponentu. Nižšie definujeme stupeň s racionálnym exponentom a urobíme to tak, aby boli zachované všetky vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom. Je to potrebné, pretože celé čísla sú súčasťou racionálnych čísel.

Je známe, že množina racionálnych čísel pozostáva z celých a zlomkových čísel a každé zlomkové číslo môže byť reprezentované ako kladný alebo záporný obyčajný zlomok. V predchádzajúcom odseku sme definovali stupeň s celočíselným exponentom, preto, aby sme dokončili definíciu stupňa s racionálnym exponentom, musíme dať význam stupňu čísla a so zlomkom m/n, kde m je celé číslo a n- prirodzený. Poďme na to.

Uvažujme stupeň so zlomkovým exponentom tvaru. Aby vlastnosť titulu v stupni zostala platná, musí platiť rovnosť . Ak vezmeme do úvahy výslednú rovnosť a to, ako sme určili koreň n-tého stupňa, potom je logické akceptovať za predpokladu, že s údajmi m, n a a výraz dáva zmysel.

Je ľahké overiť, že všetky vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom platia pre as (to sa robí v časti o vlastnostiach stupňa s racionálnym exponentom).

Vyššie uvedená úvaha nám umožňuje urobiť nasledovné záver: ak je daný m, n a a výraz dáva zmysel, potom sila čísla a so zlomkom m/n nazývaný koreň n tý stupeň a do tej miery m.

Toto tvrdenie nás približuje k definícii stupňa so zlomkovým exponentom. Zostáva len popísať, pod čím m, n a a výraz dáva zmysel. V závislosti od uložených obmedzení m, n a a existujú dva hlavné prístupy.

1. Najjednoduchším spôsobom je zaviesť obmedzenie a, prijímanie a≥0 za pozitívne m a a>0 za negatívne m(pretože o m≤0 stupňa 0 m nie je určené). Potom dostaneme nasledujúcu definíciu stupňa so zlomkovým exponentom.

Definícia.

Stupeň kladného čísla a so zlomkom m/n , kde m je celok a n je prirodzené číslo, nazývané koreň n-tý spomedzi a do tej miery m, teda .

Zlomkový stupeň nuly je tiež definovaný s jedinou výhradou, že exponent musí byť kladný.

Definícia.

Mocnina nuly so zlomkovým kladným exponentom m/n , kde m je kladné celé číslo a n je prirodzené číslo, definované ako .
Keď stupeň nie je definovaný, to znamená, že stupeň čísla nula so zlomkovým záporným exponentom nedáva zmysel.

Je potrebné poznamenať, že pri takejto definícii stupňa so zlomkovým exponentom existuje jedna nuansa: pre niektoré negatívne a a nejaké m a n výraz dáva zmysel a tieto prípady sme zavrhli zavedením podmienky a≥0. Napríklad má zmysel písať alebo , a vyššie uvedená definícia nás núti povedať, že stupne so zlomkovým exponentom tvaru nemajú význam, pretože základ nesmie byť záporný.

2. Iný prístup k určeniu stupňa pomocou zlomkového exponentu m/n spočíva v oddelenom zohľadnení párnych a nepárnych exponentov odmocniny. Tento prístup si vyžaduje ďalšiu podmienku: mocninu čísla a, ktorého indikátorom je zmenšený obyčajný zlomok, sa považuje za mocninu čísla a, ktorej indikátorom je zodpovedajúci neredukovateľný zlomok (dôležitosť tejto podmienky bude vysvetlená nižšie). Teda ak m/n je neredukovateľný zlomok, potom pre akékoľvek prirodzené číslo k stupňa sa predbežne nahrádza .

Pre dokonca n a pozitívne m výraz má zmysel pre akýkoľvek nezápor a(odmocnina párneho stupňa záporného čísla nedáva zmysel), so záporom mčíslo a sa musí stále líšiť od nuly (inak to bude delenie nulou). A pre nepárny n a pozitívne mčíslo a môže byť čokoľvek (koreň nepárneho stupňa je definovaný pre akékoľvek reálne číslo) a pre zápor mčíslo a sa musí líšiť od nuly (aby nedochádzalo k deleniu nulou).

Vyššie uvedená úvaha nás vedie k takejto definícii stupňa so zlomkovým exponentom.

Definícia.

Nechaj m/n- neredukovateľný zlomok m je celok a n- prirodzené číslo. Pre akýkoľvek redukovateľný obyčajný zlomok je stupeň nahradený znakom . Stupeň a s neredukovateľným zlomkovým exponentom m/n- je to pre

o akékoľvek reálne číslo a, celé kladné číslo m a zvláštne prirodzené n, napríklad, ;

o akékoľvek nenulové reálne číslo a, celé záporné číslo m a nepárne n, napríklad, ;

o akékoľvek nezáporné číslo a, celé kladné číslo m a dokonca n, napríklad, ;

o akékoľvek pozitívne a, celé záporné číslo m a dokonca n, napríklad, ;

o v ostatných prípadoch nie je zadefinovaný stupeň so zlomkovým exponentom, ako napríklad nie sú definované stupne .a položkám neprikladáme žiadny význam, pre kladné zlomkové exponenty definujeme nulový stupeň m/n ako , pre záporné zlomkové exponenty nie je definovaný stupeň čísla nula.

Na záver tohto odseku si dajme pozor na to, že zlomkový exponent možno zapísať ako desatinný zlomok alebo ako zmiešané číslo, napr. . Ak chcete vypočítať hodnoty výrazov tohto druhu, musíte napísať exponent ako obyčajný zlomok a potom použiť definíciu stupňa so zlomkovým exponentom. Pre tieto príklady máme a

Video lekcia "Stupeň s racionálnym ukazovateľom" obsahuje vizuál vzdelávací materiál učiť na túto tému. Video lekcia obsahuje informácie o koncepte titulu s racionálnym exponentom, vlastnostiach, takýchto stupňoch, ako aj príklady popisujúce použitie vzdelávacieho materiálu na riešenie praktických problémov. Úlohou tejto video lekcie je jasne a jasne prezentovať vzdelávací materiál, uľahčiť jeho rozvoj a zapamätanie študentom, vytvoriť schopnosť riešiť problémy pomocou naučených pojmov.

Hlavnými výhodami video lekcie sú schopnosť vykonávať vizuálne transformácie a výpočty, schopnosť používať animačné efekty na zlepšenie efektívnosti učenia. Hlasový sprievod pomáha rozvíjať správnu matematickú reč a tiež umožňuje nahradiť výklad učiteľa a uvoľňuje ho pre samostatnú prácu.

Videonávod začína predstavením témy. Prepojením štúdia novej témy s predtým študovaným materiálom sa odporúča pripomenúť, že n √a sa inak označuje a 1/n pre prirodzené n a kladné a. Táto reprezentácia n-rootu sa zobrazí na obrazovke. Ďalej sa navrhuje zvážiť, čo znamená výraz a m / n, v ktorom a je kladné číslo a m / n je nejaký zlomok. Definícia stupňa zvýrazneného v rámčeku je uvedená s racionálnym exponentom ako a m/n = n √ a m . Je potrebné poznamenať, že n môže byť prirodzené číslo a m - celé číslo.

Po určení stupňa s racionálnym exponentom jeho význam odhalia príklady: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Je tiež znázornený príklad, kde sa mocnina reprezentovaná desatinnou čiarkou prevedie na spoločný zlomok, ktorý bude reprezentovaný ako odmocnina: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 a príklad so záporným exponentom: 3 -1/8 = 8 √3 -1 .

Samostatne je znak konkrétneho prípadu označený, keď je základ stupňa nula. Poznamenáva sa, že daný stupeň dáva zmysel len s kladným zlomkovým exponentom. V tomto prípade sa jeho hodnota rovná nule: 0 m/n = 0.

Ďalším znakom stupňa s racionálnym exponentom je, že stupeň so zlomkovým exponentom nemožno považovať za zlomkový. Uvádzame príklady nesprávneho zápisu stupňa: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Ďalej vo video lekcii sa zvažujú vlastnosti stupňa s racionálnym exponentom. Je potrebné poznamenať, že vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom budú platné aj pre stupeň s racionálnym exponentom. Navrhuje sa pripomenúť zoznam vlastností, ktoré sú platné aj v tomto prípade:

Pri násobení mocnín s rovnakými základmi sa ich ukazovatele spočítajú: a p a q \u003d a p + q.

Delenie stupňov s rovnakými základmi sa redukuje na stupeň s daným základom a rozdielom v exponentoch: a p:a q =a p-q .

Ak mocninu zvýšime na určitú mocninu, tak vo výsledku dostaneme mocninu s daným základom a súčinom exponentov: (a p) q =a pq .

Všetky tieto vlastnosti platia pre mocniny s racionálnymi exponentmi p, q a kladnou bázou a>0. Transformácie stupňov zostávajú pravdivé aj pri otváraní zátvoriek:

(ab) p =a p b p - zvýšenie súčinu dvoch čísel na určitú mocninu s racionálnym exponentom sa redukuje na súčin čísel, z ktorých každé je umocnené na danú mocninu.

(a/b) p =a p /b p - umocnenie s racionálnym exponentom zlomku sa redukuje na zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ sú umocnené na danú mocninu.

Videonávod rozoberá riešenie príkladov, ktoré využívajú uvažované vlastnosti stupňov s racionálnym exponentom. V prvom príklade sa navrhuje nájsť hodnotu výrazu, ktorý obsahuje premenné x na zlomkovú mocninu: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Napriek zložitosti výrazu, pomocou vlastností stupňov, je riešený celkom jednoducho. Riešenie úlohy začína zjednodušením výrazu, pri ktorom sa využíva pravidlo umocnenia mocniny s racionálnym exponentom na mocninu, ako aj násobenia mocniny s rovnakým základom. Po dosadení danej hodnoty x=8 do zjednodušeného výrazu x 1/3 +48 je ľahké získať hodnotu - 50.

V druhom príklade je potrebné zredukovať zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ obsahuje mocniny s racionálnym exponentom. Pomocou vlastností stupňa vyberieme faktor x 1/3 z rozdielu, ktorý sa potom zníži v čitateli a menovateli a pomocou vzorca rozdielu štvorcov sa čitateľ rozloží na faktory, čím sa získa viac znížení rovnaké faktory v čitateli a menovateli. Výsledkom takýchto premien je krátky zlomok x 1/4 +3.

Video lekcia "Stupeň s racionálnym ukazovateľom" môže byť použitá namiesto toho, aby učiteľ vysvetlil novú tému lekcie. Tento návod tiež obsahuje úplné informácie pre samoštúdiumštudent. Materiál môže byť užitočný pri dištančnom vzdelávaní.