نحوه حل معادلات با توان های بزرگ حل معادلات درجات بالاتر با روش های مختلف. خارج کردن عامل مشترک از پرانتز

در نظر گرفتن حل معادلات با یک متغیر درجه بالاتر از متغیر دوم.

درجه معادله P(x) = 0 درجه چند جمله ای P(x) است، یعنی. بزرگ ترین توان عبارات آن با ضریب غیر صفر.

بنابراین، برای مثال، معادله (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 دارای درجه پنجم است، زیرا پس از عملیات باز کردن براکت ها و آوردن موارد مشابه، معادله معادل x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 درجه پنجم را دریافت می کنیم.

قوانینی را که برای حل معادلات درجه بالاتر از دوم مورد نیاز است را به یاد بیاورید.

جملاتی در مورد ریشه های یک چند جمله ای و مقسوم علیه های آن:

1. چند جمله ای درجه نهمتعداد ریشه‌هایی دارد که از عدد n تجاوز نمی‌کند و ریشه‌های تعدد m دقیقاً m برابر است.

2. یک چند جمله ای با درجه فرد حداقل یک ریشه واقعی دارد.

3. اگر α ریشه Р(х) باشد، Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x)، که در آن Q n – 1 (x) چند جمله ای درجه (n – 1) است. .

4.

5. یک چند جمله ای کاهش یافته با ضرایب صحیح نمی تواند ریشه های گویا کسری داشته باشد.

6. برای چند جمله ای درجه سوم

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d یکی از دو چیز ممکن است: یا به حاصل ضرب سه دوجمله ای تجزیه می شود

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) یا به حاصل ضرب یک دو جمله ای و یک مثلث مربع P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ).

7. هر چند جمله ای درجه چهارم را می توان به حاصل ضرب دو مثلث مربع تجزیه کرد.

8. یک چند جمله‌ای f(x) بر یک چند جمله‌ای g(x) بدون باقیمانده بخش‌پذیر است اگر چند جمله‌ای q(x) وجود داشته باشد به طوری که f(x) = g(x) q(x). برای تقسیم چندجمله ای ها قانون «تقسیم بر یک گوشه» اعمال می شود.

9. برای اینکه چند جمله ای P(x) بر دو جمله ای (x – c) بخش پذیر باشد، لازم و کافی است که عدد c ریشه P(x) باشد (نتیجه قضیه بزوت).

10. قضیه ویتا: اگر x 1، x 2، ...، x n ریشه های واقعی چند جمله ای باشند.

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n، سپس برابری های زیر برقرار است:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0،

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

حل نمونه ها

مثال 1

پس از تقسیم P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 بر (x - 1/3) باقیمانده را پیدا کنید.

راه حل.

با توجه به نتیجه قضیه بزوت: "باقی مانده تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای (x - c) برابر است با مقدار چند جمله ای در c." P(1/3) = 0 را پیدا کنید. بنابراین، باقیمانده 0 و عدد 1/3 ریشه چند جمله ای است.

پاسخ: R = 0.

مثال 2

"گوشه" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 را بر (x + 2) تقسیم کنید. باقیمانده و نصاب ناقص را بیابید.

راه حل:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 - x

X 2 - 2 x

پاسخ: R = 3; ضریب: 2x2 - x.

روشهای اساسی برای حل معادلات درجات بالاتر

1. معرفی یک متغیر جدید

روش معرفی یک متغیر جدید از قبل از مثال معادلات دو درجه ای آشنا است. این شامل این واقعیت است که برای حل معادله f (x) \u003d 0، یک متغیر جدید (جایگزینی) t \u003d xn یا t \u003d g (x) معرفی می شود و f (x) از طریق t بیان می شود، به دست آوردن یک معادله جدید r (t). سپس با حل معادله r(t)، ریشه ها را پیدا کنید:

(t 1، t 2، ...، t n). پس از آن مجموعه ای از n معادله q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n به دست می آید که ریشه های معادله اصلی از آنها پیدا می شود.

مثال 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

راه حل:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

جایگزینی (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. تعویض معکوس:

x 2 + x + 1 = 2 یا x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 یا x 2 + x = 0;

پاسخ: از معادله اول: x 1، 2 = (-1 ± √5) / 2، از رابطه دوم: 0 و -1.

2. فاکتورسازی به روش گروه بندی و فرمول ضرب اختصاری

بنیاد این روشهمچنین جدید نیست و شامل گروه بندی اصطلاحات به گونه ای است که هر گروه دارای یک عامل مشترک باشد. برای این کار گاهی باید از ترفندهای مصنوعی استفاده کرد.

مثال 1

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

راه حل.

تصور کنید - 3x 2 = -2x 2 - x 2 و گروه:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 یا x 2 + x - 3 \u003d 0.

پاسخ: در معادله اول هیچ ریشه ای وجود ندارد، از معادله دوم: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. فاکتورسازی به روش ضرایب نامعین

ماهیت روش این است که چند جمله ای اصلی به عواملی با ضرایب مجهول تجزیه می شود. با استفاده از خاصیت مساوی بودن چند جمله ای ها در صورتی که ضرایب آنها در توان های یکسان برابر باشد، ضرایب بسط مجهول پیدا می شود.

مثال 1

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

راه حل.

یک چند جمله ای درجه 3 را می توان به حاصل ضرب ضرایب خطی و مربعی تجزیه کرد.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c)،

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

حل سیستم:

(b – a = 4،
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1،
(b=3،
(c = 2، به عنوان مثال

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

ریشه های معادله (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 به راحتی پیدا می شود.

پاسخ 1؛ -2.

4. روش انتخاب ریشه با ضریب بالاتر و آزاد

این روش مبتنی بر کاربرد قضایای زیر است:

1) هر ریشه صحیح یک چند جمله ای با ضرایب صحیح مقسوم علیه جمله آزاد است.

2) برای اینکه کسر تقلیل ناپذیر p / q (p یک عدد صحیح است، q یک طبیعی است) ریشه یک معادله با ضرایب صحیح باشد، لازم است که عدد p یک مقسوم‌گیرنده صحیح از جمله آزاد a 0 باشد و q مقسوم علیه طبیعی بالاترین ضریب است.

مثال 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

راه حل:

6: q = 1، 2، 3، 6.

از این رو p/q = 1±، 2±، 1/2 ±، 1/3 ±، 2/3 ±، 1/6 ±.

با یافتن یک ریشه، به عنوان مثال - 2، ریشه های دیگری را با استفاده از تقسیم بر یک گوشه، روش ضرایب نامشخص یا طرح هورنر پیدا خواهیم کرد.

پاسخ: -2; 1/2; 1/3.

آیا هیچ سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از یک معلم خصوصی - ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

سایت، با کپی کامل یا جزئی از مطالب، لینک به منبع الزامی است.

استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. معادلات از زمان های قدیم توسط انسان استفاده می شده و از آن زمان استفاده از آنها تنها افزایش یافته است. در ریاضیات، معادلات درجات بالاتر با ضرایب صحیح بسیار رایج است. برای حل این نوع معادله، شما نیاز دارید:

ریشه های منطقی معادله را تعیین کنید.

چند جمله ای را که در سمت چپ معادله قرار دارد، فاکتور بگیرید.

ریشه های معادله را پیدا کنید.

فرض کنید یک معادله به ما داده شده است نوع زیر:

بیایید همه ریشه های واقعی آن را پیدا کنیم. دو طرف چپ و راست معادله را در \ ضرب کنید

بیایید متغیرها را تغییر دهیم \

بنابراین، معادله کاهش یافته درجه چهارم را به دست آورده ایم که طبق الگوریتم استاندارد حل می شود: مقسوم علیه ها را بررسی می کنیم، تقسیم را انجام می دهیم و در نتیجه متوجه می شویم که معادله دارای دو ریشه واقعی \ و دو مختلط است. آنهایی که به معادله درجه چهارم خود پاسخ زیر را می گیریم:

کجا می توانم معادله قدرت های بالاتر را به صورت آنلاین با حل کننده حل کنم؟

می توانید معادله را در وب سایت ما https: // سایت حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما این امکان را می دهد که یک معادله آنلاین با هر پیچیدگی را در عرض چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید آموزش تصویری را مشاهده کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما یاد بگیرید. و اگر سؤالی دارید، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک می کنیم.

روشهای حل معادلات جبری درجات بالاتر.

خابیبولینا آلفیا یاکوبونا ,

معلم ریاضی بالاترین رده دبیرستان MBOU №177

شهر کازان، معلم ارجمند جمهوری تاتارستان،

کاندیدای علوم تربیتی

تعریف 1. معادله جبری درجه n معادله ای به شکل P n (x)=0 است، که در آن Pn (x) چند جمله ای درجه n است، یعنی. P n (x)= a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n a 0.

تعریف 2. ریشه معادله - مقدار عددی متغیر x، که با جایگزینی با این معادله، برابری صحیح را به دست می‌دهد.

تعریف 3. حل معادله یعنی یافتن تمام ریشه های آن یا اثبات وجود هیچ.

من. روشی برای فاکتورگیری یک چند جمله ای به عوامل با تقسیم بعدی.

معادله را می توان با روش تقسیم، یعنی با شکستن آن به مجموعه ای از معادلات با درجات کوچکتر فاکتور گرفت و حل کرد.

اظهار نظر: به طور کلی هنگام حل معادله به روش تقسیم نباید فراموش کرد که حاصل ضرب برابر صفر است اگر و فقط در صورتی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد در حالی که بقیه معنی خود را حفظ می کنند.

روش های فاکتورسازی چند جمله ای:

1. خارج کردن فاکتور مشترک از پرانتز.

2. مثلث مربعرا می توان با استفاده از فاکتورسازی کرد فرمول های آه 2 + in + c \u003d a (x-x 1 ) (x-x 2 ), جایی که الف 0، x 1 و x 2 ریشه های یک مثلث مربع هستند.

3. استفاده فرمول ضرب مختصر :

an - در n \u003d (a - c) (a n-1 + Cn- 2 a n-2 c + Cn- 3 a n-3 c + ... + C 1 a در n-2 + در n- 1) n ن.

انتخاب مربع کامل. چند جمله ای را می توان با استفاده از فرمول تفاضل مربع ها فاکتور گرفت، زیرا قبلاً مجذور کامل مجموع یا تفاوت عبارات را برجسته کرده بودیم.

4. گروه بندی(در ترکیب با خارج کردن فاکتور مشترک از براکت).

5. استفاده از نتیجه قضیه بزوت.

1) اگر معادله a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n-1 x + a n = 0، a 0 0 با ضرایب صحیح دارای ریشه گویا x 0 = است (جایی که - کسر تقلیل ناپذیر، ص
q
سپس p مقسوم علیه جمله آزاد a n و q مقسوم علیه ضریب پیشرو a 0 است.

2) اگر x \u003d x 0 ریشه معادله P n (x) \u003d 0 باشد ، P n (x) \u003d 0 معادل معادله است

(x - x 0) P n-1 (x) \u003d 0، که در آن P n-1 (x) چند جمله ای است که می توان آن را با تقسیم یافت

P n (x) در (x - x 0) "گوشه" یا با روش ضرایب نامشخص.

II . روش معرفی یک متغیر جدید (جایگزینی )

معادله f(x)=g(x) را در نظر بگیرید. معادل معادله f (x) -g (x) \u003d 0 است. اجازه دهید تفاوت f (x) - g (x) \u003d h (p (x)) را نشان دهیم و
. اجازه دهید تغییر t=p(x) را معرفی کنیم (تابع t=p(x) فراخوانی می شود جایگزینی ). سپس معادله h (p (x)) \u003d 0 یا h (t) \u003d 0 را بدست می آوریم، با حل آخرین معادله، t 1، t 2، ... بازگشت به جایگزینی p (x) \u003d t 1, p (x) \u003d t 2 ,…، مقادیر متغیر x را پیدا می کنیم.

III روش یکنواختی شدید.

قضیه.اگر y = f(x) روی P کاملاً یکنواخت باشد، معادله f(x) = a (a - const) حداکثر یک ریشه در مجموعه P دارد. (تابع کاملاً یکنواخت است: یا فقط کاهش می یابد یا فقط افزایش می یابد)

اظهار نظر.می توانید از اصلاح این روش استفاده کنید. معادله f(x)=g(x) را در نظر بگیرید. اگر تابع y=f(x) بطور یکنواخت در P کاهش می یابد و تابع y=g(x) بطور یکنواخت در P (یا برعکس) کاهش می یابد، معادله f(x)=g(x) حداکثر دارد. یک ریشه در مجموعه P.

IV. روش مقایسه مجموعه مقادیر هر دو قسمت معادله (روش تخمین)

قضیهاگر برای هر x از مجموعه P نابرابری های f(x) a و g(x) a، سپس معادله f(x)=g(x) در مجموعه Р معادل سیستم است.
.

نتیجه: اگر در مجموعه P
یا
، پس معادله f(x)=g(x) ریشه ندارد.

این روش در حل معادلات ماورایی کاملاً مؤثر است

V. روش شمارش مقسوم علیه ضرایب افراطی

معادله a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0 را در نظر بگیرید

قضیه.اگر x 0 = ریشه یک معادله جبری درجه n است و i ضرایب صحیح هستند، سپس p مقسوم علیه جمله آزاد a n و q مقسوم علیه ضریب پیشرو a 0 است. وقتی 0 \u003d 1 x 0 \u003d p (مقسوم کننده جمله آزاد).

نتیجهقضایای بزوت: اگر x 0 ریشه یک معادله جبری باشد، P n (x) بدون باقیمانده بر (xx 0) تقسیم می شود، یعنی Pn (x) \u003d (xx 0)Q n-1 (x) .

VI روش ضرایب نامشخص.

مبتنی بر عبارات زیر است:

دو چند جمله ای به طور یکسان مساوی هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب آنها در توان های یکسان x برابر باشد.

هر چند جمله ای درجه سوم به حاصل ضرب دو عامل خطی و مربعی تجزیه می شود.

هر چند جمله ای درجه چهارم به حاصل ضرب دو چند جمله ای تجزیه می شود

درجه دوم

VII. طرح هورنر .

با استفاده از جدول ضرایب طبق الگوریتم هورنر، ریشه های معادله در میان مقسوم علیه های جمله آزاد با انتخاب پیدا می شود.

هشتم . روش مشتق.

قضیه.اگر دو چند جمله‌ای P(x) و Q(x) مشتقات یکسانی داشته باشند، یک C-const وجود دارد به طوری که P(x)=Q(x)+C برای ایکس آر.

قضیه. اگر
(x) و
(x) بر بخش پذیر هستند
، سپس
(x) بر بخش پذیر است
.

نتیجه: اگر
(x) و
(x) به چند جمله ای R(x) تقسیم می شوند، سپس
(x) بر بخش پذیر است (x)، و بزرگترین مقسوم علیه مشترک چندجمله ای ها
(x) و
(ایکس) دارای ریشه هایی است که فقط ریشه های چند جمله ای هستند
(x) با تعدد حداقل 2.

IX . معادلات متقارن، متقابل .

تعریف. معادله a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0 نامیده می شود متقارن ، اگر

1. حالتی را در نظر بگیرید که n زوج باشد، n ​​= 2k. اگر
، سپس x = 0 یک ریشه معادله نیست، که حق تقسیم معادله را به

0
+
+
+=0 اجازه دهید تغییر t= را معرفی کنیم
و با در نظر گرفتن لم، معادله درجه دوم را با توجه به متغیر t حل می کنیم. جایگزینی برگشتی یک راه حل برای متغیر x می دهد.

2. حالتی را در نظر بگیرید که n فرد باشد، n=2k+1. سپس = -1 ریشه معادله است. معادله را بر تقسیم کنید
و ما مورد 1 را دریافت می کنیم. جایگزینی Back به شما امکان می دهد مقادیر x را پیدا کنید. توجه داشته باشید که وقتی m=-1 معادله نامیده می‌شود اجازه دهید معادله جبری P n (x)=0 (که در آن P n (x) چند جمله‌ای درجه n است) را به معادله‌ای به شکل f(x)=g تبدیل کنیم. (ایکس). توابع y=f(x), y=g(x); ما خواص آنها را توصیف می کنیم و نمودارها را در یک سیستم مختصات ترسیم می کنیم. ابسیساهای نقاط تقاطع ریشه معادله خواهند بود. بررسی با جایگزینی در معادله اصلی انجام می شود.

کلاس: 9

اهداف اساسی:

1. مفهوم معادله گویا عدد صحیح درجه هفتم را حل کنید.
2. روش‌های اصلی برای حل معادلات درجات بالاتر (n > 3).
3. آموزش روشهای اساسی حل معادلات درجات بالاتر.
4. برای آموزش توسط فرم از معادله برای تعیین بیشتر روش موثرتصمیمات او

فرم ها، روش ها و تکنیک های آموزشی که توسط معلم در کلاس استفاده می شود:

• سیستم آموزشی سخنرانی-سمینار (سخنرانی - توضیح مطالب جدید، سمینارها - حل مسئله).
• فن آوری های اطلاعات و ارتباطات (نظرسنجی پیشانی، کار شفاهی با کلاس).
• آموزش متمایز، فرم های گروهی و فردی.
• استفاده از روش تحقیق در تدریس، با هدف توسعه دستگاه ریاضی و توانایی های ذهنی هر دانش آموز.
• مطالب چاپی - خلاصه فردی از درس (مفاهیم اساسی، فرمول ها، بیانیه ها، مطالب سخنرانی در قالب نمودارها یا جداول فشرده شده است).

طرح درس:

1. زمان سازماندهی
   هدف از مرحله: شامل کردن دانش آموزان در فعالیت های یادگیری، تعیین محتوای درس.
2. به روز رسانی دانش دانش آموزان.
   هدف از مرحله: به روز رسانی دانش دانش آموزان در مورد موضوعات مرتبط قبلا مطالعه شده است
3. یادگیری یک موضوع جدید (سخنرانی). هدف مرحله: تدوین روشهای اصلی برای حل معادلات درجات بالاتر (ن > 3)
4. خلاصه کردن
   هدف مرحله: بار دیگر برجسته کردن نکات کلیدی در مطالب مورد مطالعه در درس.
5. مشق شب.
   هدف مرحله: تدوین مشق شببرای دانش آموزان.

خلاصه درس

1. لحظه سازمانی.

جمله بندی موضوع درس: «معادلات درجات بالاتر. روش‌هایی برای حل آنها».

2. فعلیت بخشیدن به دانش دانش آموزان.

نظرسنجی - گفتگو. تکرار برخی از اطلاعات قبلاً مطالعه شده از نظریه. دانش آموزان تعاریف اساسی را تدوین می کنند و قضایای ضروری را بیان می کنند. مثال‌هایی آورده شده‌اند که سطح دانش کسب‌شده قبلی را نشان می‌دهد.

• مفهوم معادله با یک متغیر.
• مفهوم ریشه معادله، حل معادله.
• مفهوم معادله خطی با یک متغیر، مفهوم معادله درجه دوم با یک متغیر.
• مفهوم هم ارزی معادلات، پیامدهای معادله (مفهوم ریشه های خارجی)، انتقال نه بر اساس پیامد (مورد از دست دادن ریشه ها).
• مفهوم یک عبارت منطقی کامل با یک متغیر.
• مفهوم کل معادله منطقی nدرجه ام فرم استاندارد یک معادله منطقی کامل. معادله کل منطقی کاهش یافت.
• انتقال به مجموعه ای از معادلات درجات پایین تر با فاکتورگیری معادله اصلی.
• مفهوم چند جمله ای nدرجه ام از ایکس. قضیه بزوت. پیامدهای قضیه بزوت. قضایای ریشه ( ز-ریشه و س-ریشه ها) یک معادله گویا با ضرایب صحیح (به ترتیب کاهش یافته و غیرکاهش شده).
• طرح هورنر

3. یادگیری یک موضوع جدید.

ما کل معادله عقلی را در نظر خواهیم گرفت nتوان هفتم فرم استاندارد با یک متغیر مجهول x:Pn(x)= 0، کجا P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0- چند جمله ای nدرجه ام از ایکس, آ n ≠ 0 . اگر آ n = 1 پس چنین معادله ای معادله کل گویا کاهش یافته نامیده می شود nدرجه ام اجازه دهید چنین معادلاتی را برای ارزش های مختلف nو روشهای اصلی حل آنها را فهرست کنید.

n= 1 یک معادله خطی است.

n= 2 یک معادله درجه دوم است.فرمول تشخیصی فرمول محاسبه ریشه قضیه ویتا انتخاب یک مربع کامل

n= 3 یک معادله مکعبی است.

روش گروه بندی

مثال: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 ایکس 1 = 4 , x2 = 1,ایکس 3 = -1.

معادله مکعب متقابل فرم تبر 3 + bx 2 + bx + آ= 0. ما با ترکیب عبارت با ضرایب یکسان حل می کنیم.

مثال: ایکس 3 – 5ایکس 2 – 5ایکس + 1 = 0 (ایکس + 1)(ایکس 2 – 6ایکس + 1) = 0 ایکس 1 = -1, ایکس 2 = 3 + 2, ایکس 3 = 3 – 2.

انتخاب ریشه های Z بر اساس قضیه. طرح هورنر هنگام استفاده از این روش، باید تاکید کرد که شمارش در این مورد محدود است و ریشه ها را طبق یک الگوریتم مشخص مطابق با قضیه روی انتخاب می کنیم. ز-ریشه های معادله گویا عدد صحیح کاهش یافته با ضرایب عدد صحیح.

مثال: ایکس 3 – 9ایکس 2 + 23ایکس– 15 = 0. معادله کاهش می یابد. مقسوم علیه های عبارت آزاد را می نویسیم ( + 1; + 3; + 5; + 15). بیایید طرح هورنر را اعمال کنیم:

ما گرفتیم ( ایکس – 1)(ایکس 2 – 8ایکس + 15) = 0 ایکس 1 = 1, ایکس 2 = 3, ایکس 3 = 5.

معادله با ضرایب صحیح انتخاب ریشه های Q بر اساس قضیه. طرح هورنر هنگام استفاده از این روش، لازم است تاکید شود که شمارش در این مورد محدود است و ریشه ها را طبق یک الگوریتم مشخص مطابق با قضیه در مورد انتخاب می کنیم. س-ریشه های یک معادله کل گویا کاهش نیافته با ضرایب صحیح.

مثال: 9 ایکس 3 + 27ایکس 2 – ایکس– 3 = 0. معادله کاهش نمی یابد. مقسوم علیه های عبارت آزاد را می نویسیم ( + 1; + 3). اجازه دهید مقسوم علیه ضریب را در بالاترین توان مجهول بنویسیم. ( + 1; + 3; + 9) بنابراین، ما به دنبال ریشه در میان مقادیر ( + 1; + ; + ; + 3). بیایید طرح هورنر را اعمال کنیم:

ما گرفتیم ( ایکس – )(9ایکس 2 + 30ایکس + 9) = 0 ایکس 1 = , ایکس 2 = - , ایکس 3 = -3.

برای راحتی محاسبه هنگام انتخاب Q -ریشه هامی تواند راحت باشد که متغیر را تغییر دهید، به معادله بالا بروید و Z را تنظیم کنید -ریشه ها.

فرمول کاردانو یک روش جهانی برای حل معادلات مکعب وجود دارد - این فرمول کاردانو است. این فرمول با نام های ریاضیدانان ایتالیایی جرولامو کاردانو (1501-1576)، نیکولو تارتالیا (1500-1557)، سیپیو دل فرو (1465-1526) مرتبط است. این فرمول خارج از محدوده دوره ما قرار دارد.

n= 4 معادله درجه چهارم است.

روش گروه بندی

مثال: ایکس 4 + 2ایکس 3 + 5ایکس 2 + 4ایکس – 12 = 0 (ایکس 4 + 2ایکس 3) + (5ایکس 2 + 10ایکس) – (6ایکس + 12) = 0 (ایکس + 2)(ایکس 3 + 5ایکس- 6) = 0 (ایکس + 2)(ایکس– 1)(ایکس 2 + ایکس + 6) = 0 ایکس 1 = -2, ایکس 2 = 1.

روش جایگزینی متغیر

• معادله دو درجه ای فرم تبر 4 + bx 2+s = 0 .

مثال: ایکس 4 + 5ایکس 2 - 36 = 0. تعویض y = ایکس 2. از اینجا y 1 = 4, y 2 = -9. از همین رو ایکس 1,2 = + 2 .

ما با ترکیب عبارت با ضرایب مشابه با جایگزین کردن فرم حل می کنیم

• معادله معکوس تعمیم یافته درجه چهارم فرم تبر 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k2 a = 0.

مثال 3 . تعویض نمای کلی(از شکل یک معادله خاص به دست می آید).

n = 3.

معادله با ضرایب صحیح انتخاب Q-roots n = 3.

فرمول کلی یک روش جهانی برای حل معادلات درجه چهارم وجود دارد. این فرمول با نام لودویکو فراری (1522-1565) مرتبط است. این فرمول خارج از محدوده دوره ما قرار دارد.

n > 5- معادلات درجات پنجم و بالاتر.

معادله با ضرایب صحیح انتخاب ریشه های Z بر اساس قضیه. طرح هورنر الگوریتم مشابه الگوریتمی است که در بالا برای آن بحث شد n = 3.

معادله با ضرایب صحیح انتخاب Q-rootsبر اساس قضیه طرح هورنر الگوریتم مشابه الگوریتمی است که در بالا توضیح داده شد n = 3.

معادلات متقارن هر معادله متقابلی با درجه فرد ریشه دارد ایکس= -1 و پس از تجزیه آن به عوامل، به این نتیجه می رسیم که یک عامل شکل ( ایکس+ 1) و عامل دوم یک معادله متقابل با درجه زوج است (درجه آن یک درجه کمتر از درجه معادله اصلی است). هر معادله متقابلی با درجه زوج همراه با یک ریشه شکل x = φهمچنین حاوی ریشه فرم است. با استفاده از این عبارات، با کاهش درجه معادله مورد مطالعه، مشکل را حل می کنیم.

روش جایگزینی متغیر استفاده از همگنی

هیچ فرمول کلی برای حل کل معادلات درجه پنجم (این توسط ریاضیدان ایتالیایی پائولو روفینی (1765-1822) و ریاضیدان نروژی نیلز هنریک آبل (1802-1829) نشان داده شد) و قدرت های بالاتر (این توسط فرانسوی ها نشان داده شد) وجود ندارد. ریاضیدان Evariste Galois (1811-1832)).

• دوباره به یاد بیاورید که در عمل امکان استفاده وجود دارد ترکیباتروش های ذکر شده در بالا عبور به مجموعه ای از معادلات درجات پایین تر توسط فاکتورسازی معادله اصلی.
• خارج از محدوده بحث امروز ما، به طور گسترده در عمل استفاده می شود روش های گرافیکیحل معادلات و روش های حل تقریبیمعادلات درجات بالاتر
• شرایطی وجود دارد که معادله ریشه R ندارد.
سپس جواب به این می رسد که نشان می دهد معادله ریشه ندارد. برای اثبات این موضوع، رفتار توابع در نظر گرفته شده را در فواصل یکنواختی تحلیل می کنیم. مثال: معادله ایکس 8 – ایکس 3 + 1 = 0 هیچ ریشه ای ندارد.
• استفاده از خاصیت یکنواختی توابع
. شرایطی وجود دارد که استفاده از ویژگی های مختلف توابع به ما امکان می دهد کار را ساده کنیم.
مثال 1: معادله ایکس 5 + 3ایکس– 4 = 0 یک ریشه دارد ایکس= 1. با خاصیت یکنواختی توابع تحلیل شده، هیچ ریشه دیگری وجود ندارد.
مثال 2: معادله ایکس 4 + (ایکس– 1) 4 = 97 ریشه دارد ایکس 1 = -2 و ایکس 2 = 3. با تجزیه و تحلیل رفتار توابع مربوطه در فواصل یکنواختی، نتیجه می گیریم که هیچ ریشه دیگری وجود ندارد.

4. جمع بندی.

خلاصه: اکنون ما بر روش های اساسی برای حل معادلات مختلف درجات بالاتر (برای n) مسلط شده ایم. > 3). وظیفه ما یادگیری نحوه استفاده موثر از الگوریتم های فوق است. بسته به نوع معادله، ما باید بیاموزیم که چگونه تعیین کنیم کدام روش حل در این مورد مؤثرتر است و همچنین روش انتخابی را به درستی اعمال کنیم.

5. تکالیف.

: مورد 7، ص 164-174، شماره های 33-36، 39-44، 46،47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

موضوعات احتمالی گزارش یا چکیده در این موضوع:

• فرمول کاردانو
• روش گرافیکی برای حل معادلات. نمونه های راه حل
• روشهای حل تقریبی معادلات

تجزیه و تحلیل جذب مطالب و علاقه دانش آموزان به موضوع:

تجربه نشان می دهد که علاقه دانش آموزان در وهله اول امکان انتخاب است ز-ریشه و س-ریشه های معادلات با استفاده از یک الگوریتم نسبتا ساده با استفاده از طرح هورنر. دانش آموزان همچنین به انواع استاندارد جایگزینی متغیر علاقه مند هستند که می تواند به طور قابل توجهی نوع مسئله را ساده کند. روش های گرافیکی حل معمولاً مورد توجه خاص هستند. در این مورد، شما می توانید علاوه بر این، وظایف را به یک روش گرافیکی برای حل معادلات تجزیه کنید. بحث و گفتگو فرم کلیگرافیک برای یک چند جمله ای 3، 4، 5 درجه. بررسی کنید که چگونه تعداد ریشه های معادلات 3، 4، 5 درجه با نوع نمودار مربوطه مرتبط است. در زیر فهرستی از کتاب ها آمده است که در آن می توانید اطلاعات بیشتری در مورد این موضوع پیدا کنید.

کتابشناسی - فهرست کتب:

1. ویلنکین N.Ya.و غیره «جبر. کتاب درسی برای دانش آموزان کلاس 9 با مطالعه عمیق ریاضیات "- M.، آموزش و پرورش، 2007 - 367 ص.
2. Vilenkin N.Ya.، Shibasov L.P.، Shibasova Z.F.«پشت صفحات کتاب ریاضی. حسابی. جبر. کلاس های 10-11” – م.، روشنگری، 2008 – 192 ص.
3. ویگودسکی ام.یا."راهنمای ریاضیات" - M., AST, 2010 - 1055 p.
4. گالیتسکی ام.ال.«مجموعه مسائل جبر. آموزشبرای کلاس های 8-9 با مطالعه عمیق ریاضیات "- M.، آموزش و پرورش، 2008 - 301 p.
5. زواویچ ال.آی.و همکاران «جبر و آغاز تحلیل. 8-11 سلول کتابچه راهنمای مدارس و کلاس ها با مطالعه عمیق ریاضیات "- M., Drofa, 1999 - 352 p.
6. Zvavich L.I.، Averyanov D.I.، Pigarev B.P.، Trushanina T.N."تکالیف در ریاضیات برای آمادگی برای امتحان کتبی در کلاس 9" - M., آموزش و پرورش, 2007 - 112 p.
7. ایوانف A.A., Ivanov A.P. “تست های موضوعیبرای سیستم سازی دانش در ریاضیات، بخش 1 - M.، Fizmatkniga، 2006 - 176 ص.
8. ایوانف A.A., Ivanov A.P."آزمون های موضوعی برای سیستم سازی دانش در ریاضیات" قسمت 2 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 p.
9. ایوانف A.P."تست و تست در ریاضیات. آموزش". - م.، فیزمتکنگا، 1387 - 304 ص.
10. لیبسون K.L.«مجموعه کارهای عملی در ریاضیات. بخش 2-9 کلاس” – M., MTsNMO, 2009 – 184 p.
11. Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G."جبر. فصل های اضافی کتاب درسی نهم دبستان. کتاب درسی برای دانش آموزان مدارس و کلاس های با مطالعه عمیق ریاضی. - م.، آموزش و پرورش، 1385 - 224 ص.
12. موردکوویچ A.G."جبر. مطالعه عمیق. کلاس هشتم. کتاب درسی – M., Mnemosyne, 2006 – 296 p.
13. ساوین A.P. “فرهنگ لغت دایره المعارفیریاضیدان جوان” – M., Pedagogy, 1985 – 352 p.
14. Survillo G.S.، Simonov A.S."مواد آموزشی در مورد جبر برای کلاس 9 با مطالعه عمیق ریاضیات" - M.، آموزش و پرورش، 2006 - 95 ص.
15. چولکوف P.V.معادلات و نابرابری ها در درس ریاضی مدرسه. Lectures 1-4” – M., First of September, 2006 – 88 p.
16. چولکوف P.V.معادلات و نابرابری ها در درس ریاضی مدرسه. Lectures 5-8” – M., First of September, 2009 – 84 p.