نابرابری های پیچیده نابرابری ها انواع نابرابری ها مقدمه ای بر نابرابری ها

در مقاله ای که در نظر خواهیم گرفت حل نابرابری ها. بیایید به طور واضح در مورد آن صحبت کنیم چگونه یک راه حل برای نابرابری ها بسازیمبا مثال های واضح!

قبل از بررسی حل نابرابری ها با مثال، به مفاهیم اساسی می پردازیم.

مقدمه ای بر نابرابری ها

نابرابریبه عبارتی گفته می شود که در آن توابع با علائم رابطه >، . نابرابری ها می توانند هم عددی و هم حروف الفبا باشند.
نابرابری های با دو علامت رابطه را دو، با سه - سه و غیره می نامند. مثلا:
a(x) > b(x)،
a(x) a(x) b(x)،
a(x) b(x).
a(x) نابرابری های حاوی علامت > یا یا سخت نیستند.
راه حل نابرابریهر مقدار از متغیری است که این نابرابری برای آن صادق است.
"نابرابری را حل کنید"به این معنی است که شما باید مجموعه ای از تمام راه حل های آن را پیدا کنید. انواع مختلفی وجود دارد روش های حل نابرابری ها. برای راه حل های نابرابریاز یک خط عددی بی نهایت استفاده کنید. مثلا، حل نابرابری x > 3 بازه ای از 3 تا + است و عدد 3 در این بازه گنجانده نشده است، بنابراین نقطه روی خط با یک دایره خالی نشان داده می شود، زیرا نابرابری شدید است
+
پاسخ این خواهد بود: x (3; +).
مقدار x=3 در مجموعه راه حل ها گنجانده نشده است، بنابراین پرانتز گرد است. علامت بی نهایت همیشه در یک پرانتز قرار می گیرد. علامت به معنای «تعلق» است.
نحوه حل نابرابری ها را با استفاده از مثال دیگری با علامت در نظر بگیرید:
x2
-+
مقدار x=2 در مجموعه راه حل ها گنجانده شده است، بنابراین براکت و نقطه روی خط با یک دایره پر نشان داده می شود.
پاسخ این خواهد بود: x.

حال نابرابری های خطی را با دو متغیر در نظر بگیرید. به عنوان یک قاعده، چنین مسائلی به تصویر مجموعه ای از نقاط کاهش می یابد که مختصات آنها نابرابری را در صفحه مختصات برآورده می کند.

بیایید مجموعه ای از نقاط را روی صفحه مختصات رسم کنیم که مختصات آن نابرابری y-2 > x-3 را برآورده می کند.

بیایید این نابرابری را به صورت y > x-1 بنویسیم. ابتدا تابع خطی y = x-1 را رسم می کنیم (خط مستقیم). این خط تمام نقاط صفحه مختصات را به نقاط واقع در این خط و نقاط واقع در زیر این خط تقسیم می کند. بیایید بررسی کنیم که کدام نقاط این نابرابری را برآورده می کنند.

از ناحیه اول، به عنوان مثال، نقطه کنترل A (0؛ 0) - مبدا را در نظر بگیرید. به راحتی می توان بررسی کرد که نابرابری y > -1 برآورده شود. از ناحیه دوم، برای مثال، نقطه کنترل B (1; -1) را انتخاب می کنیم. برای چنین نقطه ای، نابرابری y > x-1 ارضا نمی شود. بنابراین، این نابرابری با نقاط واقع در بالا و روی خط y \u003d x-1 (یعنی نقاط مشابه نقطه A) برآورده می شود. این نقاط سایه دار هستند.

برای چه مقادیری از پارامتر a معادله ax 2 + x - 1 = 0 هیچ راه حلی ندارد؟

از آنجایی که ضریب پیشرو معادله به پارامتر a بستگی دارد، در نظر گرفتن دو حالت ضروری است.

الف) اگر a 0 باشد، معادله ax 2 + x - 1 \u003d 0 درجه دوم است. چنین معادله ای راه حلی ندارد اگر ممیز آن D باشد< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

ب) اگر a \u003d 0 باشد، پس معادله ax 2 + x - 1 \u003d 0 خطی است و به شکل x - 1 \u003d 0 است. بدیهی است که معادله یک راه حل منحصر به فرد x \u003d 1 دارد.

بنابراین، برای یک (-; -) این معادله هیچ راه حلی ندارد.

بیایید نابرابری |x – 1| را حل کنیم + x 2 + 2 x + 1< 0.

اجازه دهید نابرابری را به صورت |x – 1| بنویسیم + (x + 1) 2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| >0 و a 2 > 0 برای همه مقادیر a، سپس مجموع

|a| + a 2 > 0 برای همه a. بنابراین، نابرابری |a| + a 2< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем линейное уравнение х + 1 = 0, решение которого х = – 1. Итак, решение данного неравенства х = – 1.

نوع مشابهی از نابرابری نیز با دو متغیر وجود دارد.

در صفحه مختصات، مجموعه ای از نقاط را نشان می دهیم که مختصات آنها نابرابری y-1 را برآورده می کند.< х 2 .

نابرابری را y می نویسیم< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

1. حل تحلیلی نابرابری:

2. برای همه مقادیر a، نابرابری را حل کنید:

3. برای چه مقادیری از پارامتر معادله است

الف) 3x 2 - 2x + a \u003d 0 هیچ ریشه ای ندارد.
ب) 2x 2 - 3x + 5a = 0 دارای دو ریشه متفاوت است.
ج) 3ax 2 - 4x + 1 = 0 دو ریشه متفاوت دارد.
د) تبر 2 - 3x + 2 = 0 حداقل یک ریشه دارد.

4. نابرابری ها را به صورت تحلیلی (و در صورت امکان، گرافیکی) حل کنید: