مشتقات جزئی مرتبه دوم یک تابع را پیدا کنید. مثال. مشتقات جزئی تابع y x را بیابید. مشتقات جزئی و دیفرانسیل کل یک تابع

مثال. مشتقات جزئی تابع y x yxz را بیابید

تصمیم گیری با تنظیم y = const، xy x z را پیدا می کنیم

با تنظیم x =const، 2 2) 1 (1 y x x y xx y z را پیدا می کنیم

مثال. مقادیر مشتقات جزئی تابع را در نقطه M (1، - 1، 0) بیابید. xyzyxu)ln(

تصمیم گیری تنظیم y = const، z = const، 10 11 22 1)02 (1 22 22 , Ì czy yz yx x yzx yxx u را پیدا می کنیم

به طور مشابه، 10 11 22 1)20 (1 22 22 , M czx xz yx y xzy yxy u 110 , M cyx xyxy z ​​u را پیدا می کنیم

معنای هندسی مشتق جزئی (مثلاً) مماس شیب مماس ترسیم شده در نقطه M 0 (x 0, y 0, z 0) به سطح سطح توسط صفحه y \u003d y 0 است. xz

فرض کنید که تابع z = f (x , y) مشتقات جزئی پیوسته دارد، (yxf x z x)، (yxf y z y

این مشتقات به نوبه خود تابعی از متغیرهای مستقل x و y هستند. مشتقات جزئی مرتبه 1 را نیز می نامیم.)، (yxf x)، (yxf y

مشتقات جزئی مرتبه 2 را مشتقات جزئی از مشتقات جزئی مرتبه 1 می نامند. برای یک تابع z \u003d f (x، y) از دو متغیر، چهار مشتق جزئی از مرتبه دوم را می توان یافت که با مد زیر نشان داده می شوند:

در حالت کلی، مشتقات جزئی مختلط ممکن است منطبق نباشند، اما قضیه زیر برای آنها صادق است: قضیه. اگر مشتقات جزئی مختلط و در نقطه ای M (x, y) پیوسته باشند، آنها برابر هستند، یعنی xyfyxf، (yxfyxf yxxy)

مشتقات جزئی مرتبه n مشتقات جزئی مشتقات جزئی مرتبه (n - 1) هستند. آنها را نشان می دهند و غیره 221 , yx z x z n n n

مثال. مشتقات جزئی مرتبه دوم تابع)1 sin(23 xyyxz را بیابید

تصمیم گیری پی در پی پیدا کردن)؛ 1 cos(3 22 xyyyx x z cy); 1 cos(2 3 xyxyx y z cx

) 1 sin(6)1 cos(3 22 22 2 2 xyyxy xyyyx xx z cy cy); 1 sin()1 cos(6)1 cos(3 2 22 2 xyyx xyyx z cx cx

)1 sin()1 cos(6 1 cos(2 2 3 2 xyyx xyxyx xxy z cy cy)1 sin(2)1 cos(2 23 3 2 2 xyxx xyxyx yy z cx cx

تابع z = f(x,y) را در نظر بگیرید. بیایید آرگومان x را افزایشی Δ x و آرگومان y را افزایشی Δ y بدهیم. سپس z افزایشی دریافت می کند که به آن افزایش کل تابع z می گویند (yxfyyxxfz).

فرض کنید که f(x,y) در نقطه M(x,y) مشتقات جزئی پیوسته دارد.

تعریف. دیفرانسیل مرتبه 1 تابع z \u003d f (x, y) قسمت اصلی افزایش کل Δ z این تابع است که نسبت به Δ x و Δ y خطی است که با نماد dz یا df نشان داده می شود و محاسبه می شود. با فرمول y y z x x z zd

از آنجایی که دیفرانسیل متغیرهای مستقل با افزایش آنها منطبق است، یعنی dx = Δ x، dy = Δ y، این فرمول را می توان به صورت: dy y z dx x z zd نوشت:

معنای هندسی دیفرانسیل کل یک تابع از دو متغیر f (x, y) در نقطه (x 0, y 0) افزایش کاربرد (مختصات z) صفحه مماس به سطح در طول انتقال است. از نقطه (x 0، y 0) تا نقطه (x 0 + x، y 0 + y).

معنای هندسی دیفرانسیل کل یک تابع از دو متغیر، آنالوگ فضایی معنای هندسی دیفرانسیل یک تابع از یک متغیر است.

دیفرانسیل مرتبه دوم یک تابع z \u003d f (x, y) دیفرانسیل مرتبه 1 آن است و نشان داده می شود) (zzddd

اگر تمام مشتقات جزئی مرتبه دوم تابع z \u003d f (x، y) پیوسته باشند، فرمول انجام می شود: 2 2 2 y y z yx yx z x x z zddddd

مثال. دیفرانسیل های مرتبه 1 و 2 تابع y x yz 2 x را بیابید

تصمیم گیری مشتقات جزئی از مرتبه 1 و 2 را بیابید: y yx x z 1 2 2 2 y x x y z

; 202 1 2 2 2 yy y xy xx z cy ; 1 2 2 2 y xy yyx z cx 33 22 22 2)2(0 y x yx y x x y y z cy

بنابراین، دیفرانسیل های مرتبه 1 و 2 به صورت زیر نوشته می شوند: dy y x xdx y xyz)() 1 2(d 2 2 2 32 222) 1 2(22 y y x yx y xxyzddddd

اجازه دهید تابع f(x,y) در نقطه (x,y) قابل تفکیک باشد. بیایید افزایش کل این تابع را پیدا کنیم :), (yxfyyxxfz zyxfyyxxf), (

اگر یک عبارت را به این فرمول جایگزین کنیم، یک فرمول تقریبی بدست می آوریم: y yf x xf dzz y y yxf x x yxf yyxxf)، (

مثال. یک مقدار تقریبی را بر اساس مقدار تابع در x = 1، y = 2، z = 102، 1 ln 04، 1 99، 1 zxu y ln محاسبه کنید.

تصمیم گیری از عبارت داده شده ، x \u003d 1 ، 04 - 1 \u003d 0.04 ، y \u003d 1.99 - 2 \u003d -0.01 ، z \u003d 1.02 - 1 \u003d 0.02 را تعیین می کنیم. (مقدار تابع u را پیدا کنید y، z) = 11 ln

مشتقات جزئی را بیابید: 1 12 12 ln 2 1 zx xy x u y y 0 ln 2 ln zx xx y u y y

دیفرانسیل کل تابع u است: 2 1 ln 2 1 zx z z u y

05, 001, 004, 0 02, 0 21 01, 0004, 01 02, 001, 004, 0 zu yu xudu

مقدار دقیق این عبارت است: 1, 049275225687319176. 05, 105, 01)1, 2, 1(02, 1 ln 04, 1 99, 1 duu

صفحه مماس به سطح در نقطه M 0 خود صفحه ای است که شامل تمام مماس های منحنی های کشیده شده روی سطح از طریق این نقطه است.

نرمال به سطح در نقطه M 0 خط مستقیمی است که از این نقطه می گذرد و عمود بر صفحه مماس رسم شده در نقطه داده شده است.

اگر سطح با معادله F (x, y, z) \u003d 0 داده شود ، معادله صفحه مماس در نقطه M 0 (x 0, y 0, z 0) شکل: 0)) ( (00 0000 zz. MF yy. MFxx. MF z yx

معادلات نرمال کشیده شده به سطح در نقطه M 0 (x 0 , y 0 , z 0) به صورت زیر نوشته می شود:)()()(0 0 0 MF zz MF yy MF xx zyx

اگر سطح با معادله z \u003d f (x, y) داده شود، پس معادله صفحه مماس در نقطه M 0 (x 0, y 0, z 0) به شکل :)) (, (000) است. 0000 yyxf xxyxfzz y x

و معادلات نرمال به صورت زیر نوشته می شود: 1)، (0 00 0 zz yxf yy yxf xx yx

مثال. معادلات صفحه مماس و نرمال به سطح را در نقطه M 0 (x 0, y 0, z 0) اگر 01332 22 yzxzxyyx بسازید. 1، 200yx

تصمیم گیری با جایگزینی x 0 و y 0 در معادله سطح، مقدار z 0 را پیدا می کنیم: از جایی که z 0 = 1 را پیدا می کنیم. بنابراین، M 0 (2، - 1، 1) نقطه تماس است. 01)1(32)1(23)1(2400 2zz

با شرط مسئله، سطح به طور ضمنی داده می شود. مشتقات جزئی را در نقطه M 0 (2, – 1, 1) نشان داده و بیابید: 1332, (22 yzxzxyyxzyx).

, 32 zyx. F x 21) 1 (322) (0 MF x , 334 zxy. F y 51323) 1 (4) (0 MF y , 3 yx. F z 1)1 (32) (0 MF z

مقادیر یافت شده مشتقات جزئی را در معادله صفحه مماس 0 جایگزین می کنیم))((00000 zz. MF yy. MFxx. MF z yx

معادلات نرمال به شکل 1 1 5 1 2 2 zyx هستند

تعریف. تابع z = f (x , y) در نقطه M 0 (x 0 , y 0) ماکزیمم دارد اگر همسایگی این نقطه وجود داشته باشد که برای هر نقطه M (x, y) از این همسایگی نابرابری برقرار باشد. )، (00 yxfyxf

اجازه دهید یک تابع داده شود. از آنجایی که x و y متغیرهای مستقل هستند، یکی از آنها می تواند تغییر کند در حالی که دیگری بدون تغییر باقی می ماند. بیایید متغیر مستقل x را افزایش دهیم و مقدار y را بدون تغییر نگه داریم. سپس z یک افزایش دریافت می کند که افزایش جزئی z را با x می نامند و با علامت نشان می دهند. بنابراین، .

به طور مشابه، افزایش جزئی z را نسبت به y بدست می آوریم: .

افزایش کل تابع z با برابری تعیین می شود.

اگر حدی وجود داشته باشد، آن را مشتق جزئی تابع در نقطه نسبت به متغیر x می نامند و با یکی از نمادها نشان داده می شود:

.

مشتقات جزئی با توجه به x در یک نقطه معمولاً با نمادها نشان داده می شوند .

مشتق جزئی از با توجه به متغیر y به روشی مشابه تعریف و نشان داده می شود:

بنابراین، مشتق جزئی یک تابع از چندین (دو، سه یا چند) متغیر به عنوان مشتق تابع یکی از این متغیرها، مشروط به ثبات مقادیر متغیرهای مستقل باقیمانده، تعریف می شود. بنابراین، مشتقات جزئی یک تابع با توجه به فرمول ها و قوانین محاسبه مشتقات تابع یک متغیر (در این حالت به ترتیب x یا y یک مقدار ثابت در نظر گرفته می شوند) یافت می شوند.

مشتقات جزئی را مشتقات جزئی مرتبه اول نیز می گویند. آنها را می توان به عنوان توابع در نظر گرفت. این توابع می توانند مشتقات جزئی داشته باشند که به آنها مشتقات جزئی مرتبه دوم می گویند. آنها به صورت زیر تعریف و نشان داده می شوند:

; ;

; .

دیفرانسیل های مرتبه 1 و 2 تابعی از دو متغیر.

دیفرانسیل کل یک تابع (فرمول 2.5) دیفرانسیل مرتبه اول نامیده می شود.

فرمول محاسبه دیفرانسیل کل به شرح زیر است:

(2.5) یا ، جایی که ،

دیفرانسیل های جزئی تابع .

اجازه دهید تابع مشتقات جزئی پیوسته مرتبه دوم داشته باشد. دیفرانسیل مرتبه دوم با فرمول تعیین می شود. بیایید آن را پیدا کنیم:

از اینجا: . به طور نمادین چنین نوشته شده است:

.

انتگرال نامعین.

ضد مشتق تابع، انتگرال نامعین، خواص.

تابع F(x) فراخوانی می شود اولیهبرای یک تابع معین f(x)، اگر F"(x)=f(x)، یا، که یکسان است، اگر dF(x)=f(x)dx باشد.

قضیه. اگر تابع f(x)، که در بازه ای (X) با طول متناهی یا نامتناهی تعریف می شود، یک پاد مشتق، F(x) داشته باشد، آنگاه دارای بی نهایت پاد مشتق نیز می باشد. همه آنها در عبارت F(x)+C قرار دارند که در آن C یک ثابت دلخواه است.

مجموعه ای از تمام پاد مشتق ها برای یک تابع معین f(x) که در یک بازه یا در قسمتی از طول متناهی یا نامتناهی تعریف شده است، نامیده می شود. انتگرال نامعیناز تابع f(x) [یا از عبارت f(x)dx ] و با نماد نشان داده می شود.

اگر F(x) یکی از پاد مشتق های f(x) باشد، آنگاه توسط قضیه ضد مشتق

، که در آن C یک ثابت دلخواه است.

با تعریف ضد مشتق F "(x)=f(x) و بنابراین dF(x)=f(x) dx. در فرمول (7.1)، f(x) انتگرال نامیده می شود و f( x) dx عبارت انتگرال نامیده می شود.

اصل کلی یافتن مشتقات جزئی مرتبه دوم تابعی از سه متغیر مشابه اصل یافتن مشتقات جزئی مرتبه دوم تابعی از دو متغیر است.

برای یافتن مشتقات جزئی مرتبه دوم، ابتدا باید مشتقات جزئی مرتبه اول را بیابید یا در نماد دیگری:

نه مشتق جزئی از مرتبه دوم وجود دارد.

گروه اول مشتقات دوم با توجه به متغیرهای مشابه هستند:

یا - مشتق دوم با توجه به "x"؛

یا - مشتق دوم نسبت به «ی»؛

یا - مشتق دوم نسبت به «ز».

گروه دوم هستند مختلطمشتقات جزئی مرتبه دوم، شش مورد از آنها وجود دارد:

یا - مختلطمشتق "با x y"؛

یا - مختلطمشتق "توسط y x"؛

یا - مختلطمشتق "با x z"؛

یا - مختلطمشتق "po zet x"؛

یا - مختلطمشتق "با بازی z"؛

یا - مختلطمشتق "po z y".

همانطور که در مورد تابعی از دو متغیر، هنگام حل مسائل، می توان بر برابری های زیر مشتقات مرتبه دوم مخلوط تمرکز کرد:

توجه: به طور دقیق، همیشه اینطور نیست. برای برابری مشتقات مختلط، لازم است شرط تداوم آنها برآورده شود.

در هر صورت، چند نمونه از نحوه خواندن این رسوایی با صدای بلند:

- "دو ضربه دو بار در سال"؛

- "de two y po de zet مربع"؛

- "دو ضربه روی x روی z"؛

- ” د دو ی پو د ز پو د ی ” .

مثال 10

تمام مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم را برای تابعی از سه متغیر بیابید:

.

تصمیم:ابتدا مشتقات جزئی مرتبه اول را پیدا می کنیم:

مشتق یافت شده را می گیریم

و آن را با "y" متمایز کنید:

مشتق یافت شده را می گیریم

و آن را با "x" متمایز کنید:

برابری انجام می شود. خوب

ما با جفت دوم مشتقات مخلوط سروکار داریم.

مشتق یافت شده را می گیریم

و آن را با "z" متمایز کنید:

مشتق یافت شده را می گیریم

و آن را با "x" متمایز کنید:

برابری انجام می شود. خوب

به همین ترتیب، ما با جفت سوم مشتقات مختلط سروکار داریم:

برابری انجام می شود. خوب

پس از انجام کار، می توان تضمین کرد که اولاً همه مشتقات جزئی مرتبه 1 را به درستی پیدا کرده ایم و ثانیاً مشتقات جزئی مرکب مرتبه 2 را نیز به درستی پیدا کرده ایم.

باقی مانده است که سه مشتق جزئی دیگر از مرتبه دوم پیدا کنید، در اینجا، برای جلوگیری از خطا، باید تا حد امکان تمرکز کنید:

آماده. باز هم، کار آنقدر سخت نیست که حجیم است. راه حل را می توان کوتاه کرد و از آن به عنوان برابری مشتقات جزئی مختلط یاد کرد، اما در این مورد هیچ تأییدی وجود نخواهد داشت. پس بهتر است وقت بگذارید و پیدا کنید همهمشتقات (علاوه بر این، ممکن است معلم مورد نیاز باشد)، یا در موارد شدید، پیش نویس را بررسی کنید.

مثال 11

تمام مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم را برای تابعی از سه متغیر بیابید

.

این یک مثال برای خودتان است.

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2:تصمیم:

مثال 4:تصمیم: اجازه دهید مشتقات جزئی مرتبه اول را پیدا کنیم.

ما دیفرانسیل کل مرتبه اول را تشکیل می دهیم:

مثال 6:تصمیم: م(1, -1, 0):

مثال 7:تصمیم: اجازه دهید مشتقات جزئی مرتبه اول را در نقطه محاسبه کنیمم(1, 1, 1):

مثال 9:تصمیم:

مثال 11:تصمیم: بیایید مشتقات جزئی مرتبه اول را پیدا کنیم:

بیایید مشتقات جزئی مرتبه دوم را پیدا کنیم:

.

انتگرال ها

8.1. انتگرال نامعین. نمونه های راه حل تفصیلی

بیایید مطالعه موضوع را شروع کنیم انتگرال نامعین"، و همچنین نمونه هایی از راه حل های ساده ترین (و نه کاملاً) انتگرال ها را با جزئیات تجزیه و تحلیل کنید. طبق معمول، ما خود را به حداقل نظریه ای که در کتاب های درسی متعدد وجود دارد محدود می کنیم، وظیفه ما این است که یاد بگیریم چگونه انتگرال ها را حل کنیم.

برای تسلط موفقیت آمیز به مطالب چه چیزهایی باید بدانید؟ برای مقابله با حساب انتگرال، باید بتوانید مشتقات را حداقل در سطح متوسط ​​پیدا کنید. اگر چندین ده، یا بهتر، صد مشتق مستقل را پشت سر خود داشته باشید، تجربه اضافی نخواهد بود. حداقل، نباید با کار تمایز ساده ترین و رایج ترین توابع گیج شوید.

به نظر می رسد، اگر در مورد انتگرال در مقاله صحبت می کنیم، اصلاً مشتقات کجا هستند؟! و موضوع اینجاست. واقعیت این است که یافتن مشتقات و یافتن انتگرال های نامعین (تمایز و انتگرال) دو عمل معکوس متقابل هستند، مانند جمع / تفریق یا ضرب / تقسیم. بنابراین، بدون مهارت و نوعی تجربه در یافتن مشتقات، متأسفانه نمی توان بیشتر از این پیش رفت.

در این راستا به مواد روش شناختی زیر نیاز خواهیم داشت: جدول مشتقو جدول انتگرال ها.

دشواری مطالعه انتگرال های نامعین چیست؟ اگر در مشتقات به شدت 5 قانون تمایز، جدول مشتقات و الگوریتم اقدامات نسبتاً واضح وجود داشته باشد، در انتگرال ها همه چیز متفاوت است. ده ها روش و تکنیک ادغام وجود دارد. و اگر روش ادغام در ابتدا اشتباه انتخاب شده باشد (یعنی شما نمی دانید چگونه آن را حل کنید) ، انتگرال را می توان به معنای واقعی کلمه برای چند روز "خارج" کرد ، مانند یک ربوس واقعی که سعی می کند متوجه ترفندها و ترفندهای مختلف شود. . حتی برخی آن را دوست دارند.

به هر حال، ما اغلب از دانش آموزان (نه علوم انسانی) نظری مانند: "من هرگز علاقه ای به حل حد یا مشتق نداشته ام، اما انتگرال ها یک موضوع کاملاً متفاوت هستند، هیجان انگیز است، همیشه میل به این وجود دارد." کرک "یک انتگرال پیچیده". متوقف کردن. طنز سیاه بس است، بیایید به سراغ این انتگرال های بسیار نامعین برویم.

از آنجایی که راه های زیادی برای حل وجود دارد، پس قوری از کجا شروع به مطالعه انتگرال های نامعین می کند؟ در حساب انتگرال، به نظر ما، سه ستون یا نوعی «محور» وجود دارد که هر چیز دیگری حول آن می چرخد. اول از همه، شما باید درک خوبی از ساده ترین انتگرال ها داشته باشید (این مقاله).

سپس باید درس را با جزئیات کار کنید. این مهم ترین پذیرش است! شاید حتی مهم ترین مقاله از همه مقالات به انتگرال ها اختصاص داده شده باشد. و سوم اینکه حتما بخوانید یکپارچه سازی توسط قطعات، زیرا کلاس وسیعی از توابع را ادغام می کند. اگر حداقل به این سه درس تسلط داشته باشید، در حال حاضر "دو تا" وجود ندارد. شما را می توان به خاطر ندانستن بخشید انتگرال توابع مثلثاتی, انتگرال کسرها, انتگرال توابع گویا کسری, انتگرال توابع غیر منطقی (ریشه)، اما اگر در روش جایگزینی یا ادغام با روش قطعات "در یک گودال قرار بگیرید" بسیار بسیار بد خواهد بود.

بنابراین، بیایید ساده شروع کنیم. بیایید به جدول انتگرال ها نگاه کنیم. همانطور که در مشتقات، چندین قانون یکپارچه سازی و جدولی از انتگرال های برخی از توابع ابتدایی را مشاهده می کنیم. هر انتگرال جدولی (و در واقع هر انتگرال نامعین) شکل زیر را دارد:

بیایید مستقیماً به نماد و اصطلاحات بپردازیم:

- نماد یکپارچه

- تابع انتگرال (نوشته شده با حرف "s").

- نماد دیفرانسیل اینکه چه چیزی است، به زودی بررسی خواهیم کرد. نکته اصلی این است که هنگام نوشتن انتگرال و در حین حل، مهم است که این نماد را از دست ندهید. نقص قابل توجهی وجود خواهد داشت.

انتگرال یا "پر کردن" انتگرال است.

– ضد مشتقعملکرد.

– . نیازی به بارگذاری شدید عبارت نیست، مهمترین چیز در اینجا این است که در هر انتگرال نامعین، یک ثابت به پاسخ اضافه می شود.

حل یک انتگرال نامعین به معنای یافتن استمجموعه ای از توابع ضد مشتقاز انتگرال داده شده

بیایید دوباره به ورودی نگاه کنیم:

بیایید به جدول انتگرال ها نگاه کنیم.

چه اتفاقی می افتد؟ قسمت های چپ ما در حال چرخش هستندبه توابع دیگر: .

بیایید تعریف خود را ساده کنیم:

انتگرال نامعین را حل کنید - به این معنی است که آن را به یک تابع نامعین (تا یک ثابت) تبدیل کنید ، با استفاده از برخی قوانین، تکنیک ها و جدول.

برای مثال انتگرال جدول را در نظر بگیرید . چی شد؟ رکورد نمادین به مجموعه ای از توابع ضد مشتق تبدیل شده است.

همانطور که در مورد مشتقات، برای یادگیری نحوه یافتن انتگرال، نیازی به آگاهی از چیستی انتگرال یا تابع ضد مشتق از دیدگاه نظری نیست. فقط انجام دگرگونی ها طبق برخی قوانین رسمی کافی است. بنابراین، در مورد درک اینکه چرا انتگرال دقیقاً به آن تبدیل می شود اصلاً ضروری نیست. شما می توانید این و فرمول های دیگر را مسلم فرض کنید. همه از الکتریسیته استفاده می کنند، اما تعداد کمی از مردم به این فکر می کنند که چگونه الکترون ها در طول سیم ها حرکت می کنند.

از آنجایی که تمایز و ادغام عملیات متضاد هستند، برای هر پاد مشتق که به درستی یافت می شود، موارد زیر صادق است:

به عبارت دیگر، اگر پاسخ صحیح متمایز شد، باید انتگرال اصلی به دست آید.

بیایید به همان انتگرال جدول برگردیم .

بیایید صحت این فرمول را بررسی کنیم. مشتق سمت راست را می گیریم:

انتگرال اصلی است.

به هر حال، واضح تر شد که چرا یک ثابت همیشه به یک تابع اختصاص داده می شود. هنگام تمایز، یک ثابت همیشه به صفر تبدیل می شود.

انتگرال نامعین را حل کنیدیعنی پیدا کردن یک دسته از همهضد مشتقات، و نه یک تابع واحد. در مثال جدولی در نظر گرفته شده،،،، و غیره - همه این توابع راه حل انتگرال هستند. راه حل های بی نهایت زیادی وجود دارد، بنابراین آنها به طور خلاصه می نویسند:

بنابراین، بررسی هر انتگرال نامعین به اندازه کافی آسان است. این مقداری جبران برای تعداد زیادی انتگرال از انواع مختلف است.

بیایید به مثال های خاص برویم. بیایید مانند مطالعه مشتق، با دو قانون ادغام شروع کنیم:

- مقدار ثابت سیمی توان (و باید) از علامت انتگرال خارج شود.

– انتگرال مجموع (تفاوت) دو تابع برابر است با مجموع (تفاوت) دو انتگرال. این قانون برای هر تعداد اصطلاح معتبر است.

همانطور که می بینید، قوانین اساساً مانند مشتقات است. گاهی اوقات آنها را صدا می زنند ویژگی های خطیانتگرال

مثال 1

انتگرال نامعین را پیدا کنید.

چک کنید

تصمیم:راحت تر است که آن را مانند تبدیل کنید.

(1) اعمال قانون . فراموش نکنید که نماد دیفرانسیل را یادداشت کنید dxزیر هر انتگرال چرا زیر هر کدام؟ dxیک ضریب کامل است.اگر با جزئیات نقاشی می کنید، اولین مرحله باید به صورت زیر نوشته شود:

.

(2) طبق قاعده تمام ثوابت را از علائم انتگرال ها خارج می کنیم. توجه داشته باشید که در ترم گذشته tg 5 یک ثابت است، ما آن را نیز خارج می کنیم.

علاوه بر این، در این مرحله ریشه ها و درجات را برای ادغام آماده می کنیم. همانطور که در تمایز، ریشه ها باید در فرم نشان داده شوند . ریشه ها و درجاتی که در مخرج قرار دارند - به سمت بالا حرکت می کنند.

توجه داشته باشید:بر خلاف مشتقات، ریشه در انتگرال همیشه نیازی به کاهش به شکل نیست و درجه ها را به سمت بالا حرکت دهید.

مثلا، - این یک انتگرال جدولی آماده است که قبلاً محاسبه شده است و انواع ترفندهای چینی مانند کاملا غیر ضروری به همین ترتیب: - این نیز یک انتگرال جدولی است، هیچ فایده ای برای نشان دادن کسری در شکل وجود ندارد . جدول را با دقت مطالعه کنید!

(3) همه انتگرال ها جدولی هستند. ما تبدیل را با استفاده از جدول و با استفاده از فرمول ها انجام می دهیم: ، و

برای یک تابع قدرت - .

لازم به ذکر است که انتگرال جدول یک مورد خاص از فرمول یک تابع توان است: .

مقدار ثابتسی فقط یک بار آن را در انتهای عبارت اضافه کنید

(به جای قرار دادن آنها بعد از هر انتگرال).

(4) ما نتیجه به دست آمده را در فرم فشرده تر، زمانی که تمام درجات فرم می نویسیم

دوباره به عنوان ریشه نشان داده می شود، و قدرت های دارای توان منفی به مخرج بازنشانی می شوند.

معاینه. برای انجام بررسی، باید پاسخ دریافتی را متمایز کنید:

اولیه یکپارچه، یعنی انتگرال به درستی پیدا شد. از آنچه رقصیدند، به آن بازگشتند. وقتی داستان با انتگرال همینطور تمام می شود خوب است.

گاه به گاه، رویکرد کمی متفاوت برای بررسی انتگرال نامعین وجود دارد، در حالی که مشتق نیست، بلکه دیفرانسیل از پاسخ گرفته می شود:

.

در نتیجه، ما نه یک انتگرال، بلکه یک انتگرال به دست می آوریم.

از مفهوم دیفرانسیل نترسید.

دیفرانسیل مشتق ضرب در است dx.

با این حال، این ظرافت های نظری نیست که برای ما مهم است، بلکه این است که در مرحله بعد با این تفاوت چه کنیم. دیفرانسیل به صورت زیر نشان داده می شود: نماد د حذف کنید، یک ضربه در سمت راست بالای براکت قرار دهید، یک ضریب در انتهای عبارت اختصاص دهید dx :

اصل دریافت کرد یکپارچهیعنی انتگرال به درستی پیدا می شود.

همانطور که می بینید، دیفرانسیل به یافتن مشتق می رسد. من روش دوم را برای بررسی کمتر دوست دارم، زیرا باید علاوه بر این باید براکت های بزرگ بکشم و نماد دیفرانسیل را بکشم. dx تا پایان آزمون اگر چه صحیح تر، یا «محکم تر» یا چیزی دیگر است.

در واقع می شد در مورد روش دوم راستی آزمایی سکوت کرد. نکته در روش نیست، بلکه در این است که ما یاد گرفته ایم دیفرانسیل را باز کنیم. از نو.

دیفرانسیل به صورت زیر آشکار می شود:

1) نماد دبرداشتن؛

2) یک سکته مغزی در سمت راست بالای براکت قرار دهید (تعریف مشتق).

3) در پایان عبارت یک فاکتور اختصاص می دهیم dx .

مثلا:

این را به خاطر بسپار. ما خیلی زود به تکنیک در نظر گرفته شده نیاز خواهیم داشت.

مثال 2

.

وقتی یک انتگرال نامعین پیدا می کنیم، همیشه سعی می کنیم بررسی کنیمعلاوه بر این، یک فرصت عالی برای این وجود دارد. همه انواع مسائل در ریاضیات عالی از این نظر هدیه نیستند. مهم نیست که تأیید اغلب در کارهای کنترلی مورد نیاز نیست، هیچ کس، و هیچ چیز مانع از انجام آن در یک پیش نویس نمی شود. فقط زمانی می توان استثنا قائل شد که زمان کافی وجود نداشته باشد (مثلاً در آزمون، امتحان). من شخصاً همیشه انتگرال ها را بررسی می کنم و عدم تأیید را یک هک و یک کار ضعیف می دانم.

مثال 3

انتگرال نامعین را پیدا کنید:

. چک کنید

راه حل: با تجزیه و تحلیل انتگرال می بینیم که در زیر انتگرال حاصل ضرب دو تابع و حتی توان کل عبارت را داریم. متاسفانه در میدان نبرد انتگرال خیرخوب و راحت فرمول های ادغام محصول و ضریبمانند: یا .

بنابراین، هنگامی که یک محصول یا یک ضریب داده می شود، همیشه منطقی است که ببینیم آیا امکان تبدیل انتگرال به مجموع وجود دارد؟ مثال در نظر گرفته شده موردی است که ممکن است.

ابتدا راه حل کامل را می دهیم، نظرات در زیر خواهد بود.

(1) ما از فرمول خوب قدیمی برای مجذور مجموع برای هر اعداد واقعی استفاده می کنیم و از درجه بالای براکت مشترک خلاص می شویم. خارج از پرانتز و اعمال فرمول ضرب اختصاری در جهت مخالف: .

مثال 4

انتگرال نامعین را پیدا کنید

چک کنید

این یک مثال برای حل خود است. پاسخ و حل کامل در پایان درس.

مثال 5

انتگرال نامعین را پیدا کنید

. چک کنید

در این مثال، انتگرال یک کسری است. وقتی کسری را در انتگرال می بینیم، اولین فکر باید این سوال باشد: "آیا می توان به نحوی از شر این کسری خلاص شد یا حداقل آن را ساده کرد؟"

متوجه می‌شویم که مخرج دارای یک ریشه تنها از "x" است. یکی در میدان جنگجو نیست، به این معنی که می توانید صورت را به مخرج ترم تقسیم کنید:

ما در مورد اقدامات با قدرت کسری اظهار نظر نمی کنیم، زیرا آنها به طور مکرر در مقالات مربوط به مشتق یک تابع مورد بحث قرار گرفته اند.

اگر هنوز با چنین مثالی گیج می شوید

و هیچ کس جواب درستی نمی گیرد،

همچنین توجه داشته باشید که راه حل یک مرحله، یعنی اعمال قوانین را نادیده می گیرد , . معمولاً با تجربه خاصی در حل انتگرال ها، این قواعد یک واقعیت بدیهی تلقی می شوند و به تفصیل توضیح داده نمی شوند.

مثال 6

انتگرال نامعین را پیدا کنید. چک کنید

این یک مثال برای حل خود است. پاسخ و حل کامل در پایان درس.

در حالت کلی، با کسری در انتگرال، همه چیز چندان ساده نیست، مطالب اضافی در مورد ادغام کسرهای برخی از انواع را می توان در مقاله یافت: ادغام برخی کسرها. اما، قبل از رفتن به مقاله بالا، باید این درس را بخوانید: روش جایگزینی در انتگرال نامعین. واقعیت این است که جمع کردن یک تابع تحت یک روش تغییر دیفرانسیل یا متغیر است نقطه کلیدیدر مطالعه موضوع، زیرا نه تنها "در تکالیف خالص برای روش جایگزینی"، بلکه در بسیاری از انواع دیگر انتگرال ها نیز رخ می دهد.

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل:

مثال 4: راه حل:

در این مثال از فرمول ضرب کاهش یافته استفاده کردیم

مثال 6: راه حل:

روش تغییر متغیر در یک انتگرال نامعین. نمونه های راه حل

در این درس با یکی از مهم ترین و رایج ترین ترفندهایی که در درس حل انتگرال نامعین استفاده می شود – تغییر روش متغیر – آشنا می شویم. برای تسلط موفق بر مطالب، دانش اولیه و مهارت های یکپارچه سازی مورد نیاز است. اگر در حساب انتگرال احساس یک قوری پر خالی وجود دارد، ابتدا باید با مواد آشنا شوید. انتگرال نامعین. نمونه های راه حل، جایی که به شکلی در دسترس توضیح داده شده است که انتگرال چیست و نمونه های اساسی برای مبتدیان به تفصیل تجزیه و تحلیل می شوند.

از نظر فنی، روش تغییر یک متغیر در یک انتگرال نامعین به دو صورت اجرا می شود:

– قرار دادن تابع زیر علامت دیفرانسیل.

- تغییر واقعی متغیر.

در واقع، این یک چیز است، اما طراحی راه حل متفاوت به نظر می رسد. بیایید با یک مورد ساده تر شروع کنیم.

در این درس با مفهوم تابع دو متغیر آشنا می شویم و همچنین رایج ترین کار - یافتن - را به تفصیل در نظر می گیریم. مشتقات جزئیمرتبه اول و دوم، دیفرانسیل کل تابع.

به منظور مطالعه موثر مطالب زیر، شما لازم استبتواند مشتقات "معمول" یک تابع از یک متغیر را کم و بیش با اطمینان پیدا کند. در درس ها می توانید نحوه صحیح مدیریت مشتقات را یاد بگیرید چگونه مشتق را پیدا کنیم؟ و مشتق تابع مرکب. ما همچنین به جدولی از مشتقات توابع اولیه و قوانین تمایز نیاز داریم ، اگر به صورت چاپی در دسترس باشد راحت تر است.

بیایید با مفهوم تابعی از دو متغیر شروع کنیم، ما سعی خواهیم کرد خود را به حداقل تئوری محدود کنیم، زیرا سایت تمرکز عملی دارد. تابعی از دو متغیر معمولاً به صورت نوشته می شود و متغیرها فراخوانی می شوند متغیرهای مستقلیا استدلال ها.

مثال: - تابعی از دو متغیر.

گاهی اوقات از نماد استفاده می شود. همچنین وظایفی وجود دارد که به جای حرف از حرف استفاده می شود.

دانستن معنای هندسی توابع مفید است. تابع یک متغیر مربوط به یک خط مشخص در صفحه است، برای مثال، سهمی مدرسه آشنا. هر تابعی از دو متغیر از دیدگاه هندسی یک سطح در فضای سه بعدی (صفحه، استوانه، توپ، پارابولوئید و غیره) است. اما، در واقع، این هندسه تحلیلی است و ما تحلیل ریاضی را در دستور کار داریم.

ما به مسئله یافتن مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم می پردازیم. من برای کسانی از شما که چند فنجان قهوه نوشیده اید و در حال و هوای مطالب غیرقابل تصور دشوار هستید، یک خبر خوب دارم: مشتقات جزئی تقریباً مشابه مشتقات "معمولی" یک تابع از یک متغیر هستند.

برای مشتقات جزئی، تمام قوانین تمایز و جدول مشتقات توابع ابتدایی معتبر است. تنها چند تفاوت کوچک وجود دارد که در حال حاضر با آنها آشنا خواهیم شد.

مثال 1

مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم یک تابع را بیابید

ابتدا مشتقات جزئی مرتبه اول را پیدا می کنیم. دو تا از آنها موجود است.

نام گذاری ها:

یا - مشتق جزئی با توجه به "x"

یا - مشتق جزئی با توجه به "y"

بیا شروع کنیم با .

مهم! وقتی مشتق جزئی را با توجه به "x" پیدا می کنیم، متغیر را پیدا می کنیم ثابت (عدد ثابت) در نظر گرفته می شود.

ما تصمیم گرفتیم. در این درس بلافاصله راه حل کامل را ارائه می دهیم و در زیر نظرات خود را ارائه می دهیم.

نظرات در مورد اقدامات انجام شده:

(1) اولین کاری که هنگام یافتن مشتق جزئی انجام می دهیم نتیجه گیری است همهعملکرد در پرانتز زیر خط تیره با زیرنویس.

توجه مهم!اشتراک ها در طول راه حل از دست نمی روند. در این مورد، اگر در جایی بدون "سکته مغزی" بکشید، حداقل معلم می تواند آن را در کنار کار قرار دهد (به دلیل بی توجهی بلافاصله بخشی از نمره را گاز بگیرد).

(2) از قواعد تمایز استفاده کنید ; . برای مثال ساده ای مانند این، هر دو قانون را می توان در یک مرحله اعمال کرد. به عبارت اول توجه کنید: از آنجا که ثابت در نظر گرفته می شود و هر ثابتی را می توان از علامت مشتق خارج کرد، سپس آن را از داخل پرانتز خارج می کنیم. یعنی در این شرایط بهتر از یک عدد معمولی نیست. حالا بیایید به اصطلاح سوم نگاه کنیم: در اینجا، برعکس، چیزی برای خارج کردن وجود ندارد. از آنجایی که ثابت است، ثابت است، و از این نظر بهتر از جمله آخر - «هفت» نیست.

(2) از جدول مشتقات توابع ابتدایی استفاده می کنیم. به طور ذهنی در جدول تمام "X" را به "Y" تغییر دهید. یعنی این جدول به یک اندازه اعتبار دارد (و بطور کلی برای هر حرفی).در این مورد، فرمول هایی که استفاده می کنیم عبارتند از: و.

بنابراین، مشتقات جزئی مرتبه اول یافت می شوند

و نیازی نیست به دنبال چیزی باشید: در مقاله جداگانه ما، ما قبلاً همه چیز را آماده کرده ایم تا بتوانید آن را انجام دهید. حالا بیایید در مورد مشتقات جزئی صحبت کنیم.

برای دریافت خبرنامه های مفید و اخبار روز دانشجو به کانال تلگرام ما خوش آمدید.

تابع دو یا چند متغیر

قبل از صحبت در مورد مشتقات جزئی، باید به مفهوم تابعی از چندین متغیر بپردازیم که بدون آن هیچ نقطه ای در مشتق جزئی وجود ندارد. در مدرسه، ما عادت داریم با توابع یک متغیر سر و کار داشته باشیم:

ما مشتقات چنین توابعی را قبلا در نظر گرفتیم. نمودار تابع یک متغیر یک خط در یک صفحه است: یک خط مستقیم، یک سهمی، یک هذلولی و غیره.

اگر متغیر دیگری اضافه کنیم چه؟ شما تابعی مانند این دریافت می کنید:

این تابعی از دو متغیر مستقل است ایکسو y. نمودار چنین تابعی یک سطح در فضای سه بعدی است: یک کره، یک هیپربولوئید، یک پارابولوئید یا برخی اسب های کروی دیگر در خلاء. توابع مشتق جزئی zبرای x و y به ترتیب به صورت زیر نوشته می شود:

همچنین توابعی از سه یا چند متغیر وجود دارد. درست است، ترسیم نمودار چنین تابعی غیرممکن است: حداقل به فضای چهار بعدی نیاز دارد که نمی توان آن را به تصویر کشید.

مشتق جزئی مرتبه اول

قانون اصلی را به خاطر بسپار:

هنگام محاسبه مشتق جزئی با توجه به یکی از متغیرها، متغیر دوم به عنوان یک ثابت در نظر گرفته می شود. در غیر این صورت، قوانین محاسبه مشتق تغییر نمی کند.

یعنی مشتق جزئی اساساً با مشتق معمول تفاوتی ندارد. بنابراین، جدول مشتقات توابع ابتدایی و قوانین محاسبه مشتقات معمولی را در مقابل چشمان خود نگه دارید. بیایید به یک مثال نگاه کنیم تا کاملا روشن شود. فرض کنید می خواهید مشتقات جزئی مرتبه اول تابع زیر را محاسبه کنید:

ابتدا مشتق جزئی را نسبت به x می گیریم و y را به عنوان یک عدد معمولی در نظر می گیریم:

اکنون مشتق جزئی را با توجه به y در نظر می گیریم و x را ثابت می گیریم:

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در این مورد وجود ندارد و موفقیت با مثال های پیچیده تر فقط در حد تمرین است.

مشتق جزئی مرتبه دوم

مشتق جزئی مرتبه دوم چیست؟ درست مثل اولی. برای یافتن مشتقات جزئی مرتبه دوم، فقط باید مشتق مشتق مرتبه اول را بگیرید. بیایید به مثال بالا برگردیم و مشتقات جزئی مرتبه دوم را محاسبه کنیم.

بر اساس بازی:

مشتقات جزئی مرتبه سوم و بالاتر در اصل محاسبه تفاوتی ندارند. بیایید قوانین را سازماندهی کنیم:

1. هنگام تمایز با توجه به یک متغیر مستقل، دومی به عنوان یک ثابت در نظر گرفته می شود.
2. مشتق مرتبه دوم مشتق مشتق مرتبه اول است. مرتبه سوم مشتق مشتق مرتبه دوم و غیره است.

مشتقات جزئی و دیفرانسیل کل یک تابع

یک سوال متداول در کارهای عملی یافتن دیفرانسیل کل یک تابع است. برای تابعی از چندین متغیر، دیفرانسیل کل به عنوان بخش خطی اصلی افزایش کوچک کل تابع با توجه به افزایش آرگومان ها تعریف می شود.

تعریف دست و پا گیر به نظر می رسد، اما با حروف همه چیز آسان تر است. مجموع دیفرانسیل مرتبه اول یک تابع متشکل از چندین متغیر به صورت زیر است:

با دانستن نحوه محاسبه مشتقات جزئی، محاسبه دیفرانسیل کل مشکلی ندارد.

مشتقات جزئی چندان موضوع بیهوده ای نیستند. به عنوان مثال، معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم به طور گسترده برای توصیف ریاضی فرآیندهای فیزیکی واقعی استفاده می شود.

در اینجا ما فقط یک ایده کلی و سطحی از مشتقات جزئی مرتبه اول و دوم ارائه کرده ایم. آیا به این موضوع علاقه دارید یا سؤال خاصی دارید؟ آنها را در نظرات بپرسید و با کارشناسان خدمات دانشجویی حرفه ای تماس بگیرید تا در تحصیل خود کمک شایانی و سریع کنند. با ما با مشکل تنها نخواهید ماند!