انواع ماتریس ها و خواص آنها عملیات اساسی بر روی ماتریس ها تعریف عملیات ضرب دو ماتریس

برخی از ویژگی های عملیات روی ماتریس ها
عبارات ماتریسی

و اکنون ادامه موضوع دنبال خواهد شد که در آن نه تنها مطالب جدید را در نظر خواهیم گرفت، بلکه کار نیز خواهیم کرد عملیات ماتریسی.

برخی از ویژگی های عملیات روی ماتریس ها

ویژگی های کمی وجود دارد که به عملیات با ماتریس مربوط می شود؛ در همان ویکی پدیا، می توانید رتبه های باریک قوانین مربوطه را تحسین کنید. با این حال، در عمل، بسیاری از خواص به معنای خاصی "مرده" هستند، زیرا فقط برخی از آنها در حل مشکلات واقعی استفاده می شوند. هدف من این است که به کاربرد خواص با مثال های عینی نگاه کنم و اگر به یک نظریه دقیق نیاز دارید، لطفا از منبع اطلاعات دیگری استفاده کنید.

برخی را در نظر بگیرید استثناهای قاعدهبرای انجام وظایف عملی لازم است.

اگر یک ماتریس مربع داشته باشد ماتریس معکوس، سپس ضرب آنها جابجایی است:

ماتریس هویتماتریس مربع با نامیده می شود مورب اصلیواحدها قرار دارند و عناصر باقی مانده برابر با صفر هستند. به عنوان مثال: و غیره

که در آن ویژگی زیر درست است: اگر یک ماتریس دلخواه ضرب شود چپ یا راستبا یک ماتریس هویت با اندازه های مناسب، نتیجه ماتریس اصلی است:

همانطور که می بینید، جابجایی ضرب ماتریس نیز در اینجا انجام می شود.

بیایید مقداری ماتریس بگیریم، خوب، بیایید ماتریس مسئله قبلی را بگوییم: .

علاقه مندان می توانند بررسی کنند و مطمئن شوند که:

ماتریس هویت برای ماتریس ها یک آنالوگ از واحد عددی اعداد است که به ویژه از مثال هایی که در نظر گرفته شد به وضوح مشاهده می شود.

جابجایی یک عامل عددی با توجه به ضرب ماتریس

ویژگی زیر برای ماتریس ها و اعداد واقعی صادق است:

یعنی فاکتور عددی را می توان (و باید) به جلو برد تا در ضرب ماتریس ها "تداخل نداشته باشد".

توجه داشته باشید : به طور کلی، جمله بندی ویژگی ناقص است - "لامبدا" را می توان در هر نقطه بین ماتریس ها، حتی در انتهای آن قرار داد. اگر سه یا چند ماتریس ضرب شوند، این قانون همچنان معتبر است.

مثال 4

محاسبه محصول

تصمیم گیری:

(1) با توجه به اموال عامل عددی را به جلو حرکت دهید. خود ماتریس ها قابل تنظیم مجدد نیستند!

(2) - (3) ضرب ماتریس را انجام دهید.

(4) در اینجا می توانید هر عدد را 10 تقسیم کنید، اما سپس کسرهای اعشاری در بین عناصر ماتریس ظاهر می شوند که خوب نیست. با این حال، متوجه می شویم که تمام اعداد ماتریس بر 5 بخش پذیر هستند، بنابراین هر عنصر را در ضرب می کنیم.

پاسخ:

یک معمای کوچک برای حل کردن به تنهایی:

مثال 5

محاسبه کنید اگر

راه حل و پاسخ در پایان درس.

چه تکنیکی در حل چنین مثال هایی مهم است؟ برخورد با اعداد آخر .

بیایید واگن دیگری را به لوکوموتیو وصل کنیم:

چگونه سه ماتریس را ضرب کنیم؟

اول از همه، حاصل ضرب سه ماتریس چه چیزی باید باشد؟ گربه موش به دنیا نمی آورد. اگر ضرب ماتریس امکان پذیر باشد، نتیجه نیز یک ماتریس خواهد بود. خوب، معلم جبر من نمی بیند که چگونه بسته بودن ساختار جبری را با توجه به عناصر آن توضیح می دهم =)

حاصل ضرب سه ماتریس به دو صورت قابل محاسبه است:

1) پیدا کنید و سپس در ماتریس "ce" ضرب کنید: ;

2) یا ابتدا پیدا کنید، سپس ضرب را انجام دهید.

نتایج لزوماً منطبق خواهند بود و در تئوری این ویژگی را انجمن ضرب ماتریس می نامند:

مثال 6

ماتریس ها را به دو صورت ضرب کنید

الگوریتم راه حل هادو مرحله ای: حاصل ضرب دو ماتریس را پیدا کنید، سپس حاصل ضرب دو ماتریس را پیدا کنید.

1) از فرمول استفاده کنید

اقدام اول:

اقدام دوم:

2) از فرمول استفاده کنید

اقدام اول:

اقدام دوم:

پاسخ:

آشناتر و استانداردتر، البته، اولین راه حل است، در آنجا "انگار همه چیز مرتب است." به هر حال، در مورد سفارش. در کار مورد بررسی، اغلب این توهم ایجاد می شود که ما در مورد نوعی جایگشت ماتریس ها صحبت می کنیم. آنها اینجا نیستند. من دوباره به شما یادآوری می کنم که به طور کلی ماتریس ها را جایگزین نکنید. بنابراین، در پاراگراف دوم، در مرحله دوم، ضرب را انجام می دهیم، اما در هیچ موردی. با اعداد معمولی، چنین عددی عبور می کند، اما نه با ماتریس.

خاصیت تداعی ضرب نه تنها برای مربع، بلکه برای ماتریس های دلخواه نیز معتبر است - اگر فقط آنها ضرب شوند:

مثال 7

حاصل ضرب سه ماتریس را پیدا کنید

این یک مثال برای خودتان است. در حل نمونه، محاسبات به دو صورت انجام شده است، تحلیل کنید که کدام راه سودآورتر و کوتاهتر است.

خاصیت انجمنی بودن ضرب ماتریس برای تعداد بیشتری از عوامل اتفاق می افتد.

اکنون زمان بازگشت به قدرت های ماتریس است. مربع ماتریس در همان ابتدا در نظر گرفته شده است و در دستور کار این سوال است:

چگونه یک ماتریس و قدرت های بالاتر را مکعب کنیم؟

این عملیات نیز فقط برای ماتریس های مربعی تعریف شده است. برای بالا بردن یک ماتریس مربع به یک مکعب، باید حاصل را محاسبه کنید:

در واقع، این یک مورد خاص از ضرب سه ماتریس است، با توجه به خاصیت انجمنی ضرب ماتریس: . و ماتریسی که در خودش ضرب شود مربع ماتریس است:

بنابراین، ما فرمول کار را دریافت می کنیم:

یعنی کار در دو مرحله انجام می شود: ابتدا ماتریس باید مربع شود و سپس ماتریس حاصل در ماتریس ضرب می شود.

مثال 8

ماتریس را تا یک مکعب بالا ببرید.

این یک مشکل کوچک است که باید به تنهایی حل شود.

بالا بردن یک ماتریس به توان چهارم به روش طبیعی انجام می شود:

با استفاده از تداعی ضرب ماتریس، دو فرمول کاری استخراج می کنیم. اول: حاصلضرب سه ماتریس است.

یک). به عبارت دیگر، ابتدا پیدا می کنیم، سپس آن را در "be" ضرب می کنیم - یک مکعب می گیریم، و در نهایت، دوباره ضرب را انجام می دهیم - درجه چهارم وجود خواهد داشت.

2) اما راه حلی یک قدم کوتاهتر وجود دارد: . یعنی در مرحله اول مربع را پیدا کرده و با دور زدن مکعب، ضرب را انجام می دهیم

کار اضافی به مثال 8:

ماتریس را تا توان چهارم بالا ببرید.

همانطور که اشاره شد، این کار به دو صورت انجام می شود:

1) به محض اینکه مکعب مشخص شد، آنگاه ضرب را انجام می دهیم.

2) اما اگر با توجه به شرایط مسئله نیاز به ساخت ماتریس باشد فقط در درجه چهارم، سپس کوتاه کردن مسیر مفید است - مربع ماتریس را پیدا کنید و از فرمول استفاده کنید.

هر دو راه حل و پاسخ در پایان درس است.

به طور مشابه، ماتریس به قدرت های پنجم و بالاتر ارتقا می یابد. از تجربه عملی می توانم بگویم که گاهی اوقات نمونه هایی از ارتقاء درجه 4 وجود دارد ، اما من قبلاً چیزی از درجه پنجم را به یاد ندارم. اما در هر صورت، الگوریتم بهینه را ارائه خواهم کرد:

1) پیدا کردن؛
2) پیدا کردن؛
3) ماتریس را به توان پنجم برسانید: .

در اینجا، شاید، تمام ویژگی های اصلی عملیات ماتریس است که می تواند در مسائل عملی مفید باشد.

در بخش دوم درس، مهمانی رنگارنگ کمتری پیش بینی نمی شود.

عبارات ماتریسی

بیایید عبارات معمول مدرسه را با اعداد تکرار کنیم. یک عبارت عددی شامل اعداد، نمادهای ریاضی و کروشه است، به عنوان مثال: . در محاسبات، اولویت جبری آشنا معتبر است: اول، پرانتز، سپس اجرا شد توان / استخراج ریشه ها، بعد از ضرب / تقسیمو در نهایت - جمع / تفریق.

اگر یک عبارت عددی معنی داشته باشد، نتیجه ارزیابی آن یک عدد است، مثلا:

عبارات ماتریسیتقریباً دقیقاً همین طور! با این تفاوت که بازیگران اصلی ماتریس هستند. به علاوه برخی از عملیات ماتریس خاص، مانند جابجایی و یافتن معکوس یک ماتریس.

عبارت ماتریس را در نظر بگیرید ، برخی از ماتریس ها کجا هستند. این عبارت ماتریس دارای سه جمله است و عملیات جمع/تفریق در آخر انجام می شود.

در ترم اول، ابتدا باید ماتریس "be": را جابجا کنید، سپس ضرب را انجام دهید و "دو" را به ماتریس حاصل اضافه کنید. توجه داشته باشید که عملیات جابجایی اولویت بیشتری نسبت به عملیات ضرب دارد. پرانتزها، مانند عبارات عددی، ترتیب اعمال را تغییر می دهند: - در اینجا، ابتدا ضرب انجام می شود، سپس ماتریس حاصل جابجا شده و در 2 ضرب می شود.

در ترم دوم ابتدا ضرب ماتریس انجام می شود و ماتریس معکوس قبلاً از حاصل ضرب پیدا شده است. اگر براکت ها حذف شوند: ، ابتدا باید ماتریس معکوس را پیدا کنید و سپس ماتریس ها را ضرب کنید: . یافتن ماتریس معکوس نیز بر ضرب ارجحیت دارد.

با عبارت سوم، همه چیز واضح است: ماتریس را به یک مکعب تبدیل می کنیم و "پنج" را به ماتریس حاصل اضافه می کنیم.

اگر عبارت ماتریس معنی داشته باشد، نتیجه ارزیابی آن یک ماتریس است.

همه کارها از تست های واقعی خواهند بود و ما با ساده ترین آنها شروع می کنیم:

مثال 9

داده های ماتریسی . برای پیدا کردن:

تصمیم گیری: ترتیب عملیات مشخص است ابتدا ضرب انجام می شود سپس جمع.

اضافه کردن امکان پذیر نیست زیرا ماتریس ها اندازه های متفاوتی دارند.

تعجب نکنید، اقدامات آشکارا غیرممکن اغلب در کارهایی از این نوع ارائه می شود.

بیایید سعی کنیم عبارت دوم را محاسبه کنیم:

اینجا همه چیز خوب است.

پاسخ: عمل را نمی توان انجام داد، .

ماتریس ها اقدامات روی ماتریس ها ویژگی های عملیات روی ماتریس ها انواع ماتریس ها

ماتریس ها (و بر این اساس بخش ریاضی - جبر ماتریسی)در ریاضیات کاربردی مهم هستند، زیرا امکان نوشتن به شکل نسبتاً ساده بخش قابل توجهی از مدل های ریاضی اشیا و فرآیندها را فراهم می کنند. اصطلاح "ماتریس" در سال 1850 ظاهر شد. ماتریس ها اولین بار در چین باستان و بعدها توسط ریاضیدانان عرب ذکر شد.

ماتریس A=Amnدستور m*n نامیده می شود جدول مستطیلی اعداد حاوی m - ردیف و n - ستون.

عناصر ماتریسی aijکه i=j را مورب و شکل می نامند مورب اصلی.

برای یک ماتریس مربع (m=n)، قطر اصلی توسط عناصر a 11، a 22،...، a nn تشکیل می شود.

برابری ماتریسی

A=B، اگر ماتریس دستور دهد آو بیکسان هستند و a ij =b ij (i=1,2,...,m؛ j=1,2,...,n)

اقدامات روی ماتریس ها

1. اضافه کردن ماتریس - عملیات عنصر عاقلانه

2. تفریق ماتریسی - عملیات عنصر به عنصر

3. حاصل ضرب یک ماتریس با عدد یک عمل عنصر به عنصر است

4. ضرب A*Bماتریس ها طبق قانون سطر در هر ستون(تعداد ستون های ماتریس A باید برابر با تعداد ردیف های ماتریس B باشد)

A mk *B kn =C mnو هر عنصر با ijماتریس ها Cmnبرابر است با مجموع حاصل ضرب عناصر ردیف i ماتریس A توسط عناصر متناظر ستون j ماتریس B، یعنی.

بیایید عملیات ضرب ماتریس را با استفاده از یک مثال نشان دهیم

5. قدرت

m>1 یک عدد صحیح مثبت است. A یک ماتریس مربع است (m=n) یعنی. فقط برای ماتریس های مربع مرتبط است

6. جابجایی ماتریس A. ماتریس جابجا شده با A T یا A نشان داده می شود.

سطرها و ستون ها با هم عوض می شوند

مثال

ویژگی های عملیات روی ماتریس ها

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

انواع ماتریس ها

1. مستطیل: مترو n- اعداد صحیح مثبت دلخواه

2. مربع: m=n

3. ردیف ماتریس: m=1. به عنوان مثال، (1 3 5 7) - در بسیاری از مسائل عملی، چنین ماتریسی بردار نامیده می شود.

4. ستون ماتریس: n=1. مثلا

5. ماتریس مورب: m=nو a ij = 0، اگر i≠j. مثلا

6. ماتریس هویت: m=nو

7. ماتریس صفر: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. ماتریس مثلثی: همه عناصر زیر قطر اصلی 0 هستند.

9. ماتریس متقارن: m=nو aij=aji(یعنی عناصر مساوی در مکان هایی وجود دارد که نسبت به قطر اصلی متقارن هستند) و بنابراین A" = A

مثلا،

10. ماتریس کج: m=nو a ij =-a ji(یعنی عناصر متضاد روی مکان هایی قرار می گیرند که نسبت به قطر اصلی متقارن هستند). بنابراین، صفرهایی در مورب اصلی وجود دارد (زیرا در i=jما داریم a ii =-a ii)

واضح است، الف"=-الف

11. ماتریس هرمیتی: m=nو a ii =-ã ii (ã جی- پیچیده - مزدوج به یک جی، یعنی اگر A=3+2i، سپس مزدوج پیچیده Ã=3-2i)

در این مقاله نحوه انجام عملیات جمع بر روی ماتریس‌های هم‌ترتیب، عملیات ضرب یک ماتریس در یک عدد و عملیات ضرب ماتریس‌های با ترتیب مناسب را خواهیم فهمید، ویژگی‌های عملیات را به‌طور بدیهی تنظیم می‌کنیم. و همچنین اولویت عملیات روی ماتریس ها را مورد بحث قرار دهید. به موازات تئوری، به مثال هایی که در آن عملیات روی ماتریس ها انجام می شود، راه حل های مفصلی خواهیم داد.

ما فوراً متذکر می شویم که همه موارد زیر برای ماتریس هایی که عناصر آنها اعداد واقعی (یا مختلط) هستند اعمال می شود.

پیمایش صفحه.

عملیات جمع دو ماتریس.

تعریف عملیات جمع دو ماتریس.

عملیات جمع فقط برای ماتریس هایی با همان ترتیب تعریف شده است. به عبارت دیگر نمی توان مجموع ماتریس های ابعاد مختلف را یافت و به طور کلی نمی توان در مورد جمع ماتریس های ابعاد مختلف صحبت کرد. همچنین نمی توان در مورد مجموع یک ماتریس و یک عدد یا از مجموع یک ماتریس و برخی عناصر دیگر صحبت کرد.

تعریف.

مجموع دو ماتریسو ماتریسی است که عناصر آن برابر با مجموع عناصر متناظر ماتریس های A و B است، یعنی .

بنابراین، نتیجه عملیات جمع دو ماتریس، یک ماتریس با همان ترتیب است.

ویژگی های عملیات جمع ماتریس.

ویژگی های عملیات جمع ماتریس چیست؟ پاسخ دادن به این سوال بسیار آسان است، از تعریف مجموع دو ماتریس از یک مرتبه معین و به خاطر سپردن ویژگی های عمل جمع اعداد واقعی (یا مختلط) شروع می شود.

1. برای ماتریس های A، B و C با همان ترتیب، خاصیت انجمنی بودن جمع مشخصه A + (B + C) \u003d (A + B) + C است.
2. برای ماتریس های یک مرتبه مشخص، یک عنصر خنثی نسبت به جمع وجود دارد که ماتریس صفر است. یعنی خاصیت A + O \u003d A درست است.
3. برای یک ماتریس غیر صفر A از یک مرتبه معین، یک ماتریس (-A) وجود دارد، مجموع آنها یک ماتریس صفر است: A + (-A) \u003d O.
4. برای ماتریس های A و B از یک مرتبه معین، خاصیت جابجایی جمع A+B=B+A صادق است.

در نتیجه، مجموعه ای از ماتریس های یک مرتبه معین، یک گروه Abel افزایشی (یک گروه آبلی با توجه به عملیات جبری جمع) ایجاد می کند.

جمع ماتریس - حل مثال.

بیایید به چند نمونه از جمع ماتریس نگاه کنیم.

مثال.

مجموع ماتریس ها و .

تصمیم گیری

ترتیب ماتریس های A و B یکسان و برابر با 4 در 2 است، بنابراین می توانیم عمل جمع ماتریس را انجام دهیم و در نتیجه باید ماتریسی به ترتیب 4 در 2 به دست آوریم. با توجه به تعریف عملیات جمع دو ماتریس، جمع عنصر به عنصر را انجام می دهیم:

مثال.

مجموع دو ماتریس را پیدا کنید و که عناصر آن اعداد مختلط هستند.

تصمیم گیری

از آنجایی که ترتیبات ماتریس برابر است، می توانیم جمع را انجام دهیم.

مثال.

جمع سه ماتریس را انجام دهید .

تصمیم گیری

ابتدا ماتریس A را با B اضافه کنید، سپس C را به ماتریس حاصل اضافه کنید:

ما یک ماتریس صفر گرفتیم.

عمل ضرب یک ماتریس در یک عدد.

تعریف عملیات ضرب یک ماتریس در عدد.

عملیات ضرب یک ماتریس در یک عدد برای ماتریس های هر مرتبه تعریف شده است.

تعریف.

حاصل ضرب یک ماتریس و یک عدد واقعی (یا مختلط).ماتریسی است که عناصر آن از ضرب عناصر متناظر ماتریس اصلی در یک عدد به دست می آید، یعنی .

بنابراین، حاصل ضرب یک ماتریس در یک عدد، ماتریسی با همان ترتیب است.

خواص عملیات ضرب یک ماتریس در عدد.

از خواص عملیات ضرب یک ماتریس در عدد بر می آید که با ضرب یک ماتریس صفر در صفر ماتریس صفر به دست می آید و حاصل ضرب یک عدد دلخواه و یک ماتریس صفر یک ماتریس صفر است.

ضرب یک ماتریس در یک عدد - مثالها و حل آنها.

بیایید با استفاده از مثال به عملیات ضرب یک ماتریس در عدد بپردازیم.

مثال.

حاصل ضرب عدد 2 و ماتریس را پیدا کنید .

تصمیم گیری

برای ضرب یک ماتریس در یک عدد، باید هر یک از عناصر آن را در این عدد ضرب کنید:

مثال.

ضرب ماتریس را در یک عدد انجام دهید.

تصمیم گیری

هر عنصر ماتریس داده شده را در عدد داده شده ضرب می کنیم:

عمل ضرب دو ماتریس.

تعریف عملیات ضرب دو ماتریس.

عمل ضرب دو ماتریس A و B فقط برای حالتی تعریف می شود که تعداد ستون های ماتریس A برابر با تعداد ردیف های ماتریس B باشد.

تعریف.

حاصل ضرب یک ماتریس مرتبه A و یک ماتریس B از ترتیب- این یک ماتریس C از نظم است که هر عنصر آن برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر ردیف i-ام ماتریس A توسط عناصر مربوطه از ستون j-ام ماتریس B، یعنی ،

بنابراین، نتیجه عملیات ضرب یک ماتریس سفارش در یک ماتریس سفارش، یک ماتریس سفارش است.

ضرب یک ماتریس در یک ماتریس - حل مثالها.

با استفاده از مثال هایی به ضرب ماتریس می پردازیم و پس از آن به لیست خواص عملیات ضرب ماتریس می پردازیم.

مثال.

تمام عناصر ماتریس C را که با ضرب ماتریس به دست می آید، بیابید و .

تصمیم گیری

ترتیب ماتریس A p=3 در n=2، ترتیب ماتریس B n=2 در q=4 است، بنابراین ترتیب حاصلضرب این ماتریس ها p=3 در q=4 است. بیایید از فرمول استفاده کنیم

به ترتیب مقادیر i را از 1 تا 3 (از p=3 ) برای هر j از 1 تا 4 (از آنجایی که q=4 ) و در مورد ما n=2 می گیریم، سپس

به این ترتیب همه عناصر ماتریس C محاسبه می شوند و ماتریسی که از ضرب دو ماتریس داده شده به دست می آید به شکل .

مثال.

انجام ضرب ماتریس و .

تصمیم گیری

دستورات ماتریس های اصلی به ما امکان می دهد عملیات ضرب را انجام دهیم. در نتیجه باید ماتریسی به ترتیب ۲ در ۳ بدست آوریم.

مثال.

ماتریس های داده شده و . حاصل ضرب ماتریس های A و B و همچنین ماتریس های B و A را پیدا کنید.

تصمیم گیری

از آنجایی که ترتیب ماتریس A 3 در 1 و ماتریس B 1 در 3 است، A⋅B دارای مرتبه 3 در 3 و حاصلضرب ماتریس B و A دارای ترتیب 1 در 1 خواهد بود.

همانطور که می بینید، . این یکی از ویژگی های عملیات ضرب ماتریس است.

خواص عملیات ضرب ماتریس.

اگر ماتریس های A، B و C دارای ترتیب مناسبی باشند، موارد زیر صحیح هستند خواص عملیات ضرب ماتریس.

لازم به ذکر است که برای ترتیب مناسب، حاصل ضرب ماتریس صفر O و ماتریس A ماتریس صفر به دست می دهد. حاصل ضرب A در O نیز در صورتی که دستورات اجازه عملیات ضرب ماتریس را بدهد، ماتریس صفر به دست می دهد.

در میان ماتریس های مربع به اصطلاح وجود دارد ماتریس های جایگشت، عمل ضرب برای آنها جابجایی است یعنی . نمونه ای از ماتریس های جایگشت یک جفت از ماتریس هویت و هر ماتریس دیگری با همان ترتیب است، زیرا .

اولویت عملیات روی ماتریس ها

عملیات ضرب یک ماتریس در یک عدد و ضرب یک ماتریس در یک ماتریس دارای اولویت یکسانی هستند. در عین حال، این عملیات اولویت بیشتری نسبت به عملیات جمع دو ماتریس دارند. بنابراین ابتدا ماتریس در عدد ضرب می شود و ماتریس ها ضرب می شوند و تنها پس از آن ماتریس ها جمع می شوند. با این حال، ترتیب انجام عملیات بر روی ماتریس ها را می توان به صراحت با استفاده از پرانتز مشخص کرد.

بنابراین، اولویت عملیات روی ماتریس ها مشابه اولویتی است که به عملیات جمع و ضرب اعداد حقیقی اختصاص داده شده است.

مثال.

داده های ماتریسی . اعمال مشخص شده را با ماتریس های داده شده انجام دهید .

تصمیم گیری

با ضرب ماتریس A در ماتریس B شروع می کنیم:

اکنون ماتریس هویت مرتبه دوم E را در دو ضرب می کنیم:

ما دو ماتریس حاصل را اضافه می کنیم:

باقی مانده است که عملیات ضرب ماتریس حاصل در ماتریس A را انجام دهیم:

لازم به ذکر است که عمل تفریق ماتریس های هم مرتبه A و B وجود ندارد. تفاوت دو ماتریس اساساً حاصل جمع ماتریس A و ماتریس B است که به طور مقدماتی در منهای یک ضرب می شود: .

عملیات افزایش یک ماتریس مربع به توان طبیعی نیز مستقل نیست، زیرا ضرب متوالی ماتریس ها است.

خلاصه کنید.

سه عمل بر روی مجموعه ماتریس ها تعریف می شود: جمع ماتریس های هم مرتبه، ضرب یک ماتریس در یک عدد و ضرب ماتریس های مرتبه مناسب. عملیات جمع بر روی مجموعه ای از ماتریس های یک مرتبه معین، یک گروه آبل ایجاد می کند.

ماتریس ها انواع ماتریس ها عملیات روی ماتریس ها و خواص آنها

تعیین کننده ماتریس مرتبه n. N، Z، Q، R، C،

ماتریس مرتبه m*n یک جدول مستطیلی از اعداد است که حاوی m ردیف و n ستون است.

برابری ماتریسی:

دو ماتریس برابر نامیده می شوند که تعداد سطرها و ستون های یکی از آنها به ترتیب با تعداد سطرها و ستون های دیگری برابر باشد. عناصر این ماتریس ها برابر هستند.

توجه: عناصر با شاخص های یکسان مطابقت دارند.

انواع ماتریس:

ماتریس مربع: به ماتریسی مربع گفته می شود که تعداد سطرها با تعداد ستون ها برابر باشد.

مستطیل: به یک ماتریس مستطیلی گفته می شود که تعداد سطرها با تعداد ستون ها برابر نباشد.

ماتریس ردیف: ماتریس مرتبه 1*n (m=1) به شکل a11,a12,a13 است و به آن ماتریس ردیف می گویند.

ستون ماتریس:………….

مورب: مورب یک ماتریس مربع که از گوشه چپ بالا به گوشه سمت راست پایین می رود، یعنی متشکل از عناصر a11, a22 ...... - قطر اصلی نامیده می شود. (تعریف: ماتریس مربعی که همه عناصر آن برابر با صفر هستند، به جز مواردی که روی قطر اصلی قرار دارند، ماتریس مورب نامیده می شود.

هویت: ماتریس مورب در صورتی هویت نامیده می شود که همه عناصر روی قطر اصلی قرار گرفته و برابر با 1 باشند.

مثلث بالا: A=||aij|| اگر aij=0 باشد، ماتریس مثلث بالایی نامیده می شود. ارائه شده i>j.

مثلث پایینی: aij=0. من

صفر: این ماتریسی است که Els آن 0 است.

عملیات روی ماتریس ها

1. جابجایی.

2. ضرب یک ماتریس در یک عدد.

3. اضافه ماتریس.

4. ضرب ماتریس.

عمل پایه sv-va روی ماتریس ها.

1.A+B=B+A (جابه‌جایی)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (تداعی)

3.a(A+B)=aA+aB (توزیع)

4.(a+b)A=aA+bA (توزیعی)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoots.)

6.AB≠BA (بدون ارتباط.)

7.A(BC)=(AB)C (تداعی) - اگر تعریف شود اجرا می شود. محصولات ماتریسی انجام می شود.

8.A(B+C)=AB+AC (توزیعی)

(B+C)A=BA+CA (توزیعی)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

تعیین کننده ماتریس مربع - تعریف و خواص آن. تجزیه تعیین کننده در ردیف ها و ستون ها. روش های محاسبه عوامل تعیین کننده

اگر ماتریس A دارای مرتبه m>1 باشد، تعیین کننده این ماتریس یک عدد است.

مکمل جبری Aij عنصر aij ماتریس A، Mij جزئی ضرب در عدد است.

قضیه 1: تعیین کننده ماتریس A برابر است با مجموع حاصلضرب تمام عناصر یک ردیف (ستون) دلخواه و مکمل های جبری آنها.

ویژگی های اساسی عوامل تعیین کننده

1. تعیین کننده یک ماتریس با انتقال آن تغییر نخواهد کرد.

2. هنگام جابجایی دو ردیف (ستون)، دترمینان علامت را تغییر می دهد، اما قدر مطلق آن تغییر نمی کند.

3. تعیین کننده ماتریسی که دو ردیف (ستون) یکسان دارد 0 است.

4. هنگام ضرب یک ردیف (ستون) از یک ماتریس در یک عدد، تعیین کننده آن در این عدد ضرب می شود.

5. اگر یکی از سطرها (ستون ها) ماتریس از 0 تشکیل شده باشد، تعیین کننده این ماتریس 0 است.

6. اگر تمام عناصر ردیف iام (ستون) یک ماتریس به صورت مجموع دو جمله نمایش داده شوند، آنگاه دترمینان آن را می توان به صورت مجموع عوامل تعیین کننده دو ماتریس نشان داد.

7. اگر به ترتیب عناصر یک ستون (ردیف) به عناصر ستون دیگر (ردیف) از قبل ضرب شده اضافه شوند، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد. برای همان تعداد

8. مجموع عناصر دلخواه هر ستون (ردیف) تعیین کننده به مکمل جبری متناظر عناصر ستون (ردیف) دیگر 0 است.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

روش های محاسبه دترمینان:

1. طبق تعریف یا قضیه 1.

2. کاهش به شکل مثلثی.

تعریف و خواص ماتریس معکوس محاسبه ماتریس معکوس معادلات ماتریسی

تعریف: یک ماتریس مربع از مرتبه n را معکوس ماتریس A از همان مرتبه می نامند و نشان داده می شود.

برای اینکه ماتریس A دارای ماتریس معکوس باشد، لازم و کافی است که تعیین کننده ماتریس A با 0 متفاوت باشد.

خواص ماتریس معکوس:

1. منحصر به فرد بودن: برای یک ماتریس معین A، معکوس آن منحصر به فرد است.

2. تعیین کننده ماتریس

3. عملیات گرفتن جابجایی و گرفتن ماتریس معکوس.

معادلات ماتریسی:

فرض کنید A و B دو ماتریس مربعی با ترتیب یکسان باشند.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

مفهوم وابستگی خطی و استقلال ستون های ماتریس. ویژگی های وابستگی خطی و استقلال خطی سیستم ستون.

اگر ترکیب خطی غیرمشخصی از آنها برابر با ستون 0 باشد، ستون‌های A1,A2…An وابسته خطی نامیده می‌شوند.

اگر ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده ای از آنها برابر با ستون 0 باشد، ستون های A1,A2…An مستقل خطی نامیده می شوند.

اگر همه ضرایب С(l) برابر 0 باشند، یک ترکیب خطی جزئی نامیده می شود و در غیر این صورت غیر پیش پا افتاده است.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2. برای اینکه ستون ها به صورت خطی وابسته باشند، لازم و کافی است که برخی از ستون ها ترکیبی خطی از ستون های دیگر باشد.

بگذارید 1 ستون https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src="> ترکیبی خطی از ستون های دیگر باشد.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> به صورت خطی وابسته هستند، سپس همه ستون ها به صورت خطی وابسته هستند.

4. اگر سیستمی از ستون ها مستقل خطی باشد، هر یک از زیرسیستم های آن نیز مستقل خطی است.

(هر چیزی که در مورد ستون ها گفته می شود برای ردیف ها نیز صادق است).

خردسالان ماتریسی. خردسالان پایه رتبه ماتریسی روش فرینگ مینورها برای محاسبه رتبه یک ماتریس.

مرتبه جزئی ماتریس A تعیین کننده ای است که عناصر آن در محل تلاقی ردیف های k و k ردیف ماتریس A قرار دارند.

اگر همه مینورهای مرتبه k ماتریس A = 0، هر مینور از مرتبه k + 1 نیز برابر با 0 است.

جزئی پایه.

رتبه یک ماتریس A مرتبه مینور پایه آن است.

روش مرزبندی مینورها: - یک عنصر غیر صفر از ماتریس A را انتخاب می کنیم (اگر چنین عنصری وجود نداشته باشد، رتبه A \u003d 0)

مینور قبلی مرتبه 1 را با مینور مرتبه 2 مرز بندی می کنیم. (اگر این مینور برابر با 0 نباشد، آنگاه رتبه >=2) اگر رتبه این مینور =0 باشد، مینور مرتبه 1 انتخابی را با سایر مینورهای مرتبه دوم مرزبندی می کنیم. (اگر همه مینورهای مرتبه دوم = 0، پس رتبه ماتریس = 1).

رتبه ماتریسی روش های یافتن رتبه یک ماتریس

رتبه یک ماتریس A مرتبه مینور پایه آن است.

روش های محاسبه:

1) روش Bordering Minor: -یک عنصر غیر صفر از ماتریس A را انتخاب کنید (اگر چنین عنصری وجود ندارد، رتبه = 0) - مرز مینور مرتبه اول قبلی را با مینور مرتبه دوم حاشیه کنید..gif" width="40 " height="22" >r+1 Mr+1=0.

2) آوردن یک ماتریس به شکل پلکانی: این روش مبتنی بر تبدیل های ابتدایی است. تحت تبدیل های ابتدایی، رتبه ماتریس تغییر نمی کند.

تبدیل‌های زیر را تبدیل‌های ابتدایی می‌گویند:

جایگشت دو ردیف (ستون).

ضرب تمام عناصر یک ستون (ردیف) در عددی که = 0 نباشد.

جمع کردن همه عناصر یک ستون خاص (ردیف) عناصر یک ستون دیگر (ردیف) که قبلاً در همان عدد ضرب شده است.

قضیه جزئی پایه. شرط لازم و کافی برای اینکه تعیین کننده برابر با صفر باشد.

مینور پایه ماتریس A مینور بزرگ‌ترین مرتبه k متفاوت از 0 است.

قضیه جزئی پایه:

سطرهای اصلی (ستون ها) به صورت خطی مستقل هستند. هر ردیف (ستون) ماتریس A ترکیبی خطی از سطرهای اصلی (ستون) است.

نکات: سطرها و ستون هایی که در محل تقاطع آنها مینور اصلی وجود دارد به ترتیب سطرها و ستون های پایه نامیده می شوند.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

شرایط لازم و کافی برای مساوی بودن دترمینان:

برای اینکه تعیین کننده مرتبه n = 0 باشد، لازم و کافی است که ردیف ها (ستون های) آن به صورت خطی وابسته باشند.

سیستم های معادلات خطی، طبقه بندی و اشکال نمادگذاری آنها. قانون کرامر

سیستمی متشکل از 3 معادله خطی با سه مجهول را در نظر بگیرید:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:l14image048" width="64" height="38 id=">!}

تعیین کننده سیستم نامیده می شود.

ما سه تعیین دیگر را به صورت زیر می نویسیم: ستون های 1، 2 و 3 را به صورت متوالی در تعیین کننده D با ستونی از عبارت های آزاد جایگزین می کنیم.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:l14image052" width="93" height="22 id=">!}

اثبات بنابراین، یک سیستم 3 معادله با سه مجهول را در نظر بگیرید. معادله اول سیستم را در مکمل جبری A11 عنصر a11، معادله دوم را در A21 و معادله سوم را در A31 ضرب می کنیم:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:l14image056" width="247" height="31 id=">!}

هر یک از براکت ها و سمت راست این معادله را در نظر بگیرید. با قضیه بسط تعیین کننده بر حسب عناصر ستون 1

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:l14image060" width="324" height="42 id=">!}

به طور مشابه، می توان نشان داد که و .

در نهایت، دیدن آن آسان است

بنابراین، برابری را بدست می آوریم: .

از این رو، .

برابری ها و به طور مشابه به دست می آیند، از آنجایی که ادعای قضیه در زیر آمده است.

سیستم های معادلات خطی. شرایط سازگاری برای معادلات خطی. قضیه کرونکر-کاپلی.

حل یک سیستم معادلات جبری مجموعه ای از n عدد C1,C2,C3……Cn است که وقتی به جای x1,x2,x3…..xn به سیستم اصلی جایگزین شود، تمام معادلات را تبدیل می کند. سیستم به هویت

سیستم معادلات جبری خطی در صورتی ثابت نامیده می شود که حداقل یک جواب داشته باشد.

سیستم مشترک اگر راه حل منحصر به فرد داشته باشد معین و اگر بی نهایت راه حل داشته باشد نامعین نامیده می شود.

شرایط سازگاری سیستم های معادلات جبری خطی.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

قضیه: برای اینکه سیستمی از m معادلات خطی با n مجهول سازگار باشد، لازم و کافی است که رتبه ماتریس توسعه یافته برابر با رتبه ماتریس A باشد.

نکته: این قضیه فقط معیاری برای وجود راه حل می دهد، اما راهی برای یافتن راه حل نشان نمی دهد.

10 سوال

سیستم های معادلات خطی. روش مینور پایه یک روش کلی برای یافتن تمام راه حل های سیستم های معادلات خطی است.

A=a21 a22…..a2n

روش جزئی پایه:

اجازه دهید سیستم سازگار و RgA=RgA’=r باشد. بگذارید مینور اصلی در گوشه سمت چپ بالای ماتریس A رنگ شود.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">…...gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

دکتر br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

نکات: اگر رتبه ماتریس اصلی و در نظر گرفته شده برابر با r=n باشد، در این حالت dj=bj و سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد.

سیستم های همگن معادلات خطی.

سیستم معادلات جبری خطی در صورتی همگن نامیده می شود که تمام عبارات آزاد آن برابر با صفر باشد.

AX=0 یک سیستم همگن است.

AX = B یک سیستم ناهمگن است.

سیستم های همگن همیشه سازگار هستند.

X1 =x2 =..=xn =0

قضیه 1.

هنگامی که رتبه ماتریس سیستم کمتر از تعداد مجهولات باشد، سیستم های همگن دارای راه حل های غیر همگن هستند.

قضیه 2.

یک سیستم همگن از معادلات خطی n با n مجهول زمانی که تعیین کننده ماتریس A برابر با صفر باشد راه حل غیر صفر دارد. (detA=0)

ویژگی های محلول های سیستم های همگن.

هر ترکیب خطی از یک راه حل برای یک سیستم همگن، خود راه حلی برای این سیستم است.

α1C1 + α2C2 ; α1 و α2 تعدادی اعداد هستند.

A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0، یعنی. k (A C1) = 0; (AC2) = 0

برای یک سیستم ناهمگن، این ویژگی برقرار نیست.

سیستم تصمیم گیری اساسی

قضیه 3.

اگر رتبه سیستم ماتریسی یک معادله با n مجهول r باشد، این سیستم دارای n-r راه حل مستقل خطی است.

بگذارید پایه مینور در گوشه سمت چپ بالا باشد. اگر ر< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr، 0، 0..1)

سیستمی از n-r راه حل های خطی مستقل از یک سیستم همگن معادلات خطی با n- مجهولات با رتبه r سیستم اساسی راه حل ها نامیده می شود.

قضیه 4.

هر راه حل برای یک سیستم معادلات خطی، ترکیبی خطی از یک راه حل برای سیستم اساسی است.

С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

اگر ر

12 سوال

حل کلی یک سیستم ناهمگن

خواب (عمومی غیر یکنواخت) \u003d COO + SCH (خصوصی)

AX=B (سیستم ناهمگن)؛ AX=0

(ASoo) + ASch = ASch = B، زیرا (ASoo) = 0

خواب \u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + اواسط

روش گاوس

این یک روش حذف متوالی مجهولات (متغیرها) است - به این معنی است که با کمک تبدیل های ابتدایی، سیستم اصلی معادلات به یک سیستم معادل یک شکل گام به گام کاهش می یابد که از آن همه متغیرهای دیگر به ترتیب یافت می شوند. ، از آخرین متغیرها شروع می شود.

اجازه دهید a≠0 (اگر اینطور نیست، با تنظیم مجدد معادلات به دست می آید).

1) متغیر x1 را از معادله دوم، سوم ... n حذف می کنیم، معادله اول را در اعداد مناسب ضرب می کنیم و نتایج به دست آمده را به معادله 2، 3 ... n-ام اضافه می کنیم، سپس به دست می آید:

ما یک سیستم معادل سیستم اصلی دریافت می کنیم.

2) متغیر x2 را حذف کنید

3) متغیر x3 و غیره را حذف می کنیم.

با ادامه روند حذف متوالی متغیرهای x4;x5...xr-1 برای مرحله (r-1) -امین می‌شویم.

عدد صفر آخرین n-r در معادلات به این معنی است که سمت چپ آنها به شکل زیر است: 0x1 +0x2+..+0xn

اگر حداقل یکی از اعداد вr+1، вr+2… برابر با صفر نباشد، برابری مربوطه ناسازگار است و سیستم (1) سازگار نیست. بنابراین، برای هر سیستم سازگار، این vr+1 … vm برابر با صفر است.

آخرین معادلات n-r در سیستم (1;r-1) هویت هستند و می توان آنها را نادیده گرفت.

دو مورد ممکن است:

الف) تعداد معادلات سیستم (1؛ r-1) برابر با تعداد مجهولات است، یعنی r \u003d n (در این مورد، سیستم به شکل مثلثی است).

ب) r

انتقال از سیستم (1) به یک سیستم معادل (1؛ r-1) حرکت مستقیم روش گاوس نامیده می شود.

در مورد یافتن یک متغیر از سیستم (1؛ r-1) - با روند معکوس روش گاوس.

تبدیل های گاوسی به راحتی با اجرای آنها نه با معادلات، بلکه با ماتریس توسعه یافته از ضرایب آنها انجام می شود.

13 سوال

ماتریس های مشابه

ما فقط ماتریس های مربعی مرتبه n/ را در نظر خواهیم گرفت

به ماتریس A گفته می شود که مشابه ماتریس B (A~B) است اگر ماتریس غیرمفرد S وجود داشته باشد به طوری که A=S-1BS باشد.

ویژگی های ماتریس های مشابه

1) ماتریس A شبیه خودش است. (A~A)

اگر S=E آنگاه EAE=E-1AE=A

2) اگر A~B، سپس B~A

اگر A=S-1BS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B

3) اگر A~B و همزمان B~C، آنگاه A~C

با توجه به اینکه A=S1-1BS1، و B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3، که در آن S3 = S2S1

4) تعیین کننده های ماتریس های مشابه برابر هستند.

با توجه به A~B باید ثابت کرد که detA=detB.

A=S-1 BS، detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (کاهش) = detB.

5) رتبه های ماتریس های مشابه یکسان است.

بردارهای ویژه و مقادیر ویژه ماتریس ها.

اگر بردار غیر صفر X (ستون ماتریس) وجود داشته باشد، عدد λ را مقدار ویژه ماتریس A می نامند، به طوری که AX = λ X، بردار X را بردار ویژه ماتریس A و مجموع همه مقادیر ویژه می نامند. طیف ماتریس A نامیده می شود.

ویژگی های بردارهای ویژه

1) وقتی یک بردار ویژه را در یک عدد ضرب می کنیم، بردار ویژه ای با همان مقدار ویژه به دست می آوریم.

AX \u003d λ X; Х≠0

α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X)

2) بردارهای ویژه با مقادیر ویژه جفتی متفاوت به صورت خطی مستقل λ1، λ2،.. λk هستند.

اجازه دهید سیستم از بردار 1 تشکیل شده باشد، بیایید یک گام استقرایی برداریم:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - ضرب در A.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \u003d 0

С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0

ضرب در λn+1 و تفریق

C1 X1 + C2 X2 + .. +Cn Xn+ Cn+1 Xn+1 = 0

С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

لازم است که C1 \u003d C2 \u003d ... \u003d Cn \u003d 0

Cn+1 Xn+1 λn+1 =0

معادله مشخصه.

A-λE ماتریس مشخصه برای ماتریس A نامیده می شود.

برای اینکه یک بردار غیرصفر X بردار ویژه ماتریس A، مربوط به مقدار ویژه λ باشد، لازم است که راه حلی برای یک سیستم همگن معادلات جبری خطی (A - λE)X = 0 باشد.

هنگامی که det (A - XE) = 0 - این یک معادله مشخصه است، سیستم یک راه حل غیر ضروری دارد.

بیانیه!

معادلات مشخصه ماتریس های مشابه منطبق است.

det(S-1AS - λΕ) = det(S-1AS - λ S-1ΕS) = det(S-1 (A - λΕ)S) = det S-1 det(A - λΕ) detS= det(A - λΕ)

چند جمله ای مشخصه

det(A – λΕ) - تابع با توجه به پارامتر λ

det(A – λΕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

این چند جمله ای را چند جمله ای مشخصه ماتریس A می نامند.

نتیجه:

1) اگر ماتریس ها A~B باشند، مجموع عناصر مورب آنها یکسان است.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2) مجموعه ای از مقادیر ویژه ماتریس های مشابه منطبق است.

اگر معادلات مشخصه ماتریس ها یکسان باشند، لزوما مشابه نیستند.

برای ماتریس A

برای ماتریس B

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

برای اینکه یک ماتریس A از مرتبه n قابل قطر باشد، لازم است که بردارهای ویژه مستقل خطی ماتریس A وجود داشته باشد.

نتیجه.

اگر همه مقادیر ویژه ماتریس A متفاوت باشد، آنگاه قابل قطریابی است.

الگوریتم یافتن بردارهای ویژه و مقادیر ویژه.

1) معادله مشخصه را بسازید

2) ریشه معادلات را پیدا کنید

3) سیستمی از معادلات را برای تعیین بردار ویژه بسازید.

λi (A-λi E)X = 0

4) سیستم اساسی راه حل ها را بیابید

x1,x2..xn-r که r رتبه ماتریس مشخصه است.

r = Rg(A - λi E)

5) بردار ویژه، مقادیر ویژه λi به صورت زیر نوشته می شود:

X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r، که در آن C12 + C22 + ... C2n ≠0

6) بررسی می کنیم که آیا ماتریس را می توان به شکل مورب کاهش داد یا خیر.

7) Ag

Ag = S-1AS S=

15 سوال

اساس یک خط، صفحه، فضا.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">│، ││). وقتی این بردار صفر باشد مدول برداری صفر است (│ō│=0)

4.بردار Orth.

قائم بردار معین، برداری است که هم جهت بردار داده شده و دارای یک مدول برابر با یک است.

بردارهای مساوی دارای اورت های مساوی هستند.

5. زاویه بین دو بردار.

این قسمت کوچکتر از ناحیه است که توسط دو پرتو که از یک نقطه ساطع می شوند محدود شده و در همان جهت بردارهای داده شده هدایت می شوند.

جمع بردارها ضرب بردار در عدد.

1) جمع دو بردار

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) ضرب یک بردار در یک اسکالر.

حاصل ضرب یک بردار و یک اسکالر بردار جدیدی است که دارای:

الف) = حاصل ضرب مدول بردار در قدر مطلق اسکالر.

ب) در صورت مثبت بودن اسکالر، جهت برابر با بردار ضرب و در صورت منفی بودن بردار مخالف است.

λ a(بردار)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

ویژگی های عملیات خطی بردارها.

1. قانون ارتباط پذیری.

2. قانون انجمن.

3. جمع با صفر.

a(بردار)+ō= a(بردار)

4. جمع با مخالف.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6; 7. قانون توزیع.

بیان یک بردار بر حسب مدول و بردار واحد آن.

حداکثر تعداد بردارهای مستقل خطی را پایه می گویند.

مبنای روی یک خط هر بردار غیر صفر است.

یک پایه در هواپیما هر دو بردار غیر تقویمی است.

یک پایه در فضا، سیستمی از هر سه بردار غیرهمسطح است.

ضریب انبساط یک بردار در برخی از پایه ها را اجزاء یا مختصات بردار در مبنای داده شده می گویند.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> جمع و ضرب را با اسکالر انجام دهید، سپس به صورت یک عدد نتیجه هر تعداد از اقداماتی که دریافت می کنیم:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> به صورت خطی وابسته نامیده می شوند که یک ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده از آنها برابر با ō وجود داشته باشد.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> اگر ترکیب خطی غیر پیش پا افتاده ای از آنها وجود نداشته باشد مستقل خطی نامیده می شوند.

ویژگی های بردارهای مستقل و وابسته خطی:

1) سیستم بردارهای حاوی بردار صفر به صورت خطی وابسته است.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> به صورت خطی وابسته هستند، برخی از بردارها باید ترکیبی خطی از بردارهای دیگر باشد.

3) اگر برخی از بردارهای سیستم a1 (بردار)، a2 (بردار) ... ak (بردار) به صورت خطی وابسته باشند، پس همه بردارها به صورت خطی وابسته هستند.

4)اگر همه بردارها https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

عملیات خطی در مختصات

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src=">

خواص محصول نقطه:

1. جابجایی

3. (a;b)=0 اگر و فقط اگر بردارها متعامد باشند یا هر یک از بردارها برابر با 0 باشد.

4. توزیع (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. بیان حاصل ضرب اسکالر a و b بر حسب مختصات آنها

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

وقتی شرط () , h, l=1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> و بردار سوم نامیده می شود که معادلات زیر را برآورده می کند:

3. - درست است

ویژگی های محصول برداری:

4. حاصلضرب برداری بردارهای مختصات

مبنای متعارف

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

اغلب از 3 نماد برای نشان دادن اورت های یک پایه متعارف استفاده می شود

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

اگر یک مبنای متعارف است، پس

https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- معادله محور موازی مستقیم OX

2) - معادله یک خط مستقیم موازی با محور OS

2. آرایش متقابل 2 خط مستقیم.

قضیه 1 معادلات خطوط را با توجه به سیستم مختصات affine داده شود

الف) پس شرط لازم و کافی هنگام تلاقی آنها این است:

ب) پس شرط لازم و کافی برای موازی بودن خطوط، شرط است:

ب) در این صورت شرط لازم و کافی برای ادغام خطوط به یک شرط است:

3. فاصله از یک نقطه تا یک خط.

قضیه. فاصله یک نقطه تا یک خط نسبت به سیستم مختصات دکارتی:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. زاویه بین دو خط مستقیم. حالت عمود بر هم.

اجازه دهید 2 خط مستقیم با توجه به دستگاه مختصات دکارتی توسط معادلات کلی داده شود.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

اگر، پس خطوط عمود هستند.

24 سوال

هواپیما در فضا شرایط ترکیبی برای یک بردار و یک صفحه. فاصله از یک نقطه تا یک هواپیما. شرط موازی و عمود بودن دو صفحه.

1. شرط ترکیبی برای یک بردار و یک صفحه.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:Untitled4.jpg" width="111" height="39">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:Untitled5.jpg" width="88" height="57">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. زاویه بین 2 صفحه. حالت عمود بر هم.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

اگر، پس صفحات عمود بر هم هستند.

25 سوال

خط مستقیم در فضا انواع معادلات یک خط مستقیم در فضا.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. معادله برداری یک خط مستقیم در فضا.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. معادله متعارف مستقیم است.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:Untitled3.jpg" width="56" height="51">!}

مسائل جبر خطی. مفهوم ماتریس. انواع ماتریس ها عملیات با ماتریس حل مسائل مربوط به تبدیل ماتریس ها.

هنگام حل مسائل مختلف ریاضی، اغلب باید با جداول اعدادی به نام ماتریس سر و کار داشت. با کمک ماتریس ها، حل سیستم های معادلات خطی، انجام بسیاری از عملیات با بردارها، حل مسائل مختلف گرافیک کامپیوتری و سایر کارهای مهندسی راحت است.

ماتریس نامیده می شود یک جدول مستطیلی از اعداد حاوی یک عدد مترخطوط و برخی پستون ها. شماره تیو پسفارشات ماتریسی نامیده می شوند. اگر تی = پ،ماتریس مربع نامیده می شود و عدد m = n-سفارش او

در ادامه برای نوشتن ماتریس ها از دو خط تیره یا پرانتز استفاده می شود:

یا

برای تعیین ماتریس کوتاه، از یک حرف لاتین بزرگ (مثلا A) یا نماد اغلب استفاده می شود. || یک ij ||و گاهی با توضیح: ولی = || یک ij || = (aij)جایی که (i = 1، 2، ...، m، j=1، 2، ...، n).

شماره aijکه بخشی از این ماتریس هستند، عناصر آن نامیده می شوند. در ضبط aijشاخص اول і به معنی شماره خط و شاخص دوم است j- شماره ستون در مورد ماتریس مربع

(1.1)

مفاهیم مورب اصلی و فرعی معرفی شده است. مورب اصلی ماتریس (1.1) مورب است یک 11 در 12 … اناز گوشه سمت چپ بالای این ماتریس به گوشه سمت راست پایین آن می رود. مورب کناری همان ماتریس را مورب می گویند a n 1 a (n -1) 2… a 1 nاز گوشه پایین سمت چپ به گوشه سمت راست بالا بروید.

عملیات اساسی بر روی ماتریس ها و خواص آنها.

بیایید به تعریف عملیات اساسی روی ماتریس ها برویم.

اضافه کردن ماتریسمجموع دو ماتریس A = || یک ij || ،جایی که و B = || b ij || ،جایی که (i = 1، 2، ...، m، j=1، 2، ...، n)همان دستورات تیو پماتریس C = نامیده می شود || ج ij || (i = 1،2، ...، m؛ j = 1، 2، ....، n)همان دستورات تیو پ،عناصر با ijکه با فرمول مشخص می شوند

, جایی که (i = 1، 2، ...، m، j=1، 2، ...، n)(1.2)

برای نشان دادن مجموع دو ماتریس، از علامت گذاری استفاده می کنیم C \u003d A + B.عمل ترکیب ماتریس ها را جمع آنها می گویند. بنابراین، طبق تعریف:

+ =

از تعریف مجموع ماتریس ها، یا بهتر است بگوییم از فرمول (1.2)، مستقیماً چنین بر می آید که عمل جمع ماتریس دارای همان ویژگی های عمل جمع اعداد حقیقی است، یعنی:

1) ویژگی جابجایی: A + B = B + A،

2) خاصیت ترکیبی: ( A + B) + C = A + (B + C).

این ویژگی‌ها باعث می‌شود که در هنگام اضافه کردن دو یا چند ماتریس به ترتیب عبارت‌های ماتریس اهمیتی ندهد.

ضرب یک ماتریس در یک عدد حاصل ضرب ماتریس A = || یک ij || ، که در آن (i = 1، 2، ...، m، j=1، 2، ...، n) با یک عدد واقعی l، ماتریس نامیده می شود. C = || ج ij || (i = 1،2، ...، m؛ j = 1، 2، ....، n)، که عناصر آن با فرمول تعیین می شود:

, جایی که (i = 1، 2، ...، m، j=1، 2، ...، n)(1.3)

برای نشان دادن حاصل ضرب یک ماتریس با یک عدد، از نماد استفاده می شود C \u003d l Aیا C \u003d A l.عمل کامپایل حاصل ضرب یک ماتریس در یک عدد را ضرب یک ماتریس در این عدد می گویند.

از فرمول (1.3) مشخص است که ضرب یک ماتریس در یک عدد دارای ویژگی های زیر است:

1) یک ویژگی انجمنی با توجه به یک عامل عددی: (l m) A = l (m A);

2) ویژگی توزیع با توجه به مجموع ماتریس ها: l (A + B) = l A + l B;

3) دارایی توزیعی با توجه به مجموع اعداد: (l + m) A = l A + m A

اظهار نظر.تفاوت دو ماتریس ولیو ATهمان دستورات تیو پفراخوانی چنین ماتریسی طبیعی است باهمان دستورات تیو پ،که در مجموع با ماتریس بماتریس A را نشان می دهد. نماد طبیعی برای نشان دادن تفاوت دو ماتریس استفاده می شود: C \u003d A - B.

بررسی این تفاوت بسیار آسان است بادو ماتریس ولیو ATطبق قانون می توان به دست آورد C \u003d A + (-1) B.

محصول ماتریس هایا ضرب ماتریس

محصول ماتریسی A = || یک ij || ، جایی که (i = 1، 2، ...، m، j = 1، 2، ...، n)داشتن دستورات به ترتیب برابر با تیو nبه ماتریس B = || b ij || ،جایی که (i = 1، 2، ...، n، j=1، 2، ...، p)،داشتن دستورات، به ترتیب، برابر nو R،ماتریس نامیده می شود C = || ج ij || (i = 1،2، ...، m؛ j = 1، 2، ....، p)، که دارای دستورات به ترتیب برابر است تیو آرکه عناصر آن با فرمول تعیین می شود:

جایی که (i = 1، 2، ...، m، j = 1، 2، ...، p)(1.4)

برای نشان دادن حاصل ضرب یک ماتریس ولیبه ماتریس ATاستفاده از رکورد C = A × B. عملیات محصول ماتریسی ولیبه ماتریس ATضرب این ماتریس ها نامیده می شود.

از تعریف فوق چنین بر می آید که ماتریس A را نمی توان در هیچ ماتریس B ضرب کرد،لازم است که تعداد ستون های ماتریس ولیبرابر تعداد ردیف های ماتریس بود AT.

فرمول (1.4) قانونی برای کامپایل عناصر ماتریس C است که حاصلضرب ماتریس است. ولیبه ماتریس AT.این قانون را می توان به صورت شفاهی نیز فرموله کرد: عنصر c i j واقع در تقاطع ردیف i و ستون j ماتریس C = A B برابر است با مجموع حاصلضرب های زوجی عناصر مربوط به ردیف iام ماتریس A و j-امین ستون ماتریس B.

به عنوان نمونه ای از کاربرد این قانون، فرمول ضرب ماتریس های مربع مرتبه دوم را ارائه می کنیم.

× =

فرمول (1.4) بر خواص زیر محصول ماتریس دلالت دارد ولیروی ماتریس AT:

1) دارایی تداعی: (A B) C = A (B C);

2) ویژگی توزیعی با توجه به مجموع ماتریس ها:

(A + B) C = A C + B C یا A (B + C) = A B + A C.

مسئله خاصیت جایگشتی (تبدیلی) حاصلضرب یک ماتریس آبه ماتریس ATمنطقی است که فقط برای ماتریس های مربع تنظیم شود الف و بهمان دستور

ما موارد خاص مهمی از ماتریس ها را ارائه می کنیم که خاصیت جایگشت نیز برای آنها معتبر است. دو ماتریس برای حاصلضرب که خاصیت جایگشت معتبر است معمولاً رفت و آمد نامیده می شوند.

در بین ماتریس های مربع، ما یک کلاس از ماتریس های به اصطلاح مورب را جدا می کنیم که هر کدام دارای عناصری هستند که در خارج از قطر اصلی برابر با صفر قرار دارند. هر ماتریس مورب از ترتیب پفرم را دارد

D= (1.5)

جایی که d1، d2،… ، dn-هر عددی به راحتی می توان فهمید که اگر همه این اعداد با یکدیگر برابر باشند، i.e. d1=d2=… = d nسپس برای هر ماتریس مربع ولیسفارش پبرابری عادلانه A D = D A.

در بین همه ماتریس های مورب (1.5) با ورودی های همزمان d1=d2=… = d n = = ددو ماتریس نقش مهمی دارند. اولین مورد از این ماتریس ها به دست می آید d=1ماتریس هویت نامیده می شود n E.ماتریس دوم با به دست می آید d=0، ماتریس تهی نامیده می شود nمرتبه هفتم و با نماد نشان داده می شود اوهبدین ترتیب،

E= O=

بر اساس آنچه در بالا ثابت شد A E = E Aو A O = O A.علاوه بر این، نشان دادن آن آسان است

A E \u003d E A \u003d A، A O \u003d O A \u003d 0. (1.6)

اولین فرمول (1.6) نقش ویژه ماتریس هویت را مشخص می کند E،شبیه نقش عدد 1 در ضرب اعداد واقعی. در مورد نقش ویژه ماتریس صفر ای،سپس نه تنها با فرمول دوم (1.7)، بلکه با برابری اولیه قابل تأیید نیز آشکار می شود.

A + 0 = 0 + A = A.

در نتیجه، ما متذکر می شویم که مفهوم ماتریس صفر را می توان برای ماتریس های غیر مربع نیز معرفی کرد (صفر نامیده می شود هرماتریسی که همه عناصر آن برابر با صفر هستند).

ماتریس های بلوک

یک ماتریس را فرض کنید A = || یک ij ||با استفاده از خطوط افقی و عمودی به سلول های مستطیلی مجزا تقسیم می شود که هر کدام ماتریسی با اندازه های کوچکتر هستند و بلوکی از ماتریس اصلی نامیده می شوند. در این صورت، در نظر گرفتن ماتریس اصلی امکان پذیر می شود ولیبه عنوان یک ماتریس جدید (به اصطلاح بلوک). ولی = || A a b ||، که عناصر آن بلوک های مشخص شده هستند. ما این عناصر را با حروف بزرگ لاتین مشخص می‌کنیم تا تأکید کنیم که به طور کلی ماتریس هستند، نه اعداد، و (مانند عناصر عددی معمولی) دو شاخص ارائه می‌کنیم که اولین آنها تعداد سطر "بلوک" را نشان می‌دهد، و دوم - شماره ردیف "بلوک". » ستون.

به عنوان مثال، ماتریس

را می توان به عنوان یک ماتریس بلوک مشاهده کرد

که عناصر آن بلوک های زیر هستند:

قابل توجه این واقعیت است که عملیات اساسی با ماتریس های بلوکی مطابق با قوانین مشابهی انجام می شود که توسط ماتریس های عددی معمولی انجام می شود، فقط بلوک ها به عنوان عنصر عمل می کنند.

مفهوم یک تعیین کننده.

یک ماتریس مربع دلخواه با هر ترتیبی را در نظر بگیرید پ:

الف= (1.7)

با هر یک از این ماتریس‌ها، یک مشخصه عددی کاملاً تعریف‌شده به نام دترمینان مربوط به این ماتریس را مرتبط می‌کنیم.

در صورت سفارش nماتریس (1.7) برابر با یک است، سپس این ماتریس از یک عنصر تشکیل شده است یک من j دترمینان مرتبه اول مربوط به چنین ماتریسی است، ما مقدار این عنصر را می نامیم.

سپس تعیین مرتبه دوم مربوط به چنین ماتریسی عددی برابر است با a 11 a 22 - a 12 a 21و با یکی از نمادها مشخص می شود:

بنابراین طبق تعریف

(1.9)

فرمول (1.9) قاعده ای برای کامپایل یک تعیین کننده مرتبه دوم از عناصر ماتریس مربوط به آن است. فرمول شفاهی این قاعده به این صورت است: تعیین مرتبه دوم مربوط به ماتریس (1.8) برابر است با تفاوت حاصلضرب عناصر روی قطر اصلی این ماتریس و حاصلضرب عناصر روی قطر ثانویه آن. تعیین کننده های مرتبه دوم و بالاتر به طور گسترده ای در حل سیستم های معادلات خطی استفاده می شوند.

بیایید ببینیم چگونه کار می کند عملیات با ماتریس در سیستم MathCad . ساده ترین عملیات جبر ماتریسی در MathCad به عنوان عملگر پیاده سازی می شود. نوشتن عملگرها از نظر معنا تا حد امکان به عمل ریاضی آنها نزدیک است. هر عملگر با نماد مربوطه بیان می شود. عملیات ماتریس و برداری MathCad 2001 را در نظر بگیرید. بردارها حالت خاصی از ماتریس های ابعاد هستند. n x 1،بنابراین، همه عملیات مشابه برای ماتریس ها برای آنها معتبر است، مگر اینکه محدودیت ها به طور خاص مشخص شده باشند (برای مثال، برخی از عملیات فقط برای ماتریس های مربع قابل اعمال هستند. n x n). برخی از اقدامات فقط برای بردارها معتبر هستند (مثلاً حاصل ضرب اسکالر)، و برخی، با وجود املای یکسان، بر روی بردارها و ماتریس ها متفاوت عمل می کنند.

q پس از فشار دادن دکمه OK، فیلدی برای وارد کردن عناصر ماتریس باز می شود. برای وارد کردن یک عنصر ماتریس، مکان نما را در موقعیت مشخص شده قرار دهید و یک عدد یا عبارت را از صفحه کلید وارد کنید.

برای انجام هر عملیاتی با استفاده از نوار ابزار، باید:

q ماتریس را انتخاب کنید و روی دکمه عملیات در پنل کلیک کنید.

q یا روی دکمه در پنل کلیک کنید و نام ماتریس را در موقعیت مشخص شده وارد کنید.

منوی "Symbols" شامل سه عملیات است - جابجا کردن، معکوس کردن، تعیین کننده.

این به این معنی است که برای مثال می توانید با اجرای دستور، تعیین کننده ماتریس را محاسبه کنید نمادها / ماتریس / تعیین کننده.

تعداد سطر اول (و ستون اول) ماتریس MathCAD در متغیر ORIGIN ذخیره می شود. به طور پیش فرض، شمارش معکوس از صفر است. در نمادهای ریاضی، شمارش از 1 رایج تر است. برای اینکه MathCAD اعداد سطر و ستون را از 1 شمارش کند، باید متغیر ORIGIN:=1 را تنظیم کنید.

توابع در نظر گرفته شده برای کار با مسائل جبر خطی در بخش "بردارها و ماتریس ها" در گفتگوی "درج تابع" جمع آوری می شوند (به شما یادآوری می کنیم که با دکمه روی پانل "استاندارد" فراخوانی می شود). عمده این توابع در ادامه توضیح داده خواهد شد.

جابجایی

اطلاعات مشابه