Karmaşık eşitsizlikler. eşitsizlikler Eşitsizlik türleri. eşitsizliklere giriş

Makalede ele alacağız eşitsizliklerin çözümü. açık açık konuşalım eşitsizlikler için bir çözüm nasıl oluşturulur net örneklerle!

Eşitsizliklerin çözümünü örneklerle ele almadan önce temel kavramlardan bahsedelim.

eşitsizliklere giriş

eşitsizlik fonksiyonların >, ilişki işaretleri ile bağlandığı bir ifade olarak adlandırılır. Eşitsizlikler hem sayısal hem de alfabetik olabilir.
İki ilişki işaretli eşitsizliklere çift, üçlü üçlü vb. Örneğin:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) > veya veya işaretini içeren eşitsizlikler katı değildir.
eşitsizlik çözümü bu eşitsizliğin doğru olduğu değişkenin herhangi bir değeridir.
"eşitsizliği çöz" tüm çözümlerinin kümesini bulmanız gerektiği anlamına gelir. Çeşitli eşitsizlikleri çözme yöntemleri. İçin eşitsizlik çözümleri sonsuz bir sayı doğrusu kullanın. Örneğin, eşitsizliği çözme x > 3, 3 ile + arasındaki bir aralıktır ve 3 sayısı bu aralığa dahil değildir, dolayısıyla doğru üzerindeki nokta boş bir daire ile gösterilir, çünkü eşitsizlik katıdır.
+
Cevap: x (3; +) olacaktır.
x=3 değeri çözüm kümesine dahil değildir, bu nedenle parantez yuvarlaktır. Sonsuzluk işareti her zaman parantez içine alınır. İşaret "aidiyet" anlamına gelir.
İşaretli başka bir örnek kullanarak eşitsizliklerin nasıl çözüleceğini düşünün:
x2
-+
x=2 değeri çözüm kümesine dahil edilir, bu nedenle köşeli parantez ve doğru üzerindeki nokta içi dolu bir daire ile gösterilir.
Cevap: x olacaktır.

Şimdi iki değişkenli doğrusal eşitsizlikleri düşünün. Kural olarak, bu tür problemler, koordinatları koordinat düzlemindeki eşitsizliği karşılayan bir dizi noktanın görüntüsüne indirgenir.

Koordinatları y-2 > x-3 eşitsizliğini sağlayan koordinat düzleminde bir dizi nokta çizelim.

Bu eşitsizliği y > x-1 olarak yazalım. İlk önce y = x-1 (düz çizgi) doğrusal fonksiyonunu çiziyoruz. Bu doğru, koordinat düzleminin tüm noktalarını bu doğru üzerinde bulunan noktalara ve bu doğrunun altında bulunan noktalara böler. Bu eşitsizliği hangi noktaların karşıladığını kontrol edelim.

İlk alandan, örneğin A kontrol noktasını (0; 0) - orijini alalım. Bu durumda y > -1 eşitsizliğinin sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek kolaydır. İkinci alandan örneğin B (1; -1) kontrol noktasını seçelim. Böyle bir nokta için y > x-1 eşitsizliği sağlanmaz. Bu nedenle, bu eşitsizlik, yukarıda ve y \u003d x-1 doğrusunda (yani, A noktasına benzer noktalar) bulunan noktalarla karşılanır. Bu noktalar gölgeli.

A parametresinin hangi değerleri için ax 2 + x - 1 = 0 denkleminin çözümü yok?

Denklemin öncü katsayısı a parametresine bağlı olduğundan, iki durumu dikkate almak gerekir.

a) 0 ise, ax 2 + x - 1 \u003d 0 denklemi ikinci derecedendir. Diskriminantı D ise böyle bir denklemin çözümü yoktur.< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

b) a \u003d 0 ise, o zaman ax 2 + x - 1 \u003d 0 denklemi doğrusaldır ve x - 1 \u003d 0 biçimindedir. Açıkçası, denklemin x \u003d 1 benzersiz bir çözümü vardır.

Yani, (-; -) için bu denklemin çözümü yoktur.

|x – 1| eşitsizliğini çözelim. + x 2 + 2 x + 1< 0.

Eşitsizliği |x – 1| şeklinde yazalım. + (x + 1) 2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| >a'nın tüm değerleri için 0 ve 2 > 0, ardından toplam

|a| tüm a için + a 2 > 0. Bu nedenle, |a| eşitsizliği + bir 2< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем линейное уравнение х + 1 = 0, решение которого х = – 1. Итак, решение данного неравенства х = – 1.

İki değişkenli benzer bir eşitsizlik türü de mevcuttur.

Koordinat düzleminde, koordinatları y-1 eşitsizliğini sağlayan bir dizi noktayı tasvir ediyoruz.< х 2 .

eşitsizliği y olarak yazıyoruz< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

1. Eşitsizliği analitik olarak çözün:

2. a'nın tüm değerleri için eşitsizliği çözün:

3. A parametresinin hangi değerleri için denklem

a) 3x 2 - 2x + a \u003d 0'ın kökü yoktur;
b) 2x 2 - 3x + 5a = 0'ın iki farklı kökü vardır;
c) 3ax 2 - 4x + 1 = 0'ın iki farklı kökü vardır;
d) ax 2 - 3x + 2 = 0 en az bir köke sahiptir.

4. Eşitsizlikleri analitik olarak (ve mümkünse grafiksel olarak) çözün: