Doğrusal bağımlılık. Bir vektör sisteminin temeli. Vektörlerin lineer bağımlılığı ve lineer bağımsızlığı. Vektörlerin temeli. Afin koordinat sistemi Sonlu bir vektör sistemi verildiğinde bul

n boyutlu vektörler hakkındaki makalede, bir dizi n boyutlu vektör tarafından oluşturulan doğrusal bir uzay kavramına geldik. Şimdi, bir vektör uzayının boyutu ve temeli gibi daha az önemli kavramları dikkate almamalıyız. Bunlar, doğrusal olarak bağımsız bir vektör sistemi kavramıyla doğrudan ilişkilidir, bu nedenle ayrıca kendinize bu konunun temellerini de hatırlatmanız önerilir.

Bazı tanımları tanıtalım.

tanım 1

Vektör uzayının boyutu bu uzaydaki maksimum lineer bağımsız vektör sayısına karşılık gelen sayıdır.

tanım 2

Vektör uzayı temeli- sıralı ve sayısı uzayın boyutuna eşit olan bir dizi lineer bağımsız vektör.

Belirli bir n -vektör uzayını düşünün. Boyutu sırasıyla n'ye eşittir. Bir n birim vektör sistemini ele alalım:

e (1) = (1 , 0 , . . . , 0) e (2) = (0 , 1 , . . . . , 0) e (n) = (0 , 0 , . . . . , 1)

Bu vektörleri A matrisinin bileşenleri olarak kullanalım: n'ye n boyutunda bir birim olacaktır. Bu matrisin rankı n'dir. Bu nedenle, vektör sistemi e (1) , e (2) , . . . , e (n) lineer bağımsızdır. Bu durumda, lineer bağımsızlığını ihlal etmeden sisteme tek bir vektör eklemek mümkün değildir.

Sistemdeki vektörlerin sayısı n'ye eşit olduğundan, n boyutlu vektörlerin uzayının boyutu n'ye eşittir ve birim vektörler e (1) , e (2) , . . . , e (n) belirtilen uzayın temelidir.

Elde edilen tanımdan şu sonuca varıyoruz: vektör sayısının n'den az olduğu herhangi bir n-boyutlu vektör sistemi uzayın temeli değildir.

Birinci ve ikinci vektörü değiştirirsek, e (2) , e (1) , vektörlerinden oluşan bir sistem elde ederiz. . . , e (n) . Aynı zamanda n-boyutlu bir vektör uzayının temeli olacaktır. Ortaya çıkan sistemin vektörlerini satırları olarak alarak bir matris oluşturalım. Matris, ilk iki satırı değiştirerek birim matristen elde edilebilir, sırası n'ye eşit olacaktır. Sistem e (2) , e (1) , . . . , e (n) lineer olarak bağımsızdır ve n-boyutlu bir vektör uzayının temelidir.

Orijinal sistemdeki diğer vektörleri yeniden düzenlersek, bir temel daha elde ederiz.

Birim olmayan vektörlerin lineer olarak bağımsız bir sistemini alabiliriz ve bu aynı zamanda n-boyutlu bir vektör uzayının temelini de temsil edecektir.

tanım 3

n boyutlu bir vektör uzayı, n numaralı n boyutlu vektörlerin lineer olarak bağımsız sistemleri kadar tabana sahiptir.

Düzlem iki boyutlu bir uzaydır - temeli herhangi iki doğrusal olmayan vektör olacaktır. Herhangi üç düzlemsel olmayan vektör, üç boyutlu uzayın temeli olarak hizmet edecektir.

Bu teorinin belirli örnekler üzerindeki uygulamasını düşünün.

örnek 1

İlk veri: vektörler

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Belirtilen vektörlerin üç boyutlu bir vektör uzayının temeli olup olmadığını belirlemek gereklidir.

Karar

Problemi çözmek için, lineer bağımlılık için verilen vektör sistemini inceliyoruz. Satırların vektörlerin koordinatları olduğu bir matris yapalım. Matrisin rankını belirleyelim.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 (- 1) - 1 1 3 - (- 2) 2 (- 2) - 3 2 (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ Ra n k (A) = 3

Sonuç olarak, problemin koşulu tarafından verilen vektörler lineer olarak bağımsızdır ve sayıları vektör uzayının boyutuna eşittir - bunlar vektör uzayının temelidir.

Cevap: bu vektörler vektör uzayının temelidir.

Örnek 2

İlk veri: vektörler

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Belirtilen vektör sisteminin üç boyutlu bir uzayın temeli olup olmayacağını belirlemek gerekir.

Karar

Problem durumunda belirtilen vektörler sistemi lineer bağımlıdır, çünkü maksimum lineer bağımsız vektör sayısı 3'tür. Bu nedenle, bu vektör sistemi üç boyutlu bir vektör uzayı için bir temel olarak hizmet edemez. Ancak, orijinal sistemin a = (3 , - 2 , 1) , b = (2 , 1 , 2) , c = (3 , - 1 , - 2) alt sisteminin bir temel olduğunu belirtmekte fayda var.

Cevap: belirtilen vektör sistemi bir temel değildir.

Örnek 3

İlk veri: vektörler

a = (1 , 2 , 3 , 3) ​​​​b = (2 , 5 , 6 , 8) c = (1 , 3 , 2 , 4) d = (2 , 5 , 4 , 7)

Dört boyutlu bir uzayın temeli olabilirler mi?

Karar

Verilen vektörlerin koordinatlarını satır olarak kullanarak bir matris oluşturun

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Gauss yöntemini kullanarak matrisin sırasını belirleriz:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ Ra n k (A) = 4

Bu nedenle, verilen vektörlerin sistemi lineer olarak bağımsızdır ve sayıları vektör uzayının boyutuna eşittir - bunlar dört boyutlu vektör uzayının temelidir.

Cevap: verilen vektörler dört boyutlu uzayın temelidir.

Örnek 4

İlk veri: vektörler

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

4 boyutlu bir uzayın temelini oluşturuyorlar mı?

Karar

Orijinal vektör sistemi lineer olarak bağımsızdır, ancak içindeki vektörlerin sayısı dört boyutlu bir uzayın temeli olmak için yetersizdir.

Cevap: hayır, yapmazlar.

Bir vektörün baza göre ayrıştırılması

İsteğe bağlı vektörlerin e (1) , e (2) , olduğunu kabul ediyoruz. . . , e (n) bir vektör n-boyutlu uzayın temelidir. Onlara biraz n-boyutlu x → vektörü ekleyelim: elde edilen vektörler sistemi lineer bağımlı hale gelecektir. Doğrusal bağımlılığın özellikleri, böyle bir sistemin vektörlerinden en az birinin, diğerleri cinsinden doğrusal olarak ifade edilebileceğini belirtir. Bu ifadeyi yeniden formüle ederek, lineer bağımlı bir sistemin vektörlerinden en az birinin diğer vektörler cinsinden genişletilebileceğini söyleyebiliriz.

Böylece, en önemli teoremin formülasyonuna geldik:

tanım 4

n-boyutlu bir vektör uzayının herhangi bir vektörü, bir taban açısından benzersiz bir şekilde ayrıştırılır.

Kanıt 1

Bu teoremi ispatlayalım:

n-boyutlu vektör uzayının temelini ayarlayın - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Buna n boyutlu bir x → vektörü ekleyerek sistemi lineer bağımlı yapalım. Bu vektör, orijinal vektörler e cinsinden doğrusal olarak ifade edilebilir:

x = x 1 e (1) + x 2 e (2) + . . . + x n e (n) , burada x 1 , x 2 , . . . , x n - bazı sayılar.

Şimdi böyle bir ayrıştırmanın benzersiz olduğunu kanıtlıyoruz. Diyelim ki durum böyle değil ve benzer bir genişleme daha var:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , burada x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - bazı sayılar.

Bu eşitliğin sol ve sağ kısımlarından sırasıyla x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + eşitliğinin sol ve sağ kısımlarını çıkarın. . . + x n e (n) . Alırız:

0 = (x ~ 1 - x 1) e (1) + (x ~ 2 - x 2) e (2) + . . . (x~n - xn) e(2)

Temel vektörler sistemi e (1) , e (2) , . . . , e(n) lineer bağımsızdır; Bir vektör sisteminin doğrusal bağımsızlığının tanımı gereği, yukarıdaki eşitlik yalnızca tüm katsayılar (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , olduğunda mümkündür. . . , (x ~ n - x n) sıfıra eşit olacaktır. Adil olacağı: x 1 \u003d x ~ 1, x 2 \u003d x ~ 2,. . . , x n = x ~ n . Ve bu, bir vektörü taban olarak genişletmenin tek yolunu kanıtlıyor.

Bu durumda, katsayılar x 1 , x 2 , . . . , x n, e (1) , e (2) , temelinde x → vektörünün koordinatları olarak adlandırılır. . . , e (n) .

Kanıtlanmış teori, “n-boyutlu bir vektör x = (x 1 , x 2 , . . . . , x n) verilir” ifadesini netleştirir: bir x vektörü → n-boyutlu vektör uzayı düşünülür ve koordinatları şu şekilde verilir: bazı temel. Aynı vektörün n-boyutlu uzayın farklı bir tabanında farklı koordinatlara sahip olacağı da açıktır.

Aşağıdaki örneği ele alalım: n-boyutlu bir vektör uzayı bazında, n lineer bağımsız vektörlerden oluşan bir sistem verildiğini varsayalım.

ve ayrıca x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) vektörü verilir.

Vektörler e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) bu durumda da bu vektör uzayının temelidir.

x → vektörünün koordinatlarını e 1 (1) , e 2 (2) , temelinde belirlemenin gerekli olduğunu varsayalım. . . , e n (n) , x ~ 1 , x ~ 2 , olarak gösterilir. . . , x ~ n .

x → vektörü aşağıdaki gibi temsil edilecektir:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e(n)

Bu ifadeyi koordinat biçiminde yazıyoruz:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) ) 1 , e (2) 2 , . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . . . + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . (1) + x ~ 2 e n (2) + . . . + x ~ n e n (n))

Ortaya çıkan eşitlik, x ~ 1 , x ~ 2 , bilinmeyen n doğrusal değişkenli n doğrusal cebirsel ifade sistemine eşdeğerdir. . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n en n n

Bu sistemin matrisi şöyle görünecektir:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Bu bir A matrisi olsun ve sütunları e 1 (1) , e 2 (2) , vektörlerinden oluşan lineer bağımsız bir sistemin vektörleri olsun. . . , en (n) . Matrisin rankı n'dir ve determinantı sıfır değildir. Bu, denklem sisteminin, herhangi bir uygun yolla belirlenebilen benzersiz bir çözüme sahip olduğunu gösterir: örneğin, Cramer yöntemi veya matris yöntemi ile. Bu şekilde x ~ 1 , x ~ 2 , koordinatlarını belirleyebiliriz. . . , x ~ n vektörünün x → bazında e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , en (n) .

Ele alınan teoriyi somut bir örnek üzerinde uygulayalım.

Örnek 6

İlk veri: vektörler üç boyutlu uzay temelinde verilir

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

e (1) , e (2) , e (3) vektörlerinin sisteminin de verilen uzayın temeli olarak hizmet ettiğini doğrulamak ve ayrıca x vektörünün koordinatlarını verilen temelde belirlemek gerekir. .

Karar

e (1) , e (2) , e (3) vektörleri sistemi, eğer lineer olarak bağımsız ise, üç boyutlu uzayın temeli olacaktır. Bu olasılığı, satırları verilen e (1) , e (2) , e (3) vektörleri olan A matrisinin sırasını belirleyerek bulalım.

Gauss yöntemini kullanıyoruz:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

Ra n k (A) = 3 . Böylece, e (1) , e (2) , e (3) vektörlerinin sistemi lineer olarak bağımsızdır ve bir temeldir.

Temeldeki x → vektörünün x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 koordinatlarına sahip olmasına izin verin. Bu koordinatların bağlantısı aşağıdaki denklemle belirlenir:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Değerleri problemin şartlarına göre uygulayalım:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Denklem sistemini Cramer yöntemiyle çözüyoruz:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Yani, e (1) , e (2) , e (3) temelinde x → vektörü x ~ 1 = 1 , x ~ 2 = 1 , x ~ 3 = 1 koordinatlarına sahiptir.

Cevap: x = (1 , 1 , 1)

Bazlar arasındaki bağlantı

Bir n-boyutlu vektör uzayı bazında, lineer olarak bağımsız iki vektör sisteminin verildiğini varsayalım:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Bu sistemler aynı zamanda verilen uzayın tabanlarıdır.

c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , olsun. . . , c ~ n (1) - e (1) , e (2) , temelinde c (1) vektörünün koordinatları. . . , e (3) , daha sonra koordinatların ilişkisi bir lineer denklem sistemi tarafından verilecektir:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Bir matris şeklinde sistem aşağıdaki gibi görüntülenebilir:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , cn (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Aynı gösterimi c (2) vektörü için de benzetme yoluyla yapalım:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Matris eşitlikleri tek bir ifadede birleştirilir:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

İki farklı bazın vektörlerinin ilişkisini belirleyecektir.

Aynı prensibi kullanarak, tüm e (1) , e (2) , temel vektörlerini ifade etmek mümkündür. . . , e (3) temelinde c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ cn (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ cn (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Aşağıdaki tanımları veriyoruz:

tanım 5

Matris c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n), e (1) , e (2) , temelinden geçiş matrisidir. . . , e(3)

temele c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

tanım 6

Matris e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n), c (1) , c (2) , temelinden geçiş matrisidir. . . ,c(n)

temel e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Bu eşitliklerden açıkça görülmektedir ki,

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

onlar. geçiş matrisleri karşılıklı olarak terstir.

Teoriyi somut bir örnek üzerinde ele alalım.

Örnek 7

İlk veri: tabandan geçiş matrisini bulmak gerekir.

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Ayrıca, verilen tabanlarda rastgele bir x → vektörünün koordinatlarının ilişkisini de belirtmeniz gerekir.

Karar

1. Geçiş matrisi T olsun, eşitlik doğru olacaktır:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Denklemin her iki tarafını ile çarpın

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

ve Al:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Geçiş matrisini tanımlayın:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. x → vektörünün koordinatlarının ilişkisini tanımlayın:

c (1) , c (2) , temelinde olduğunu varsayalım. . . , c (n) vektör x → koordinatları x 1 , x 2 , x 3 , sonra:

x \u003d (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

ve bazında e (1) , e (2) , . . . , e (3) x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 koordinatlarına sahiptir, ardından:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Çünkü bu eşitliklerin sol kısımları eşittir, sağ kısımlarını da eşitleyebiliriz:

(x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Her iki tarafı da sağ ile çarp

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

ve Al:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Diğer tarafta

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Son eşitlikler, x → vektörünün koordinatlarının her iki tabandaki ilişkisini gösterir.

Cevap: geçiş matrisi

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Verilen tabanlardaki x → vektörünün koordinatları şu bağıntı ile ilişkilidir:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Vektörlerin lineer bağımlılığı ve lineer bağımsızlığı.
Vektörlerin temeli. afin koordinat sistemi

Seyirciler arasında çikolatalı bir araba var ve bugün her ziyaretçi tatlı bir çift alacak - lineer cebir ile analitik geometri. Bu yazıda, yüksek matematiğin iki bölümüne aynı anda değinilecek ve bunların nasıl bir arada olduğunu tek bir pakette göreceğiz. Mola verin, Twix yiyin! ... kahretsin, şey, saçma sapan tartışma. Tamam, puan almayacağım, sonuçta, çalışmak için olumlu bir tutum olmalı.

Vektörlerin doğrusal bağımlılığı, vektörlerin doğrusal bağımsızlığı, vektör tabanı ve diğer terimlerin yalnızca geometrik bir yorumu değil, her şeyden önce cebirsel bir anlamı vardır. Lineer cebir açısından "vektör" kavramı, her zaman bir düzlemde veya uzayda tasvir edebileceğimiz "sıradan" vektörden uzaktır. Kanıt için uzaklara bakmanıza gerek yok, beş boyutlu uzay vektörü çizmeyi deneyin. . Veya Gismeteo'ya az önce gittiğim hava durumu vektörü: - sırasıyla sıcaklık ve atmosferik basınç. Örnek, elbette, vektör uzayının özellikleri açısından yanlıştır, ancak yine de hiç kimse bu parametreleri bir vektör olarak resmileştirmeyi yasaklamaz. Sonbaharın nefesi...

Hayır, sizi teori, lineer vektör uzayları ile sıkmayacağım, görev anlamak tanımlar ve teoremler. Yeni terimler (doğrusal bağımlılık, bağımsızlık, doğrusal kombinasyon, taban vb.) cebirsel bir bakış açısıyla tüm vektörlere uygulanabilir, ancak örnekler geometrik olarak verilecektir. Böylece her şey basit, erişilebilir ve görseldir. Analitik geometri problemlerine ek olarak, cebirin bazı tipik görevlerini de ele alacağız. Materyalde ustalaşmak için derslere aşina olmanız önerilir. Aptallar için vektörler ve Determinant nasıl hesaplanır?

Düzlem vektörlerin lineer bağımlılığı ve bağımsızlığı.
Düzlem tabanlı ve afin koordinat sistemi

Bilgisayar masanızın düzlemini düşünün (sadece bir masa, komodin, zemin, tavan, ne isterseniz). Görev aşağıdaki eylemlerden oluşacaktır:

1) Düzlem tabanını seçin. Kabaca söylemek gerekirse, masa tablasının bir uzunluğu ve genişliği vardır, bu nedenle temeli oluşturmak için iki vektörün gerekli olduğu sezgisel olarak açıktır. Bir vektör kesinlikle yeterli değil, üç vektör çok fazla.

2) Seçilen esasa göre koordinat sistemini ayarla(koordinat ızgarası) tablodaki tüm öğelere koordinat atamak için.

Şaşırmayın, ilk başta açıklamalar parmaklarda olacak. Üstelik seninkinde. lütfen yerleştirin sol elin işaret parmağı monitöre bakması için masanın kenarına. Bu bir vektör olacak. Şimdi yer sağ elin küçük parmağı aynı şekilde masanın kenarına yerleştirin - böylece monitör ekranına yönlendirilir. Bu bir vektör olacak. Gülümse, harika görünüyorsun! Vektörler hakkında ne söylenebilir? Veri Vektörleri doğrusal, bu şu anlama gelir lineer olarak birbirleri aracılığıyla ifade edilir:
, iyi veya tam tersi: , sıfır olmayan bir sayı nerede.

Bu eylemin bir resmini derste görebilirsiniz. Aptallar için vektörler, burada bir vektörü bir sayı ile çarpma kuralını açıkladım.

Parmaklarınız bilgisayar masasının düzleminde temel oluşturacak mı? Belli ki değil. Doğrusal vektörler ileri geri hareket eder. tek başına yön, bir düzlemin bir uzunluğu ve genişliği vardır.

Böyle vektörlere denir lineer bağımlı.

Referans: "Doğrusal", "doğrusal" kelimeleri, matematiksel denklemlerde, ifadelerde kareler, küpler, diğer kuvvetler, logaritmalar, sinüsler vb. olmadığı gerçeğini ifade eder. Yalnızca doğrusal (1. derece) ifadeler ve bağımlılıklar vardır.

iki düzlem vektörleri lineer bağımlı eğer ve sadece onlar eşdoğrusal iseler.

Parmaklarınızı, aralarında 0 veya 180 derece dışında herhangi bir açı olacak şekilde masanın üzerinde çaprazlayın. iki düzlem vektörlerilineer olarak olumsuzluk ancak ve ancak eşdoğrusal değillerse bağımlıdırlar. Böylece, temel alınır. Temelin, çeşitli uzunluklarda dik olmayan vektörlerle "eğik" olduğu ortaya çıktığından utanmaya gerek yok. Çok yakında, sadece 90 derecelik bir açının inşası için uygun olmadığını ve sadece eşit uzunluktaki birim vektörlerin değil, aynı zamanda göreceğiz.

Hiç uçak vektörü tek yol temel olarak genişletilmiştir:
, gerçek sayılar nerede . numaralar denir vektör koordinatları bu temelde.

Bunu da söylüyorlar vektörformda sunulan doğrusal kombinasyon temel vektörler. Yani, ifade denir vektör ayrıştırmatemel veya doğrusal kombinasyon temel vektörler.

Örneğin, bir vektörün düzlemin ortonormal bazında genişletildiği veya vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edildiği söylenebilir.

formüle edelim temel tanım resmen: düzlem tabanlı doğrusal olarak bağımsız (doğrusal olmayan) bir vektör çiftidir, , burada hiç düzlem vektör, temel vektörlerin doğrusal bir birleşimidir.

Tanımın esas noktası, vektörlerin alınmış olmasıdır. belirli bir sırayla. bazlar Bunlar tamamen farklı iki temel! Dedikleri gibi, sol elin serçe parmağı sağ elin serçe parmağının yerine hareket ettirilemez.

Temelini belirledik, ancak bilgisayar masanızdaki her bir öğeye koordinat ızgarasını ayarlamak ve koordinatları atamak yeterli değil. Neden yeterli değil? Vektörler serbesttir ve tüm düzlem üzerinde dolaşırlar. Peki, çılgın bir hafta sonundan kalan o küçük kirli masa noktalarına koordinatları nasıl atarsınız? Bir başlangıç ​​noktası gereklidir. Ve böyle bir referans noktası, herkese tanıdık gelen bir noktadır - koordinatların kökeni. Koordinat sistemini anlamak:

"Okul" sistemiyle başlayacağım. Zaten giriş dersinde Aptallar için vektörler Dikdörtgen koordinat sistemi ile ortonormal taban arasındaki bazı farklılıkları vurguladım. İşte standart resim:

hakkında konuşurken dikdörtgen koordinat sistemi, o zaman çoğu zaman orijin, koordinat eksenleri ve eksenler boyunca ölçek anlamına gelirler. Arama motoruna “dikdörtgen koordinat sistemi” yazmayı deneyin, birçok kaynağın size 5-6. sınıftan aşina olduğunuz koordinat eksenlerini ve bir düzlemde noktaların nasıl çizileceğini anlatacağını göreceksiniz.

Öte yandan, dikdörtgen bir koordinat sisteminin bir ortonormal taban açısından iyi tanımlanabileceği izlenimi edinilir. Ve neredeyse öyle. İfade şöyle gider:

Menşei, ve ortonormal temel küme Düzlemin kartezyen koordinat sistemi . Yani, dikdörtgen bir koordinat sistemi kesinlikle bir tek nokta ve iki birim ortogonal vektör ile tanımlanır. Bu yüzden yukarıda verdiğim çizimi görüyorsunuz - geometrik problemlerde hem vektörler hem de koordinat eksenleri sıklıkla (ama her zaman olmaktan uzak) çizilir.

Sanırım herkes bunu bir nokta (köken) ve ortonormal bir temel yardımıyla anlıyor. uçağın HERHANGİ BİR NOKTASI ve uçağın HERHANGİ BİR VEKTÖRÜ koordinatlar atanabilir. Mecazi olarak konuşursak, "uçaktaki her şey numaralandırılabilir."

Koordinat vektörleri birim olmak zorunda mı? Hayır, isteğe bağlı olarak sıfır olmayan bir uzunluğa sahip olabilirler. Bir nokta ve isteğe bağlı sıfır olmayan uzunlukta iki ortogonal vektör düşünün:

Böyle bir temel denir dikey. Vektörlerle koordinatların orijini, koordinat ızgarasını tanımlar ve düzlemin herhangi bir noktası, herhangi bir vektörün verilen temelde kendi koordinatları vardır. Örneğin, veya. Bariz rahatsızlık, koordinat vektörlerinin Genel olarak birlik dışında farklı uzunluklara sahiptir. Uzunluklar bire eşitse, normal ortonormal taban elde edilir.

! Not : ortogonal temelde ve ayrıca düzlem ve uzayın afin tabanlarında aşağıda olduğu gibi, eksenler boyunca birimler dikkate alınır. ŞARTLI. Örneğin, apsis boyunca bir birim 4 cm, ordinat boyunca bir birim 2 cm içerir Bu bilgi, gerekirse “standart dışı” koordinatları “normal santimetremize” dönüştürmek için yeterlidir.

Ve aslında zaten cevaplanmış olan ikinci soru - temel vektörler arasındaki açının 90 dereceye eşit olması gerekli mi? Değil! Tanımın dediği gibi, temel vektörler sadece doğrusal olmayan. Buna göre açı 0 ve 180 derece dışında herhangi bir şey olabilir.

Uçakta denilen bir nokta Menşei, ve doğrusal olmayan vektörler , , Ayarlamak düzlemin afin koordinat sistemi :

Bazen bu koordinat sistemi denir eğik sistem. Noktalar ve vektörler çizimde örnek olarak gösterilmiştir:

Anladığınız gibi, afin koordinat sistemi daha da az uygundur, dersin ikinci bölümünde ele aldığımız vektörlerin ve bölümlerin uzunlukları için formüller içinde çalışmaz. Aptallar için vektörler, ile ilgili birçok lezzetli formül vektörlerin skaler çarpımı. Ancak vektörleri toplama ve bir vektörü bir sayı ile çarpma kuralları geçerlidir, bu bağlamda bir segmenti bölme formülleri ve yakında ele alacağımız diğer bazı problem türleri.

Ve sonuç, bir afin koordinat sisteminin en uygun özel durumunun Kartezyen dikdörtgen sistemi olduğudur. Bu nedenle, kendisinin, en sık görülmesi gerekir. ... Bununla birlikte, bu hayattaki her şey görecelidir - eğik (veya örneğin başka bir şey) sahip olmanın uygun olduğu birçok durum vardır. kutupsal) koordinat sistemi. Evet ve insansı bu tür sistemlerin tadı gelebilir =)

Pratik kısma geçelim. Bu dersteki tüm problemler hem dikdörtgen koordinat sistemi hem de genel afin durumu için geçerlidir. Burada karmaşık bir şey yok, tüm materyaller bir okul çocuğu için bile mevcut.

Düzlem vektörlerinin doğrusallığı nasıl belirlenir?

Tipik bir şey. İki düzlem vektör için doğrusaldır, ilgili koordinatlarının orantılı olması gerekli ve yeterlidir..Aslında, bu, bariz ilişkinin koordinat bazında ayrıntılandırılmasıdır.

örnek 1

a) Vektörlerin doğrusal olup olmadığını kontrol edin .
b) Vektörler bir temel oluşturur mu? ?

Karar:
a) Vektörlerin olup olmadığını öğrenin orantılılık katsayısı, öyle ki eşitlikler sağlanır:

Bu kuralın uygulanmasının pratikte oldukça işe yarayan “aptalca” versiyonundan kesinlikle bahsedeceğim. Buradaki fikir, hemen bir orantı oluşturmak ve doğru olup olmadığını görmek:

Vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının oranlarından bir orantı yapalım:

kısaltıyoruz:
, dolayısıyla karşılık gelen koordinatlar orantılıdır, bu nedenle,

İlişki yapılabilir ve bunun tersi de yapılabilir, bu eşdeğer bir seçenektir:

Kendi kendini test etmek için, eşdoğrusal vektörlerin birbirleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edildiği gerçeği kullanılabilir. Bu durumda eşitlikler . Geçerlilikleri, vektörlerle yapılan temel işlemlerle kolayca kontrol edilebilir:

b) Doğrusal (doğrusal bağımsız) değillerse, iki düzlem vektör bir temel oluşturur. Doğrusallık için vektörleri inceliyoruz . Bir sistem oluşturalım:

İlk denklemden şu sonucu çıkar, ikinci denklemden şunu takip eder, yani, sistem tutarsız(çözüm yok). Bu nedenle, vektörlerin karşılık gelen koordinatları orantılı değildir.

Çözüm: vektörler lineer bağımsızdır ve bir temel oluşturur.

Çözümün basitleştirilmiş bir versiyonu şöyle görünür:

Vektörlerin karşılık gelen koordinatlarından orantı oluşturun :
, dolayısıyla, bu vektörler lineer olarak bağımsızdır ve bir temel oluşturur.

Genellikle gözden geçirenler bu seçeneği reddetmez, ancak bazı koordinatların sıfıra eşit olduğu durumlarda bir sorun ortaya çıkar. Bunun gibi: . Veya bunun gibi: . Veya bunun gibi: . Buradaki orantı nasıl işlenir? (Gerçekten, sıfıra bölemezsiniz). Bu nedenle basitleştirilmiş çözümü "züppe" olarak adlandırdım.

Cevap: a) , b) formu.

Bağımsız bir çözüm için küçük bir yaratıcı örnek:

Örnek 2

Parametre vektörlerinin hangi değerinde doğrusal olacak mı?

Örnek çözümde parametre orantı yoluyla bulunur.

Vektörleri eşdoğrusallık için kontrol etmenin zarif bir cebirsel yolu var.Bilgimizi sistematize edelim ve bunu beşinci nokta olarak ekleyelim:

İki düzlem vektör için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:

2) vektörler bir temel oluşturur;
3) vektörler doğrusal değildir;

+ 5) bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinant sıfır değildir.

Sırasıyla, aşağıdaki zıt ifadeler eşdeğerdir:
1) vektörler lineer bağımlıdır;
2) vektörler bir temel oluşturmaz;
3) vektörler doğrusaldır;
4) vektörler birbirleri üzerinden lineer olarak ifade edilebilirler;
+ 5) bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinant sıfıra eşittir.

Gerçekten, gerçekten, şu anda karşınıza çıkan tüm terimleri ve ifadeleri zaten anladığınızı umuyorum.

Yeni, beşinci noktaya daha yakından bakalım: iki düzlem vektörleri ancak ve ancak verilen vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantın sıfıra eşit olması durumunda eşdoğrusaldır.:. Bu özelliği kullanmak için, elbette, şunları yapabilmeniz gerekir: belirleyicileri bul.

Karar vereceğizİkinci şekilde Örnek 1:

a) Vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayın :
, yani bu vektörler doğrusaldır.

b) Doğrusal (doğrusal bağımsız) değillerse, iki düzlem vektör bir temel oluşturur. Vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayalım. :
, dolayısıyla vektörler lineer olarak bağımsızdır ve bir temel oluşturur.

Cevap: a) , b) formu.

Orantılı çözümden çok daha kompakt ve güzel görünüyor.

Ele alınan materyalin yardımıyla, sadece vektörlerin doğrusallığını kurmak değil, aynı zamanda segmentlerin, düz çizgilerin paralelliğini kanıtlamak da mümkündür. Belirli geometrik şekillerle ilgili birkaç problem düşünün.

Örnek 3

Bir dörtgenin köşeleri verilmiştir. Dörtgenin bir paralelkenar olduğunu kanıtlayın.

Kanıt: Çözüm tamamen analitik olacağı için problemde çizim oluşturmaya gerek yoktur. Paralelkenar tanımını hatırlayın:
Paralelkenar Karşılıklı kenarların paralel olduğu dörtgen denir.

Bu nedenle, kanıtlamak gerekir:
1) karşı tarafların paralelliği ve;
2) zıt tarafların paralelliği ve .

Kanıtlıyoruz:

1) Vektörleri bulun:

2) Vektörleri bulun:

Sonuç aynı vektördür (“okula göre” - eşit vektörler). Doğrusallık oldukça açıktır, ancak düzenleme ile doğru karar vermek daha iyidir. Vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayın:
, yani bu vektörler eşdoğrusaldır ve .

Çözüm: Bir dörtgenin karşılıklı kenarları çift olarak paraleldir, bu nedenle tanım gereği bir paralelkenardır. Q.E.D..

Daha iyi ve farklı rakamlar:

Örnek 4

Bir dörtgenin köşeleri verilmiştir. Dörtgenin bir yamuk olduğunu kanıtlayın.

İspatın daha titiz bir formülasyonu için, elbette, bir yamuğun tanımını almak daha iyidir, ancak sadece neye benzediğini hatırlamak yeterlidir.

Bu bağımsız karar verme görevidir. Dersin sonunda tam çözüm.

Ve şimdi yavaş yavaş uçaktan uzaya geçme zamanı:

Uzay vektörlerinin doğrusallığı nasıl belirlenir?

Kural çok benzer. İki uzay vektörünün eşdoğrusal olması için, karşılık gelen koordinatlarının orantılı olması gerekli ve yeterlidir..

Örnek 5

Aşağıdaki uzay vektörlerinin doğrusal olup olmadığını öğrenin:

a) ;
b)
içinde)

Karar:
a) Vektörlerin karşılık gelen koordinatları için bir orantı katsayısı olup olmadığını kontrol edin:

Sistemin çözümü yoktur, bu da vektörlerin doğrusal olmadığı anlamına gelir.

"Basitleştirilmiş", orantı kontrol edilerek yapılır. Bu durumda:
– karşılık gelen koordinatlar orantılı değildir, bu da vektörlerin doğrusal olmadığı anlamına gelir.

Cevap: vektörler doğrusal değildir.

b-c) Bunlar bağımsız karar noktalarıdır. İki şekilde deneyin.

Uzamsal vektörleri eşdoğrusallık için kontrol etmek için bir yöntem vardır ve üçüncü dereceden bir determinant aracılığıyla bu yöntem makalede ele alınmıştır. Vektörlerin çapraz çarpımı.

Düzlem durumuna benzer şekilde, ele alınan araçlar, uzamsal segmentlerin ve çizgilerin paralelliğini incelemek için kullanılabilir.

İkinci bölüme hoş geldiniz:

Üç boyutlu uzay vektörlerinin lineer bağımlılığı ve bağımsızlığı.
Mekansal temel ve afin koordinat sistemi

Uçakta ele aldığımız birçok düzenlilik uzay için de geçerli olacaktır. Bilginin aslan payı zaten çiğnendiği için teorinin özetini en aza indirmeye çalıştım. Yine de yeni terimler ve kavramlar ortaya çıkacağı için giriş kısmını dikkatlice okumanızı tavsiye ederim.

Şimdi bilgisayar masasının düzlemi yerine üç boyutlu uzayı inceleyelim. İlk önce, temelini oluşturalım. Biri içeride, biri dışarıda ama her halükarda üç boyuttan kurtulamayız: genişlik, uzunluk ve yükseklik. Bu nedenle, temeli oluşturmak için üç uzaysal vektör gereklidir. Bir veya iki vektör yeterli değil, dördüncüsü gereksiz.

Ve yine parmaklarda ısınıyoruz. Lütfen elinizi kaldırın ve farklı yönlere yayın. başparmak, işaret parmağı ve orta parmak. Bunlar vektörler olacak, farklı yönlere bakıyorlar, farklı uzunluklara sahipler ve kendi aralarında farklı açılara sahipler. Tebrikler, üç boyutlu uzayın temeli hazır! Bu arada bunu öğretmenlere göstermenize gerek yok parmaklarınızı ne kadar kıvırırsanız kıvırın ama tanımlardan da kurtulamıyorsunuz =)

Ardından, önemli bir soru soruyoruz, herhangi üç vektörün üç boyutlu bir uzayın temelini oluşturup oluşturmadığı? Lütfen bilgisayar masasının üstüne üç parmağınızla sıkıca bastırın. Ne oldu? Aynı düzlemde üç vektör bulunur ve kabaca konuşursak, ölçümlerden birini - yüksekliği - kaybettik. Bu tür vektörler aynı düzlemde ve oldukça açık bir şekilde, üç boyutlu uzayın temeli oluşturulmamıştır.

Unutulmamalıdır ki, eş düzlemli vektörler aynı düzlemde olmak zorunda değildir, paralel düzlemlerde olabilirler (bunu parmaklarınızla yapmayın, sadece Salvador Dali böyle çıktı =)).

Tanım: vektörler denir aynı düzlemde paralel oldukları bir düzlem varsa. Burada, böyle bir düzlem yoksa, vektörlerin eş düzlemli olmayacağını eklemek mantıklıdır.

Üç eş düzlemli vektör her zaman lineer bağımlıdır yani, birbirleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade edilirler. Basit olması için, yine aynı düzlemde olduklarını hayal edin. İlk olarak, vektörler sadece eş düzlemli değil, aynı zamanda eşdoğrusal da olabilirler, daha sonra herhangi bir vektör herhangi bir vektör aracılığıyla ifade edilebilir. İkinci durumda, örneğin vektörler eşdoğrusal değilse, üçüncü vektör onlar aracılığıyla benzersiz bir şekilde ifade edilir: (ve neden önceki bölümün materyallerinden tahmin etmek kolaydır).

Bunun tersi de doğrudur: üç eş düzlemsel olmayan vektör her zaman doğrusal olarak bağımsızdır, yani hiçbir şekilde birbirleri aracılığıyla ifade edilmezler. Ve açıkçası, yalnızca bu tür vektörler üç boyutlu bir uzayın temelini oluşturabilir.

Tanım: Üç boyutlu uzayın temeli doğrusal olarak bağımsız (eş düzlemli olmayan) vektörlerin üçlüsü olarak adlandırılır, belirli bir sırayla alınır, uzayın herhangi bir vektörü iken tek yol verilen bazda genişler, verilen bazda vektörün koordinatları nerede

Hatırlatma olarak, bir vektörün şu şekilde temsil edildiğini de söyleyebilirsiniz. doğrusal kombinasyon temel vektörler.

Bir koordinat sistemi kavramı, düzlem durumuyla tamamen aynı şekilde tanıtılır, bir nokta ve herhangi üç lineer bağımsız vektör yeterlidir:

Menşei, ve eş düzlemli olmayan vektörler , belirli bir sırayla alınır, Ayarlamak üç boyutlu uzayın afin koordinat sistemi :

Elbette, koordinat ızgarası "eğik" ve elverişsizdir, ancak yine de oluşturulan koordinat sistemi, kesinlikle herhangi bir vektörün koordinatlarını ve uzaydaki herhangi bir noktanın koordinatlarını belirleyin. Uçağa benzer şekilde uzayın afin koordinat sisteminde daha önce bahsettiğim bazı formüller çalışmayacaktır.

Bir afin koordinat sisteminin en tanıdık ve uygun özel durumu, herkesin tahmin edebileceği gibi, dikdörtgen uzay koordinat sistemi:

uzayda nokta denilen Menşei, ve ortonormal temel küme Uzayın kartezyen koordinat sistemi . tanıdık resim:

Pratik görevlere geçmeden önce bilgileri tekrar sistematize ediyoruz:

Üç uzay vektörü için aşağıdaki ifadeler eşdeğerdir:
1) vektörler lineer olarak bağımsızdır;
2) vektörler bir temel oluşturur;
3) vektörler eş düzlemli değildir;
4) vektörler birbirleri üzerinden doğrusal olarak ifade edilemezler;
5) bu vektörlerin koordinatlarından oluşan determinant sıfırdan farklıdır.

Zıt ifadeler bence anlaşılabilir.

Uzay vektörlerinin doğrusal bağımlılığı / bağımsızlığı, geleneksel olarak determinant (madde 5) kullanılarak kontrol edilir. Kalan pratik görevler belirgin bir cebirsel nitelikte olacaktır. Bir çiviye geometrik bir çubuk asmanın ve lineer bir cebir beysbol sopası kullanmanın zamanı geldi:

Üç uzay vektörü ancak ve ancak verilen vektörlerin koordinatlarından oluşan determinant sıfıra eşitse eş düzlemlidir: .

Dikkatinizi küçük bir teknik nüansa çekiyorum: vektörlerin koordinatları sadece sütunlarda değil, satırlarda da yazılabilir (determinantın değeri bundan değişmeyecek - determinantların özelliklerine bakın). Ancak bazı pratik problemleri çözmek için daha faydalı olduğu için sütunlarda çok daha iyidir.

Belirleyicileri hesaplama yöntemlerini biraz unutmuş veya belki de hiç yönlendirmemiş olan okuyucular için en eski derslerimden birini öneriyorum: Determinant nasıl hesaplanır?

Örnek 6

Aşağıdaki vektörlerin üç boyutlu bir uzayın temelini oluşturup oluşturmadığını kontrol edin:

Karar: Aslında, tüm çözüm determinantın hesaplanmasına geliyor.

a) Vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayın (determinant ilk satırda genişletilir):

, bu, vektörlerin doğrusal olarak bağımsız olduğu (eş düzlemli değil) ve üç boyutlu bir uzayın temelini oluşturduğu anlamına gelir.

Cevap: bu vektörler temeli oluşturur

b) Bu bağımsız karar için bir noktadır. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Yaratıcı görevler de vardır:

Örnek 7

Vektörler parametrenin hangi değerinde eş düzlemli olacak?

Karar: Vektörler, ancak ve ancak verilen vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantın sıfıra eşit olması durumunda eş düzlemlidir:

Esasen, bir determinantlı bir denklemi çözmek gerekir. Uçurtmalar gibi jerboalara sıfırlara uçuyoruz - ikinci satırda determinantı açmak ve eksilerden hemen kurtulmak en karlı olanıdır:

Daha fazla sadeleştirme yapıyoruz ve konuyu en basit lineer denkleme indirgiyoruz:

Cevap:

Burada kontrol etmek kolaydır, bunun için ortaya çıkan değeri orijinal determinantın yerine koymanız ve emin olmanız gerekir. yeniden açarak.

Sonuç olarak, daha çok cebirsel bir yapıya sahip olan ve geleneksel olarak lineer cebir dersinde yer alan başka bir tipik problemi ele alalım. O kadar yaygın ki ayrı bir konuyu hak ediyor:

3 vektörün üç boyutlu bir uzayın temelini oluşturduğunu kanıtlayın
ve verilen temelde 4. vektörün koordinatlarını bulun

Örnek 8

Vektörler verilir. Vektörlerin üç boyutlu uzayın bir tabanını oluşturduğunu gösteriniz ve bu temelde vektörün koordinatlarını bulunuz.

Karar: Önce durumu ele alalım. Koşul olarak, dört vektör verilir ve gördüğünüz gibi, bazı temelde koordinatları zaten vardır. Temel nedir - ilgilenmiyoruz. Ve şu ilginçtir: üç vektör pekala yeni bir temel oluşturabilir. Ve ilk adım, Örnek 6'nın çözümüyle tamamen aynı, vektörlerin gerçekten lineer bağımsız olup olmadığını kontrol etmek gerekiyor:

Vektörlerin koordinatlarından oluşan determinantı hesaplayın:

, dolayısıyla vektörler lineer olarak bağımsızdır ve üç boyutlu bir uzayın temelini oluşturur.

! Önemli : vektör koordinatları mutlaka yazmak sütunlara belirleyicidir, diziler değil. Aksi takdirde, sonraki çözüm algoritmasında karışıklık olacaktır.

Geometride bir vektör, yönlendirilmiş bir segment olarak anlaşılır ve paralel öteleme ile birbirinden elde edilen vektörler eşit kabul edilir. Tüm eşit vektörler aynı vektör olarak kabul edilir. Vektörün başlangıcı uzayda veya düzlemde herhangi bir noktaya yerleştirilebilir.

Vektörün uçlarının koordinatları uzayda verilirse: A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), sonra

= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

Benzer bir formül düzlemde de geçerlidir. Bu, bir vektörün bir koordinat dizisi olarak yazılabileceği anlamına gelir. Vektörler üzerinde işlemler, - bir sayı ile toplama ve çarpma, diziler üzerinde bileşen bileşen yapılır. Bu, bir vektör kavramını herhangi bir sayı dizisi olarak anlayarak vektör kavramını genişletmeyi mümkün kılar. Örneğin, bir lineer denklem sisteminin çözümü ve ayrıca sistem değişkenlerinin herhangi bir değer kümesi bir vektör olarak kabul edilebilir.

Aynı uzunluktaki dizelerde toplama işlemi kurala göre yapılır.

(a 1 , 2 , … , bir n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , bir n+b n). (2)

Bir dizgenin bir sayı ile çarpımı kurala göre yapılır.

l(a 1 , 2 , … , bir n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)

Verilen uzunlukta satır vektörleri kümesi n Belirtilen vektör toplama ve bir sayı ile çarpma işlemleriyle, adı verilen cebirsel bir yapı oluşturur. n-boyutlu lineer uzay.

Vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu bir vektördür , burada λ 1 , ... , λ m keyfi katsayılardır.

En az bir sıfır olmayan katsayıya sahip olan, 'ye eşit doğrusal kombinasyonu varsa, bir vektör sistemine doğrusal bağımlı denir.

Bir vektör sistemi, lineer kombinasyonlarından herhangi birinde 'ye eşitse, tüm katsayıları sıfırsa, lineer bağımsız olarak adlandırılır.

Böylece, vektörler sisteminin doğrusal bağımlılığı sorununun çözümü, denklemin çözümüne indirgenir.

x 1 + x 2 + … + x m = . (4)

Bu denklemin sıfırdan farklı çözümleri varsa, vektörler sistemi lineer bağımlıdır. Sıfır çözüm benzersiz ise, vektörler sistemi lineer bağımsızdır.

(4) sistemini çözmek için, açıklık için, vektörler satırlar şeklinde değil, sütunlar şeklinde yazılabilir.

Ardından, sol tarafta dönüşümler gerçekleştirdikten sonra, denklem (4)'e eşdeğer bir lineer denklem sistemine ulaşıyoruz. Bu sistemin ana matrisi, sütunlar halinde düzenlenmiş orijinal vektörlerin koordinatlarından oluşur. Sistem homojen olduğu için burada serbest üyeler sütununa gerek yoktur.

temel vektörler sistemi (sonlu veya sonsuz, özellikle tüm doğrusal uzay), sistemin herhangi bir vektörünün ifade edilebildiği, boş olmayan, doğrusal olarak bağımsız alt sistemidir.

Örnek 1.5.2. Vektörler sisteminin temelini bulun = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) ve diğer vektörleri bazında ifade eder.

Karar. Bu vektörlerin koordinatlarının sütunlar halinde düzenlendiği bir matris oluşturuyoruz. Bu sistemin matrisi x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . Matrisi kademeli bir forma getiriyoruz:

~ ~ ~

Bu vektör sisteminin temeli, dairelerle işaretlenmiş satırların önde gelen öğelerine karşılık gelen vektörler tarafından oluşturulur. Vektörü ifade etmek için denklemi çözeriz x 1 + x 2 + x 4 = . Bu, matrisi orijinalden elde edilen doğrusal denklemler sistemine, karşılık gelen sütunu serbest terimler sütununun yerine yeniden düzenleyerek indirgenir. Bu nedenle, kademeli bir forma indirirken, matris üzerinde yukarıdaki gibi aynı dönüşümler yapılacaktır. Bu, elde edilen matrisi, içindeki sütunların gerekli permütasyonlarını yaparak kademeli bir biçimde kullanabileceğimiz anlamına gelir: daireli sütunlar dikey çubuğun soluna, vektöre karşılık gelen sütun sağa yerleştirilir. barın.

Art arda buluyoruz:

x 4 = 0;

x 2 = 2;

x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;

Yorum. Birkaç vektörü temel üzerinden ifade etmek gerekirse, her biri için karşılık gelen doğrusal denklem sistemi oluşturulur. Bu sistemler sadece ücretsiz üyelerin sütunlarında farklılık gösterecektir. Bu durumda, her sistem diğerlerinden bağımsız olarak çözülür.

ALIŞTIRMA 1.4. Vektörler sisteminin temelini bulun ve vektörlerin geri kalanını taban cinsinden ifade edin:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).

Belirli bir vektör sisteminde, bir baz genellikle farklı şekillerde ayırt edilebilir, ancak tüm bazlar aynı sayıda vektöre sahip olacaktır. Doğrusal bir uzay temelindeki vektörlerin sayısına uzayın boyutu denir. İçin n-boyutlu lineer uzay n uzayın boyutudur, çünkü bu uzayın standart bir temeli vardır = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Bu temelde, herhangi bir vektör = (a 1 , a 2 , … , a n) aşağıdaki gibi ifade edilir:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, … , 0) + bir 2 (0, 1, … , 0) + … + bir n(0, 0, ... ,1) = bir 1 + bir 2 + ... + bir n .

Böylece vektörün satırındaki bileşenler = (a 1 , a 2 , … , a n) standart baz açısından genişlemedeki katsayılarıdır.

Uçakta düz çizgiler

Analitik geometri problemi, koordinat yönteminin geometrik problemlere uygulanmasıdır. Böylece problem cebirsel bir forma çevrilir ve cebir vasıtasıyla çözülür.

Temelde yer almayan vektörler ve vektörler sisteminin temelini bulun, temelde genişletin:

a 1 = {5, 2, -3, 1}, a 2 = {4, 1, -2, 3}, a 3 = {1, 1, -1, -2}, a 4 = {3, 4, -1, 2}, a 5 = {13, 8, -7, 4}.

Karar. Homojen bir lineer denklem sistemi düşünün

a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 + a 4 X 4 + a 5 X 5 = 0

veya genişletildi.

Bu sistemi Gauss yöntemini kullanarak, satırları ve sütunları değiştirmeden ve ayrıca ana öğeyi sol üst köşede değil, satır boyunca seçmeden çözeceğiz. Görev dönüştürülmüş vektör sisteminin köşegen kısmını seçin.

~ ~

~ ~ ~ .

Orijinaline eşdeğer izin verilen vektör sistemi şu şekildedir:

a 1 1 X 1 + a 2 1 X 2 + a 3 1 X 3 + a 4 1 X 4 + a 5 1 X 5 = 0 ,

nerede a 1 1 = , a 2 1 = , a 3 1 = , a 4 1 = , a 5 1 = . (1)

vektörler a 1 1 , a 3 1 , a 4 1 köşegen bir sistem oluşturur. Bu nedenle vektörler a 1 , a 3 , a 4 vektörler sisteminin temelini oluşturur a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Şimdi vektörleri genişletiyoruz a 2 ve a 5 temelinde a 1 , a 3 , a 4. Bunu yapmak için önce karşılık gelen vektörleri genişletiriz. a 2 1 ve a 5 1 diyagonal sistem a 1 1 , a 3 1 , a 4 1 , köşegen sistemdeki vektör açılımının katsayılarının onun koordinatları olduğunu akılda tutarak x ben.

(1)'den elimizde:

a 2 1 = a 3 1 (-1) + a 4 1 0 + a 1 1 1 a 2 1 = a 1 1 – a 3 1 .

a 5 1 = a 3 1 0 + a 4 1 1+ a 1 1 2 a 5 1 = 2a 1 1 + a 4 1 .

vektörler a 2 ve a 5 temelde genişletmek a 1 , a 3 , a 4 vektörlerle aynı katsayılara sahip a 2 1 ve a 5 1 diyagonal sistem a 1 1 , a 3 1 , a 4 1 (bu katsayılar x ben). Buradan,

a 2 = a 1 – a 3 , a 5 = 2a 1 + a 4 .

Görevler. 1.Vektörler sisteminin temelini ve tabana dahil olmayan vektörleri bulun, tabana göre genişletin:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Bir vektör sisteminin tüm tabanlarını bulun:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.