Práca síl pôsobiacich na tuhé teleso. Práca a sila sily pôsobiacej na tuhé teleso Práca konštantnej sily pôsobiacej na rotujúce teleso

Elementárna práca sily pri posunutí (obr. 3.22) je skalárnym súčinom sily a elementárneho posunutia bodu jej pôsobenia:

kde a je uhol medzi smermi vektorov a

Ako potom môžeme napísať ďalší výraz elementárnej práce:

Pre základnú prácu môžete napísať niekoľko ďalších výrazov:

Zo základných pracovných vzorcov vyplýva, že táto veličina môže byť kladná (uhol a je ostrý), záporný (uhol a je tupý) alebo rovný nule (uhol a je pravý).

Plná práca síl. Určiť celkovú prácu sily pri posunutí z bodu M 0 až M Rozdeľme tento ťah na n posuny, z ktorých každý v limite sa stáva elementárnym. Potom práca sily ALE:

kde dA k- pracovať na k- elementárny posun.

Zapísaný súčet je integrál a možno ho nahradiť krivočiarym integrálom pozdĺž krivky pri posune M 0 M. Potom

alebo

kde je čas t=0 zodpovedá bodu M 0 a čas t- bod M.

Z definície základnej a kompletnej práce vyplýva:

1) práca výslednej sily pri akomkoľvek posunutí sa rovná algebraickému súčtu prác zložiek síl pri tomto posunutí;

2) práca síl pri úplnom posunutí sa rovná súčtu práce rovnakej sily na komponentných posunoch, na ktoré sa celé premiestnenie akýmkoľvek spôsobom rozdelí.

Sila sily. Sila sily je práca vykonaná za jednotku času.

alebo vzhľadom na to

Sila sily je hodnota rovnajúca sa skalárnemu súčinu sily a rýchlosti bodu jej pôsobenia.

Pri konštantnom výkone teda zvýšenie rýchlosti vedie k zníženiu sily a naopak. Jednotkou výkonu je Watt: 1W=1J/s.

Ak na teleso rotujúce okolo pevnej osi pôsobí sila, potom sa jeho sila rovná

Sila dvojice síl sa určuje podobne.

3.3.4.3. Príklady výpočtu práce sily

Celková práca sily

kde h- výška, do ktorej padol hrot.

Práca vykonaná gravitáciou je teda pozitívna, keď bod klesá, a negatívna, keď bod stúpa. Práca gravitácie nezávisí od tvaru trajektórie medzi bodmi M 0 a M 1 .

Práca lineárnej sily pružnosti. Lineárna sila pružnosti sa nazýva sila pôsobiaca podľa Hookovho zákona (obr. 3.24):

kde je vektor polomeru nakreslený z bodu rovnováhy, kde je sila nulová, do uvažovaného bodu M; s je konštantný koeficient tuhosti.

Práca sily pri posunutí z bodu M 0 k bodu M 1 sa určuje podľa vzorca

Integráciou získame

(3.27)

Podľa vzorca (3.27) sa vypočíta práca lineárnej elastickej sily pružín pri pohybe po akejkoľvek dráhe z bodu M 0, kde jeho počiatočné napätie je rovné presne tak M 1, kde sa deformácia rovná V novom zápise má vzorec (3.27) tvar

Práca sily pôsobiacej na rotujúce tuhé teleso. Keď sa tuhé teleso otáča okolo pevnej osi, rýchlosť bodu M možno vypočítať pomocou Eulerovho vzorca, pozri obr. 3,25:

Potom je základná práca sily určená vzorcom

Použitie vlastnosti zmiešaného vektorového produktu
dostaneme

Ako - moment sily okolo bodu O. Vzhľadom na to - moment sily okolo osi otáčania Oz a ω dt=dφ, konečne dostaneme:

dA=Mzdφ.

Elementárna práca sily pôsobiacej na ľubovoľný bod telesa rotujúceho okolo pevnej osi sa rovná súčinu momentu sily okolo osi rotácie a rozdielu uhla rotácie telesa.

Plná práca:

V konkrétnom prípade, keď , práca je určená vzorcom

kde j je uhol natočenia telesa, na ktorý sa počíta práca sily.

Práca vnútorných síl tuhého telesa. Dokážme, že práca vnútorných síl tuhého telesa je rovná nule pre akékoľvek jeho posunutie. Stačí dokázať, že súčet elementárnej práce všetkých vnútorných síl je rovný nule. Zvážte ľubovoľné dva body tela M 1 a M 2 (obr. 3.26). Pretože vnútorné sily sú sily vzájomného pôsobenia bodov tela, potom:

Zavedieme jednotkový vektor riadený silou Potom

Súčet elementárnej práce síl a sa rovná

Rozšírením skalárnych produktov vektorov v zátvorkách získame

Keďže v kinematike bolo dokázané, že priemety rýchlostí ľubovoľných dvoch bodov tuhého telesa na smer priamky spájajúcej tieto body sú pri akomkoľvek pohybe tuhého telesa rovnaké, potom rozdiel v zátvorkách v výsledným výrazom je rozdiel identických hodnôt, t.j. hodnotu rovnajúcu sa nule.

3.3.4.4. Veta o zmene kinetickej energie bodu

Pre hmotný bod s hmotnosťou m, pohybujúce sa pôsobením sily, základný zákon dynamiky možno znázorniť ako

Vynásobením oboch častí tohto vzťahu skalárnym diferenciálom vektora polomeru bodu máme

alebo

Vzhľadom na to - základná silová práca,

(3.28)

Vzorec (3.28) vyjadruje vetu o zmene kinetickej energie pre bod v diferenciálnom tvare.

Diferenciál kinetickej energie bodu sa rovná elementárnej práci sily pôsobiacej na bod.

Ak sú obe časti rovnosti (3.28) integrované z bodu M 0 k bodu M(pozri obr. 3.22), dostaneme vetu o zmene kinetickej energie bodu v konenom tvare:

Zmena kinetickej energie bodu pri akomkoľvek posunutí sa rovná práci sily pôsobiacej na bod pri rovnakom posunutí.

3.4.4.5. Veta o zmene kinetickej energie systému

Pre každý bod systému možno vetu o zmene kinetickej energie vyjadriť v tvare:

Sčítaním pravej a ľavej časti týchto vzťahov nad všetkými bodmi systému a odstránením znamienka diferenciálu zo znamienka súčtu dostaneme:

alebo

kde je kinetická energia systému; sú elementárnou prácou vonkajších a vnútorných síl, resp.

Vzorec (3.29) vyjadruje vetu o zmene kinetickej energie sústavy v diferenciálnom tvare.

Rozdiel od kinetickej energie systému sa rovná súčtu elementárnych prác všetkých vonkajších a vnútorných síl pôsobiacich na systém.

Ak sú obe časti (3.29) integrované medzi dvoma polohami systému - počiatočnou a konečnou, v ktorých sa kinetická energia rovná T 0 a T, potom zmenou poradia súčtu a integrácie máme:

alebo

kde je práca vonkajšej sily pre bod systému Mk pri pohybe z počiatočnej polohy do koncovej polohy Mk; je práca vnútornej sily pôsobiacej na bod Mk.

Vzorec (3.30) vyjadruje vetu o zmene kinetickej energie sústavy v konečnom alebo integrálnom tvare.

Zmena kinetickej energie sústavy pri jej pohybe z jednej polohy do druhej sa rovná súčtu práce všetkých vonkajších a vnútorných síl pôsobiacich na sústavu na zodpovedajúce posunutia bodov sústavy s rovnakým posunutím systém.

Zvážte vzorce na určenie práce a sily sily pôsobiacej v akomkoľvek bode tuhého telesa, ktoré vykonáva translačný alebo rotačný pohyb.

1. Práca a sila sily pôsobiacej na tuhé teleso pri translačnom pohybe.

Uvažujme tuhé teleso, ktoré vykonáva translačný pohyb vzhľadom na inerciálnu vzťažnú sústavu pri pôsobení sily pôsobiacej v ľubovoľnom bode (obr. 24).

V prípade translačného pohybu tuhého telesa sa všetky jeho body pohybujú rýchlosťami rovnakej veľkosti a smeru. Označme rýchlosť telesa.

Pomocou vzorca (4.31) dostaneme

kde je diferenciál vektora polomeru ľubovoľného bodu tuhého telesa .

Ryža. 24. Translačný pohyb tuhého telesa pri pôsobení sily

Delenie (4,49) podľa dt, získame výraz na určenie sily sily pôsobiacej na teleso, ktoré vykonáva translačný pohyb:

kde je uhol medzi vektormi sily rýchlosti.

To znamená, že sila sily pri translačnom pohybe tuhého telesa je definovaná ako skalárny súčin vektora sily a vektora rýchlosti tuhého telesa.

Integrácia (4.49) na nejakom konečnom posunutí bodu M z východiskovej pozície M 0 do polohy M 1 dostaneme celkovú prácu sily pôsobiacej na teleso pri tomto posunutí

2. Práca a sila sily pôsobiacej na tuhé teleso, ktoré vykonáva rotačný pohyb.

Zvážte rotáciu tuhého telesa okolo pevnej vertikálnej osi Oz pôsobením sily pôsobiacej v ľubovoľnom bode tohto telesa M(obr. 25).

Ryža. 25. Rotácia tuhého telesa okolo pevnej osi

Poloha bodu M v osiach Oxyz určený polomerovým vektorom . Bodová rýchlosť M smeruje tangenciálne k trajektórii pohybu (kruh so stredom na osi rotácie). Vektor tejto rýchlosti možno určiť pomocou Eulerovho vektorového vzorca, známeho z priebehu kinematiky tuhého telesa

kde je vektor uhlovej rýchlosti otáčania tuhého telesa.

Pomocou vzorca (4.32) dostaneme

Zmenou faktorov v zmiešanom vektorovom produkte v kruhovom poradí dostaneme

kde je vektorový moment sily vzhľadom na stred O.

Uhol medzi vektormi hybnosti a uhlovej rýchlosti.

Vzhľadom na to, že:

1. - moment sily vzhľadom na os otáčania Oz.

2. a preto,

konečne dostaneme

teda elementárna práca sily pôsobiacej v ktoromkoľvek bode tuhého telesa otáčajúceho sa okolo pevnej osi sa rovná súčinu momentu tejto sily okolo osi otáčania a diferenciálu uhla natočenia telesa.

Na určenie celkovej práce sily, keď sa teleso otáča o uhol φ, integrujúcim výrazom (4.53) dostaneme

V prípade, že , celkovú prácu možno určiť podľa vzorca

kde φ je uhol natočenia telesa, na ktorom sa určuje práca sily.

Ak sú smer momentu a uhlová rýchlosť rovnaké, potom sa práca sily považuje za pozitívnu, inak je negatívna.

Určme silu sily pri otáčaní tuhého telesa okolo osi. Pomocou vzorca (4.40) dostaneme

T.j sila sily pôsobiacej na rotujúce tuhé teleso je definovaná ako súčin momentu sily okolo osi rotácie a uhlovej rýchlosti telesa . Znak moci sa určuje podobne ako znamenie práce.

Uvažujme dva ľubovoľné body tuhého telesa M 1 a M 2, ktoré sú súčasťou mechanického systému. Uskutočnime stavby (pozri obr.14.13).

vnútorné sily PJ1, PJ2 pôsobiace z jedného bodu do druhého, na základe zákona o rovnosti akcie a reakcie, sú rovnaké v absolútnej hodnote a opačne smerované PJ1= - P J 2 .

Nech sa v danom momente rýchlosti bodov rovnajú u 1 a u 2 a v časovom intervale sú prírastky pozdĺž vektorov ds 1 \u003d u 1 dt, ds 2 \u003d u 2 dt.

Keďže na základe 1. následku vety o rýchlostiach bodov plochého útvaru sú priemety vektorov rýchlosti na smer úsečky M 1 M 2 rovnaké, potom sú priemety elementárnych posunov tieto body budú rovnaké.

Preto výpočtom súčtu elementárnych prác 2 vnútorných síl na uvažovanom posune a pri zohľadnení ich rovnosti a opačného smeru dostaneme

P J 1 ds 1 cos(P J1,u 1) + P J 2 ds 1 cos(P J2,u 2) = PJi* M1M'1 - PJ1* M2M'2 = 0.

Pretože každá vnútorná sila zodpovedá inej, absolútnej hodnote a opačnej, súčet elementárnych prác všetkých vnútorných síl je rovný nule.

Konečný posun je súbor elementárnych posunov, a preto

A j = 0,

tie. súčet práce vnútorných síl tuhého telesa na ktoromkoľvek z jeho posunov sa rovná nule.

Translačný pohyb tuhého telesa.

Pri translačnom pohybe tuhého telesa sú trajektórie všetkých jeho bodov totožné a rovnobežné. Preto sú vektory elementárnych posunov geometricky rovnaké.

Elementárna sila P E i

d A E i =P E i d r.

Lebo všetka sila bude

d A = Sd A E i = SP E i d r= d r SP E = d r R E .

teda

dA = d r R E . (14-46)

Elementárna práca síl pôsobiacich na tuhé teleso pohybujúce sa dopredu sa rovná elementárnej práci hlavného vektora sily.

A= . (14-47)

Elementárna práca síl pôsobiacich na tuhé teleso rotujúce okolo pevnej osi sa rovná súčinu hlavného momentu vonkajších síl okolo osi rotácie a prírastku uhla rotácie..

Práca na poslednej ceste

SA i = , (14-48)

kde je hlavný moment vonkajších síl okolo osi rotácie.

Ak je hlavný moment konštantný, potom

SA i = Ez = Ez (j2 - j1).(14-49)

V tomto prípade sa súčet práce na konečnom posunutí rovná súčinu hlavného momentu vonkajších síl a konečnej zmeny uhla natočenia telesa.

Potom sila

N= = MEz dj/dt= M Ez w.(14-50)

Vo všeobecnom prípade pohybu je elementárna práca vonkajších síl pôsobiacich na voľné tuhé teleso rovná

dA=SdAi=R E d r O + M E W da,(14-51)

kde M E W- hlavný moment vonkajších síl vzhľadom na okamžitú os; da- elementárny uhol natočenia vzhľadom na okamžitú os.

14.10. Valivý odpor.

Na valcovom valci umiestnenom na vodorovnej rovine v pokoji (obr. 14.14, a) pôsobia dve vzájomne vyvážené sily: hmotnosť valca G a normálna rovinná reakcia N = -G .

Ak pod pôsobením horizontálnej sily R, aplikovaný v strede valca C, valí sa pozdĺž roviny bez skĺznutia, potom sily G,N tvoria dvojicu síl, ktoré bránia rolovaniu (obr. 14.14, b).

Vznik tejto dvojice síl je spôsobený deformáciou styčných plôch valca a roviny. Akčná línia reakcie N je posunutá o určitú vzdialenosť d od čiary pôsobenia sily G.

Okamih dvojice síl G,N nazývaný moment valivého odporu. Jeho hodnota je určená produktom

M odpor = Nd. (14-52)

Koeficient valenia sa vyjadruje v lineárnych jednotkách, t.j. [d]= pozri napr. oceľový obväz cez oceľovú koľajnicu d= 0,005 cm; drevo na oceli d\u003d 0,03-0,04 cm.

Definujme najmenšiu horizontálnu silu R aplikovaný do stredu klziska.

Aby sa valec začal odvaľovať, musí byť moment dvojice síl zložený zo sily P a adhéznej sily F sc väčší ako moment odporu, t.j.

PR>Nd.

Kde P>Nd/R.

Pretože tu teda N=G

Práca vnútorných síl na konečnom posunutí je nulová.

Práca sily pôsobiacej na translačne sa pohybujúce teleso sa rovná súčinu tejto sily a prírastku lineárneho posunu.

Práca sily pôsobiacej na rotujúce teleso sa rovná súčinu momentu tejto sily okolo osi otáčania a prírastku uhla natočenia: ; . Moc:
.

Kinetická energia mechanického systému pre rôzne druhy pohybu.

Kinetická energia mechanického systému- skalár rovný súčtu kinetických energií všetkých bodov systému: .

Pre pohyb vpred:

Pri otáčaní:

Pri rovinnoparalelnom pohybe: , kde d je vzdialenosť od ťažiska k MCS

27. Veta o zmene kinetickej energie hmotného bodu.

Kinetická energia hmotného bodu- skalár rovnajúci sa polovici súčinu hmotnosti bodu a druhej mocniny jeho rýchlosti.

Základná rovnica dynamiky: , vynásobte elementárnym posunom: ; ; . Integrácia výsledného výrazu:

Veta: zmena kinetickej energie hmotného bodu pri určitom posunutí sa rovná práci sily pôsobiacej na bod pri rovnakom posunutí.

Veta o zmene kinetickej energie mechanického systému.

Pretože práca vnútorných síl je nulová, potom:
.

Veta: zmena kinetickej energie mechanického systému pri konečnom posunutí sa rovná súčtu práce vonkajších síl pri rovnakom posunutí.

Princíp možných posunov pre mechanický systém.

; , nech sú obmedzenia kladené na body mechanického systému obojstranné, stacionárne, holonomické a ideálne, potom: .

Princíp možných pohybov - Lagrangeov princíp- pre rovnováhu mechanického systému s obojstrannými, stacionárnymi, holonomickými a ideálnymi obmedzeniami je potrebné a postačujúce, aby sa algebraický súčet práce daných síl na prípadnom posunutí rovnal nule.

d'Alembertov princíp pre hmotný bod.

Geometrický súčet všetkých síl pôsobiacich na bod pohybujúceho sa materiálu a zotrvačných síl tohto bodu je rovný nule

d'Alembertov princíp pre neslobodný mechanický systém.

V pohybujúcom sa nevoľnom mechanickom systéme pre každý hmotný bod v ktoromkoľvek časovom okamihu je geometrický súčet daných síl naň pôsobiacich, väzbových reakcií a zotrvačných síl rovný nule. Vynásobením oboch častí výrazu r i dostaneme: ;
.

, súčet momentov daných síl, väzbových reakcií a zotrvačných síl okolo súradnicových osí je rovný nule.

Prevedenie síl zotrvačnosti bodov tuhého telesa do najjednoduchšej formy.

Na sústavu zotrvačných síl bodov tuhého telesa možno aplikovať Punchonovu metódu, uvažovanú v statike. Potom je možné ľubovoľný systém zotrvačných síl redukovať na hlavný vektor zotrvačných síl a hlavný moment zotrvačných síl.

Pri translačnom pohybe: Ф=-ma (pri translačnom pohybe tuhého telesa sa zotrvačné sily jeho bodov zmenšia na hlavný vektor zotrvačných síl rovný v absolútnej hodnote súčinu hmotnosti telesa, zrýchlením ťažisko aplikované v tomto strede a smerujúce k opačnému zrýchleniu ťažiska).

Pri rotačnom pohybe: M = -Iε (pri rotačnom pohybe tuhého telesa sa zotrvačné sily jeho bodov redukujú na hlavný moment zotrvačných síl rovný súčinu momentu zotrvačnosti telesa voči silám rotácie a uhlové zrýchlenie.Tento moment smeruje k opačnému uhlovému zrýchleniu).

Pre rovinný pohyb: Ф=-ma M=-Iε (pri plošnom pohybe tuhého telesa sa zotrvačné sily jeho bodov redukujú na hlavný vektor a hlavný moment zotrvačných síl).

Všeobecná rovnica dynamiky. d'Alembert-Lagrangeov princíp.

d'Alembertov princíp: å(P i + R i + Ф i) = 0; å(P i + R i + Ф i)Dr i = 0, predpokladáme. že obmedzenia kladené na mechanický systém sú obojsmerné, stacionárne, holonomické a ideálne, potom: å(R i × Dr i) = 0;

å(P i + Ф i)Dr i = 0 - všeobecná rovnica dynamiky- pre pohyb mechanickej sústavy s obojsmernými, stacionárnymi, holonomickými a ideálnymi obmedzeniami je súčet práce daných síl a síl zotrvačnosti bodov sústavy pri akomkoľvek možnom posunutí rovný nule.

Výpočet súčtu elementárnych prác dvoch vnútorných síl F 1 J a F 2 J ,

dostaneme

F1 J dS1 cos(P1 J ,υ 1 ) + F2 J dS2 cos(P2 J ,υ 2 ) = F1 ′ M1 M1 ′ − F1 M 2 M 2 ′

pretože každej vnútornej sile zodpovedá iná, rovná sa jej v absolútnej hodnote a v opačnom smere, potom je súčet elementárnych prác všetkých vnútorných síl tiež rovný nule.

δ A J = ∑ δ A i J = 0

Konečným pohybom je súbor elementárnych premenných

takže AJ = 0, t.j. súčet práce vnútorných síl tuhého telesa na ktoromkoľvek z jeho posunov sa rovná nule.

2.5.2. Práca vonkajších síl pôsobiacich na postupne sa pohybujúce teleso

Vonkajšie a vnútorné sily pôsobia na každý bod telesa (obr. 18). Keďže práca vnútorných síl pri akomkoľvek posunutí je rovná nule, je potrebné vypočítať prácu iba vonkajších síl F 1 E , F 2 E ... F n E . S progresívnym

trajektórie všetkých bodov sú totožné a vektory elementárnych posunov sú geometricky rovnaké, t.j.

dri = dr = drc.

Elementárna práca sily F i E

δ A iE = F i E dr c.

Elementárna práca všetkých vonkajších síl

δ AE = ∑ δ Ai E = ∑ F i E drc = drc ∑ Fi E = RE drc,

kde R E je hlavný vektor vonkajších síl.

Práca na poslednej ceste

AE = ∫ RE drc.

Práca síl pri translačnom pohybe tuhého telesa sa rovná práci hlavného vektora vonkajších síl pri elementárnom posunutí ťažiska.

2.5.3. Práca vonkajších síl pôsobiacich na rotujúce teleso

Predpokladajme, že vonkajšie sily F 1 E , F 2 E … F i E … F n E pôsobia na tuhé teleso rotujúce okolo pevnej osi Z (obr. 19).

Vypočítajme prácu jednej sily F i E , pôsobiacej na bod M i , opisujúcej kružnicu s polomerom R i . Rozložme silu F i E na tri zložky smerujúce pozdĺž prirodzených osí trajektórie bodu M i.

E F 1

Mi dSi

F to

Z M1 (x1 ,y1, z1 )

M2 (x2, y2, z2)

Pri elementárnej rotácii telesa o uhol d ϕ bod M i opisuje oblúk dS i = R i d ϕ . Pri tomto pohybe je práca iba tangenciálnou zložkou sily a práca zložiek sily F v E a F ib E kolmých na vektor rýchlosti sa rovná nule.

δ A i E = F i τ E dS i = F i τ E R i d ϕ = M i E τ d ϕ = M iz E d ϕ , pretože momenty normálovej a binormálnej zložky sily F i E vzhľadom na os Z sa rovnajú nulovému prvku

duševná práca všetkých síl pôsobiacich na tuhé telo

δ AE = ∑ δ Ai E = ∑ M iz E dϕ = dϕ ∑ Miz E = M z E dϕ .

Elementárna práca vonkajších síl pôsobiacich na rotujúce tuhé teleso sa teda rovná

5AE = MzEdϕ.

Pri konečnom otočení telesa sa práca vonkajšej sily rovná

AE = ∫ M z E dϕ.

Ak je hlavný moment vonkajších síl M z E = const , potom práca vonkajších síl na konečnom posunutí je A = M z E (ϕ 2 − ϕ 1 ) .

Práca pri rotačnom pohybe tuhého telesa sa rovná práci hlavného momentu vonkajších síl okolo osi rotácie pri elementárnom uhlovom posune.

2.6. Práca gravitácie

Nech sa hmotný bod m presunie pôsobením gravitácie z polohy M 1 (x 1, y 1, z 1) do polohy M 2 (x 2, y 2, z 2) (obr. 20).

Elementárna práca sily sa vypočíta ako skalárny súčin vektora sily F (X ,Y ,Z ) a vektora elementárneho posunutia dr (dx,dy,dz )

δ A = F dr = Xdx + Ydy + Zdz ,

kde X , Y , Z - projekcie sily F ,

dx,dy,dz - projekcie vektora posunutia dr na osi x, y,z. Pri pohybe pod vplyvom gravitácie

A \u003d ± mgh.

Ak je bod znížený (bez ohľadu na typ trajektórie), t.j. z2< z 1 , работа силы тяжести положительна, если точка поднимается, работа силы тя-

gesto je negatívne. Ak sa bod pohybuje horizontálne (z 2 = z 1 ), práca vykonaná gravitáciou je 0.

3. TEOREM O ZMENE KINETICKEJ ENERGIE

Uvažujme hmotný bod M s hmotnosťou m, ktorý sa pohybuje pod pôsobením

Vynásobte obe strany rovnice dS a integrujte obe strany rovnice v rámci limitov zodpovedajúcich počiatočnej a konečnej polohe

Vi 2

	Hodnotenie článku: (zatiaľ žiadne hodnotenia) Načítava... Ak chcete zdieľať s priateľmi: Podobné príspevky Práca a sila sily pôsobiacej na tuhé teleso Práca konštantnej sily pôsobiacej na rotujúce teleso Základné operácie s maticami Grafická a numerická diferenciácia Parciálne derivácie prvého rádu