Nájdite parciálne derivácie 2. rádu funkcie. Príklad. Nájdite parciálne derivácie funkcie y x. Parciálne derivácie a totálny diferenciál funkcie

Príklad. Nájdite parciálne derivácie funkcie y x yxz

rozhodnutie. Nastavením y = const nájdeme xy x z

Nastavenie x =konšt., nájdeme 2 2) 1 (1 y x x y xx y z

Príklad. Nájdite hodnoty parciálnych derivácií funkcie v bode M (1, - 1, 0). xyzyxu)ln(

rozhodnutie. Nastavenie y = const , z = const , nájdeme 10 11 22 1)02 (1 22 22 , Ì czy yz yx x yzx yxx u

Podobne nájdeme 10 11 22 1)20(1 22 22 , M czx xz yx y xzy yxy u 110 , M cyx xyxy z ​​​​u

Geometrický význam parciálnej derivácie (napríklad) je dotyčnica sklonu dotyčnice nakreslenej v bode M 0 (x 0, y 0, z 0) k rezu povrchu rovinou y \u003d y 0. xz

Predpokladajme, že funkcia z = f (x , y) má spojité parciálne derivácie, (yxf x z x), (yxf y z y

Tieto derivácie sú zase funkciami nezávislých premenných x a y. Budeme volať aj parciálne derivácie 1. rádu.), (yxf x), (yxf y

Parciálne derivácie 2. rádu sa nazývajú parciálne derivácie parciálnych derivácií 1. rádu. Pre funkciu z \u003d f (x, y) dvoch premenných možno nájsť štyri parciálne derivácie 2. rádu, ktoré sú označené nasledujúcim modom:

Vo všeobecnom prípade sa zmiešané parciálne derivácie nemusia zhodovať, ale platí pre ne nasledujúca veta: Veta. Ak sú zmiešané parciálne derivácie a sú spojité v určitom bode M (x, y) , potom sú rovnaké, t. j. xyfyxf), (yxfyxf yxxy

Parciálne derivácie n-tého rádu sú parciálne derivácie parciálnych derivácií (n – 1)-ého rádu. Označujú sa atď.221, yx z x z n n n

Príklad. Nájdite parciálne derivácie 2. rádu funkcie)1 sin(23 xyyxz

rozhodnutie. postupne nájsť); 1 cos(322 xyyyx x z cy); 1 cos(2 3 xyxyx y z cx

); 1 sin(6)1 cos(3 22 22 2 2 xyyxy xyyyx xx z cy cy); 1 sin()1 cos(6)1 cos(3 2 22 2 xyyx xyyyx z cx cx

)1 sin()1 cos(6 1 cos(2 2 3 2 xyyx xyxyx xxy z cy cy)1 sin(2)1 cos(2 23 3 2 2 xyxx xyxyx yy z cx cx

Uvažujme funkciu z = f(x, y). Dajme argumentu x prírastok Δ x a argumentu y prírastok Δ y. Potom z dostane prírastok, ktorý sa nazýva celkový prírastok funkcie z.), (yxfyyxxfz

Predpokladajme, že f(x, y) v bode M(x, y) má spojité parciálne derivácie.

Definícia. Diferenciál 1. rádu funkcie z \u003d f (x, y) je hlavnou časťou celkového prírastku Δ z tejto funkcie, lineárny vzhľadom na Δ x a Δ y , označený symbolom dz alebo df a je vypočítaný vzorcom y y z x x z zd

Keďže diferenciály nezávislých premenných sa zhodujú s ich prírastkami, t.j. dx = Δ x , dy = Δ y , tento vzorec možno zapísať ako: dy y z dx x z zd

Geometrický význam celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných f (x, y) v bode (x 0, y 0) je prírastok aplikácie (súradnice z) dotykovej roviny k povrchu počas prechodu. z bodu (x 0, y 0) do bodu (x 0 + x, y 0 + y).

Geometrický význam celkového diferenciálu funkcie dvoch premenných je priestorovou analógiou geometrického významu diferenciálu funkcie jednej premennej.

Diferenciál 2. rádu funkcie z \u003d f (x, y) je diferenciál jej diferenciálu 1. rádu a označuje sa) (zzddd

Ak sú všetky parciálne derivácie 2. rádu funkcie z \u003d f (x, y) spojité, potom platí vzorec: 2 2 2 y y z yx yx z x x z zddddd

Príklad. Nájdite diferenciály 1. a 2. rádu funkcie y x yz 2 x

rozhodnutie. Nájdite parciálne derivácie 1. a 2. rádu: y yx x z 1 2 2 2 y x x y z

; 202 1 2 2 2 yy y xy xx z cy ; 1 2 2 2 y xy yyx z cx 33 22 22 2)2(0 y x yx y x x y y z cy

Preto sa diferenciály 1. a 2. rádu zapíšu ako: dy y x xdx y xyz)() 1 2(d 2 2 2 32 222) 1 2(22 y y x yx y xxyzddddd

Nech je funkcia f(x, y) diferencovateľná v bode (x, y). Poďme nájsť celkový prírastok tejto funkcie :), (yxfyyxxfz zyxfyyxxf), (

Ak do tohto vzorca dosadíme výraz, dostaneme približný vzorec: y yf x xf dzz y y yxf x x yxf yyxxf), (

Príklad. Vypočítajte približnú hodnotu na základe hodnoty funkcie pri x = 1, y = 2, z = 102, 1 ln 04, 1 99, 1 zxu y ln

rozhodnutie. Z daného výrazu určíme x \u003d 1, 04 - 1 \u003d 0,04, y \u003d 1,99 - 2 \u003d -0,01, z \u003d 1,02 - 1 \u003d 0,02. (Nájdite hodnotu funkcie u y, z) = 11 ln

Nájdite parciálne derivácie: 1 12 12 ln 2 1 zx xy x u y y 0 ln 2 ln zx xx y u y y

Celkový diferenciál funkcie u je: 2 1 ln 2 1 zx z z u y

05, 001, 004, 0 02, 0 21 01, 0004, 01 02, 001, 004, 0 zu yu xudu

Presná hodnota tohto výrazu je: 1, 049275225687319176. 05, 105, 01)1, 2, 1(02, 1 ln 04, 1 99, 1 duu

Dotyková rovina k povrchu v jeho bode M 0 je rovina, ktorá obsahuje všetky dotyčnice ku krivkám nakresleným na povrchu cez tento bod.

Normálou k povrchu v bode M 0 je priamka prechádzajúca týmto bodom a kolmá na dotykovú rovinu vedenú v danom bode.

Ak je povrch daný rovnicou F (x, y, z) \u003d 0, potom rovnica dotykovej roviny v bode M 0 (x 0, y 0, z 0) má tvar: 0)) ( (00 0000 zz. MF yy. MFxx. MF z yx

Rovnice normály vykreslené na povrch v bode M 0 (x 0 , y 0 , z 0) budú napísané takto:)()()(0 0 0 MF zz MF yy MF xx zyx

Ak je povrch daný rovnicou z \u003d f (x, y), potom rovnica dotyčnicovej roviny v bode M 0 (x 0, y 0, z 0) má tvar :)) (, (000) 0000 yyyxf xxyxfzz y x

a normálne rovnice budú napísané takto: 1), (0 00 0 zz yxf yy yxf xx yx

Príklad. Zostavte rovnice dotykovej roviny a normály k povrchu v bode M 0 (x 0, y 0, z 0) ak 01332 22 yzxzxyyx. 1 200 yx

rozhodnutie. Dosadením x 0 a y 0 do rovnice povrchu nájdeme hodnotu z 0: odkiaľ zistíme z 0 = 1. Preto je bod dotyku M 0 (2, - 1, 1). 01)1(32)1(23)1(2400 2zz

Podmienkou problému je povrch daný implicitne. Označte a nájdite parciálne derivácie v bode M 0 (2, – 1, 1) : 1332), (22 yzxzxyyxzyx.

, 32 zyx. F x 21)1(322)(0 MF x, 334 zxy. F y 51323)1(4)(0 MF y, 3 yx. Fz 1)1(32)(0 MF z

Nájdené hodnoty parciálnych derivácií dosadíme do rovnice dotykovej roviny 0))((00 0000 zz. MF yy. MFxx. MF z yx

Normálne rovnice majú tvar 1 1 5 1 2 2 zyx

Definícia. Funkcia z = f (x , y) má maximum v bode M 0 (x 0 , y 0), ak existuje také okolie tohto bodu, že pre ľubovoľné body M (x , y) z tohto okolia nerovnosť platí. ), (00 yxfyxf

Nech je daná funkcia. Keďže x a y sú nezávislé premenné, jedna z nich sa môže meniť, zatiaľ čo druhá zostáva nezmenená. Inkrementujme nezávislú premennú x pri zachovaní nezmenenej hodnoty y. Potom z dostane prírastok, ktorý sa nazýva čiastočný prírastok z o x a označuje sa . Takže, .

Podobne získame čiastočný prírastok z vzhľadom na y: .

Celkový prírastok funkcie z je určený rovnosťou .

Ak existuje limita, potom sa nazýva parciálna derivácia funkcie v bode vzhľadom na premennú x a označuje sa jedným zo symbolov:

.

Čiastočné derivácie vzhľadom na x v bode sú zvyčajne označené symbolmi .

Parciálna derivácia vzhľadom na premennú y je definovaná a označená podobným spôsobom:

Čiastočná derivácia funkcie niekoľkých (dvoch, troch alebo viacerých) premenných je teda definovaná ako derivácia funkcie jednej z týchto premenných s výhradou nemennosti hodnôt zostávajúcich nezávislých premenných. Parciálne derivácie funkcie sa preto zisťujú podľa vzorcov a pravidiel na výpočet derivácií funkcie jednej premennej (v tomto prípade sa x alebo y považuje za konštantnú hodnotu).

Parciálne derivácie sa nazývajú aj parciálne derivácie prvého rádu. Možno ich považovať za funkcie . Tieto funkcie môžu mať parciálne derivácie, ktoré sa nazývajú parciálne derivácie druhého rádu. Sú definované a označené takto:

; ;

; .

Diferenciály 1. a 2. rádu funkcie dvoch premenných.

Celkový diferenciál funkcie (vzorec 2.5) sa nazýva diferenciál prvého rádu.

Vzorec na výpočet celkového diferenciálu je nasledujúci:

(2.5) resp , kde ,

parciálne diferenciály funkcie .

Nech má funkcia spojité parciálne derivácie druhého rádu. Rozdiel druhého rádu je určený vzorcom . Poďme to nájsť:

Odtiaľ: . Symbolicky je to napísané takto:

.

NEURČITÝ INTEGRÁL.

Primitívna derivácia funkcie, neurčitý integrál, vlastnosti.

Zavolá sa funkcia F(x). primitívny pre danú funkciu f(x), ak F"(x)=f(x), alebo, čo je to isté, ak dF(x)=f(x)dx.

Veta. Ak funkcia f(x), definovaná v nejakom intervale (X) konečnej alebo nekonečnej dĺžky, má jednu primitívu F(x), potom má tiež nekonečne veľa primitív; všetky sú obsiahnuté vo výraze F(x)+C, kde C je ľubovoľná konštanta.

Množina všetkých primitív pre danú funkciu f(x), definovaná v nejakom intervale alebo na nejakom segmente konečnej alebo nekonečnej dĺžky, sa nazýva neurčitý integrál z funkcie f(x) [alebo z výrazu f(x)dx ] a označuje sa symbolom .

Ak je F(x) jednou z primitív pre f(x), potom podľa primitívnej vety

, kde C je ľubovoľná konštanta.

Podľa definície primitívnej derivácie F "(x)=f(x) a teda dF(x)=f(x) dx. Vo vzorci (7.1) sa f(x) nazýva integrand a f( x) dx sa nazýva výraz integrandu.

Všeobecný princíp hľadania parciálnych derivácií druhého rádu funkcie troch premenných je podobný princípu hľadania parciálnych derivácií druhého rádu funkcie dvoch premenných.

Aby ste našli parciálne derivácie druhého rádu, musíte najprv nájsť parciálne derivácie prvého rádu alebo v inom zápise:

Existuje deväť parciálnych derivátov druhého rádu.

Prvou skupinou sú druhé deriváty vzhľadom na rovnaké premenné:

Alebo - druhá derivácia vzhľadom na "x";

Alebo - druhá derivácia vzhľadom na "y";

Alebo - druhá derivácia vzhľadom na "z".

Druhá skupina je zmiešanéčiastočné deriváty 2. rádu, je ich šesť:

alebo - zmiešané derivácia "podľa x y";

alebo - zmiešané derivácia "by y x";

alebo - zmiešané derivát "by x z";

alebo - zmiešané derivát "po zet x";

alebo - zmiešané derivácia „hra z“;

alebo - zmiešané derivát "po z y".

Rovnako ako v prípade funkcie dvoch premenných sa pri riešení úloh možno zamerať na nasledujúce rovnosti zmiešaných derivácií druhého rádu:

Poznámka: Presne povedané, nie je to vždy tak. Pre rovnosť zmiešaných derivátov je potrebné splniť požiadavku ich kontinuity.

Pre každý prípad niekoľko príkladov, ako túto hanbu prečítať nahlas:

- "dva ťahy dvakrát za y";

- „de two y po de zet square“;

- „dva ťahy na x na z“;

- „de dva y po de z po de y“.

Príklad 10

Nájdite všetky parciálne derivácie prvého a druhého rádu pre funkciu troch premenných:

.

rozhodnutie: Najprv nájdeme parciálne derivácie prvého rádu:

Vezmeme nájdený derivát

a odlíšiť ho "y":

Vezmeme nájdený derivát

a odlíšiť ho "x":

Rovnosť je hotová. Dobre.

Zaoberáme sa druhou dvojicou zmiešaných derivátov.

Vezmeme nájdený derivát

a odlíšiť ho "z":

Vezmeme nájdený derivát

a odlíšiť ho "x":

Rovnosť je hotová. Dobre.

Podobne sa zaoberáme treťou dvojicou zmiešaných derivátov:

Rovnosť je hotová. Dobre.

Po vykonanej práci je možné zaručiť, že po prvé sme správne našli všetky parciálne derivácie 1. rádu a po druhé, správne sme našli aj zmiešané parciálne derivácie 2. rádu.

Zostáva nájsť tri ďalšie parciálne deriváty druhého rádu, tu by ste sa mali čo najviac sústrediť, aby ste sa vyhli chybám:

Pripravený. Opäť platí, že úloha nie je ani tak náročná ako objemná. Riešenie je možné skrátiť a označiť ako rovnosti zmiešaných parciálnych derivácií, ale v tomto prípade nedôjde k overeniu. Preto je lepšie nájsť si čas všetky deriváty (okrem toho to môže vyžadovať učiteľ), alebo v krajnom prípade skontrolovať návrh.

Príklad 11

Nájdite všetky parciálne derivácie prvého a druhého rádu pre funkciu troch premenných

.

Toto je príklad „urob si sám“.

Riešenia a odpovede:

Príklad 2:rozhodnutie:

Príklad 4:rozhodnutie: Nájdite parciálne derivácie prvého rádu.

Zložíme celkový diferenciál prvého rádu:

Príklad 6:rozhodnutie: M(1, -1, 0):

Príklad 7:rozhodnutie: Vypočítajme parciálne derivácie prvého rádu v bodeM(1, 1, 1):

Príklad 9:rozhodnutie:

Príklad 11:rozhodnutie: Nájdite parciálne derivácie prvého rádu:

Nájdite parciálne derivácie druhého rádu:

.

Integrály

8.1. Neurčitý integrál. Podrobné príklady riešení

Začnime študovať tému Neurčitý integrál" a tiež podrobne analyzovať príklady riešení najjednoduchších (a nie celkom) integrálov. Ako obvykle, obmedzíme sa na minimálnu teóriu, ktorá je v početných učebniciach, našou úlohou je naučiť sa riešiť integrály.

Čo potrebujete vedieť, aby ste látku úspešne zvládli? Aby ste sa vyrovnali s integrálnym počtom, musíte byť schopní nájsť deriváty, aspoň na priemernej úrovni. Nebude to zbytočná skúsenosť, ak máte za sebou niekoľko desiatok alebo lepšie sto samostatne nájdených derivátov. Prinajmenšom by ste sa nemali nechať zmiasť úlohou odlíšiť najjednoduchšie a najbežnejšie funkcie.

Zdalo by sa, kde sú vôbec derivácie, ak sa v článku bavíme o integráloch?! A tu je tá vec. Faktom je, že hľadanie derivátov a hľadanie neurčitých integrálov (diferenciácia a integrácia) sú dve vzájomne inverzné akcie, ako je sčítanie / odčítanie alebo násobenie / delenie. Bez zručnosti a akej-takej skúsenosti s hľadaním derivátov sa teda, žiaľ, nedá ďalej napredovať.

V tejto súvislosti budeme potrebovať nasledujúce metodické materiály: Tabuľka derivátov a Tabuľka integrálov.

Aké sú ťažkosti pri štúdiu neurčitých integrálov? Ak v derivátoch existuje striktne 5 pravidiel diferenciácie, tabuľka derivátov a pomerne jasný algoritmus akcií, potom v integráloch je všetko iné. Existujú desiatky integračných metód a techník. A ak bola metóda integrácie pôvodne zvolená nesprávne (to znamená, že neviete, ako ju vyriešiť), integrál môže byť doslova „pichnutý“ doslova celé dni, ako skutočný rébus, snažiac sa všimnúť si rôzne triky a triky. . Niektorým sa to dokonca páči.

Mimochodom, pomerne často sme od študentov (nie humanitných vied) počúvali názor typu: „Nikdy som nemal záujem riešiť limitu alebo deriváciu, ale integrály sú úplne iná záležitosť, je to vzrušujúce, vždy je tu chuť „ crack „komplexný integrál“. Stop. Dosť bolo čierneho humoru, prejdime k týmto veľmi neurčitým integrálom.

Keďže existuje veľa spôsobov riešenia, kde potom čajník začne študovať neurčité integrály? V integrálnom počte sú podľa nás tri piliere alebo akási „os“, okolo ktorej sa točí všetko ostatné. V prvom rade by ste mali dobre rozumieť najjednoduchším integrálom (tento článok).

Potom musíte lekciu podrobne vypracovať. TOTO JE NAJDÔLEŽITEJŠIA RECEPCIA! Možno dokonca najdôležitejší článok zo všetkých článkov venovaných integrálom. A do tretice si určite prečítajte integrácia po častiach, pretože integruje širokú triedu funkcií. Ak ovládate aspoň tieto tri lekcie, potom už „nie sú dve“. Môže vám byť odpustené, že to neviete integrály goniometrických funkcií, integrály zlomkov, integrály zlomkových racionálnych funkcií, integrály iracionálnych funkcií (odmocniny), ale ak sa „dostanete do kaluže“ pri metóde výmeny alebo metóde integrácie dielov, bude to veľmi, veľmi zlé.

Začnime teda jednoducho. Pozrime sa na tabuľku integrálov. Podobne ako pri deriváciách si všimneme niekoľko integračných pravidiel a tabuľku integrálov niektorých elementárnych funkcií. Akýkoľvek tabuľkový integrál (a vlastne každý neurčitý integrál) má tvar:

Poďme rovno k notácii a pojmom:

- integrálna ikona.

- integrandová funkcia (písaná písmenom "s").

– ikona rozdielu. Čo to je, zvážime veľmi skoro. Hlavná vec je, že pri písaní integrálu a počas riešenia je dôležité nestratiť túto ikonu. Bude tam viditeľná chyba.

je integrand alebo "výplň" integrálu.

– primitívny funkciu.

– . Netreba sa zaťažovať pojmami, tu je najdôležitejšie, že v akomkoľvek neurčitom integráli sa k odpovedi pridáva konštanta.

Vyriešiť neurčitý integrál znamená nájsťsúbor primitívnych funkcií z daného integrandu

Pozrime sa ešte raz na záznam:

Pozrime sa na tabuľku integrálov.

Čo sa deje? Naše ľavé časti sa otáčajú na ďalšie funkcie: .

Zjednodušme si definíciu:

Vyriešte neurčitý integrál - to znamená PREMENIŤ ho na neurčitú (až konštantnú) funkciu pomocou niektorých pravidiel, techník a tabuľky.

Vezmime si napríklad tabuľkový integrál . Čo sa stalo? Symbolický záznam sa zmenil na súbor primitívnych funkcií.

Podobne ako v prípade derivácií, na to, aby sme sa naučili nájsť integrály, nie je potrebné vedieť, čo je to integrál alebo primitívna funkcia z teoretického hľadiska. Stačí vykonať transformácie podľa niektorých formálnych pravidiel. Takže v prípade nie je vôbec potrebné chápať, prečo sa integrál mení na presne. Tento a ďalšie vzorce môžete považovať za samozrejmosť. Každý používa elektrinu, ale len málo ľudí premýšľa o tom, ako elektróny prebiehajú pozdĺž drôtov.

Keďže diferenciácia a integrácia sú opačné operácie, pre každý primitívny prvok, ktorý sa nájde správne, platí nasledovné:

Inými slovami, ak je správna odpoveď diferencovaná, potom je potrebné získať pôvodný integrand.

Vráťme sa k rovnakému tabuľkovému integrálu .

Overme si platnosť tohto vzorca. Zoberieme deriváciu pravej strany:

je pôvodný integrand.

Mimochodom, bolo jasnejšie, prečo je konštanta vždy priradená k funkcii. Pri diferenciácii sa konštanta vždy zmení na nulu.

Vyriešte neurčitý integrál znamená to nájsť kopa všetky primitívne deriváty a nie nejakú samostatnú funkciu. V uvažovanom tabuľkovom príklade , , , atď. - všetky tieto funkcie sú riešením integrálu . Riešení je nekonečne veľa, preto píšu stručne:

Akýkoľvek neurčitý integrál je teda dostatočne jednoduchý na kontrolu. Toto je určitá kompenzácia veľkého počtu integrálov rôznych typov.

Prejdime na konkrétne príklady. Začnime, ako pri štúdiu derivátu, dvoma pravidlami integrácie:

- stály C môže (a malo by) byť vyňaté z integrálneho znamienka.

– integrál súčtu (rozdielu) dvoch funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) dvoch integrálov. Toto pravidlo platí pre ľubovoľný počet termínov.

Ako vidíte, pravidlá sú v podstate rovnaké ako pre deriváty. Niekedy sú tzv vlastnosti linearity integrálne.

Príklad 1

Nájdite neurčitý integrál.

Spustite kontrolu.

rozhodnutie: Je pohodlnejšie previesť to ako.

(1) Uplatnenie pravidla . Nezabudnite si zapísať ikonu rozdielu dx pod každým integrálom. Prečo pod každým? dxje plný multiplikátor. Ak maľujete podrobne, potom by mal byť prvý krok napísaný takto:

.

(2) Podľa pravidla vyberieme všetky konštanty zo znamienok integrálov. Všimnite si, že v poslednom termíne tg 5 je konštanta, tiež ju vytiahneme.

Okrem toho v tomto kroku pripravujeme korene a stupne integrácie. Rovnako ako pri diferenciácii musia byť korene zastúpené vo forme . Korene a stupne, ktoré sa nachádzajú v menovateli - pohyb nahor.

Poznámka: na rozdiel od derivácií, korene v integráloch nemusia byť vždy redukované do tvaru a posuňte stupne nahor.

Napríklad, - toto je hotový tabuľkový integrál, ktorý už bol vypočítaný pred vami, a všetky druhy čínskych trikov ako úplne zbytočné. Podobne: - toto je tiež tabuľkový integrál, nemá zmysel uvádzať zlomok v tvare . Pozorne si preštudujte tabuľku!

(3) Všetky integrály sú tabuľkové. Transformáciu vykonáme pomocou tabuľky pomocou vzorcov: a

pre funkciu napájania - .

Treba poznamenať, že tabuľkový integrál je špeciálnym prípadom vzorca pre výkonovú funkciu: .

Neustále C stačí ho pridať raz na koniec výrazu

(namiesto toho, aby ste ich dávali za každým integrálom).

(4) Získaný výsledok zapisujeme v kompaktnejšom tvare, keď sú všetky stupne tvaru

opäť reprezentujú ako odmocniny a mocniny so záporným exponentom sa vrátia späť na menovateľa.

Vyšetrenie. Ak chcete vykonať kontrolu, musíte rozlíšiť prijatú odpoveď:

Počiatočné integrand, teda integrál bol nájdený správne. Od toho, čo tancovali, sa k tomu vrátili. Je dobré, keď sa príbeh s integrálom skončí len tak.

Z času na čas existuje trochu iný prístup ku kontrole neurčitého integrálu, keď nie derivácia, ale diferenciál je prevzatý z odpovede:

.

V dôsledku toho získame nie integrand, ale integrand.

Nebojte sa konceptu diferenciálu.

Diferenciál je derivácia vynásobená dx.

Pre nás však nie sú dôležité teoretické jemnosti, ale čo ďalej s týmto diferenciálom. Rozdiel sa zobrazí nasledovne: ikona d odstrániť, dať ťah vpravo nad zátvorku, priradiť násobiteľa na koniec výrazu dx :

Prijatý originál integrand, to znamená, že integrál je nájdený správne.

Ako môžete vidieť, rozdiel spočíva v nájdení derivátu. Druhý spôsob kontroly sa mi páči menej, pretože musím dodatočne kresliť veľké zátvorky a ťahať ikonu diferenciálu dx do konca testu. Aj keď je to správnejšie, alebo "pevnejšie", alebo čo.

V skutočnosti sa o druhom spôsobe overovania dalo mlčať. Pointa nie je v metóde, ale v tom, že sme sa naučili otvárať diferenciál. Opäť.

Rozdiel sa prejavuje takto:

1) ikona d odstrániť;

2) umiestnite ťah vpravo nad zátvorku (označenie derivátu);

3) na koniec výrazu priradíme činiteľ dx .

Napríklad:

Zapamätaj si to. Uvažovanú techniku ​​budeme veľmi skoro potrebovať.

Príklad 2

.

Keď nájdeme neurčitý integrál, VŽDY sa ho snažíme skontrolovať Navyše je na to skvelá príležitosť. Nie všetky typy úloh vo vyššej matematike sú z tohto pohľadu darom. Nezáleží na tom, že overenie sa pri kontrolných úlohách často nevyžaduje, nikto a nič nebráni tomu, aby sa vykonalo na návrhu. Výnimku je možné urobiť len pri nedostatku času (napríklad na teste, skúške). Osobne vždy kontrolujem integrály a chýbajúce overenie považujem za hack a zle splnenú úlohu.

Príklad 3

Nájdite neurčitý integrál:

. Spustite kontrolu.

Riešenie: Pri analýze integrálu vidíme, že pod integrálom máme súčin dvoch funkcií a dokonca aj umocnenie celého výrazu. Bohužiaľ, na poli integrálnej bitky nie dobré a pohodlné vzorce na integráciu súčinu a kvocientu ako: alebo .

Preto, keď je daný súčin alebo kvocient, vždy má zmysel zistiť, či je možné transformovať integrand na súčet? Uvažovaný príklad je prípad, keď je to možné.

Najprv uvádzame úplné riešenie, komentáre budú uvedené nižšie.

(1) Používame starý dobrý vzorec pre druhú mocninu súčtu pre akékoľvek reálne čísla, čím sa zbavíme stupňa nad spoločnou zátvorkou. mimo zátvorky a použitím skráteného vzorca na násobenie v opačnom smere: .

Príklad 4

Nájdite neurčitý integrál

Spustite kontrolu.

Toto je príklad samoriešenia. Na konci lekcie odpovedzte a dokončite riešenie.

Príklad 5

Nájdite neurčitý integrál

. Spustite kontrolu.

V tomto príklade je integrand zlomkom. Keď vidíme zlomok v integrande, prvou myšlienkou by mala byť otázka: „Je možné sa tohto zlomku nejako zbaviť, alebo ho aspoň zjednodušiť?“.

Všimli sme si, že menovateľ obsahuje osamelý koreň „x“. Jeden v poli nie je bojovník, čo znamená, že čitateľa môžete rozdeliť na menovateľ výraz podľa výrazu:

Nekomentujeme akcie so zlomkovými mocninami, pretože sa o nich opakovane diskutovalo v článkoch o derivácii funkcie.

Ak vás stále mätie taký príklad ako

a nikto nedostane správnu odpoveď,

Všimnite si tiež, že riešenie preskočí jeden krok, a to uplatnenie pravidiel , . Zvyčajne, s určitými skúsenosťami s riešením integrálov, sa tieto pravidlá považujú za samozrejmú skutočnosť a nie sú podrobne opísané.

Príklad 6

Nájdite neurčitý integrál. Spustite kontrolu.

Toto je príklad samoriešenia. Na konci lekcie odpovedzte a dokončite riešenie.

Vo všeobecnom prípade so zlomkami v integráloch nie je všetko také jednoduché, ďalší materiál o integrácii zlomkov niektorých typov nájdete v článku: Integrácia niektorých zlomkov. Ale predtým, ako prejdete na vyššie uvedený článok, musíte si prečítať lekciu: Náhradná metóda v neurčitom integráli. Faktom je, že sčítanie funkcie pomocou diferenciálnej metódy alebo metódy premennej zmeny je kľúčový bod pri štúdiu témy, pretože sa vyskytuje nielen „v čistých úlohách náhradnej metódy“, ale aj v mnohých iných variantoch integrálov.

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie:

Príklad 4: Riešenie:

V tomto príklade sme použili vzorec zníženého násobenia

Príklad 6: Riešenie:

Metóda zmeny premennej v neurčitom integráli. Príklady riešení

V tejto lekcii sa zoznámime s jedným z najdôležitejších a najbežnejších trikov, ktorý sa používa pri riešení neurčitých integrálov - metódou zmeny premennej. Pre úspešné zvládnutie materiálu sú potrebné počiatočné znalosti a integračné zručnosti. Ak máte v integrálnom počte pocit prázdnej plnej čajovej kanvice, mali by ste sa najprv oboznámiť s materiálom Neurčitý integrál. Príklady riešení, kde je prístupnou formou vysvetlené, čo je to integrál a podrobne sú rozobraté základné príklady pre začiatočníkov.

Technicky je metóda zmeny premennej v neurčitom integráli implementovaná dvoma spôsobmi:

– Uvedenie funkcie pod znamenie diferenciálu.

– Skutočná zmena premennej.

V skutočnosti ide o to isté, no dizajn riešenia vyzerá inak. Začnime jednoduchším prípadom.

V tejto lekcii sa zoznámime s pojmom funkcie dvoch premenných a tiež podrobne zvážime najbežnejšiu úlohu - hľadanie parciálne deriváty prvého a druhého rádu, totálny diferenciál funkcie.

Aby ste mohli efektívne študovať nasledujúci materiál, vy nevyhnutné byť schopný viac-menej s istotou nájsť „zvyčajné“ derivácie funkcie jednej premennej. Ako správne narábať s derivátmi sa dozviete na lekciách Ako nájsť derivát? a Derivácia zloženej funkcie. Potrebujeme aj tabuľku derivácií elementárnych funkcií a pravidlá diferenciácie, najvhodnejšie je, ak je po ruke v tlačenej forme.

Začnime samotným konceptom funkcie dvoch premenných, skúsime sa obmedziť na minimum teórie, keďže stránka má praktické zameranie. Funkcia dvoch premenných sa zvyčajne zapisuje ako , pričom premenné sa volajú nezávislé premenné alebo argumenty.

Príklad: - funkcia dvoch premenných.

Niekedy sa používa notácia. Existujú aj úlohy, kde sa namiesto písmena používa písmeno.

Je užitočné poznať geometrický význam funkcií. Funkcia jednej premennej zodpovedá určitej čiare v rovine, napríklad známej školskej parabole. Akákoľvek funkcia dvoch premenných z geometrického hľadiska je plocha v trojrozmernom priestore (roviny, valce, gule, paraboloidy atď.). Ale v skutočnosti je to už analytická geometria a na programe máme matematickú analýzu.

Obraciame sa na otázku hľadania parciálnych derivácií prvého a druhého rádu. Pre tých z vás, ktorí si dali pár šálok kávy a máte náladu na nepredstaviteľne náročný materiál, mám dobrú správu: parciálne derivácie sú takmer rovnaké ako „obyčajné“ derivácie funkcie jednej premennej.

Pre parciálne derivácie platia všetky pravidlá diferenciácie a tabuľka derivácií elementárnych funkcií. Existuje len niekoľko malých rozdielov, ktoré teraz spoznáme.

Príklad 1

Nájdite parciálne derivácie prvého a druhého rádu funkcie

Najprv nájdeme parciálne derivácie prvého rádu. Sú dve.

Označenia:

Alebo - čiastočná derivácia vzhľadom na "x"

Alebo - čiastočná derivácia vzhľadom na "y"

Začnime s .

Dôležité! Keď nájdeme parciálnu deriváciu vzhľadom na "x", potom premennú sa považuje za konštantu (konštantné číslo).

My rozhodujeme. V tejto lekcii okamžite poskytneme úplné riešenie a nižšie uvedieme komentáre.

Komentáre k vykonaným krokom:

(1) Prvá vec, ktorú urobíme pri hľadaní parciálnej derivácie, je urobiť záver všetky funkcia v zátvorkách pod pomlčkou s dolným indexom.

Pozor dôležitá! Dolné indexy sa v priebehu riešenia NESTRATAJÚ. V tomto prípade, ak nakreslíte „ťah“ niekde mimo, učiteľ ho môže priložiť k úlohe (okamžite si odhryznúť časť skóre pre nepozornosť).

(2) Použite pravidlá rozlišovania ; . Pre jednoduchý príklad, ako je tento, možno obe pravidlá použiť v rovnakom kroku. Venujte pozornosť prvému termínu: od sa považuje za konštantu a zo znamienka derivácie možno vyňať akúkoľvek konštantu, potom ho vyberieme zo zátvoriek. To znamená, že v tejto situácii to nie je lepšie ako bežné číslo. Teraz sa pozrime na tretí termín: tu, naopak, nie je čo vyťahovať. Keďže je to konštanta, je to tiež konštanta av tomto zmysle nie je o nič lepšia ako posledný výraz - „sedem“.

(2) Používame tabuľku derivácií elementárnych funkcií. Mentálne zmeňte v tabuľke všetky „X“ na „Y“. To znamená, že táto tabuľka je rovnako platná pre (a všeobecne pre akékoľvek písmeno). V tomto prípade používame vzorce: a .

Takže sa našli parciálne deriváty prvého rádu

A nemusíte nič hľadať: v našom samostatnom článku sme už všetko pripravili, aby ste to mohli urobiť. Teraz hovorme o parciálnych deriváciách.

Vitajte na našom telegramovom kanáli, kde nájdete užitočné bulletiny a aktuálne študentské správy.

Funkcia dvoch alebo viacerých premenných

Predtým, ako hovoríme o parciálnych deriváciách, musíme sa dotknúť konceptu funkcie viacerých premenných, bez ktorej parciálna derivácia nemá zmysel. V škole sme zvyknutí narábať s funkciami jednej premennej:

Predtým sme uvažovali o derivátoch takýchto funkcií. Grafom funkcie jednej premennej je priamka v rovine: priamka, parabola, hyperbola atď.

Čo ak pridáme ďalšiu premennú? Získate funkciu ako je táto:

Ide o funkciu dvoch nezávislých premenných X a r. Grafom takejto funkcie je plocha v trojrozmernom priestore: guľa, hyperboloid, paraboloid alebo nejaký iný sférický kôň vo vákuu. Parciálne derivačné funkcie z pre x a y sa píšu takto:

Existujú aj funkcie troch alebo viacerých premenných. Je pravda, že nie je možné nakresliť graf takejto funkcie: vyžadovalo by si to aspoň štvorrozmerný priestor, ktorý nemožno zobraziť.

Čiastočná derivácia prvého rádu

Pamätajte na hlavné pravidlo:

Pri výpočte parciálnej derivácie vzhľadom na jednu z premenných sa druhá premenná berie ako konštanta. V opačnom prípade sa pravidlá pre výpočet derivátu nemenia.

To znamená, že čiastočná derivácia sa v podstate nelíši od bežnej. Majte teda pred očami tabuľku derivácií elementárnych funkcií a pravidlá na výpočet obyčajných derivácií. Pozrime sa na príklad, aby to bolo celkom jasné. Povedzme, že chcete vypočítať parciálne derivácie prvého rádu nasledujúcej funkcie:

Najprv vezmeme parciálnu deriváciu vzhľadom na x, pričom y považujeme za obyčajné číslo:

Teraz uvažujeme parciálnu deriváciu vzhľadom na y, pričom x berieme ako konštantu:

Ako vidíte, nie je na tom nič zložité a úspech so zložitejšími príkladmi je len vecou cviku.

Čiastočná derivácia druhého rádu

Čo je parciálna derivácia druhého rádu? Rovnako ako ten prvý. Ak chcete nájsť parciálne derivácie druhého rádu, stačí vziať deriváciu z derivácie prvého rádu. Vráťme sa k vyššie uvedenému príkladu a vypočítajme parciálne derivácie druhého rádu.

Podľa hry:

Parciálne deriváty tretieho a vyššieho rádu sa v princípe výpočtu nelíšia. Usporiadame pravidlá:

1. Pri diferenciácii vzhľadom na jednu nezávislú premennú sa druhá berie ako konštanta.
2. Derivát druhého rádu je derivátom prvého rádu. Tretí rád je derivát druhého rádu atď.

Parciálne derivácie a totálny diferenciál funkcie

Častou otázkou v praktických úlohách je hľadanie totálneho diferenciálu funkcie. Pre funkciu niekoľkých premenných je celkový diferenciál definovaný ako hlavná lineárna časť malého celkového prírastku funkcie vzhľadom na prírastky argumentov.

Definícia znie ťažkopádne, no s písmenami je všetko jednoduchšie. Celkový diferenciál prvého rádu funkcie niekoľkých premenných vyzerá takto:

Keďže vieme, ako sa počítajú parciálne derivácie, nie je problém vypočítať celkový diferenciál.

Parciálne deriváty nie sú až taká zbytočná téma. Napríklad parciálne diferenciálne rovnice druhého rádu sa široko používajú na matematický popis reálnych fyzikálnych procesov.

Tu sme uviedli iba všeobecnú, povrchnú predstavu o čiastočných derivátoch prvého a druhého rádu. Zaujíma vás táto téma alebo máte konkrétne otázky? Opýtajte sa ich v komentároch a obráťte sa na odborníkov profesionálneho študentského servisu pre kvalifikovanú a rýchlu pomoc pri štúdiu. S nami nezostanete s problémom sami!