Ako nájsť základ daného systému vektorov. Lineárna závislosť. Základom vektorového systému je základ

Lineárna kombinácia vektorov je vektor
, kde λ 1 , ... , λ m sú ľubovoľné koeficienty.

Vektorový systém
sa nazýva lineárne závislý, ak existuje jeho lineárna kombinácia rovná , ktorá má aspoň jeden nenulový koeficient.

Vektorový systém
sa nazýva lineárne nezávislý, ak sa v niektorej z jeho lineárnych kombinácií rovná , všetky koeficienty sú nulové.

Základ systému vektorov
nazýva sa jej neprázdny lineárne nezávislý podsystém, prostredníctvom ktorého možno vyjadriť ľubovoľný vektor systému.

Príklad 2. Nájdite základ sústavy vektorov = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) a vyjadrite zostávajúce vektory z hľadiska bázy.

Riešenie.Postavíme maticu, v ktorej usporiadame súradnice týchto vektorov do stĺpcov. Privedieme do stupňovitej formy.

~
~
~
.

Základ tohto systému tvoria vektory ,,, ktoré zodpovedajú vodiacim prvkom riadkov označených krúžkami. Pre vektorový výraz vyriešiť rovnicu x 1 +x2 +x4 =. Redukuje sa na systém lineárnych rovníc, ktorých matica sa získa z originálu permutáciou stĺpca zodpovedajúceho , namiesto stĺpca voľných termínov. Preto na riešenie systému používame výslednú maticu v stupňovitej forme, pričom v nej robíme potrebné permutácie.

Postupne nachádzame:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Poznámka 1. Ak je potrebné prostredníctvom bázy vyjadriť niekoľko vektorov, potom sa pre každý z nich zostrojí zodpovedajúci systém lineárnych rovníc. Tieto systémy sa budú líšiť len v stĺpcoch voľných členov. Preto na ich vyriešenie možno zostaviť jednu maticu, v ktorej bude niekoľko stĺpcov voľných členov. V tomto prípade je každý systém riešený nezávisle od ostatných.

Poznámka 2. Na vyjadrenie akéhokoľvek vektora stačí použiť len základné vektory systému, ktoré mu predchádzajú. V tomto prípade nie je potrebné pretvarovať maticu, stačí umiestniť zvislú čiaru na správne miesto.

Cvičenie 2. Nájdite základ systému vektorov a vyjadrite zvyšok vektorov prostredníctvom základu:

a) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

v) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Základný systém rozhodovania

Systém lineárnych rovníc sa nazýva homogénny, ak sa všetky jeho voľné členy rovnajú nule.

Základná sústava riešení homogénnej sústavy lineárnych rovníc je základom množiny jej riešení.

Nech je daný nehomogénny systém lineárnych rovníc. Homogénny systém spojený s danou jednotkou je systém získaný z danej jednotky nahradením všetkých voľných členov nulami.

Ak je nehomogénna sústava konzistentná a neurčitá, potom jej ľubovoľné riešenie má tvar f o1 +  1 f o1 + ... +  k f o k , kde f o je partikulárne riešenie nehomogénnej sústavy a f o1 , ... , f o k sú základné systémové riešenia súvisiaceho homogénneho systému.

Príklad 3. Nájdite konkrétne riešenie nehomogénnej sústavy z príkladu 1 a základnú sústavu riešení pridruženej homogénnej sústavy.

Riešenie Riešenie získané v príklade 1 zapíšeme vo vektorovej forme a výsledný vektor rozšírime na súčet voľných parametrov, ktoré obsahuje, a pevných číselných hodnôt:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + + (– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0).

Dostaneme f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Komentujte. Problém hľadania fundamentálneho systému riešení pre homogénny systém je riešený podobne.

Cvičenie 3.1 Nájdite základný systém riešení homogénneho systému:

a)

b)

c) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

CVIČENIE 3.2. Nájdite konkrétne riešenie nehomogénnej sústavy a základnú sústavu riešení pridruženej homogénnej sústavy:

a)

b)

V geometrii sa vektor chápe ako riadený segment a vektory získané jeden od druhého paralelnou transláciou sa považujú za rovnaké. Všetky rovnaké vektory sa považujú za rovnaký vektor. Začiatok vektora môže byť umiestnený v akomkoľvek bode priestoru alebo roviny.

Ak sú súradnice koncov vektora uvedené v priestore: A(X 1 , r 1 , z 1), B(X 2 , r 2 , z 2), potom

= (X 2 – X 1 , r 2 – r 1 , z 2 – z 1). (1)

Podobný vzorec platí aj v rovine. To znamená, že vektor možno zapísať ako súradnicový reťazec. Operácie s vektormi, - sčítanie a násobenie číslom, na reťazcoch sa vykonávajú komponent po komponente. To umožňuje rozšíriť koncept vektora, chápať vektor ako akýkoľvek reťazec čísel. Napríklad riešenie systému lineárnych rovníc, ako aj akejkoľvek množiny hodnôt systémových premenných, možno považovať za vektor.

Na reťazcoch rovnakej dĺžky sa operácia sčítania vykonáva podľa pravidla

(a 1, a 2, …, a n) + (b1, b2, …, b n) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n). (2)

Násobenie reťazca číslom sa vykonáva podľa pravidla

l(a 1, a 2, …, a n) = (la 1, la 2, …, la n). (3)

Sada riadkových vektorov danej dĺžky n s naznačenými operáciami vektorového sčítania a násobenia číslom tvorí algebraickú štruktúru tzv n-rozmerný lineárny priestor.

Lineárna kombinácia vektorov je vektor , kde λ 1 , ... , λ m sú ľubovoľné koeficienty.

Systém vektorov sa nazýva lineárne závislý, ak existuje jeho lineárna kombinácia rovná , ktorá má aspoň jeden nenulový koeficient.

Systém vektorov sa nazýva lineárne nezávislý, ak v ktorejkoľvek z jeho lineárnych kombinácií rovných sú všetky koeficienty nulové.

Tým sa riešenie otázky lineárnej závislosti sústavy vektorov redukuje na riešenie rovnice

X 1 + X 2 + … + x m = . (4)

Ak má táto rovnica nenulové riešenia, potom je systém vektorov lineárne závislý. Ak je nulové riešenie jedinečné, potom je systém vektorov lineárne nezávislý.

Aby sme vyriešili systém (4), pre prehľadnosť môžu byť vektory zapísané nie vo forme riadkov, ale vo forme stĺpcov.

Potom, po vykonaní transformácií na ľavej strane, dospejeme k sústave lineárnych rovníc ekvivalentnej rovnici (4). Hlavná matica tohto systému je tvorená súradnicami pôvodných vektorov usporiadaných do stĺpcov. Stĺpec voľných členov tu nie je potrebný, pretože systém je homogénny.

Základ systém vektorov (konečný alebo nekonečný, najmä celý lineárny priestor) je jeho neprázdny lineárne nezávislý podsystém, prostredníctvom ktorého možno vyjadriť ľubovoľný vektor systému.

Príklad 1.5.2. Nájdite základ sústavy vektorov = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) a prostredníctvom bázy vyjadrujú ďalšie vektory.

rozhodnutie. Zostavíme maticu, v ktorej sú súradnice týchto vektorov usporiadané do stĺpcov. Toto je matica systému X 1 + X 2 + X 3 + X 4 =. . Maticu uvedieme do stupňovitého tvaru:

~ ~ ~

Základ tohto systému vektorov tvoria vektory , , , ktoré zodpovedajú vodiacim prvkom riadkov označených krúžkami. Na vyjadrenie vektora riešime rovnicu X 1 + X 2 + X 4 = . Redukuje sa na sústavu lineárnych rovníc, ktorých maticu získame z originálu preusporiadaním stĺpca zodpovedajúceho , na miesto stĺpca voľných členov. Preto pri redukcii na stupňovitú formu sa na matici vykonajú rovnaké transformácie ako vyššie. To znamená, že výslednú maticu môžeme použiť v stupňovitej forme vykonaním potrebných permutácií stĺpcov v nej: stĺpce s kruhmi sú umiestnené naľavo od zvislej čiary a stĺpec zodpovedajúci vektoru je umiestnený vpravo. z baru.

Postupne nachádzame:

X 4 = 0;

X 2 = 2;

X 1 + 4 = 3, X 1 = –1;

Komentujte. Ak je potrebné prostredníctvom bázy vyjadriť niekoľko vektorov, potom sa pre každý z nich vytvorí zodpovedajúci systém lineárnych rovníc. Tieto systémy sa budú líšiť len v stĺpcoch voľných členov. V tomto prípade je každý systém riešený nezávisle od ostatných.

CVIČENIE 1.4. Nájdite základ systému vektorov a vyjadrite zvyšok vektorov pomocou základu:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).

V danom systéme vektorov možno bázu zvyčajne rozlíšiť rôznymi spôsobmi, ale všetky bázy budú mať rovnaký počet vektorov. Počet vektorov v základe lineárneho priestoru sa nazýva dimenzia priestoru. Pre n-rozmerný lineárny priestor n je rozmer priestoru, keďže tento priestor má štandardný základ = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Prostredníctvom tohto základu je ľubovoľný vektor = (a 1 , a 2 , … , a n) sa vyjadruje takto:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2, … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, …, 0) + a 2 (0, 1, …, 0) + … + a n(0, 0, ... ,1) = a 1 + a 2 + ... + a n .

Teda zložky v riadku vektora = (a 1 , a 2 , … , a n) sú jeho koeficienty v expanzii v zmysle štandardného základu.

Priame čiary v rovine

Problémom analytickej geometrie je aplikácia súradnicovej metódy na geometrické úlohy. Úloha je teda prevedená do algebraickej formy a vyriešená pomocou algebry.

Vyjadrenie formy volal lineárna kombinácia vektorov A 1 , A 2 ,..., A n s koeficientmi λ 1, λ 2,...,λ n.

Určenie lineárnej závislosti sústavy vektorov

Vektorový systém A 1 , A 2 ,..., A n volal lineárne závislé, ak existuje nenulová množina čísel λ 1, λ 2,...,λ n, pod ktorým lineárna kombinácia vektorov λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n rovný nulovému vektoru, teda sústava rovníc: má nenulové riešenie.
Sada čísel λ 1, λ 2,...,λ n je nenulové, ak je aspoň jedno z čísel λ 1, λ 2,...,λ n odlišný od nuly.

Určenie lineárnej nezávislosti sústavy vektorov

Vektorový systém A 1 , A 2 ,..., A n volal lineárne nezávislé, ak lineárna kombinácia týchto vektorov λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n sa rovná nulovému vektoru iba pre nulovú množinu čísel λ 1, λ 2,...,λ n , teda sústava rovníc: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ má unikátne nulové riešenie.

Skontrolujte, či je systém vektorov lineárne závislý

rozhodnutie:

1. Zostavíme sústavu rovníc:

2. Riešime to Gaussovou metódou. Jordánske transformácie systému sú uvedené v tabuľke 29.1. Pri výpočte sa nezapisujú správne časti systému, pretože sa rovnajú nule a pri Jordanových transformáciách sa nemenia.

3. Z posledných troch riadkov tabuľky zapíšeme povolený systém ekvivalentný originálu systém:

4. Dostaneme všeobecné riešenie systému:

5. Po nastavení hodnoty voľnej premennej x 3 =1 podľa vlastného uváženia, získame konkrétne nenulové riešenie X = (-3,2,1).

Odpoveď: Pri nenulovej množine čísel (-3,2,1) sa teda lineárna kombinácia vektorov rovná nulovému vektoru -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. teda sústava vektorov lineárne závislá.

Vlastnosti vektorových systémov

Nehnuteľnosť (1)
Ak je systém vektorov lineárne závislý, potom sa aspoň jeden z vektorov rozloží na zvyšok a naopak, ak sa aspoň jeden z vektorov systému rozloží na zvyšok, potom sa rozloží systém vektorov je lineárne závislý.

Nehnuteľnosť (2)
Ak je ľubovoľný podsystém vektorov lineárne závislý, potom je lineárne závislý celý systém.

Nehnuteľnosť (3)
Ak je systém vektorov lineárne nezávislý, potom ktorýkoľvek z jeho podsystémov je lineárne nezávislý.

Nehnuteľnosť (4)
Akýkoľvek systém vektorov obsahujúci nulový vektor je lineárne závislý.

Nehnuteľnosť (5)
Systém m-rozmerných vektorov je vždy lineárne závislý, ak počet vektorov n je väčší ako ich rozmer (n>m)

Základ vektorového systému

Základ systému vektorov A 1 , A 2 ,..., A n je taký podsystém B 1 , B 2 ,...,B r(každý z vektorov B1,B2,...,Br je jedným z vektorov A1,A2,...,An), ktorý spĺňa nasledujúce podmienky:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r lineárne nezávislý systém vektorov;
2. ľubovoľný vektor A j sústavy A 1 , A 2 ,..., A n je lineárne vyjadrené pomocou vektorov B 1 ,B 2 ,...,B r

r je počet vektorov zahrnutých v základe.

Veta 29.1 Na jednotkovej báze sústavy vektorov.

Ak systém m-rozmerných vektorov obsahuje m rôznych jednotkových vektorov E 1 E 2 ,..., E m , potom tvoria základ systému.

Algoritmus na nájdenie základu systému vektorov

Na nájdenie základu sústavy vektorov A 1 ,A 2 ,...,A n je potrebné:

• Zostavte homogénnu sústavu rovníc zodpovedajúcu sústave vektorov A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• priniesť tento systém

Nájdite základ systému vektorov a vektorov, ktoré nie sú zahrnuté v základe, rozviňte na základe:

a 1 = {5, 2, -3, 1}, a 2 = {4, 1, -2, 3}, a 3 = {1, 1, -1, -2}, a 4 = {3, 4, -1, 2}, a 5 = {13, 8, -7, 4}.

rozhodnutie. Uvažujme homogénny systém lineárnych rovníc

a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 + a 4 X 4 + a 5 X 5 = 0

alebo rozšírené.

Tento systém vyriešime Gaussovou metódou, bez prehadzovania riadkov a stĺpcov a navyše výberom hlavného prvku nie v ľavom hornom rohu, ale v celom riadku. Úlohou je vyberte diagonálnu časť transformovanej sústavy vektorov.

~ ~

~ ~ ~ .

Povolený systém vektorov, ktorý je ekvivalentný pôvodnému, má tvar

a 1 1 X 1 + a 2 1 X 2 + a 3 1 X 3 + a 4 1 X 4 + a 5 1 X 5 = 0 ,

kde a 1 1 = , a 2 1 = , a 3 1 = , a 4 1 = , a 5 1 = . (1)

vektory a 1 1 , a 3 1 , a 4 1 tvoria diagonálny systém. Preto tie vektory a 1 , a 3 , a 4 tvoria základ sústavy vektorov a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Teraz rozšírime vektory a 2 a a 5 v základe a 1 , a 3 , a 4. Aby sme to dosiahli, najprv rozšírime príslušné vektory a 2 1 a a 5 1 diagonálny systém a 1 1 , a 3 1 , a 4 1, berúc do úvahy, že koeficienty rozšírenia vektora v diagonálnom systéme sú jeho súradnice x i.

Z (1) máme:

a 2 1 = a 31 (-1) + a 4 1 0 + a 1 1 1 a 2 1 = a 1 1 – a 3 1 .

a 5 1 = a 3 1 0 + a 4 1 1+ a 1 1 2 a 5 1 = 2a 1 1 + a 4 1 .

vektory a 2 a a 5 rozšíriť v základe a 1 , a 3 , a 4 s rovnakými koeficientmi ako vektory a 2 1 a a 5 1 diagonálny systém a 1 1 , a 3 1 , a 4 1 (tie koeficienty x i). teda

a 2 = a 1 – a 3 , a 5 = 2a 1 + a 4 .

Úlohy. jeden.Nájdite základ sústavy vektorov a vektory, ktoré nie sú zahrnuté v základe, rozviňte podľa základu:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Nájdite všetky základy systému vektorov:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.