Spracovanie výsledkov meraní fyzikálnych veličín fokine. Poradie spracovania výsledkov priamych meraní. Výpočet chýb priameho merania

Na zníženie vplyvu náhodných chýb je potrebné túto hodnotu zmerať niekoľkokrát. Predpokladajme, že meriame nejakú hodnotu x. Ako výsledok meraní sme získali nasledujúce hodnoty:

x1, x2, x3, ... xn. (2)

Tento rad hodnôt x sa nazýva vzorka. S takouto vzorkou môžeme vyhodnotiť výsledok merania. Hodnotu, ktorá bude takýmto odhadom, označíme. Ale keďže táto vyhodnocovacia hodnota výsledkov merania nebude predstavovať skutočnú hodnotu meranej veličiny, je potrebné odhadnúť jej chybu. Predpokladajme, že vieme určiť odhad chyby Δx. V tomto prípade môžeme výsledok merania zapísať do formulára

Keďže odhadované hodnoty výsledku merania a chyba Dx nie sú presné, záznam (3) výsledku merania musí byť doplnený údajom o jeho spoľahlivosti P. Reliabilita alebo spoľahlivosť pravdepodobnosťou sa rozumie pravdepodobnosť, že skutočný hodnota meranej veličiny je obsiahnutá v intervale vyznačenom záznamom (3). Tento interval sa nazýva interval spoľahlivosti.

Napríklad pri meraní dĺžky určitého segmentu sme zapísali konečný výsledok ako

l = (8,34 ± 0,02) mm, (P = 0,95)

To znamená, že zo 100 šancí - 95, že skutočná hodnota dĺžky segmentu leží v rozsahu od 8,32 do 8,36 mm.

Úlohou je teda so vzorkou (2) nájsť odhad výsledku merania, jeho chybu Dx a spoľahlivosť P.

Tento problém možno vyriešiť pomocou teórie pravdepodobnosti a matematickej štatistiky.

Vo väčšine prípadov sa náhodné chyby riadia zákonom normálneho rozdelenia, ktorý stanovil Gauss. Normálne rozdelenie chýb je vyjadrené vzorcom

kde Dx - odchýlka od hodnoty skutočnej hodnoty;

y je skutočná stredná kvadratická chyba;

2 - rozptyl, ktorého hodnota charakterizuje šírenie náhodných veličín.

Ako vidno z (4), funkcia má maximálnu hodnotu pri x = 0, navyše je párna.

Obrázok 16 zobrazuje graf tejto funkcie. Význam funkcie (4) je, že plocha obrazca uzavretá medzi krivkou, osou Dx a dvoma ordinátami z bodov Dx1 a Dx2 (tieňovaná plocha na obr. 16) sa číselne rovná pravdepodobnosti, s akou sa vzorka spadá do intervalu (Dx1, Dx2 ) .

Keďže krivka je rozložená symetricky okolo osi y, možno tvrdiť, že chyby rovnakej veľkosti, ale opačného znamienka sú rovnako pravdepodobné. A to umožňuje brať priemernú hodnotu všetkých prvkov vzorky ako odhad výsledkov merania (2)

kde - n je počet meraní.

Ak sa teda vykoná n meraní za rovnakých podmienok, potom najpravdepodobnejšou hodnotou meranej veličiny bude jej priemerná hodnota (aritmetická). Hodnota smeruje k skutočnej hodnote m nameranej hodnoty pri n > ?.

Stredná kvadratická chyba jedného výsledku merania je hodnota (6)

Charakterizuje chybu každého jednotlivého merania. Keď n > ? S smeruje ku konštantnej limite y

S nárastom y sa zväčšuje rozptyl hodnôt, t.j. presnosť merania sa zníži.

Stredná kvadratická chyba aritmetického priemeru je hodnota (8)

Toto je základný zákon zvyšovania presnosti so zvyšujúcim sa počtom meraní.

Chyba charakterizuje presnosť, s akou sa získa priemerná hodnota nameranej hodnoty. Výsledok sa zapíše ako:

Táto technika výpočtu chýb poskytuje dobré výsledky (so spoľahlivosťou 0,68) len vtedy, keď sa rovnaká hodnota nameria aspoň 30 - 50 krát.

V roku 1908 Student ukázal, že štatistický prístup je platný aj pre malý počet meraní. Študentovo rozdelenie pre počet meraní n > ? prechádza do Gaussovho rozdelenia a pri malom počte sa od neho líši.

Na výpočet absolútnej chyby pre malý počet meraní sa zavádza špeciálny koeficient, ktorý závisí od spoľahlivosti P a počtu meraní n, nazývaný koeficient

Študent t.

Poznamenávame, že vynecháme teoretické zdôvodnenia jeho zavedenia

Dx = t. (10)

kde Dx je absolútna chyba pre danú úroveň spoľahlivosti;

stredná kvadratická chyba aritmetického priemeru.

Študentské koeficienty sú uvedené v tabuľke.

Z toho, čo bolo povedané, vyplýva:

Hodnota strednej kvadratúry chyby vám umožňuje vypočítať pravdepodobnosť, že skutočná hodnota nameranej hodnoty bude spadať do akéhokoľvek intervalu blízkeho aritmetického priemeru.

Keď n > ? > 0, t.j. interval, v ktorom sa zistí skutočná hodnota m s danou pravdepodobnosťou, má tendenciu k nule s nárastom počtu meraní. Zdalo by sa, že zvýšením n možno získať výsledok s ľubovoľným stupňom presnosti. Presnosť sa však výrazne zvyšuje len dovtedy, kým sa náhodná chyba nestane porovnateľnou so systematickou. Ďalšie zvyšovanie počtu meraní je neúčelné, pretože konečná presnosť výsledku bude závisieť len od systematickej chyby. Keď poznáme hodnotu systematickej chyby, je ľahké nastaviť prípustnú hodnotu náhodnej chyby, napríklad rovnajúcu sa 10 % systematickej chyby. Nastavením určitej hodnoty P pre takto zvolený interval spoľahlivosti (napríklad P = 0,95) je ľahké nájsť požadovaný počet meraní, čo zaručuje malý vplyv náhodnej chyby na presnosť výsledku.

Na to je vhodnejšie použiť tabuľku Studentovho koeficientu, v ktorej sú intervaly uvedené v zlomkoch hodnoty y, čo je miera presnosti tohto experimentu vzhľadom na náhodné chyby.

Pri spracovaní výsledkov priamych meraní sa navrhuje nasledovné poradie operácií:

Zaznamenajte výsledok každého merania do tabuľky.

Vypočítajte priemer z n meraní

Nájdite chybu jednotlivého merania

Vypočítajte štvorcové chyby jednotlivých meraní

(Dx 1)2, (Dx 2)2, ... , (Dx n)2.

Určte štandardnú chybu aritmetického priemeru

Uveďte hodnotu spoľahlivosti (zvyčajne berte P = 0,95).

Určte Studentov koeficient t pre danú spoľahlivosť P a počet vykonaných meraní n.

Nájdite interval spoľahlivosti (chyba merania)

Ak sa ukáže, že hodnota chyby výsledku merania Δx je porovnateľná s hodnotou chyby prístroja d, potom berte ako hranicu intervalu spoľahlivosti

Ak je jedna z chýb menšia ako trojnásobok alebo viacnásobok druhej, vyhoďte tú menšiu.

Konečný výsledok zapíšte ako

Náhodné chyby majú nasledujúce vlastnosti.

Pri veľkom počte meraní sa rovnako často vyskytujú chyby rovnakej veľkosti, ale opačného znamienka.

Veľké chyby sú menej pravdepodobné ako malé. Zo vzťahov (1) ich prepísaním do tvaru

X \u003d x 1 + x 1

X = x 2 + x 2

X = x n + x n

a sčítaním v stĺpci môžete určiť skutočnú hodnotu nameranej hodnoty takto:

alebo
.

(2)

tie. skutočná hodnota meranej veličiny sa rovná aritmetickému priemeru výsledkov merania, ak ich je nekonečne veľa. Pri obmedzenom, a ešte viac pri malom počte meraní, s ktorými sa bežne v praxi stretávame, je rovnosť (2) približná.

Ako výsledok niekoľkých meraní nech sa získajú nasledujúce hodnoty meranej veličiny X: 13,4; 13,2; 13,3; 13,4; 13,3; 13,2; 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13.1. Zostavme diagram distribúcie týchto výsledkov, pričom hodnoty prístroja vynesú pozdĺž osi x vo vzostupnom poradí. Vzdialenosti medzi susednými bodmi pozdĺž osi x sa rovnajú dvojnásobku maximálnej chyby čítania na prístroji. V našom prípade sa odpočítavanie robí do 0,1. To sa rovná jednému dieliku stupnice vyznačenej na osi x. Na zvislú os vykreslíme hodnoty úmerné relatívnemu počtu výsledkov zodpovedajúcich konkrétnemu čítaniu zariadenia. Relatívne číslo alebo relatívna početnosť výsledkov rovná x k budeme označovať W(x k). V našom prípade

Každému x priradíme

(3)

kde A je koeficient proporcionality.

Diagram, ktorý sa nazýva histogram, sa líši od bežného grafu tým, že body nie sú spojené hladkou zakrivenou čiarou, ale sú cez ne nakreslené kroky. Je zrejmé, že plocha kroku nad nejakou hodnotou x k je úmerná relatívnej frekvencii výskytu tohto výsledku. Vhodným výberom koeficientu úmernosti vo výraze (3) možno túto plochu rovnať relatívnej početnosti výsledku x k. Potom súčet plôch všetkých krokov ako súčet relatívnych početností všetkých výsledky by sa mali rovnať jednej

Odtiaľto nájdeme A=10. Podmienka (4) sa nazýva normalizačná podmienka pre funkciu (3).

Ak vykonáte sériu meraní s n meraniami v každej sérii, potom s malým n sa relatívne frekvencie rovnakej hodnoty x k nájdené v rôznych sériách môžu navzájom výrazne líšiť. So zvyšujúcim sa počtom meraní v sérii sa kolísanie hodnôt W(xk) zmenšuje a tieto hodnoty sa približujú k určitému konštantnému číslu, ktoré sa nazýva pravdepodobnosť výsledku xk a označuje sa P (xk ).

Predpokladajme, že pri experimente nepočítame výsledok na celé dieliky stupnice alebo ich podiely, ale vieme opraviť bod, kde sa šípka zastavila. Potom pri nekonečne veľkom počte meraní šípka navštívi každý bod na stupnici. Rozdelenie výsledkov meraní v tomto prípade nadobúda spojitý charakter a namiesto stupňovitého histogramu je popísané súvislou krivkou y=f(x). Na základe vlastností náhodných chýb možno usúdiť, že krivka musí byť symetrická, a preto jej maximum pripadá na aritmetický priemer výsledkov merania, ktorý sa rovná skutočnej hodnote meranej veličiny. V prípade kontinuálnej distribúcie výsledkov meraní nedochádza k žiadnemu

má zmysel hovoriť o pravdepodobnosti ktorejkoľvek z ich hodnôt, pretože existujú hodnoty, ktoré sú ľubovoľne blízke hodnote. Teraz by sme si už mali položiť otázku pravdepodobnosti, že sa pri meraniach stretne výsledok v určitom intervale okolo hodnoty x k, ktorá sa rovná
,
. Rovnako ako na histograme sa relatívna frekvencia výsledku x rovná ploche kroku postavenej nad týmto výsledkom, na grafe pre spojité rozdelenie pravdepodobnosť nájdenia výsledku v intervale (
,
) sa rovná ploche krivočiareho lichobežníka skonštruovaného cez tento interval a ohraničeného krivkou f(x). Matematický zápis tohto výsledku je

ak
málo, t.j. plocha šrafovaného krivočiareho lichobežníka je nahradená približnou plochou obdĺžnika s rovnakou základňou a výškou rovnou f(xk). Funkcia f(x) sa nazýva hustota pravdepodobnosti rozdelenia výsledkov meraní. Pravdepodobnosť nájdenia x v nejakom intervale sa rovná hustote pravdepodobnosti pre daný interval vynásobenej jeho dĺžkou.

Distribučná krivka výsledkov meraní získaných experimentálne pre určitý úsek stupnice prístroja, ak pokračuje, asymptoticky sa približuje osi x zľava a sprava, je analyticky dobre opísaná funkciou tvaru

(5)

Tak ako sa celková plocha všetkých krokov na histograme rovnala jednej, celá plocha medzi krivkou f (x) a osou x, ktorá má význam pravdepodobnosti splnenia aspoň nejakej hodnoty x počas merania, sa tiež rovná jednej. Rozdelenie opísané touto funkciou sa nazýva normálne rozdelenie. Hlavným parametrom normálneho rozdelenia je rozptyl  2 . Približnú hodnotu disperzie je možné zistiť z výsledkov merania pomocou vzorca

(6)

Tento vzorec poskytuje rozptyl blízky skutočnej hodnote len pre veľký počet meraní. Napríklad σ 2 zistené z výsledkov 100 meraní môže mať odchýlku od skutočnej hodnoty 15 %, zistené z 10 meraní už 40 %. Rozptyl určuje tvar krivky normálneho rozdelenia. Keď sú náhodné chyby malé, rozptyl, ako vyplýva z (6), je malý. Krivka f(x) je v tomto prípade užšia a ostrejšia v blízkosti skutočnej hodnoty X a pri pohybe od nej má tendenciu k nule rýchlejšie ako pri veľkých chybách. Nasledujúci obrázok ukáže, ako sa mení tvar krivky f(x) pre normálne rozdelenie v závislosti od σ.

V teórii pravdepodobnosti je dokázané, že ak neberieme do úvahy rozdelenie výsledkov meraní, ale rozdelenie aritmetických stredných hodnôt zistených zo série n meraní v každej sérii, potom sa tiež riadi normálnym zákonom, ale s rozptylom to je n-krát menšie.

Pravdepodobnosť nájdenia výsledku merania v určitom intervale (
) blízko skutočnej hodnoty nameranej hodnoty sa rovná ploche krivočiareho lichobežníka vybudovaného nad týmto intervalom a ohraničeného zhora krivkou f(x). Hodnota intervalu
zvyčajne merané v jednotkách úmerných druhej odmocnine rozptylu
V závislosti od hodnoty k na interval
existuje krivočiary lichobežník väčšej alebo menšej plochy, t.j.

kde F(k) je nejaká funkcia k. Výpočty ukazujú, že pre

k=1,

k=2,

k=3,

To ukazuje, že v intervale
predstavuje približne 95 % plochy pod krivkou f(x). Táto skutočnosť je v plnom súlade s druhou vlastnosťou náhodných chýb, ktorá uvádza, že veľké chyby sú nepravdepodobné. Chyby väčšie ako
, sa vyskytuje s pravdepodobnosťou menšou ako 5 %. Výraz (7) prepísaný na rozdelenie aritmetického priemeru n meraní má tvar

(8)

Hodnota v (7) a (8) možno na základe výsledkov meraní určiť len približne podľa vzorca (6)

Nahradením tejto hodnoty do výrazu (8), dostaneme vpravo nie F(k), ale nejaké Nová funkcia, čo závisí nielen od veľkosti uvažovaného intervalu hodnôt X, ale aj od počtu vykonaných meraní
A

pretože iba pre veľmi veľký počet meraní sa vzorec (6) stáva dostatočne presným.

Po vyriešení systému dvoch nerovníc v zátvorkách na ľavej strane tohto výrazu vzhľadom na skutočnú hodnotu X ho môžeme prepísať do tvaru

Výraz (9) určuje pravdepodobnosť, s ktorou je skutočná hodnota X v určitom intervale dĺžky o hodnote . Táto pravdepodobnosť v teórii chýb sa nazýva spoľahlivosť a interval, ktorý jej zodpovedá pre skutočnú hodnotu, sa nazýva interval spoľahlivosti. Funkcia
vypočítané v závislosti od t n a n a bola preň zostavená podrobná tabuľka. Tabuľka má 2 vstupy: pt n a n. S jeho pomocou je možné pre daný počet meraní n nájsť pri určitej hodnote spoľahlivosti P hodnotu t n, nazývanú Studentov koeficient.

Z rozboru tabuľky vyplýva, že pre určitý počet meraní s požiadavkou zvyšovania spoľahlivosti dostávame rastúce hodnoty t n , t.j. zvýšenie intervalu spoľahlivosti. Spoľahlivosť rovnajúca sa jednej by zodpovedala intervalu spoľahlivosti rovnajúcemu sa nekonečnu. Vzhľadom na určitú spoľahlivosť môžeme interval spoľahlivosti pre skutočnú hodnotu zúžiť zvýšením počtu meraní, pretože S n sa príliš nemení a klesá tak znížením čitateľa, ako aj zvýšením menovateľa. Po vykonaní dostatočného počtu experimentov je možné vytvoriť interval spoľahlivosti akejkoľvek malej hodnoty. Ale pre veľké n ďalšie zvýšenie počtu experimentov veľmi pomaly znižuje interval spoľahlivosti a množstvo výpočtovej práce sa výrazne zvyšuje. Niekedy je v praktickej práci vhodné použiť približné pravidlo: aby sa interval spoľahlivosti zistený z malého počtu meraní niekoľkokrát znížil, je potrebné zvýšiť počet meraní o rovnaký faktor.

PRÍKLAD SPRACOVANIA PRIAMYCH VÝSLEDKOV MERANIA

Zoberme si ako experimentálne údaje prvé tri výsledky z 12, podľa ktorých bol zostavený histogram X: 13,4; 13,2; 13.3.

Položme si otázku spoľahlivosti, ktorá je bežne akceptovaná vo vzdelávacom laboratóriu, P = 95%. Z tabuľky pre P = 0,95 a n = 3 zistíme t n = 4,3.

alebo

s 95% spoľahlivosťou. Posledný výsledok sa zvyčajne zapisuje ako rovnosť

Ak interval spoľahlivosti takejto hodnoty nevyhovuje (napríklad v prípade, keď je prístrojová chyba 0,1) a chceme ho znížiť na polovicu, mali by sme zdvojnásobiť počet meraní.

Ak vezmeme napríklad posledných 6 hodnôt z tých istých 12 výsledkov (pre prvých šesť sa navrhuje vykonať výpočet sami)

X: 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13.1,

potom

Hodnota koeficientu t n sa zistí z tabuľky pre Р = 0,95 an = 6; tn = 2,6.

V tomto prípade
Interval spoľahlivosti pre skutočnú hodnotu v prvom a druhom prípade vynesme na číselnú os.

Interval vypočítaný zo 6 meraní je podľa očakávania v rámci intervalu zisteného z troch meraní.

Inštrumentálna chyba vnáša do výsledkov systematickú chybu, ktorá rozširuje intervaly spoľahlivosti zobrazené na osi o 0,1. Preto výsledky napísané s prihliadnutím na inštrumentálnu chybu majú formu

1)
2)

Poradie spracovania výsledkov priamych meraní

1. Pred spracovaním výsledkov merania je mimoriadne dôležité nastaviť hodnotu pravdepodobnosti spoľahlivosti α (zvyčajne 0,9 alebo 0,95).

2. Analyzujte tabuľku výsledkov a identifikujte možné chyby. Chýbajúce výsledky by sa mali zahodiť.

3. Vypočítajte aritmetický priemer série meraní:

kde n je počet meraní, Ai- výsledok i dimenzia.

4. Nájdite chyby jednotlivých meraní:

Δ А i = А i – ‹А›. (2)

5. Vypočítajte odmocninu z aritmetického priemeru výsledku série meraní:

(3)

6. Odhadnite príspevok náhodných chýb k polovičnej šírke intervalu spoľahlivosti:

Δ ALE c = t(n,α) S(A), (4)

kde t(n,α) - Študentov koeficient (tabuľka 1).

Stôl 1 -Študentov koeficient pri rozdielne hodnoty pravdepodobnosť α a iný počet experimentov n

7. Určite chybu prístroja Δ ALE pr (absolútna chyba zariadenia je uvedená v pase zariadenia alebo je vypočítaná na základe triedy presnosti zariadenia).

8. Nájdite polovičnú šírku intervalu spoľahlivosti (absolútnu chybu) nameranej hodnoty pomocou približného vzorca:

(5)

(Presnejšie vzorce na spracovanie výsledkov priamych meraní sú uvedené napr. v).

9. Zaznamenajte výsledok merania ako interval spoľahlivosti:

A=(‹A›± Δ ALE) jednotky, α = … (6)

10. Určite relatívnu chybu:

(7)

Poradie spracovania výsledkov priamych meraní - koncepcia a typy. Klasifikácia a vlastnosti kategórie "Postup spracovania výsledkov priamych meraní" 2017, 2018.

Odhad chýb vo výsledkoch merania

Akékoľvek merania sú vždy vykonávané s určitými chybami spojenými s obmedzenou presnosťou meracích prístrojov, nesprávnym výberom a chybou metódy merania, fyziológie experimentátora, vlastností meraných objektov, zmien podmienok merania atď. úloha merania zahŕňa nielen zistenie samotnej veličiny, ale aj chyby merania, t.j. intervalu, v ktorom sa najpravdepodobnejšie nachádza skutočná hodnota meranej veličiny. Napríklad pri meraní časového intervalu t stopkami s hodnotou delenia 0,2 s môžeme povedať, že jeho skutočná hodnota je v intervale z https://pandia.ru/text/77/496/images/image002_131. gif" width="85 "height="23 src=">с..gif" width="16" height="17 src="> a X sú skutočné a namerané hodnoty skúmanej veličiny, resp. Hodnota sa volá absolútna chyba(chybové) merania a výraz charakterizujúca presnosť merania je tzv relatívna chyba.

Pre experimentátora je celkom prirodzené, že každé meranie robí s najväčšou dosiahnuteľnou presnosťou, no nie vždy je takýto prístup účelný. Čím presnejšie chceme tú či onú veličinu zmerať, čím zložitejšie prístroje musíme použiť, tým viac času si tieto merania vyžiadajú. Presnosť konečného výsledku by preto mala zodpovedať účelu experimentu. Teória chýb dáva odporúčania, ako by sa mali vykonávať merania a ako by sa mali spracovať výsledky, aby bola chybovosť čo najmenšia.

Všetky chyby vznikajúce pri meraniach sa zvyčajne delia na tri typy – systematické, náhodné a vynechané, čiže hrubé chyby.

Systematické chyby z dôvodu obmedzenej presnosti výroby prístrojov (chyby prístrojov), nedostatkov zvolenej metódy merania, nepresnosti výpočtového vzorca, nesprávnej inštalácie prístroja a pod. Systematické chyby sú teda spôsobené faktormi, ktoré pôsobia rovnakým spôsobom. keď sa rovnaké merania opakujú mnohokrát. Hodnota tejto chyby sa systematicky opakuje alebo mení podľa určitého zákona. Niektoré systematické chyby je možné eliminovať (v praxi je to vždy ľahko dosiahnuteľné) zmenou metódy merania, zavedením korekcií údajov prístrojov a zohľadnením neustáleho vplyvu vonkajších faktorov.

Systematická (inštrumentálna) chyba pri opakovaných meraniach síce udáva odchýlku nameranej hodnoty od skutočnej hodnoty v jednom smere, nikdy však nevieme, ktorým smerom. Preto sa inštrumentálna chyba zapisuje s dvojitým znamienkom

Náhodné chyby sú spôsobené veľkým množstvom náhodných príčin (zmeny teploty, tlaku, otrasy budovy a pod.), ktorých vplyv na každé meranie je iný a nie je možné ich vopred zohľadniť. Náhodné chyby vznikajú aj v dôsledku nedokonalosti zmyslových orgánov experimentátora. Medzi náhodné chyby patria aj chyby spôsobené vlastnosťami meraného objektu.

Nie je možné vylúčiť náhodné chyby jednotlivých meraní, ale je možné znížiť vplyv týchto chýb na konečný výsledok vykonaním viacerých meraní. Ak sa ukáže, že náhodná chyba je výrazne menšia ako inštrumentálna (systematická) chyba, potom nemá zmysel ďalej znižovať náhodnú chybu zvyšovaním počtu meraní. Ak je náhodná chyba väčšia ako inštrumentálna chyba, potom by sa mal počet meraní zvýšiť, aby sa znížila hodnota náhodnej chyby a aby bola menšia alebo o jeden rád s inštrumentálnou chybou.

Chyby alebo omyly- ide o nesprávne údaje na zariadení, nesprávne zaznamenanie odčítania atď. Chyby z uvedených dôvodov sú spravidla jasne viditeľné, pretože im zodpovedajúce hodnoty sa výrazne líšia od iných údajov. Chyby je potrebné eliminovať kontrolným meraním. Šírka intervalu, v ktorom ležia skutočné hodnoty meraných veličín, bude teda určená iba náhodnými a systematickými chybami.

2. Odhad systematickej (inštrumentálnej) chyby

Na priame merania hodnota meranej veličiny sa odčíta priamo na stupnici meracieho prístroja. Chyba čítania môže dosiahnuť niekoľko desatín dielika stupnice. Zvyčajne sa pri takýchto meraniach veľkosť systematickej chyby považuje za rovnajúcu sa polovici dielika stupnice meracieho prístroja. Napríklad pri meraní posuvným meradlom s hodnotou delenia 0,05 mm sa hodnota chyby prístrojového merania rovná 0,025 mm.

Digitálne meracie prístroje udávajú hodnotu veličín, ktoré merajú s chybou rovnajúcou sa hodnote jednej jednotky poslednej číslice na stupnici prístroja. Ak teda digitálny voltmeter ukazuje hodnotu 20,45 mV, potom je absolútna chyba merania mV.

Systematické chyby vznikajú aj pri použití konštantných hodnôt určených z tabuliek. V takýchto prípadoch sa chyba rovná polovici poslednej platnej číslice. Napríklad, ak je hodnota hustoty ocele v tabuľke uvedená ako 7,9∙103 kg/m3, potom je absolútna chyba v tomto prípade https://pandia.ru/text/77/496/images/image009_52.gif" šírka = "123" height="24 src=">použiť vzorec

, (1)

kde https://pandia.ru/text/77/496/images/image012_40.gif" width="16" height="24">, sú čiastočné deriváty funkcie vzhľadom na premennú https://pandia .ru/text/77 /496/images/image014_34.gif" width="65 height=44" height="44">.

Parciálne derivácie vzhľadom na premenné d A h budú rovné

https://pandia.ru/text/77/496/images/image017_27.gif" width="71" height="44 src=">.

Vzorec na určenie absolútnej systematickej chyby pri meraní objemu valca v súlade s má teda nasledujúci tvar

,

kde a prístrojové chyby pri meraní priemeru a výšky valca

3. Náhodný odhad chyby.

Interval spoľahlivosti a pravdepodobnosť spoľahlivosti

https://pandia.ru/text/77/496/images/image016_30.gif" width="12 height=23" height="23">.gif" width="45" height="21 src="> - distribučná funkcia náhodných chýb (chýb), ktorá charakterizuje pravdepodobnosť chyby, σ je stredná kvadratická chyba.

Hodnota σ nie je náhodná veličina a charakterizuje proces merania. Ak sa podmienky merania nezmenia, potom σ zostáva konštantné. Druhá mocnina tejto veličiny sa nazýva rozptyl meraní.Čím menší rozptyl, tým menší rozptyl jednotlivých hodnôt a tým vyššia presnosť merania.

Presná hodnota strednej kvadratickej chyby σ, ako aj skutočná hodnota meranej veličiny, nie sú známe. Existuje takzvaný štatistický odhad tohto parametra, podľa ktorého sa stredná štvorcová chyba rovná strednej štvorcovej chybe aritmetického priemeru. Hodnota ktorej je určená vzorcom

, (3)

kde https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17"> je aritmetický priemer získaných hodnôt; n je počet meraní.

Čím väčší je počet meraní, tým menej https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17 src="> a náhodná absolútna chyba , potom výsledok merania bude zaznamenaný v tvare https://pandia.ru/text/77/496/images/image029_11.gif" width="45" height="19"> až , ktorý obsahuje skutočnú hodnotu meraná veličina μ, je tzv interval spoľahlivosti. Keďže https://pandia.ru/text/77/496/images/image025_16.gif" width="19 height=24" height="24"> je blízko σ. Ak chcete nájsť interval spoľahlivosti a úroveň spoľahlivosti pomocou využíva sa malý počet meraní, s ktorými sa stretávame v priebehu laboratórnych prác Študentovo rozdelenie pravdepodobnosti. Ide o rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej premennej tzv Študentský koeficient, udáva hodnotu intervalu spoľahlivosti v zlomkoch strednej kvadratickej chyby aritmetického priemeru.

Rozdelenie pravdepodobnosti tejto hodnoty nezávisí od σ2, ale v podstate závisí od počtu experimentov n. S nárastom počtu experimentov nŠtudentovo rozdelenie má tendenciu ku Gaussovmu rozdeleniu.

Distribučná funkcia je tabuľková (tabuľka 1). Hodnota Studentovho koeficientu je v priesečníku priamky zodpovedajúcej počtu meraní n a stĺpec zodpovedajúci hladine spoľahlivosti α

Stôl 1.

Pomocou údajov v tabuľke môžete:

1) určiť interval spoľahlivosti pri určitej pravdepodobnosti;

2) vyberte interval spoľahlivosti a určte úroveň spoľahlivosti.

Pre nepriame merania stredná kvadratická chyba aritmetického priemeru funkcie vypočítané podľa vzorca

. (5)

Interval spoľahlivosti a pravdepodobnosť spoľahlivosti sa určujú rovnakým spôsobom ako v prípade priamych meraní.

Odhad celkovej chyby merania. Zaznamenávanie konečného výsledku.

Celková chyba výsledku merania hodnoty X bude definovaná ako stredná kvadratická hodnota systematických a náhodných chýb

, (6)

kde δx - prístrojová chyba, Δ X je náhodná chyba.

X môže byť priamo alebo nepriamo meraná veličina.

, α=…, Е=… (7)

Treba mať na pamäti, že samotné vzorce teórie chýb sú platné pre veľký počet meraní. Preto je hodnota náhody a následne celková chyba určená pre malú n s veľkou chybou. Pri výpočte Δ X v počte meraní sa odporúča obmedziť na jednu platnú číslicu, ak je väčšia ako 3 a dve, ak je prvá platná číslica menšia ako 3. Napríklad, ak Δ X= 0,042, potom zahoďte 2 a zapíšte Δ X= 0,04, a ak A X=0,123, potom napíšeme Δ X=0,12.

Počet číslic výsledku a celková chyba musia byť rovnaké. Preto by mal byť aritmetický priemer chyby rovnaký. Preto sa najskôr vypočíta aritmetický priemer o jednu číslicu viac ako meranie a pri zaznamenávaní výsledku sa jeho hodnota spresní na počet číslic celkovej chyby.

4. Metodika výpočtu chýb merania.

Chyby priamych meraní

Pri spracovaní výsledkov priamych meraní sa odporúča prijať nasledovné poradie operácií.

Vykonajú sa merania daného fyzikálneho parametra n krát za rovnakých podmienok a výsledky sa zaznamenajú do tabuľky. Ak sa výsledky niektorých meraní výrazne líšia svojou hodnotou od zvyšku meraní, potom sa vyradia ako vynechané, ak sa po overení nepotvrdia. Vypočíta sa aritmetický priemer n identických meraní. Berie sa ako najpravdepodobnejšia hodnota meranej veličiny

Zistia sa absolútne chyby jednotlivých meraní. Vypočítajú sa druhé mocniny absolútnych chýb jednotlivých meraní (Δ X i)2 Určite strednú kvadratúru chyby aritmetického priemeru

.

Nastaví sa hodnota pravdepodobnosti spoľahlivosti α. V laboratóriách dielne je zvykom nastaviť α=0,95. Študentov koeficient sa zistí pre danú pravdepodobnosť spoľahlivosti α a počet vykonaných meraní (pozri tabuľku) Stanoví sa náhodná chyba

Stanoví sa celková chyba

Odhaduje sa relatívna chyba výsledku merania

.

Konečný výsledok je zapísaný ako

S α=… E=… %.

5. Chyba nepriamych meraní

Pri vyhodnocovaní skutočnej hodnoty nepriamo nameranej hodnoty https://pandia.ru/text/77/496/images/image045_6.gif" width="75" height="24"> možno použiť dve metódy.

Prvý spôsob sa používa, ak hodnota r stanovené za rôznych experimentálnych podmienok. V tomto prípade pre každú z hodnôt a potom sa určí aritmetický priemer všetkých hodnôt yi

Systematická (inštrumentálna) chyba sa zistí na základe známych inštrumentálnych chýb všetkých meraní podľa vzorca. Náhodná chyba je v tomto prípade definovaná ako priama chyba merania.

Druhý spôsob platí, ak funkcia r sa určuje niekoľkokrát rovnakými mierami..gif" width="75" height="24">. r. Systematická (inštrumentálna) chyba, ako v prvej metóde, sa zistí na základe známych inštrumentálnych chýb všetkých meraní podľa vzorca

. (10)

Na nájdenie náhodnej chyby nepriameho merania sa najprv vypočítajú stredné kvadratické chyby aritmetického priemeru jednotlivých meraní. Potom sa nájde stredná kvadratická chyba r. Nastavenie úrovne spoľahlivosti α, zistenie študentského koeficientu https://pandia.ru/text/77/496/images/image048_2.gif" width="83" height="23"> s α=… Е=…% .

6. Príklad návrhu laboratórnej práce

Laboratórium č. 1

STANOVENIE OBJEMU VALCA

Príslušenstvo: nónium s hodnotou delenia 0,05 mm, mikrometer s hodnotou delenia 0,01 mm, valcové telo.

Cieľ: oboznámenie sa s najjednoduchšími fyzikálnymi meraniami, určovanie objemu valca, výpočet chýb priamych a nepriamych meraní.

Vykonajte aspoň 5 meraní priemeru valca pomocou posuvného meradla a jeho výšky pomocou mikrometra.

Výpočtový vzorec na výpočet objemu valca

kde d je priemer valca; h je výška.

Výsledky merania

Tabuľka 2

1. Cieľ: štúdium metód merania fyzikálnych veličín, praktické metódy spracovania a analýzy výsledkov meraní. Štúdium vernierov.

2. Stručná teória

Metódy merania fyzikálnych veličín. Chyby merania

Meranie v širšom zmysle slova je operácia, ktorou sa stanoví číselný pomer medzi nameranou hodnotou a vopred zvolenou mierou. Budeme uvažovať o meraní fyzikálnych veličín.

Fyzikálna veličina je vlastnosť, ktorá je kvalitatívne spoločná pre mnohé objekty (fyzikálne systémy, ich stavy a procesy v nich prebiehajúce), ale kvantitatívne - individuálna pre každý fyzikálny objekt.

Merať fyzikálnu veličinu znamená porovnávať ju s inou, homogénnou veličinou, branou ako merná jednotka.

Na meranie fyzikálnych veličín sa používajú rôzne technické prostriedky, špeciálne určené na tento účel a majúce normalizované metrologické vlastnosti.

Poďme si vysvetliť niektoré z týchto meracích prístrojov.

Meradlo je merací prístroj vo forme tela alebo zariadenia určeného na reprodukciu hodnôt jedného alebo viacerých rozmerov, ktorých hodnoty sú známe s presnosťou potrebnou na meranie. Príkladom miery je závažie, odmerná banka, mierka.

Na rozdiel od miery, merací prístroj nereprodukuje známu hodnotu veličiny. Nameraná hodnota v ňom je prevedená na indikáciu alebo signál úmerný nameranej hodnote vo forme dostupnej na priamu reprodukciu. Príkladom meracieho prístroja je ampérmeter, voltmeter, termočlánok atď.

Merania fyzikálnych veličín sa môžu navzájom líšiť znakmi technického alebo metodického charakteru. Z metodologického hľadiska sa merania fyzikálnych veličín hodia na určitú systematizáciu. Možno ich napríklad rozdeliť na priame a nepriame.

Ak sa nameraná hodnota priamo porovnáva so zodpovedajúcou jednotkou jej merania alebo je určená čítaním údajov meracieho prístroja, odstupňovaných v príslušných jednotkách, potom sa takéto meranie nazýva priame. Priame sú napríklad merania hrúbky drôtu mikrometrom, časového intervalu stopkami, sily prúdu ampérmetrom.

Väčšina fyzikálnych veličín sa meria nepriamo. Nepriame meranie je také meranie, pri ktorom sa požadovaná fyzikálna veličina nemeria priamo, ale vypočítava sa z výsledkov priamych meraní niektorých pomocných veličín spojených s požadovanou veličinou určitou funkčnou závislosťou.

Pri akýchkoľvek meraniach fyzikálnych veličín sa získajú výsledky, ktoré nevyhnutne obsahujú chyby (chyby). Tieto chyby sú spôsobené rôznymi príčinami (nedokonalosť mier a meracích prístrojov, nedokonalosť našich pocitov). Výsledky meraní sú teda len približné, viac-menej blízke skutočným hodnotám meraných veličín.

Rozdiel medzi skutočnou hodnotou nameranej hodnoty X a skutočne namerané sa nazýva skutočná absolútna chyba alebo chyba merania:

Relatívna chyba je abstraktná hodnota, vyjadruje sa v zlomkoch jednotky alebo v percentách a preto umožňuje porovnávať presnosť meraní, ktoré sú na sebe nezávislé (napríklad presnosť merania priemeru a výšky valca) .

Keďže žiadne meranie nemôže poskytnúť skutočnú hodnotu meranej veličiny, úlohou merania akejkoľvek fyzikálnej veličiny je nájsť približnú najpravdepodobnejšiu hodnotu tejto veličiny, ako aj určiť a vyhodnotiť v tomto prípade urobenú chybu.

Chyby (chyby), ktoré vznikajú pri meraní fyzikálnych veličín, sa delia do troch skupín: hrubé, systematické, náhodné. Hrubé chyby (missky) sú chyby, ktoré jednoznačne skresľujú výsledky merania. Príčinou hrubých chýb môžu byť poruchy experimentálneho nastavenia alebo meracieho prístroja. Najčastejšie je to však dôsledok vlastných chýb experimentátora: nesprávne určenie hodnoty dielika meracieho zariadenia, nesprávne odčítanie dielikov na stupnici prístroja, chybný záznam výsledkov priamych meraní atď. predpokladať, že merania neobsahujú hrubé chyby (chyby) .

Systematické chyby sú spôsobené pôsobením faktorov konštantnej veľkosti a smeru. Napríklad nepresnosť pri výrobe mier, nesprávne odstupňovanie stupnice alebo nesprávna inštalácia meracích prístrojov, ako aj neustále a jednostranné ovplyvňovanie meranej hodnoty alebo inštalácie merania nejakým vonkajším faktorom.

Pri opakovaných meraniach danej hodnoty za rovnakých podmienok sa systematická chyba zakaždým opakuje, pričom má rovnakú hodnotu a znamienko, alebo sa mení podľa určitého zákona. Dôkladnou analýzou princípu činnosti použitých prístrojov, meracej techniky a okolitých podmienok je možné systematické chyby buď eliminovať v samotnom procese merania, alebo ich zohľadniť v konečnom výsledku merania a vykonať príslušnú korekciu.

Náhodné chyby vznikajú pôsobením veľkého množstva najrozmanitejších, spravidla premenlivých faktorov, ktoré sa väčšinou nedajú brať do úvahy a kontrolovať a prejavujú sa v každom jednotlivom meraní inak. V dôsledku poruchy kumulatívneho pôsobenia týchto faktorov nie je možné predvídať výskyt náhodnej chyby a predpovedať jej veľkosť a znamenie. Chyba tohto druhu sa nazýva náhodná, pretože jej vzhľad je vecou náhody, jej vzhľad nevyplýva z daných podmienok experimentu. Môže a nemusí byť.

Náhodné chyby sa prejavujú tak, že za nezmenených experimentálnych podmienok a s úplne eliminovanými systematickými chybami sa výsledky opakovaných meraní tej istej veličiny od seba trochu líšia. Náhodné chyby z vyššie uvedených dôvodov nemožno z výsledkov merania vylúčiť, ako napríklad systematické chyby.

distribučný zákon náhodných chýb

Nie je možné úplne sa vyhnúť alebo odstrániť úplne náhodné chyby, pretože faktory, ktoré ich spôsobujú, nemožno vziať do úvahy a sú náhodného charakteru. Vynára sa otázka: ako znížiť vplyv náhodných chýb na konečný výsledok merania a ako vyhodnotiť jeho presnosť a spoľahlivosť? Odpoveď na túto otázku dáva teória pravdepodobnosti. Teória pravdepodobnosti je matematická veda, ktorá vysvetľuje vzorce náhodných udalostí (javov), ktoré sa prejavujú pôsobením veľkého množstva náhodných faktorov.

Náhodné chyby merania patria do skupiny spojitých veličín. Spojité veličiny sú charakterizované nespočetným súborom možných hodnôt. Pravdepodobnosť akejkoľvek hodnoty spojitej náhodnej premennej je nekonečne malá. Preto, aby ste odhalili rozdelenie pravdepodobnosti pre nejakú súvislú náhodnú premennú, napríklad hodnotu , zvážte niekoľko intervalov hodnôt tejto hodnoty a vypočítajte frekvenciu výskytu hodnôt hodnoty v každom intervale. Tabuľka, ktorá zobrazuje intervaly v poradí ich rozloženia pozdĺž osi x a zodpovedajúce frekvencie, sa nazýva štatistický rad (tabuľka 1).

stôl 1

Štatistický rad je graficky znázornený ako kroková krivka, ktorá sa nazýva histogram. Pri konštrukcii histogramu sú intervaly možných hodnôt náhodnej premennej vynesené pozdĺž osi x a frekvencie alebo počet prípadov, keď hodnota náhodnej premennej spadá do tohto intervalu, sú vynesené pozdĺž osi y. Pre väčšinu náhodných chýb, ktoré nás zaujímajú, má histogram formu znázornenú na obr. 1. Na tomto obrázku je výška a následne plocha obdĺžnika pre každý chybový interval úmerná počtu experimentov, v ktorých bola táto chyba pozorovaná.

S nárastom počtu experimentov (meraní) a znížením intervalu rozdelenia osi x stráca histogram stupňovitý charakter a smeruje (prechody) k hladkej krivke (obr. 2). Takáto krivka sa nazýva krivka hustoty rozdelenia pre danú náhodnú premennú a rovnica popisujúca túto krivku sa nazýva distribučný zákon náhodnej premennej.

Predpokladá sa, že náhodná premenná je úplne určená, ak je známy zákon jej rozdelenia. Tento zákon môže byť reprezentovaný (špecifikovaný) v integrálnej alebo diferenciálnej forme. Integrálny distribučný zákon náhodnej premennej sa označuje symbolom a nazýva sa distribučná funkcia. Derivačná funkcia sa nazýva hustota pravdepodobnosti náhodnej premennej X alebo zákon diferenciálneho rozdelenia:

.

Pri riešení mnohých praktických problémov nie je potrebné vyčerpávajúco charakterizovať náhodnú veličinu. Stačí uviesť len niektoré jeho číselné charakteristiky, napríklad jeho matematické očakávanie (môžete písať ) a rozptyl (môžete písať ).

Pre spojitú náhodnú premennú X s hustotou pravdepodobnosti sa matematické očakávanie vypočíta podľa vzorca

. (3)

Pre spojitú náhodnú premennú X disperzia je určená vzorcom:

. (4)

Kladná druhá odmocnina rozptylu sa označuje symbolom a nazýva sa štandardná odchýlka (skrátene s.k.o.):

. (5)

Pri konečnom počte experimentov sa ako odhad berie aritmetický priemer pozorovaných (nameraných) hodnôt , t.j. a a - matematické očakávanie a smerodajná odchýlka - parametre normálneho rozdelenia, ktorých fyzikálny význam a spôsob výpočtu boli vysvetlené vyššie.

Pri zvažovaní vlastností a charakteristík rozdelenia náhodných chýb sa obmedzíme na normálny zákon, keďže náhodné chyby merania sú najčastejšie rozdelené normálne (podľa Gaussovho zákona). To znamená:

1) náhodná chyba merania môže nadobudnúť akékoľvek hodnoty v intervale

2) náhodné chyby rovnaké v absolútnej hodnote, ale opačné v znamienku, sú rovnako pravdepodobné, to znamená, že sa vyskytujú rovnako často;

3) čím väčšia je absolútna hodnota náhodných chýb, tým sú menej pravdepodobné, to znamená, že sú menej časté.