Büyük güçlere sahip denklemler nasıl çözülür. Daha yüksek dereceli denklemlerin çeşitli yöntemlerle çözümü. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak

Düşünmek bir derece değişkeni ikinciden daha yüksek olan denklemleri çözme.

P(x) = 0 denkleminin derecesi, P(x) polinomunun derecesidir, yani. sıfır olmayan bir katsayılı terimlerinin kuvvetlerinin en büyüğü.

Örneğin, (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 denklemi beşinci dereceye sahiptir, çünkü parantez açma ve benzerlerini getirme işlemlerinden sonra, beşinci dereceden x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 eşdeğer denklemini elde ederiz.

Saniyeden daha yüksek dereceli denklemleri çözmek için gerekli olacak kuralları hatırlayın.

Bir polinomun kökleri ve bölenleri hakkında ifadeler:

1. Polinom n. derece n sayısını geçmeyen bir kök sayısına sahiptir ve m çokluğunun kökleri tam olarak m kez meydana gelir.

2. Tek dereceli bir polinomun en az bir gerçek kökü vardır.

3. α, Р(х)'nin kökü ise, o zaman Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), burada Q n – 1 (x), (n – 1) dereceli bir polinomdur .

4.

5. Tamsayı katsayılı indirgenmiş bir polinom, kesirli rasyonel köklere sahip olamaz.

6. Üçüncü dereceden bir polinom için

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d iki şeyden biri mümkündür: ya üç iki terimli bir ürüne ayrışır

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ) veya bir binom ve kare üçlü terimin ürününe ayrışır P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + y).

7. Dördüncü dereceden herhangi bir polinom, iki kare trinominin ürününe genişler.

8. Bir f(x) polinomu, f(x) = g(x) q(x) şeklinde bir q(x) polinomu varsa, kalansız bir g(x) polinomuna bölünebilir. Polinomları bölmek için "köşeye bölme" kuralı uygulanır.

9. P(x) polinomunun binom (x – c) ile bölünebilmesi için, c sayısının P(x)'in kökü olması gerekli ve yeterlidir (Bezout teoreminin doğal sonucu).

10. Vieta teoremi: Eğer x 1, x 2, ..., x n polinomun gerçek kökleriyse

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + bir n, bu durumda aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n bir n / a 0.

Örneklerin çözümü

örnek 1

P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9'u (x - 1/3) böldükten sonra kalanı bulun.

Çözüm.

Bezout teoreminin doğal sonucu olarak: "Bir polinomu bir binom (x - c) ile bölmenin geri kalanı, polinomun c'deki değerine eşittir." P(1/3) = 0'ı bulalım. Bu nedenle, kalan 0'dır ve 1/3 sayısı polinomun köküdür.

Cevap: R = 0.

Örnek 2

"Köşe" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3'ü (x + 2)'ye bölün. Kalanı ve eksik bölümü bulun.

Çözüm:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Cevap: R = 3; bölüm: 2x 2 - x.

Daha yüksek dereceli denklemleri çözmek için temel yöntemler

1. Yeni bir değişkenin tanıtılması

Yeni bir değişken ekleme yöntemi, biquadratik denklemler örneğinden zaten bilinmektedir. F (x) \u003d 0 denklemini çözmek için, yeni bir değişkenin (ikame) t \u003d x n veya t \u003d g (x) tanıtılması ve f (x)'in t ile ifade edilmesi, bir yeni denklem r (t). Sonra r(t) denklemini çözerek kökleri bulun:

(t 1 , t 2 , …, tn). Bundan sonra, orijinal denklemin köklerinin bulunduğu q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = tn olan bir dizi n denklem elde edilir.

örnek 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Çözüm:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Değiştirme (x 2 + x + 1) = t.

t 2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Ters değiştirme:

x 2 + x + 1 = 2 veya x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 veya x 2 + x = 0;

Cevap: Birinci denklemden: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, ikinciden: 0 ve -1.

2. Gruplama ve kısaltılmış çarpma formülleri yöntemiyle çarpanlara ayırma

Kuruluş Bu method ayrıca yeni değildir ve terimleri, her grubun ortak bir faktör içerecek şekilde gruplandırılmasından oluşur. Bunu yapmak için bazen bazı yapay hileler kullanmanız gerekir.

örnek 1

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Çözüm.

Düşünün - 3x 2 = -2x 2 - x 2 ve grup:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 veya x 2 + x - 3 \u003d 0.

Cevap: İlk denklemde ikinciden kök yok: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. Belirsiz katsayılar yöntemiyle çarpanlara ayırma

Yöntemin özü, orijinal polinomun katsayıları bilinmeyen faktörlere ayrıştırılmasıdır. Polinomların katsayıları aynı güçlerde eşitse eşit olma özelliği kullanılarak bilinmeyen genişleme katsayıları bulunur.

örnek 1

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Çözüm.

3. dereceden bir polinom, doğrusal ve kare faktörlerin bir ürününe ayrıştırılabilir.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Sistemi çözme:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1,
(b=3,
(c = 2, yani

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

(x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 denkleminin köklerini bulmak kolaydır.

Cevap 1; -2.

4. En yüksek ve serbest katsayı ile kökü seçme yöntemi

Yöntem, teoremlerin uygulanmasına dayanmaktadır:

1) Tamsayı katsayıları olan bir polinomun herhangi bir tamsayı kökü, serbest terimin bir bölenidir.

2) İndirgenemez p / q kesrinin (p bir tamsayıdır, q bir doğaldır) tamsayı katsayılı bir denklemin kökü olması için, p sayısının a 0 serbest teriminin bir tamsayı böleni olması gerekir ve q, en yüksek katsayılı bir doğal bölendir.

örnek 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Çözüm:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Dolayısıyla p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Bir kök bulduktan sonra, örneğin - 2, bir köşeye bölme, belirsiz katsayılar yöntemi veya Horner'ın şemasını kullanarak diğer kökleri bulacağız.

Cevap: -2; 1/2; 1/3.

Sormak istediğiniz bir şey var mı? Denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için - kaydolun.
İlk ders ücretsiz!

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Denklemlerin kullanımı hayatımızda oldukça yaygındır. Birçok hesaplamada, yapı yapımında ve hatta sporda kullanılırlar. Denklemler eski zamanlardan beri insan tarafından kullanılmaktadır ve o zamandan beri kullanımları sadece artmıştır. Matematikte, tamsayı katsayılı daha yüksek dereceli denklemler oldukça yaygındır. Bu tür bir denklemi çözmek için şunlara ihtiyacınız vardır:

Denklemin rasyonel köklerini belirleyin;

Denklemin sol tarafındaki polinomu çarpanlarına ayırın;

Denklemin köklerini bulun.

Bize bir denklem verildiğini varsayalım. aşağıdaki tür:

Tüm gerçek köklerini bulalım. Denklemin sol ve sağ taraflarını \ ile çarpın

Değişkenleri değiştirelim \

Böylece, standart algoritmaya göre çözülen dördüncü dereceden indirgenmiş bir denklem elde ettik: bölenleri kontrol ediyoruz, bölme işlemini gerçekleştiriyoruz ve sonuç olarak denklemin iki gerçek kökü \ ve iki karmaşık olduğunu görüyoruz. olanlar. Dördüncü dereceden denklemimize aşağıdaki cevabı alıyoruz:

Bir çözücü ile çevrimiçi olarak daha yüksek güçlerin denklemini nerede çözebilirim?

Denklemi web sitemiz https://site üzerinden çözebilirsiniz. Ücretsiz çevrimiçi çözücü, herhangi bir karmaşıklığın çevrimiçi denklemini saniyeler içinde çözmenize olanak tanır. Tek yapmanız gereken verilerinizi çözücüye girmek. Ayrıca videolu anlatımı izleyebilir ve denklemin nasıl çözüleceğini web sitemizden öğrenebilirsiniz. Ve herhangi bir sorunuz varsa, bunları Vkontakte grubumuza http://vk.com/pocketteacher sorabilirsiniz. Grubumuza katılın, size her zaman yardımcı olmaktan mutluluk duyarız.

Daha yüksek dereceli cebirsel denklemleri çözme yöntemleri.

Khabibullina Alfiya Yakubovna ,

MBOU ortaokulu kategorisindeki en yüksek matematik öğretmeni №177

Kazan şehri, Tataristan Cumhuriyeti Onurlu Öğretmeni,

pedagojik bilimler adayı.

Tanım 1. Derece n cebirsel denklemi P n (x)=0 biçiminde bir denklemdir, burada P n (x) n dereceli bir polinomdur, yani. P n (x)= a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n a 0.

Tanım 2. Kök denklem - bu denkleme değiştirildiğinde doğru eşitliği veren x değişkeninin sayısal değeri.

Tanım 3. Karar ver denklem, tüm köklerini bulmak veya hiç olmadığını kanıtlamak anlamına gelir.

BEN. Bir polinomu müteakip bölme ile faktörlere ayırma yöntemi.

Denklem, bölme yöntemiyle, yani daha küçük dereceli bir denklemler kümesine bölünerek çarpanlara ayrılabilir ve çözülebilir.

Yorum: genel olarak, bir denklemi bölme yöntemiyle çözerken, ancak ve ancak faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda, diğerleri anlamlarını korurken ürünün sıfıra eşit olduğu unutulmamalıdır.

Bir polinomu çarpanlara ayırmanın yolları:

1. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak.

2. kare üç terimli kullanılarak çarpanlara ayrılabilir ah formüller 2 + içinde + c \u003d a (x-x 1 )(x-x 2 ), burada bir 0, x 1 ve x 2 bir kare üç terimlinin kökleridir.

3. kullanım kısaltılmış çarpma formülleri :

bir n - n \u003d (a - c) (a n-1 + Cn- 2 bir n-2 c + Cn- 3 bir n-3 c + ... + C 1 a n-2 + içinde n- 1) ,n N.

Tam kare seçimi. Polinom, ilk önce ifadelerin toplamının veya farkının tam karesi vurgulandıktan sonra, kareler farkı formülü kullanılarak çarpanlara ayrılabilir.

4. gruplama(parantez içindeki ortak faktörün çıkarılmasıyla birlikte).

5. Bezout teoreminin doğal sonucunu kullanma.

1) denklem a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n-1 x + a n = 0, a 0 ise 0 tamsayı katsayılı rasyonel bir köke sahiptir x 0 = (nerede - indirgenemez kesir, p
q
), o zaman p, a n serbest teriminin bölenidir ve q, önde gelen katsayısı a 0'ın bölenidir.

2) x \u003d x 0, P n (x) \u003d 0 denkleminin kökü ise, P n (x) \u003d 0 denkleme eşdeğerdir

(x - x 0) P n-1 (x) \u003d 0, burada P n-1 (x) bölünerek bulunabilen bir polinomdur

P n (x) (x - x 0) “köşe” veya belirsiz katsayılar yöntemi ile.

II . Yeni bir değişken tanıtma yöntemi (İkame )

f(x)=g(x) denklemini düşünün. Bu, f (x) -g (x) \u003d 0 denklemine eşdeğerdir. Farkı gösterelim f (x) - g (x) \u003d h (p (x)) ve
. t=p(x) değişikliğini tanıtalım (t=p(x) işlevine denir) ikame ). Sonra h (p (x)) \u003d 0 veya h (t) \u003d 0 denklemini alırız, son denklemi çözeriz, t 1, t 2, ... ikamesine dönersek p (x) \u003d t 1, p (x) \u003d t 2 ,…, x değişkeninin değerlerini buluyoruz.

III Katı monotonluk yöntemi.

Teorem. Eğer y = f(x) P üzerinde kesinlikle monoton ise, o zaman f(x) = a (a - const) denkleminin P kümesinde en fazla bir kökü vardır. (Fonksiyon kesinlikle monotondur: ya sadece azalan ya da sadece artan)

Yorum. Bu yöntemin bir modifikasyonunu kullanabilirsiniz. f(x)=g(x) denklemini düşünün. Eğer y= f(x) fonksiyonu P üzerinde monoton olarak azalıyorsa ve y= g(x) fonksiyonu P üzerinde monoton olarak azalıyorsa (veya tam tersi), o zaman f(x)=g(x) denklemi en fazla P kümesinde bir kök.

IV. Denklemin her iki bölümünün değer kümesini karşılaştırma yöntemi (tahmin yöntemi)

teorem P kümesinden herhangi bir x için f(x) eşitsizlikleri varsa a, ve g(x) a, o zaman Р kümesindeki f(x)=g(x) denklemi sisteme eşdeğerdir
.

Sonuçlar: P setinde ise
veya
, o zaman f(x)=g(x) denkleminin kökü yoktur.

Bu yöntem aşkın denklemlerin çözümünde oldukça etkilidir.

V. Aşırı katsayıların bölenlerini sayma yöntemi

a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0 denklemini düşünün

Teorem. x 0 = n dereceli bir cebirsel denklemin köküdür ve i tamsayı katsayılarıdır, o zaman p, a n serbest teriminin bölenidir ve q, önde gelen katsayı a 0'ın bölenidir. 0 \u003d 1 x 0 \u003d p (serbest terimin böleni) olduğunda.

Sonuçlar Bezout teoremi: x 0 bir cebirsel denklemin kökü ise, P n (x) kalansız (x-x 0) ile bölünür, yani. P n (x) \u003d (x-x 0)Q n-1 (x) .

VI Belirsiz katsayılar yöntemi.

Aşağıdaki ifadelere dayanmaktadır:

iki polinom, ancak ve ancak katsayıları x'in aynı güçlerinde eşitse özdeştir.

üçüncü dereceden herhangi bir polinom, iki faktörün bir ürününe ayrışır: doğrusal ve kare.

dördüncü dereceden herhangi bir polinom, iki polinomun bir ürününe ayrışır.

ikinci derece.

VII. Horner'ın planı .

Horner algoritmasına göre katsayı tablosu kullanılarak, serbest terimin bölenleri arasında denklemin kökleri seçimle bulunur.

VIII . Türev yöntemi.

Teorem. Eğer 2 polinom P(x) ve Q(x) özdeş olarak eşit türevlere sahipse, o zaman için P(x)=Q(x)+C olacak şekilde bir C-sabiti vardır. x R.

teorem. Eğer bir
(x) ve
(x) ile bölünebilir
, sonra
(x) ile bölünebilir
.

Sonuçlar: Eğer bir
(x) ve
(x) polinomu R(x) ile bölünür, sonra
(x) ile bölünebilir (x) ve polinomların en büyük ortak böleni
(x) ve
(x) sadece polinomun kökleri olan kökleri vardır
(x) en az 2 katı ile.

IX . Simetrik, karşılıklı denklemler .

Tanım. a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0 denklemi denir simetrik , eğer

1. n'nin çift olduğu durumu düşünün, n =2k. Eğer bir
, o zaman x = 0 denklemin kökü değildir, bu da denklemi ikiye bölme hakkını verir.

0
+
+
+=0 Şimdi t= değişimini tanıtalım
ve lemmayı hesaba katarak, ikinci dereceden denklemi t değişkenine göre çözeriz. Geri ikame, x değişkeni için bir çözüm verecektir.

2. n'nin tek, n=2k+1 olduğu durumu düşünün. O zamanlar = -1 denklemin köküdür. Denklemi şuna böl
ve durum 1'i alıyoruz. Geri ikame, x'in değerlerini bulmanızı sağlar. m=-1 olduğunda, denklemin P n (x)=0 (burada P n (x) n dereceli bir polinom olduğu) cebirsel denklemini f(x)=g biçiminde bir denkleme dönüştürelim. (x). y=f(x), y=g(x) fonksiyonlarını ayarlayın; özelliklerini açıklıyoruz ve grafikleri tek bir koordinat sisteminde çiziyoruz. Kesişme noktalarının apsisleri denklemin kökleri olacaktır. Kontrol, orijinal denkleme ikame edilerek gerçekleştirilir.

Sınıf: 9

Temel hedefler:

1. Derecenin tamsayılı rasyonel denklemi kavramını pekiştirmek.
2. Daha yüksek dereceli denklemleri çözmek için ana yöntemleri formüle edin (n > 3).
3. Daha yüksek dereceli denklemleri çözmek için temel yöntemleri öğretmek.
4. En çok belirlemek için denklem formu ile öğretmek etkili yöntem onun kararları.

Öğretmenin sınıfta kullandığı formlar, yöntemler ve pedagojik teknikler:

• Ders-seminer eğitim sistemi (dersler - yeni materyallerin açıklanması, seminerler - problem çözme).
• Bilgi ve iletişim teknolojileri (önden anket, sınıfla sözlü çalışma).
• Farklılaştırılmış eğitim, grup ve bireysel formlar.
• Araştırma yönteminin öğretimde kullanılması, her bir öğrencinin matematiksel aygıtını ve zihinsel yeteneklerini geliştirmeyi amaçlar.
• Basılı materyal - dersin bireysel bir özeti (temel kavramlar, formüller, ifadeler, ders materyali diyagramlar veya tablolar şeklinde sıkıştırılır).

Ders planı:

1. Organizasyon zamanı.
   Aşamanın amacı: öğrencileri öğrenme etkinliklerine dahil etmek, dersin içeriğini belirlemek.
2. Öğrencilerin bilgilerini güncellemek.
   Aşamanın amacı: Öğrencilerin daha önce çalışılan ilgili konulardaki bilgilerini güncellemek
3. Yeni bir konu öğrenme (ders). Aşamanın amacı: daha yüksek dereceli denklemleri çözmek için ana yöntemleri formüle etmek (n > 3)
4. Özetleme.
   Aşamanın amacı: derste incelenen materyaldeki kilit noktaları bir kez daha vurgulamak.
5. Ev ödevi.
   Aşamanın amacı: formüle etmek ev ödeviÖğrenciler için.

ders özeti

1. Organizasyonel an.

Ders konusunun ifadesi: “Daha yüksek dereceli denklemler. Çözüm yöntemleri”.

2. Öğrencilerin bilgilerinin gerçekleştirilmesi.

Teorik anket - konuşma. Teoriden daha önce çalışılan bazı bilgilerin tekrarı. Öğrenciler temel tanımları formüle eder ve gerekli teoremlerin ifadelerini verir. Önceden edinilmiş bilgi düzeyini gösteren örnekler verilmiştir.

• Tek değişkenli denklem kavramı.
• Denklemin kökü kavramı, denklemin çözümü.
• Tek değişkenli doğrusal denklem kavramı, tek değişkenli ikinci dereceden denklem kavramı.
• Denklemlerin denkliği kavramı, denklem-sonuçlar (yabancı kök kavramı), sonuçla değil geçiş (kök kaybı durumu).
• Tek değişkenli bütün bir rasyonel ifade kavramı.
• Bütün bir rasyonel denklem kavramı n derece. Bütün bir rasyonel denklemin standart formu. İndirgenmiş tam rasyonel denklem.
• Orijinal denklemi çarpanlara ayırarak daha düşük dereceli bir denklem grubuna geçiş.
• Bir polinom kavramı n derece x. Bezout teoremi. Bezout teoreminin sonuçları. Kök teoremleri ( Z-kökler ve Q-kökleri) tamsayı katsayılı (sırasıyla indirgenmiş ve indirgenmemiş) rasyonel bir denklemin tamamı).
• Horner'ın planı.

3. Yeni bir konu öğrenmek.

Bütün rasyonel denklemi ele alacağız n bir bilinmeyen değişkenli standart formun th gücü x:Pn(x)= 0 , nerede P n (x) = bir n x n + bir n-1 x n-1 + bir 1 x + bir 0- polinom n derece x, a n ≠ 0 . Eğer bir a n = 1 o zaman böyle bir denkleme indirgenmiş tam rasyonel denklem denir n derece. için bu tür denklemleri ele alalım. farklı değerler n ve çözümlerinin ana yöntemlerini listeleyin.

n= 1 lineer bir denklemdir.

n= 2 ikinci dereceden bir denklemdir. Diskriminant formülü. Kök hesaplama formülü. Vieta teoremi. Tam bir kare seçimi.

n= 3 kübik bir denklemdir.

gruplandırma yöntemi.

Örnek: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 x 1 = 4 , x2 = 1,x 3 = -1.

Formun karşılıklı kübik denklemi balta 3 + sevgili 2 + sevgili + a= 0. Aynı katsayılara sahip terimleri birleştirerek çözüyoruz.

Örnek: x 3 – 5x 2 – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x 2 – 6x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 – 2.

Teoreme göre Z köklerinin seçimi. Horner'ın planı. Bu yöntemi uygularken, bu durumda numaralandırmanın sonlu olduğunu vurgulamak gerekir ve teoreme göre belirli bir algoritmaya göre kökleri seçiyoruz. Z-tamsayı katsayılı indirgenmiş tam rasyonel denklemin kökleri.

Örnek: x 3 – 9x 2 + 23x– 15 = 0. Denklem azaltılır. Serbest terimin bölenlerini yazıyoruz ( + 1; + 3; + 5; + on beş). Horner'ın şemasını uygulayalım:

alırız ( x – 1)(x 2 – 8x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Tamsayı katsayıları ile denklem. Teoreme dayalı Q köklerinin seçimi. Horner'ın planı. Bu yöntemi uygularken, bu durumda numaralandırmanın sonlu olduğunu vurgulamak gerekir ve teoreme uygun olarak belirli bir algoritmaya göre kökleri seçiyoruz. Q-tamsayı katsayılı indirgenmemiş tam rasyonel denklemin kökleri.

Örnek: 9 x 3 + 27x 2 – x– 3 = 0. Denklem indirgenmez. Serbest terimin bölenlerini yazıyoruz ( + 1; + 3). Katsayının bölenlerini bilinmeyenin en yüksek gücünde yazalım. ( + 1; + 3; + 9) Bu nedenle, değerler arasında kök arayacağız ( + 1; + ; + ; + 3). Horner'ın şemasını uygulayalım:

alırız ( x – )(9x 2 + 30x + 9) = 0 x 1 = , x 2 = - , x 3 = -3.

Q seçerken hesaplama kolaylığı için -kökler değişken değişikliği yapmak uygun olabilir, yukarıdaki denkleme gidin ve Z'yi ayarlayın -kökler.

Formül Cardano. Kübik denklemleri çözmek için evrensel bir yöntem vardır - bu Cardano formülüdür. Bu formül, İtalyan matematikçiler Gerolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Tartaglia (1500-1557), Scipio del Ferro (1465-1526) isimleriyle ilişkilidir. Bu formül kursumuzun kapsamı dışındadır.

n= 4, dördüncü dereceden bir denklemdir.

gruplandırma yöntemi.

Örnek: x 4 + 2x 3 + 5x 2 + 4x – 12 = 0 (x 4 + 2x 3) + (5x 2 + 10x) – (6x + 12) = 0 (x + 2)(x 3 + 5x- 6) = 0 (x + 2)(x– 1)(x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

Değişken değiştirme yöntemi.

• formun bikuadratik denklemi balta 4 + sevgili 2+s = 0 .

Örnek: x 4 + 5x 2 - 36 = 0. İkame y = x 2. Buradan y 1 = 4, y 2 = -9. Bu yüzden x 1,2 = + 2 .

Aynı katsayılara sahip terimleri formun yerine koyarak birleştirerek çözüyoruz.

• Formun dördüncü derecesinin genelleştirilmiş geriye dönük denklemi balta 4 + sevgili 3 + cx 2 + kbx + k2 bir = 0.

Örnek 3 . Genel görünüm değiştirme(belirli bir denklemin biçiminden gelir).

n = 3.

Tamsayı katsayıları ile denklem. Q köklerinin seçimi n = 3.

Genel formül. Dördüncü dereceden denklemleri çözmek için evrensel bir yöntem vardır. Bu formül, Ludovico Ferrari (1522-1565) adıyla ilişkilidir. Bu formül kursumuzun kapsamı dışındadır.

n > 5 - beşinci ve daha yüksek derecelerin denklemleri.

Tamsayı katsayıları ile denklem. Teoreme göre Z köklerinin seçimi. Horner'ın planı. Algoritma, yukarıda tartışılana benzer. n = 3.

Tamsayı katsayıları ile denklem. Q köklerinin seçimi teoreme dayalıdır. Horner'ın planı. Algoritma, yukarıda tartışılana benzer. n = 3.

Simetrik denklemler. Tek dereceli herhangi bir karşılıklı denklemin bir kökü vardır x= -1 ve onu çarpanlara ayırdıktan sonra, bir faktörün ( x+ 1) ve ikinci faktör, çift dereceli karşılıklı bir denklemdir (derecesi, orijinal denklemin derecesinden bir eksiktir). formun bir kökü ile birlikte çift dereceli herhangi bir karşılıklı denklem x = φ ayrıca formun kökünü de içerir. Bu ifadeleri kullanarak, incelenen denklemin derecesini düşürerek sorunu çözüyoruz.

Değişken değiştirme yöntemi. Homojenlik kullanımı.

Beşinci dereceden denklemlerin tamamını çözmek için genel bir formül yoktur (bu, İtalyan matematikçi Paolo Ruffini (1765-1822) ve Norveçli matematikçi Nils Henrik Abel (1802-1829) tarafından gösterilmiştir) ve daha yüksek güçler (bu, Fransızlar tarafından gösterilmiştir) matematikçi Evariste Galois (1811–1832) )).

• Pratikte kullanmanın mümkün olduğunu tekrar hatırlayın. kombinasyonlar Yukarıda listelenen yöntemler. Daha düşük dereceli bir dizi denkleme geçmek uygundur. orijinal denklemin çarpanlara ayrılması.
• Bugünkü tartışmamızın kapsamı dışında, pratikte yaygın olarak kullanılan grafik yöntemler denklemleri çözmek ve yaklaşık çözüm yöntemleri daha yüksek dereceli denklemler.
• Denklemin R köklerinin olmadığı durumlar vardır.
Sonra çözüm, denklemin köklerinin olmadığını göstermeye gelir. Bunu kanıtlamak için, dikkate alınan fonksiyonların monotonluk aralıklarındaki davranışını analiz ediyoruz. Örnek: Denklem x 8 – x 3 + 1 = 0'ın kökü yoktur.
• Fonksiyonların monotonluk özelliğini kullanma
. İşlevlerin çeşitli özelliklerinin kullanılmasının görevi basitleştirmemize izin verdiği durumlar vardır.
Örnek 1: Denklem x 5 + 3x– 4 = 0'ın bir kökü vardır x= 1. Analiz edilen fonksiyonların monotonluk özelliği ile başka kök yoktur.
Örnek 2: Denklem x 4 + (x– 1) 4 = 97'nin kökleri vardır x 1 = -2 ve x 2 = 3. Tekdüzelik aralıklarında karşılık gelen fonksiyonların davranışını analiz ettikten sonra, başka kök olmadığı sonucuna varırız.

4. Özetlemek.

Özet: Artık daha yüksek dereceli çeşitli denklemleri çözmek için temel yöntemlerde uzmanlaştık (n için > 3). Görevimiz, yukarıdaki algoritmaların nasıl etkin bir şekilde kullanılacağını öğrenmektir. Denklemin türüne bağlı olarak, bu durumda hangi çözüm yönteminin en etkili olduğunu nasıl belirleyeceğimizi öğrenmemiz ve seçilen yöntemi doğru şekilde uygulamamız gerekecek.

5. Ev ödevi.

: madde 7, sayfa 164-174, sayılar 33-36, 39-44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Bu konuyla ilgili olası rapor veya özet konuları:

• formül Cardano
• Denklemleri çözmek için grafiksel yöntem. Çözüm örnekleri.
• Denklemlerin yaklaşık çözüm yöntemleri.

Malzemenin özümsenmesinin analizi ve öğrencilerin konuya olan ilgisi:

Deneyimler, öğrencilerin ilgisinin ilk etapta seçme imkanı olduğunu göstermektedir. Z-kökler ve Q- Horner'ın şemasını kullanan oldukça basit bir algoritma kullanarak denklemlerin kökleri. Öğrenciler ayrıca, problem türünü önemli ölçüde basitleştirebilen çeşitli standart değişken ikame türleriyle de ilgilenirler. Grafiksel çözüm yöntemleri genellikle özel ilgi konusudur. Bu durumda, denklemleri çözmek için ek olarak görevleri grafiksel bir yöntemle ayrıştırabilirsiniz; tartışmak Genel form 3, 4, 5 derecelik bir polinom için grafikler; 3, 4, 5 derecelik denklemlerin kök sayısının ilgili grafiğin türü ile nasıl ilişkili olduğunu analiz eder. Aşağıda, bu konuyla ilgili ek bilgiler bulabileceğiniz kitapların bir listesi bulunmaktadır.

Kaynakça:

1. Vilenkin N.Ya. vb. “Cebir. Derinlemesine bir matematik çalışması olan 9. sınıftaki öğrenciler için bir ders kitabı ”- M., Eğitim, 2007 - 367 s.
2. Vilenkin N.Ya., Shibasov L.P., Shibasova Z.F.“Bir matematik ders kitabının sayfalarının ardında. Aritmetik. Cebir. 10-11” – M., Aydınlanma, 2008 – 192 s.
3. Vygodsky M.Ya."Matematik El Kitabı" - M., AST, 2010 - 1055 s.
4. Galitsky M.L.“Cebirdeki problemlerin toplanması. öğretici derinlemesine matematik çalışması ile 8-9. sınıflar için ”- M., Eğitim, 2008 - 301 s.
5. Zvavich L.I. ve diğerleri “Cebir ve Analizin Başlangıcı. 8-11 hücre Derinlemesine matematik çalışması olan okullar ve sınıflar için bir el kitabı ”- M., Drofa, 1999 - 352 s.
6. Zvavich L.I., Averyanov D.I., Pigarev B.P., Trushanina T.N.“9. sınıf yazılı sınava hazırlanmak için matematik ödevleri” - M., Eğitim, 2007 - 112 s.
7. Ivanov A.A., Ivanov A.P. “Tematik testler matematikte bilginin sistemleştirilmesi için, bölüm 1 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 s.
8. Ivanov A.A., Ivanov A.P.“Matematikte bilginin sistemleştirilmesi için tematik testler” bölüm 2 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 s.
9. Ivanov A.P.“Matematikte testler ve testler. Öğretici". - M., Fizmatkniga, 2008 - 304 s.
10. Leibson K.L.“Matematikte pratik görevlerin toplanması. Bölüm 2–9 sınıfı” – M., MTsNMO, 2009 – 184 s.
11. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G."Cebir. 9. sınıf ders kitabı için ek bölümler. Derinlemesine matematik çalışması olan okul ve sınıf öğrencileri için ders kitabı.” - E., Eğitim, 2006 - 224 s.
12. Mordkovich A.G."Cebir. Geniş kapsamlı çalışma. 8. sınıf. Ders Kitabı” – M., Mnemosyne, 2006 – 296 s.
13. Savin A.P. “ansiklopedik sözlük genç matematikçi” – M., Pedagoji, 1985 – 352 s.
14. Survillo G.S., Simonov A.Ş.“Derinlemesine matematik çalışması ile 9. sınıf cebir üzerine didaktik materyaller” - M., Eğitim, 2006 - 95 s.
15. Chulkov P.V.“Matematik dersinde denklemler ve eşitsizlikler. Dersler 1–4” – M., 1 Eylül 2006 – 88 s.
16. Chulkov P.V.“Matematik dersinde denklemler ve eşitsizlikler. Dersler 5-8” – M., 1 Eylül 2009 – 84 s.