Come risolvere equazioni con grandi potenze. Soluzione di equazioni di grado superiore con vari metodi. Togliendo il fattore comune da parentesi

Tenere conto risolvere equazioni con una variabile di grado maggiore della seconda.

Il grado dell'equazione P(x) = 0 è il grado del polinomio P(x), cioè la più grande delle potenze dei suoi termini con coefficiente diverso da zero.

Quindi, ad esempio, l'equazione (x 3 - 1) 2 + x 5 \u003d x 6 - 2 ha un quinto grado, perché dopo le operazioni di apertura di parentesi e portando quelle simili, otteniamo un'equazione equivalente x 5 - 2x 3 + 3 \u003d 0 di quinto grado.

Richiama le regole che serviranno per risolvere equazioni di grado superiori alla seconda.

Affermazioni sulle radici di un polinomio e sui suoi divisori:

1. Polinomio ennesimo grado ha un numero di radici non superiore al numero n, e le radici della molteplicità m ricorrono esattamente m volte.

2. Un polinomio di grado dispari ha almeno una radice reale.

3. Se α è la radice di Р(х), allora Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), dove Q n – 1 (x) è un polinomio di grado (n – 1) .

4.

5. Un polinomio ridotto con coefficienti interi non può avere radici razionali frazionarie.

6. Per un polinomio di terzo grado

P 3 (x) \u003d ax 3 + bx 2 + cx + d una delle due cose è possibile: o si decompone in un prodotto di tre binomi

P 3 (x) \u003d a (x - α) (x - β) (x - γ), o si decompone nel prodotto di un binomio e un trinomio quadrato P 3 (x) \u003d a (x - α) ( x 2 + βx + γ).

7. Qualsiasi polinomio di quarto grado si espande nel prodotto di due trinomi quadrati.

8. Un polinomio f(x) è divisibile per un polinomio g(x) senza resto se esiste un polinomio q(x) tale che f(x) = g(x) q(x). Per dividere i polinomi si applica la regola della "divisione per angolo".

9. Perché il polinomio P(x) sia divisibile per il binomio (x – c), è necessario e sufficiente che il numero c sia la radice di P(x) (Corollario del teorema di Bezout).

10. Teorema di Vieta: Se x 1, x 2, ..., x n sono le radici reali del polinomio

P (x) = a 0 x n + a 1 x n - 1 + ... + a n, allora valgono le seguenti uguaglianze:

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -a 1 / a 0,

x 1 x 2 + x 1 x 3 + ... + x n - 1 x n \u003d a 2 / a 0,

x 1 x 2 x 3 + ... + x n - 2 x n - 1 x n \u003d -a 3 / a 0,

x 1 x 2 x 3 x n \u003d (-1) n a n / a 0.

Soluzione di esempi

Esempio 1

Trova il resto dopo aver diviso P (x) \u003d x 3 + 2/3 x 2 - 1/9 per (x - 1/3).

Decisione.

Secondo il corollario del teorema di Bezout: "Il resto della divisione di un polinomio per un binomio (x - c) è uguale al valore del polinomio in c." Troviamo P(1/3) = 0. Pertanto, il resto è 0 e il numero 1/3 è la radice del polinomio.

Risposta: R = 0.

Esempio 2

Dividi l '"angolo" 2x 3 + 3x 2 - 2x + 3 per (x + 2). Trova il resto e il quoziente incompleto.

Decisione:

2x 3 + 3x 2 – 2x + 3| x + 2

2x 3 + 4x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 X

Risposta: R = 3; quoziente: 2x 2 - x.

Metodi di base per la risoluzione di equazioni di grado superiore

1. Introduzione di una nuova variabile

Il metodo per introdurre una nuova variabile è già noto dall'esempio delle equazioni biquadratiche. Consiste nel fatto che per risolvere l'equazione f (x) \u003d 0, viene introdotta una nuova variabile (sostituzione) t \u003d x n o t \u003d g (x) e f (x) viene espressa attraverso t, ottenendo un nuova equazione r (t). Quindi risolvendo l'equazione r(t), trova le radici:

(t 1 , t 2 , …, t n). Successivamente, si ottiene un insieme di n equazioni q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , ... , q(x) = t n, da cui si trovano le radici dell'equazione originale.

Esempio 1

(x 2 + x + 1) 2 - 3x 2 - 3x - 1 = 0.

Decisione:

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x) - 1 = 0.

(x 2 + x + 1) 2 - 3 (x 2 + x + 1) + 3 - 1 = 0.

Sostituzione (x 2 + x + 1) = t.

t2 - 3t + 2 = 0.

t 1 \u003d 2, t 2 \u003d 1. Sostituzione inversa:

x 2 + x + 1 = 2 o x 2 + x + 1 = 1;

x 2 + x - 1 = 0 oppure x 2 + x = 0;

Risposta: Dalla prima equazione: x 1, 2 = (-1 ± √5) / 2, dalla seconda: 0 e -1.

2. Fattorizzazione con il metodo del raggruppamento e delle formule di moltiplicazione abbreviate

La base questo metodo inoltre non è nuovo e consiste nel raggruppare i termini in modo tale che ogni gruppo contenga un fattore comune. Per fare questo, a volte devi usare alcuni trucchi artificiali.

Esempio 1

x 4 - 3x 2 + 4x - 3 = 0.

Decisione.

Immagina - 3x 2 = -2x 2 - x 2 e gruppo:

(x 4 - 2x 2) - (x 2 - 4x + 3) = 0.

(x 4 - 2x 2 +1 - 1) - (x 2 - 4x + 3 + 1 - 1) = 0.

(x 2 - 1) 2 - 1 - (x - 2) 2 + 1 = 0.

(x 2 - 1) 2 - (x - 2) 2 \u003d 0.

(x 2 - 1 - x + 2) (x 2 - 1 + x - 2) = 0.

(x 2 - x + 1) (x 2 + x - 3) = 0.

x 2 - x + 1 \u003d 0 o x 2 + x - 3 \u003d 0.

Risposta: non ci sono radici nella prima equazione, dalla seconda: x 1, 2 \u003d (-1 ± √13) / 2.

3. Fattorizzazione con il metodo dei coefficienti indefiniti

L'essenza del metodo è che il polinomio originale viene scomposto in fattori con coefficienti sconosciuti. Usando la proprietà che i polinomi sono uguali se i loro coefficienti sono uguali alle stesse potenze, si trovano i coefficienti di espansione sconosciuti.

Esempio 1

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = 0.

Decisione.

Un polinomio di 3° grado può essere scomposto in un prodotto di fattori lineari e quadrati.

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x - a) (x 2 + bx + c),

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 = x 3 + bx 2 + cx - ax 2 - abx - ac,

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d x 3 + (b - a) x 2 + (cx - ab) x - ac.

Risolvere il sistema:

(b – a = 4,
(c – ab = 5,
(-ac=2,

(a = -1,
(b=3,
(c = 2, cioè

x 3 + 4x 2 + 5x + 2 \u003d (x + 1) (x 2 + 3x + 2).

Le radici dell'equazione (x + 1) (x 2 + 3x + 2) = 0 sono facili da trovare.

Risposta 1; -2.

4. Il metodo per selezionare la radice in base al coefficiente più alto e libero

Il metodo si basa sull'applicazione di teoremi:

1) Qualsiasi radice intera di un polinomio con coefficienti interi è un divisore del termine libero.

2) Affinché la frazione irriducibile p / q (p è un intero, q è un naturale) sia la radice di un'equazione a coefficienti interi, è necessario che il numero p sia un divisore intero del termine libero a 0, e q è un divisore naturale del coefficiente più alto.

Esempio 1

6x 3 + 7x 2 - 9x + 2 = 0.

Decisione:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Quindi p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Avendo trovato una radice, ad esempio - 2, troveremo altre radici usando la divisione per un angolo, il metodo dei coefficienti indefiniti o lo schema di Horner.

Risposta: -2; 1/2; 1/3.

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L'uso delle equazioni è molto diffuso nelle nostre vite. Sono usati in molti calcoli, costruzione di strutture e persino sport. Le equazioni sono state usate dall'uomo fin dall'antichità e da allora il loro uso è solo aumentato. In matematica, le equazioni di grado superiore con coefficienti interi sono abbastanza comuni. Per risolvere questo tipo di equazione, hai bisogno di:

Determinare le radici razionali dell'equazione;

Scomponi il polinomio che si trova sul lato sinistro dell'equazione;

Trova le radici dell'equazione.

Supponiamo di avere un'equazione il seguente tipo:

Ritroviamo tutte le sue vere radici. Moltiplica i lati sinistro e destro dell'equazione per \

Cambiamo le variabili \

Quindi, abbiamo ottenuto un'equazione ridotta di quarto grado, che viene risolta secondo l'algoritmo standard: controlliamo i divisori, eseguiamo la divisione e di conseguenza scopriamo che l'equazione ha due radici reali \ e due complesse quelli. Otteniamo la seguente risposta alla nostra equazione di quarto grado:

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Metodi per la risoluzione di equazioni algebriche di grado superiore.

Khabibullina Alfiya Yakubovna ,

insegnante di matematica della scuola secondaria MBOU di categoria più alta №177

Città di Kazan, Insegnante onorato della Repubblica del Tatarstan,

candidato di scienze pedagogiche.

Definizione 1. Equazione algebrica di grado n è un'equazione della forma P n (x)=0, dove P n (x) è un polinomio di grado n, cioè P n (x)= a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n a 0.

Definizione 2. Radice equazione - il valore numerico della variabile x, che, quando sostituita in questa equazione, fornisce l'uguaglianza corretta.

Definizione 3. Decidere equazione significa trovare tutte le sue radici o dimostrare che non ce ne sono.

IO. Un metodo per scomporre un polinomio in fattori con successiva suddivisione.

L'equazione può essere scomposta e risolta con il metodo di scissione, cioè suddividendola in un insieme di equazioni di gradi più piccoli.

Commento: in generale, quando si risolve un'equazione con il metodo dello splitting, non bisogna dimenticare che il prodotto è uguale a zero se, e solo se almeno uno dei fattori è uguale a zero, mentre gli altri conservano il loro significato.

Modi per fattorizzare un polinomio:

1. Togliere il fattore comune da parentesi.

2. Trinomio quadrato può essere fattorizzato usando ah formule 2 + in + c \u003d a (x-x 1 )(x-x 2 ), dove un 0, x 1 e x 2 sono le radici di un trinomio quadrato.

3. Utilizzo formule di moltiplicazione abbreviate :

a n - in n \u003d (a - c) (a n-1 + Cn- 2 a n-2 c + Cn- 3 a n-3 c + ... + C 1 a in n-2 + in n- 1), n N.

Selezione piazza completa. Il polinomio può essere scomposto utilizzando la formula della differenza di quadrati, avendo precedentemente evidenziato il quadrato intero della somma o differenza di espressioni.

4. raggruppamento(in combinazione con l'eliminazione del fattore comune tra parentesi).

5. Utilizzando il corollario del teorema di Bezout.

1) se l'equazione a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n-1 x + a n = 0, a 0 0 a coefficienti interi ha radice razionale x 0 = (dove - frazione irriducibile, p
q
), allora p è il divisore del termine libero a n , e q è il divisore del coefficiente direttivo a 0 .

2) se x \u003d x 0 è la radice dell'equazione P n (x) \u003d 0, allora P n (x) \u003d 0 è equivalente all'equazione

(x - x 0) P n-1 (x) \u003d 0, dove P n-1 (x) è un polinomio che può essere trovato dividendo

P n (x) su (x - x 0) "angolo" o con il metodo dei coefficienti indefiniti.

II . Metodo per l'introduzione di una nuova variabile (Sostituzione )

Considera l'equazione f(x)=g(x). È equivalente all'equazione f (x) -g (x) \u003d 0. Indichiamo la differenza f (x) - g (x) \u003d h (p (x)) e
. Introduciamo la modifica t=p(x) (viene chiamata la funzione t=p(x). sostituzione ). Quindi otteniamo l'equazione h (p (x)) \u003d 0 o h (t) \u003d 0, risolvendo l'ultima equazione, troviamo t 1, t 2, ... Tornando alla sostituzione p (x) \u003d t 1, p (x) \u003d t 2 ,…, troviamo i valori della variabile x.

III Metodo di stretta monotonia.

Teorema. Se y = f(x) è strettamente monotona su P, allora l'equazione f(x) = a (a - const) ha al massimo una radice sull'insieme P. (La funzione è strettamente monotona: o solo decrescente o solo crescente)

Commento.È possibile utilizzare una modifica di questo metodo. Considera l'equazione f(x)=g(x). Se la funzione y= f(x) è monotonicamente decrescente su P, e la funzione y= g(x) è monotonicamente decrescente su P (o viceversa), allora l'equazione f(x)=g(x) ha al massimo una radice sull'insieme P.

IV. Metodo per confrontare l'insieme di valori di entrambe le parti dell'equazione (metodo di stima)

Teorema Se per ogni x dell'insieme P le disuguaglianze f(x) a e g(x) a, allora l'equazione f(x)=g(x) sull'insieme Р è equivalente al sistema
.

Conseguenza: Se sul set P
o
, allora l'equazione f(x)=g(x) non ha radici.

Questo metodo è abbastanza efficace nella risoluzione di equazioni trascendentali

V. Il metodo di enumerazione dei divisori di coefficienti estremi

Considera l'equazione a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0

Teorema. Se x 0 = è la radice di un'equazione algebrica di grado n, e i sono coefficienti interi, allora p è il divisore del termine libero a n , e q è il divisore del coefficiente direttivo a 0 . Quando a 0 \u003d 1 x 0 \u003d p (il divisore del termine libero).

Conseguenza Teorema di Bezout: se x 0 è la radice di un'equazione algebrica, allora P n (x) è diviso per (x-x 0) senza resto, ovvero P n (x) \u003d (x-x 0)Q n-1 (x) .

VI Metodo dei coefficienti indefiniti.

Si basa sulle seguenti affermazioni:

due polinomi sono identicamente uguali se e solo se i loro coefficienti sono uguali alle stesse potenze di x.

ogni polinomio di terzo grado si decompone in un prodotto di due fattori: lineare e quadrato.

ogni polinomio di quarto grado si decompone in un prodotto di due polinomi

secondo grado.

VII. Lo schema di Horner .

Utilizzando la tabella dei coefficienti secondo l'algoritmo di Horner, si trovano per selezione le radici dell'equazione tra i divisori del termine libero.

VIII . Metodo derivato.

Teorema. Se 2 polinomi P(x) e Q(x) hanno derivate identicamente uguali, allora c'è una C-cost tale che P(x)=Q(x)+C per X R.

Teorema. Se un
(x) e
(x) sono divisibili per
, poi
(x) è divisibile per
.

Conseguenza: Se un
(x) e
(x) sono divisi per il polinomio R(x) , quindi
(x) è divisibile per (x) e il massimo comun divisore dei polinomi
(x) e
(X) ha radici che sono solo radici del polinomio
(x) con una molteplicità di almeno 2.

IX . Equazioni simmetriche, reciproche .

Definizione. Si chiama l'equazione a 0 x n +a 1 x n-1 +…+a n-1 x+a n = 0 simmetrico , Se

1. Considera il caso in cui n è pari, n =2k. Se un
, allora x = 0 non è una radice dell'equazione, che dà il diritto di dividere l'equazione in

0
+
+
+=0 Introduciamo la modifica t=
e, tenendo conto del lemma, risolviamo l'equazione quadratica rispetto alla variabile t. La sostituzione a posteriori darà una soluzione per la variabile x.

2. Considera il caso in cui n è dispari, n=2k+1. Quindi = -1 è la radice dell'equazione. Dividi l'equazione per
e otteniamo il caso 1.. La sostituzione all'indietro ti consente di trovare i valori di x. Si noti che quando m=-1, l'equazione si chiama. Trasformiamo l'equazione algebrica P n (x)=0 (dove P n (x) è un polinomio di grado n) in un'equazione della forma f(x)=g (X). Imposta le funzioni y=f(x), y=g(x); descriviamo le loro proprietà e tracciamo grafici in un sistema di coordinate. Le ascisse dei punti di intersezione saranno le radici dell'equazione. Il controllo viene eseguito per sostituzione nell'equazione originale.

Classe: 9

Obiettivi di base:

1. Consolidare il concetto di equazione razionale intera di th grado.
2. Formulare i principali metodi per risolvere equazioni di grado superiore (n > 3).
3. Insegnare i metodi di base per risolvere equazioni di grado superiore.
4. Insegnare con la forma dell'equazione per determinare di più metodo efficace le sue decisioni.

Forme, metodi e tecniche pedagogiche utilizzate dall'insegnante in classe:

• Sistema di formazione a lezione-seminario (lezioni frontali - spiegazione di nuovo materiale, seminari - risoluzione dei problemi).
• Tecnologie dell'informazione e della comunicazione (rilevamento frontale, lavoro orale con la classe).
• Formazioni differenziate, di gruppo e individuali.
• L'uso del metodo della ricerca nella didattica, finalizzato allo sviluppo dell'apparato matematico e delle capacità mentali di ogni singolo studente.
• Materiale stampato: un riepilogo individuale della lezione (concetti di base, formule, dichiarazioni, materiale della lezione viene compresso sotto forma di diagrammi o tabelle).

Piano di lezione:

1. Organizzare il tempo.
   Lo scopo dello stage: includere gli studenti nelle attività di apprendimento, determinare il contenuto della lezione.
2. Aggiornare le conoscenze degli studenti.
   Lo scopo dello stage: aggiornare le conoscenze degli studenti su argomenti correlati precedentemente studiati
3. Imparare un nuovo argomento (lezione). Scopo dello stage: formulare i principali metodi per la risoluzione di equazioni di grado superiore (n > 3)
4. Riassumendo.
   Lo scopo dello stage: evidenziare ancora una volta i punti chiave del materiale studiato a lezione.
5. Compiti a casa.
   Scopo della fase: formulare compiti a casa per studenti.

Riepilogo della lezione

1. Momento organizzativo.

La formulazione dell'argomento della lezione: “Equazioni di gradi superiori. Metodi per la loro soluzione”.

2. Attualizzazione delle conoscenze degli studenti.

Indagine teorica - conversazione. Ripetizione di alcune informazioni precedentemente studiate dalla teoria. Gli studenti formulano definizioni di base e forniscono affermazioni di teoremi necessari. Vengono forniti esempi che dimostrano il livello di conoscenza precedentemente acquisito.

• Il concetto di equazione con una variabile.
• Il concetto della radice dell'equazione, la soluzione dell'equazione.
• Il concetto di equazione lineare con una variabile, il concetto di equazione quadratica con una variabile.
• Il concetto di equivalenza delle equazioni, equazione-conseguenze (il concetto di radici estranee), transizione non di conseguenza (il caso della perdita delle radici).
• Il concetto di un'intera espressione razionale con una variabile.
• Il concetto di un'intera equazione razionale n esimo grado. La forma standard di un'intera equazione razionale. Equazione razionale intera ridotta.
• Transizione a un insieme di equazioni di gradi inferiori calcolando l'equazione originale.
• Il concetto di polinomio n esimo grado da X. Il teorema di Bezout. Conseguenze dal teorema di Bezout. Teoremi della radice ( Z-radici e Q-radici) di un'intera equazione razionale a coefficienti interi (rispettivamente ridotti e non ridotti).
• Lo schema di Horner.

3. Imparare un nuovo argomento.

Considereremo l'intera equazione razionale n esima potenza della forma standard con una variabile sconosciuta x:Pn(x)= 0 , dove P n (x) = un n x n + un n-1 x n-1 + un 1 x + un 0– polinomio n esimo grado da X, un n ≠ 0 . Se un un n = 1 allora tale equazione è chiamata equazione razionale intera ridotta n esimo grado. Consideriamo tali equazioni per valori diversi n ed elencare i metodi principali della loro soluzione.

n= 1 è un'equazione lineare.

n= 2 è un'equazione quadratica. Formula discriminante. Formula per il calcolo delle radici. Il teorema di Vieta. Selezione di un quadrato intero.

n= 3 è un'equazione cubica.

metodo di raggruppamento.

Esempio: x 3 – 4 x 2 – x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 X 1 = 4 , x2 = 1,X 3 = -1.

Equazione cubica reciproca della forma ascia 3 + bx 2 + bx + un= 0. Risolviamo combinando termini con gli stessi coefficienti.

Esempio: X 3 – 5X 2 – 5X + 1 = 0 (X + 1)(X 2 – 6X + 1) = 0 X 1 = -1, X 2 = 3 + 2, X 3 = 3 – 2.

Selezione delle radici Z in base al teorema. Lo schema di Horner. Quando si applica questo metodo, è necessario sottolineare che l'enumerazione in questo caso è finita e selezioniamo le radici secondo un certo algoritmo secondo il teorema su Z-radici dell'equazione razionale intera ridotta a coefficienti interi.

Esempio: X 3 – 9X 2 + 23X– 15 = 0. L'equazione viene ridotta. Scriviamo i divisori del termine libero ( + 1; + 3; + 5; + quindici). Applichiamo lo schema di Horner:

Noi abbiamo ( X – 1)(X 2 – 8X + 15) = 0 X 1 = 1, X 2 = 3, X 3 = 5.

Equazione a coefficienti interi. Selezione di radici Q in base al teorema. Lo schema di Horner. Quando si applica questo metodo, è necessario sottolineare che l'enumerazione in questo caso è finita e selezioniamo le radici secondo un certo algoritmo secondo il teorema di Q-radici di un'equazione razionale intera non ridotta a coefficienti interi.

Esempio: 9 X 3 + 27X 2 – X– 3 = 0. L'equazione non viene ridotta. Scriviamo i divisori del termine libero ( + 1; + 3). Scriviamo i divisori del coefficiente alla massima potenza dell'incognita. ( + 1; + 3; + 9) Pertanto, cercheremo delle radici tra i valori ( + 1; + ; + ; + 3). Applichiamo lo schema di Horner:

Noi abbiamo ( X – )(9X 2 + 30X + 9) = 0 X 1 = , X 2 = - , X 3 = -3.

Per comodità di calcolo quando si sceglie Q -radici può essere conveniente apportare un cambio di variabile, andare all'equazione sopra e regolare Z -radici.

Formula Cardano. Esiste un metodo universale per risolvere le equazioni cubiche: questa è la formula di Cardano. Questa formula è associata ai nomi dei matematici italiani Gerolamo Cardano (1501–1576), Nicolò Tartaglia (1500–1557), Scipione del Ferro (1465–1526). Questa formula non rientra nell'ambito del nostro corso.

n= 4 è un'equazione di quarto grado.

metodo di raggruppamento.

Esempio: X 4 + 2X 3 + 5X 2 + 4X – 12 = 0 (X 4 + 2X 3) + (5X 2 + 10X) – (6X + 12) = 0 (X + 2)(X 3 + 5X- 6) = 0 (X + 2)(X– 1)(X 2 + X + 6) = 0 X 1 = -2, X 2 = 1.

Metodo di sostituzione variabile.

• Equazione biquadratica della forma ascia 4 + bx 2+s = 0 .

Esempio: X 4 + 5X 2 - 36 = 0. Sostituzione y = X 2. Da qui y 1 = 4, y 2 = -9. Così X 1,2 = + 2 .

Risolviamo combinando termini con gli stessi coefficienti sostituendo la forma

• Equazione generalizzata all'indietro del quarto grado della forma ascia 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k2 a = 0.

Esempio 3 . Sostituzione vista generale(segue dalla forma di una particolare equazione).

n = 3.

Equazione a coefficienti interi. Selezione delle radici Q n = 3.

Formula generale. Esiste un metodo universale per risolvere le equazioni di quarto grado. Questa formula è associata al nome di Ludovico Ferrari (1522-1565). Questa formula non rientra nell'ambito del nostro corso.

n > 5 - equazioni di quinto grado e superiori.

Equazione a coefficienti interi. Selezione delle radici Z in base al teorema. Lo schema di Horner. L'algoritmo è simile a quello discusso sopra per n = 3.

Equazione a coefficienti interi. Selezione delle radici Q in base al teorema. Lo schema di Horner. L'algoritmo è simile a quello discusso sopra per n = 3.

Equazioni simmetriche. Ogni equazione reciproca di grado dispari ha una radice X= -1 e dopo averlo scomposto in fattori, otteniamo che un fattore ha la forma ( X+ 1), e il secondo fattore è un'equazione reciproca di grado pari (il suo grado è uno in meno rispetto al grado dell'equazione originale). Qualsiasi equazione reciproca di grado pari insieme a una radice della forma x = φ contiene anche la radice del modulo. Utilizzando queste affermazioni, risolviamo il problema abbassando il grado dell'equazione in studio.

Metodo di sostituzione variabile. Uso dell'omogeneità.

Non esiste una formula generale per risolvere intere equazioni di quinto grado (lo hanno dimostrato il matematico italiano Paolo Ruffini (1765–1822) e il matematico norvegese Nils Henrik Abel (1802–1829)) e potenze superiori (lo hanno dimostrato i francesi matematico Evariste Galois (1811–1832) )).

• Ricordiamo ancora che in pratica è possibile utilizzare combinazioni i metodi sopra elencati. È conveniente passare a un insieme di equazioni di gradi inferiori di fattorizzazione dell'equazione originale.
• Al di fuori dell'ambito della nostra discussione odierna, sono ampiamente utilizzati nella pratica metodi grafici risolvere equazioni e metodi di soluzione approssimati equazioni di grado superiore.
• Ci sono situazioni in cui l'equazione non ha radici R.
Quindi la soluzione si riduce a mostrare che l'equazione non ha radici. Per dimostrarlo, analizziamo il comportamento delle funzioni considerate su intervalli di monotonia. Esempio: Equazione X 8 – X 3 + 1 = 0 non ha radici.
• Utilizzo della proprietà di monotonia delle funzioni
. Ci sono situazioni in cui l'uso di varie proprietà delle funzioni ci consente di semplificare il compito.
Esempio 1: Equazione X 5 + 3X– 4 = 0 ha una radice X= 1. Per la proprietà di monotonia delle funzioni analizzate, non ci sono altre radici.
Esempio 2: Equazione X 4 + (X– 1) 4 = 97 ha radici X 1 = -2 e X 2 = 3. Dopo aver analizzato il comportamento delle corrispondenti funzioni sugli intervalli di monotonia, concludiamo che non ci sono altre radici.

4. Riassumendo.

Riepilogo: Ora abbiamo imparato i metodi di base per risolvere varie equazioni di grado superiore (per n > 3). Il nostro compito è imparare come utilizzare efficacemente gli algoritmi di cui sopra. A seconda del tipo di equazione, dovremo imparare a determinare quale metodo di soluzione è il più efficace in questo caso, oltre ad applicare correttamente il metodo scelto.

5. Compiti a casa.

: voce 7, pp. 164–174, nn. 33–36, 39–44, 46,47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Possibili argomenti di relazioni o abstract su questo argomento:

• Formula Cardano
• Metodo grafico per la risoluzione di equazioni. Esempi di soluzioni.
• Metodi per la soluzione approssimata di equazioni.

Analisi dell'assimilazione del materiale e dell'interesse degli studenti per l'argomento:

L'esperienza dimostra che l'interesse degli studenti in primo luogo è la possibilità di selezionare Z-radici e Q-radici di equazioni utilizzando un algoritmo abbastanza semplice che utilizza lo schema di Horner. Gli studenti sono anche interessati a vari tipi standard di sostituzione delle variabili, che possono semplificare notevolmente il tipo di problema. I metodi grafici di soluzione sono generalmente di particolare interesse. In questo caso, puoi anche analizzare le attività in un metodo grafico per risolvere le equazioni; discutere forma generale grafici per un polinomio di 3, 4, 5 gradi; analizzare come il numero di radici di equazioni di 3, 4, 5 gradi è correlato al tipo del grafico corrispondente. Di seguito è riportato un elenco di libri in cui è possibile trovare ulteriori informazioni su questo argomento.

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