Условие линейной независимости векторов. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Линейная зависимость и независимость векторов трехмерного пространства. Пространственный базис и аффинная система координат

Определение 18.2 Система функций ф , ..., ф п называется л и- нейп о з а в и с и м. о й на промежутке (а, (3), если некоторая нетривиальная 5 линейная комбинация этих функций равни нулю на этом промежутке тождественно:

Определение 18.3 Система векторов ж 1 , ..., х п называет,ся линейно в а в и с и м о й, если некоторая нетривиальная, линейная комбинация этих векторов равна пулевому вектору:

Л Во избежание путаницы мы в дальнейшем будем номер компоненты вектора (вектор-функции) обозначать нижним индексом, а номер самого вектора (если таких векторов несколько) верхним.

"Напоминаем, что линейная комбинации называется нетривиальной, если не все коэффициенты в ней нулевые.

Определение 18.4 Система вектор-функций х 1 ^),..., x n (t) называется линейн о з а в и с и м о й на промежутке, (а, /3), если некоторая нетривиальная линейная комбинация этих вектор-функций тождественно равна на этом промежутке нулевому вектору:

Важно разобраться в связи этих трех понятий (линейной зависимости функций, векторов и вектор-функций) друг с другом.

Прежде всего, если представить формулу (18.6) в развернутом виде (вспомнив, что каждая из х г (1) является вектором)

то она окажется эквивалентной системе равенств

означающих линейную зависимость г-х компонент в смысле первого определения (как функций). Говорят, что линейная зависимость вектор- функций влечет их покомпонентную линейную зависимость.

Обратное, вообще говоря, неверно: достаточно рассмотреть пример пары вектор-функций

Первые компоненты этих вектор-функций просто совпадают значит, они линейно зависимы. Вторые компоненты пропорциональны, значит. тоже линейно зависимы. Однако если мы попробуем построить их линейную комбинацию, равную нулю тождественно, то из соотношения

немедленно получаем систему

которая имеет единственное решение С - С -2 - 0. Таким образом, наши вектор-функции линейно независимы.

В чем причина такого странного свойства? В чем фокус, позволяющий из заведомо зависимых функций строить линейно независимые вектор-функции?

Оказывается, все дело не столько в линейной зависимости компонент, сколько в той пропорции коэффициентов, которая необходима для получения нуля. В случае линейной зависимости вектор-функций один и тот же набор коэффициентов обслуживает все компоненты независимо от номера. А вот в приведенном нами примере для одной компоненты требовалась одна пропорция коэффициентов, а для другой другая. Так что фокус на самом деле прост: для того, чтобы из „покомпонентной" линейной зависимости получить линейную зависимость вектор-функций целиком, необходимо, чтобы все компоненты были линейно зависимы „в одной и той же пропорции".

Перейдем теперь к изучению связи линейной зависимости вектор- функций и векторов. Здесь почти очевидным является тот факт, что из линейной зависимости вектор-функций следует, что для каждою фиксированного t* вектора

будут линейно зависимы.

Обратное, вообще говоря, места не имеет: из линейной зависимости векторов при каждом t не следует линейная зависимость вектор-функций. Это легко увидеть на примере двух вектор-функций

При t = 1, t = 2 и t = 3 мы получаем пары векторов

соответственно. Каждая пара векторов пропорциональна (с коэффициентами 1,2 и 3 соответственно). Нетрудно понять, что для любого фиксированного t* наша пара векторов будет пропорциональна с коэффициентом t*.

Если же мы попытаемся построить линейную комбинацию вектор- функций, равную нулю тождественно, то уже первые компоненты дают нам соотношение

что возможно лишь если С = С 2 = 0. Таким образом, наши вектор- функции оказались линейно независимыми. Опять же объяснение такого эффекта состоит в том, что в случае линейной зависимости вектор- функций один и тот же набор констант Cj обслуживает все значения t, а в нашем примере для каждого значения t требовалась своя пропорция между коэффициентами.

Пусть функции , имеют производные предела (n-1).

Рассмотрим определитель: (1)

W(x) называется определителем Вронского для функций .

Теорема 1. Если функции линейно зависимы в интервале (a, b), то их вронскиан W(x) тождественно равен нулю в этом интервале.

Доказательство. По условию теоремы выполняется соотношение

, (2) где не все равны нулю. Пусть . Тогда

(3). Дифференцируем это тождество n-1 раз и,

Подставляя вместо их полученные значения в определитель Вронского,

получаем:

(4).

В определителе Вронского последний столбец является линейной комбинацией предыдущих n-1 столбцов и поэтому равен нулю во всех точках интервала (a, b).

Теорема 2. Если функции y1,…, yn являются линейно независимыми решениями уравнения L[y] = 0, все коэффициенты которого непрерывны в интервале (a, b), то вронскиан этих решений отличен от нуля в каждой точке интервала (a, b).

Доказательство. Допустим противное. Существует Х0, где W(Х0)=0. Составим систему n уравнений

(5).

Очевидно, что система (5) имеет ненулевое решение. Пусть (6).

Составим линейную комбинацию решений y1,…, yn.

У(х) является решением уравнения L[y] = 0. Кроме этого . В силу теоремы единственности решения уравнения L[y] = 0 с нулевыми начальными условиями может быть только нулевым, т. е. .

Мы получаем тождество , где не все равны нулю, а это означает, что y1,…, yn линейно зависимы, что противоречит условию теоремы. Следовательно, нет такой точки где W(Х0)=0.

На основе теоремы 1 и теоремы 2 можно сформулировать следующее утверждение. Для того, чтобы n решений уравнения L[y] = 0 были линейно независимы в интервале (a, b), необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан не обращался в нуль ни в одной точке этого интервала.

Из доказанных теорем также следуют такие очевидные свойства вронскиана.

1. Если вронскиан n решений уравнения L[y] = 0 равен нулю в одной точке х = х0 из интервала (a, b), в котором все коэффициенты рi(x) непрерывны, то он равен нулю во всех точках этого интервала.
2. Если вронскиан n решений уравнения L[y] = 0 отличен от нуля в одной точке х = х0 из интервала (a, b), то он отличен от нуля во всех точках этого интервала.

Таким образом, для линейности n независимых решений уравнения L[y] = 0 в интервале (a, b), в котором коэффициенты уравнения рi(x) непрерывны, необходимо и достаточно, чтобы их вронскиан был отличен от нуля хоть в одной точке этого интервала.

Линейные (векторные) пространства.

Определение: Множество L называется линейным (векторным) пространством , если на нем введены две операции:

1) сложение: для любых х, у Є L сумма (х + у) Є L ,

2) умножение на число: для любого х Є L и любого числа λ произведение

λх Є L ,

которые удовлетворяют 8 аксиомам:

1) х + у = у + х , где х,у Є L;

2) (х + у)+z = x+(у + z) , где х,у,z Є L;

3) существует нулевой элемент Ө такой, что Ө + х = х , где х Є L;

4) для любого х Є L существует единственный противоположный элемент

(–х) такой, что х + (-х)= Ө;

5) 1·х = х , где х Є L;

6) α(βх) = (αβ)х , где х Є L , α и β- числа;

7) α(х + у) = αх + αу , где х,у Є L , α- число;

8) (α + β) х = αх + βх , где х Є L , α и β- числа.

Замечание : Элементы линейного (векторного) пространства называют векторами .

Примеры:

Множество действительных чисел является линейным пространством.

Множества всех векторов на плоскости и в пространстве являются линейным пространством.

Множество всех матриц одного размера является линейным пространством.

Дана в линейном пространстве система векторов а 1, а 2, а 3, … а n Є L .

Определение: Вектор α 1 а 1 + α 2 а 2 +…+ α n а n Є L , где α i (i = 1,…,n) - числа, называется линейной комбинацией(ЛК) векторов а 1, а 2, а 3, … а n .

Определение: Система векторов линейного пространства а 1, а 2, а 3, … а n Є L называется линейно независимой (ЛНЗ) , если линейная комбинация

α 1 а 1 + α 2 а 2 +α 3 а 3 +…+ α n а n =0 тогда и только тогда, когда коэффициенты

α 1 =α 2 =α 3 =…=α n =0 .

Определение: Система векторов а 1, а 2, а 3, … а n Є L называется линейно зависимой (ЛЗ) , если существует набор чисел α 1, α 2 ,α 3 … α n , не все из которых равны 0, такие что линейная комбинация α 1 а 1 + α 2 а 2 +…+ α n а n = 0 .

Примеры:

Два вектора называются коллинеарными , если они параллельны одной прямой или лежат на одной прямой.

1) Рассмотрим два ненулевых, неколлинеарных вектора на плоскости. Диагональ =0 .

Линейная комбинация равна нулю, есть не нулевой коэффициент, следовательно, два коллинеарных вектора на плоскости линейно зависимы.

Теорема 1. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости.

Для того чтобы система векторов линейного пространства была линейно зависимой необходимо и достаточно, чтобы какой-нибудь вектор этой системы был линейной комбинацией всех остальных.

Док-во: Необходимость ().

Дана ЛЗ система. Нужно доказать, что один вектор ЛК всех остальных.

а 1, а 2, а 3, … а n – ЛЗ система векторов, т.е. среди α 1, α 2 ,α 3 … α n существует число отличное от нуля так, что ЛК α 1 а 1 + α 2 а 2 +α 3 а 3 +…+ α n а n = 0 .

Положим для определения, что коэффициент α 1 ≠ 0 . Разделим обе части последнего равенства на α 1 ≠ 0 :

Отсюда следует, что а 1 - ЛК остальных векторов.

Необходимость доказана.

Достаточность ().

Пусть один вектор – это линейная комбинация остальных. Нужно доказать, что система векторов ЛЗ.

Пусть α n = α 1 а 1 + α 2 а 2 +α 3 а 3 +…+ α n -1 а n -1 .

α 1 а 1 + α 2 а 2 +α 3 а 3 +…+ α n -1 а n -1 - 1α n = 0 .

Так как есть не нулевой коэффициент, то система векторов а 1, а 2, а 3, … а n - линейно зависима.

Теорема 2. Система, содержащая нуль-вектор, линейна зависима.

Док-во: Рассмотрим систему векторов, содержащую нуль-вектор. а 1, а 2, а 3, … а n ,Ө , где Ө ‒ нуль-вектор. Очевидно, что имеет место следующее равенство 0·а 1 + 0· а 2 +0· а 3 +…+ 5·Ө = 0 .

Есть не равный нулю коэффициент, равный 5, а линейная комбинация равна 0, отсюда следует, что система векторов ЛЗ.

Теорема 3. Система, содержащая линейно зависимую подсистему, тоже будет линейно зависима.

Док-во: Рассмотрим систему векторов а 1, а 2, …,а к, а к+1 … а n , где а 1, а 2,…, а к - линейно зависимый кусочек. α 1 а 1 + α 2 а 2 + … +α к а к = 0 . Есть коэффициент отличный от нуля.

Очевидно, что с этими же коэффициентами будет выполняться равенство

α 1 а 1 + α 2 а 2 +…+α к а к +…+0· а к+1 +…+ 0·α n = 0 .

Отсюда следует, что система векторов ЛЗ.

В данной статье мы расскажем:

• что такое коллинеарные векторы;
• какие существуют условия коллинеарности векторов;
• какие существуют свойства коллинеарных векторов;
• что такое линейная зависимость коллинеарных векторов.

Коллинеарные векторы - это векторы, которые являются параллелями одной прямой или лежат на одной прямой.

Пример 1

Условия коллинеарности векторов

Два векторы являются коллинеарными, если выполняется любое из следующих условий:

• условие 1 . Векторы a и b коллинеарны при наличии такого числа λ , что a = λ b ;
• условие 2 . Векторы a и b коллинеарны при равном отношении координат:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• условие 3 . Векторы a и b коллинеарны при условии равенства векторного произведения и нулевого вектора:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Замечание 1

Условие 2 неприменимо, если одна из координат вектора равна нулю.

Замечание 2

Условие 3 применимо только к тем векторам, которые заданы в пространстве.

Примеры задач на исследование коллинеарности векторов

Исследуем векторы а = (1 ; 3) и b = (2 ; 1) на коллинеарность.

Как решить?

В данном случае необходимо воспользоваться 2-м условием коллинеарности. Для заданных векторов оно выглядит так:

Равенство неверное. Отсюда можно сделать вывод, что векторы a и b неколлинеарны.

Ответ : a | | b

Пример 2

Какое значение m вектора a = (1 ; 2) и b = (- 1 ; m) необходимо для коллинеарности векторов?

Как решить?

Используя второе условие коллинераности, векторы будут коллинеарными, если их координаты будут пропорциональными:

Отсюда видно, что m = - 2 .

Ответ: m = - 2 .

Критерии линейной зависимости и линейной независимости систем векторов

Система векторов векторного пространства линейно зависима только в том случае, когда один из векторов системы можно выразить через остальные векторы данной системы.

Доказательство

Пусть система e 1 , e 2 , . . . , e n является линейно зависимой. Запишем линейную комбинацию этой системы равную нулевому вектору:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

в которой хотя бы один из коэффициентов комбинации не равен нулю.

Пусть a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Делим обе части равенства на ненулевой коэффициент:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Обозначим:

A k - 1 a m , где m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

В таком случае:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

или e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Отсюда следует, что один из векторов системы выражается через все остальные векторы системы. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Достаточность

Пусть один из векторов можно линейно выразить через все остальные векторы системы:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Переносим вектор e k в правую часть этого равенства:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Поскольку коэффициент вектора e k равен - 1 ≠ 0 , у нас получается нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 , e 2 , . . . , e n , а это, в свою очередь, означает, что данная система векторов линейно зависима. Что и требовалось доказать (ч.т.д.).

Следствие:

• Система векторов является линейно независимой, когда ни один из ее векторов нельзя выразить через все остальные векторы системы.
• Система векторов, которая содержит нулевой вектор или два равных вектора, линейно зависима.

Свойства линейно зависимых векторов

1. Для 2-х и 3-х мерных векторов выполняется условие: два линейно зависимых вектора - коллинеарны. Два коллинеарных вектора - линейно зависимы.
2. Для 3-х мерных векторов выполняется условие: три линейно зависимые вектора - компланарны. (3 компланарных вектора - линейно зависимы).
3. Для n-мерных векторов выполняется условие: n + 1 вектор всегда линейно зависимы.

Примеры решения задач на линейную зависимость или линейную независимость векторов

Проверим векторы a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 на линейную независимость.

Решение. Векторы являются линейно зависимыми, поскольку размерность векторов меньше количества векторов.

Пример 4

Проверим векторы a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 на линейную независимость.

Решение. Находим значения коэффициентов, при которых линейная комбинация будет равняться нулевому вектору:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Записываем векторное уравнение в виде линейного:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Решаем эту систему при помощи метода Гаусса:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 3-ей - 1-ю:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Из 1-й строки вычитаем 2-ю, к 3-ей прибавляем 2-ю:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Из решения следует, что у системы множество решений. Это значит, что существует ненулевая комбинация значения таких чисел x 1 , x 2 , x 3 , при которых линейная комбинация a , b , c равняется нулевому вектору. Следовательно, векторы a , b , c являются линейно зависимыми. ​​​​​​​

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Векторное пространство. Примеры и простейшие св-ва векторных пространств.Линейная зависимость и независиость системы векторов.Базис и ранг конечной системы векторов.

Линейное, или векторное пространство L(P) над полем P- это непустое множество L, на котором введены операции:

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый x + yϵL

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу λ ϵ P и любому элементу x ϵ L ставится в соответствие единственный элемент из L(P) , обозначаемый λx ϵ L(P).

При этом на операции накладываются следующие условия:

1. x + y = y+ x, для любых х,у ϵ L.(коммукативностьсожения)

2.x + (y+ z) = (x+ y) + z, х,у,z ϵ L.(ассоциативность сожения)

3.существует такое θ ϵ L,чтоx + θ =x для любогоx ϵ L (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;

4.для любого x ϵ L существует такой элемент -x ϵ L , что x +(-х)= θ (существование противоположного элемента относительно сложения).

5.(αβ)х=α(βх), (ассоциативность умножения на скаляр)

6.1*х=х (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

7.(α+ β)* х = α* х + β*х , (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. α * (х+ у) =α *х + α *у , (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P - скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Простейшие св-ва:

1.Векторное пространство является абелевой группой по сложению.

2.Для любого x ϵ L противоположный элемент -x ϵ L является единственным

3. 0* х = θ, для любого x ϵ L

4. 1*(-х)=-х для любого x ϵ L

5.α * θ = θ , для любогоα ϵ L

Примером ВП яв-ся м\во матриц с вещественными компонентами одинакового порядка с естественным определением операций сложения и умнож. Матриц на веществ-ое число

Линейная зависимость\(не) системы векторов(определние,св-ва)

Теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)

Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система e 1 ..e n линейно зависимая. Тогда, по определению, она представляет нулевой вектор нетривиально, т.е. существует нетривиальная линейная комбинация данной системы векторов равная нулевому вектору:

α 1 e 1 +..+ α n e n =0, где хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации не равен нулю. Пусть α k ≠0 ,kϵ 1,2…n Разделим обе части предыдущего равенства на этот ненулевой коэффициент (т.е. умножим на α k -1 *(α 1 e 1 +..+ αa n e n) =0

Обозначим: α k -1 α m =β m где mϵ 1,2…,k-1,k+1,..,n Тогда β 1 e 1+ … +β 1 e n =0 т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие векторы этой системы, ч.т.д.

Достаточность. Пусть один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы: e k =γ 1 e 1+..+ γ n e n , Перенесем вектор e k в правую часть этого равенства: 0=γ 1 e 1+..+ γ n e n

Так как коэффициент при векторе e k равен -1≠0, то мы имеем нетривиальное представление нуля системой векторов e 1 ..e n что означает, что эта система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие.

1. Система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.

2. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.

Следствие.

Система, состоящая из одного вектора является линейно независимой тогда и только тогда, когда этот вектор ненулевой.

Ба́зис - множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества - базисных векторов.

Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов, называется рангом системы.

Теорема. Пусть даны две системы п- мерных векторов:

a 1 ,a 2 ,¼,a r (9)

b 1 ,b 2 ,¼,b s , (10)

не обязательно линейно независимые, причём ранг системы (9) равен числу k , ранг системы (10) – числу l . Если первая система линейно выражается через вторую, то k £ l . Если же эти системы эквивалентны , то k = l .

Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество - базисом