Ortogonal sistem teriminin geçtiği sayfalara bakın. Ortogonal sistem teriminin Fransız hükümet sistemi, oy hakkı ve seçim sisteminden bahsedildiği sayfalara bakın

Vektörlerin böyle bir alt kümesi $\backslash sol\backslash (\; \backslash varphi\_i\; \backslash sağ\backslash )\backslash altküme\; H$ herhangi bir farklı ikisinin ortogonal olduğu, yani nokta çarpımlarının sıfır olduğu:

$(\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_j)\; =\; 0$.

Bir ortogonal sistem, tamamlanmışsa, uzay için bir temel olarak kullanılabilir. Bu durumda, herhangi bir elemanın ayrışması $\backslash vec\; bir$ formüller kullanılarak hesaplanabilir: $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_i\; \backslash varphi\_i$, nerede $\backslash alpha\_i\; =\; \backslash frac((\backslash vec\; a,\; \backslash varphi\_i))((\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_i))$.

Tüm unsurların normunun olduğu durum $||\backslash varphi\_i||=1$, bir ortonormal sistem denir.

ortogonalizasyon

Sonlu boyutlu bir uzayda herhangi bir tam lineer bağımsız sistem bir temeldir. Bu nedenle basit bir temelden ortonormal bir temele geçilebilir.

ortogonal ayrıştırma

Bir vektör uzayının vektörlerini ortonormal bir temelde ayrıştırırken, skaler ürünün hesaplanması basitleştirilir: $(\backslash vec\; a,\; \backslash vec\; b)\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_k\backslash beta\_k$, nerede $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_k\; \backslash varphi\_k$ ve $\backslash vec\; b\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash beta\_k\; \backslash varphi\_k$.

Ayrıca bakınız

"Ortogonal sistem" makalesi hakkında bir inceleme yazın

Ortogonal sistemi karakterize eden bir alıntı

Tanım. vektörlera veb skaler çarpımı sıfıra eşitse, birbirine dik (dik) denir, yani.a × b = 0.

Sıfır olmayan vektörler için a ve b sıfır skaler çarpım, çünkü j= 0, yani . Sıfır vektörü herhangi bir vektöre diktir, çünkü a × 0 = 0.

Bir egzersiz. Ortogonal vektörler olsun ve olsun. O zaman kenarları olan bir dikdörtgenin köşegenini düşünmek doğaldır ve . Kanıtla

şunlar. bir dikdörtgenin köşegen uzunluğunun karesi, paralel olmayan iki kenarının uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir(Pisagor teoremi).

Tanım. vektör sistemia 1 ,…, a Bu sistemin herhangi iki vektörü ortogonal ise m ortogonal olarak adlandırılır..

Böylece, bir ortogonal vektör sistemi için a 1 ,…,a m eşitlik doğrudur: a i × a j= 0 i¹ j, i= 1,…, m; j= 1,…,m.

teorem 1.5. Sıfır olmayan vektörlerden oluşan bir ortogonal sistem lineer olarak bağımsızdır. .

□ Çelişki ile ispatlayalım. Sıfır olmayan vektörlerden oluşan bir ortogonal sistemin a 1 , …, a m lineer bağımlı. O zamanlar

1 a 1 + …+ l ma m= 0 , burada . (1.15)

Örneğin, l 1 ¹ 0 olsun. a 1 eşitliğin her iki tarafı (1.15):

1 a 1× a 1 + …+ l m a m × a 1 = 0.

İlki hariç tüm terimler, sistemin dikliği nedeniyle sıfıra eşittir. a 1 , …, a m. o zaman ben 1 a 1× a 1 = 0, nereden geliyor a 1 = 0 , bu durumla çelişir. Varsayımımızın yanlış olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle, sıfırdan farklı vektörlerin ortogonal sistemi lineer olarak bağımsızdır. ■

Aşağıdaki teorem geçerlidir.

Teorem 1.6. R n uzayında her zaman ortogonal vektörlerden oluşan bir taban vardır (ortogonal taban)
(kanıt yok).

Ortogonal tabanlar, her şeyden önce uygundur, çünkü bu tür tabanlardaki rastgele bir vektörün genişleme katsayıları kolayca belirlenir.

Rastgele bir vektörün ayrışmasını bulmamız istensin. b ortogonal olarak e 1 ,…,e n. Şimdiye kadar bilinmeyen genişleme katsayıları ile bu vektörün genişlemesini bu temelde oluşturalım:

Bu eşitliğin her iki tarafını vektörle skaler olarak çarpın e bir . Vektörlerin skaler çarpımının 2° ve 3° aksiyomları sayesinde, şunu elde ederiz:

Temel vektörlerden beri e 1 ,…,e n karşılıklı olarak ortogonal ise, birincisi hariç olmak üzere temel vektörlerin tüm skaler ürünleri sıfıra eşittir, yani. katsayı formülle belirlenir

Sırasıyla eşitliği (1.16) diğer temel vektörlerle çarparak, vektörün genişleme katsayılarını hesaplamak için basit formüller elde ederiz. b :

Formüller (1.17) mantıklı çünkü .

Tanım. Vektöra uzunluğuna eşitse normalleştirilmiş (veya birim) olarak adlandırılır. 1, yani (a , a )= 1.

Sıfır olmayan herhangi bir vektör normalleştirilebilir. İzin vermek a ¹ 0 . O zaman , ve vektör normalleştirilmiş bir vektördür.

Tanım. vektör sistemi e 1 ,…,e n, ortogonal ise ve sistemin her vektörünün uzunluğu ise ortonormal olarak adlandırılır. 1, yani

R n uzayı her zaman ortogonal bir tabana sahip olduğundan ve bu tabanın vektörleri normalleştirilebildiğinden, R n her zaman bir ortonormal tabana sahiptir.

R n uzayı için bir ortonormal taban örneği, vektörler sistemidir. e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) eşitlik (1.9) ile tanımlanan skaler ürün ile. ortonormal bir temelde e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n Vektörün ayrışmasının koordinatlarını belirlemek için =(0,0,…,1) formülleri (1.17) b en basit forma sahip:

İzin vermek a ve b bir ortonormal tabanlı R n uzayında iki rastgele vektördür e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Vektörlerin koordinatlarını belirtin a ve b temelde e 1 ,…,e n sırasıyla a 1 ,…,a n ve b 1 ,…, b n ve verilen tabandaki koordinatları cinsinden bu vektörlerin skaler çarpımının ifadesini bulun, yani. farz edelim ki

Son eşitlikten, skaler çarpım ve bağıntıların aksiyomları sayesinde (1.18) şunu elde ederiz:

Sonunda elimizde

Böylece, ortonormal bir temelde, herhangi iki vektörün skaler çarpımı, bu vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının çarpımlarının toplamına eşittir..

Şimdi n-boyutlu R n Öklid uzayında tamamen keyfi (genel olarak konuşursak, ortonormal olmayan) bir temel düşünelim ve iki keyfi vektörün skaler çarpımı için ifadeyi bulalım. a ve b Bu vektörlerin koordinatları üzerinden belirtilen esasa göre. f 1 ,…,f nÖklid uzayı R n herhangi iki vektörün skaler çarpımı, bu vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının çarpımlarının toplamına eşitse, temelin gerekli ve yeterli olması gerekir. f 1 ,…,f n ortonormal idi.

Gerçekten de, (1.20) ifadesi (1.19) olur, ancak ve ancak tabanın ortonormalliğini oluşturan bağıntılar karşılanırsa f 1 ,…,f n.

1) O. öyle ki (x bir , x ab)=0'da. Ek olarak, her vektörün normu bire eşitse, sistem (x a ) olarak adlandırılır. ortonormal. O. s'yi tamamlayın. (xa) denir. ortogonal (ortonormal) temel. M.I. Voitsekhovsky.

2) O. s. koordinatlar - bir koordinat sistemi ve hangi koordinat çizgileri (veya yüzeyleri) dik açılarda kesişir. İşletim sistemi. koordinatlar herhangi bir Öklid uzayında bulunur, ancak genel olarak konuşursak, keyfi bir uzayda mevcut değildir. İki boyutlu bir düz afin uzayda O. s. her zaman en azından her noktanın yeterince küçük bir komşuluğunda tanıtılabilir. O.'nun tanıtımı bazen ile mümkündür. durumda koordinatlar. O. ile. metrik tensör g ij köşegenler; diyagonal bileşenler gii olarak kabul edildi Topal katsayılar. topal katsayısıİşletim sistemi. uzayda formüllerle ifade edilir

nerede x, y ve z- Kartezyen dikdörtgen koordinatlar. Uzunluk unsuru, Lame katsayıları ile ifade edilir:

yüzey alanı elemanı:

hacim öğesi:

vektör diferansiyel işlemleri:

En sık kullanılan O. s. koordinatlar: düzlemde - Kartezyen, kutupsal, eliptik, parabolik; uzayda - küresel, silindirik, paraboloidal, bisilindirik, bipolar. D.D. Sokolov.

3) O. s. fonksiyonlar - sonlu veya sayma sistemi (j i(x)) uzaya ait fonksiyonların

L2(X, S, m) ve koşulların sağlanması

eğer ben i=1 hepsi için i, sonra sistem denir ortonormal. X kümesinin alt kümelerinin S-cebirinde tanımlanan m(x) ölçüsünün sayılabilir toplamsal, tam ve sayılabilir bir tabana sahip olduğu varsayılır. Bu, O.'nun s tanımıdır. O. of page'in modern analizinde ele alınan her şeyi içerir; ölçü uzayının çeşitli somut gerçekleşmeleri için elde edilirler ( X, S, m).

En büyük ilgi, tam ortonormal sistemlerdir (j n(x)), herhangi bir fonksiyon için uzay metriğinde f(x)'e yakınsayan benzersiz bir serinin olması özelliğine sahiptir. L2(X, S, m) , katsayılar ise p ile Fourier formülleri tarafından belirlenir

Bu tür sistemler, uzayın ayrılabilirliği nedeniyle mevcuttur. L2(X, S, m). Tam ortonormal sistemler oluşturmak için evrensel bir yöntem, Schmidt dikleştirme yöntemi ile sağlanır. Bunu yapmak için, onu bazı eksiksizlere uygulamak yeterlidir. L2(S, X, m) lineer bağımsız fonksiyonlardan oluşan bir sistem.

Teoride ortogonal satırlar genellikle sayfanın O. tarafından kabul edilir. Uzay L2[bir, b](bu özel durum X=[bir, b], S- bir Lebesgue ölçülebilir kümeleri sistemi ve m, Lebesgue ölçüsüdür). Serinin genel o. s'ye göre yakınsaklığı veya toplanabilirliği ile ilgili birçok teorem. (j n(x)) boşluklar L2[bir, b] uzayın ortonormal sistemlerindeki seriler için de geçerlidir L2(X, S, m). Aynı zamanda, bu özel durumda, şu ya da bu türden iyi özelliklere sahip ilginç beton dik sistemler inşa edilmiştir. Örneğin, Haar, Rademacher, Walsh-Paley, Franklin'in sistemleri bunlardır.

1) Haar sistemi

nerede m=2 n+k, , m=2, 3, ... . Haar serisi tipik bir örneği temsil eder martingaller ve martingale teorisinin genel teoremleri onlar için geçerlidir. Ayrıca, sistem bir temeldir. lp, , ve Haar sistemindeki herhangi bir integrallenebilir fonksiyonun Fourier serisi hemen hemen her yerde yakınsar.

2) Rademacher sistemi

O. of page'in önemli bir örneğini temsil eder. bağımsız fonksiyonlardır ve hem olasılık teorisinde hem de ortogonal ve genel fonksiyonel seriler teorisinde uygulamaları vardır.

3) Walsh-Paley sistemi Rademacher işlevleri aracılığıyla tanımlanır:

sayılar nerede q k n sayısının ikili açılımından belirlenir:

4) Franklin sistemi, fonksiyon dizisinin Schmidt yöntemiyle ortogonalleştirilmesiyle elde edilir.

Sürekli fonksiyonların C uzayı için ortogonal bir temel örneğidir.

Çoklu ortogonal seriler teorisinde, formun fonksiyon sistemleri

ortonormal sistem nerede L2[bir, b]. Bu tür sistemler m-boyutlu küp üzerinde ortonormaldir. Jm =[bir, b]x . . .x[ bir, b] ve sistem (j n(x))

Aydınlatılmış.:[l] Kaczmarz S., Steinhaus G., Ortogonal seriler teorisi, çev. Almanca'dan, M., 1958; Bilimin sonuçları. Matematiksel analiz, 1970, M., 1971, s. 109-46; Temsilci. 147-202; Dub J., Olasılıksal süreçler, çev. İngilizce'den, M., 1956; Loev M., Olasılık Teorisi, çev. İngilizce'den, M., 1962; Sigmund A., Trigonometrik seriler, çev. İngilizce'den, cilt 1-2, M., 1965. A.A. Talalyan.

• - Hilbert uzayı L2'ye ait olan ve gnas fonksiyonunun şartlarını sağlayan sonlu veya sayılabilir bir fonksiyonlar sistemi. tartım O. s. f.,* karmaşık çekim anlamına gelir...

  Fiziksel Ansiklopedi

• n-boyutlu bir vektör uzayı V'nin, V üzerinde sabit bir dejenere olmayan ikinci dereceden Q formunu koruyan bir k alanı üzerindeki tüm lineer dönüşümlerinin grubudur)=Q herhangi biri için)...

  Matematik Ansiklopedisi

• transpoze matrisin tersi ile çakıştığı, kimliği 1 olan bir değişmeli R halkası üzerindeki bir matristir. O. m.'nin determinantı +1'e eşittir ...

  Matematik Ansiklopedisi

• - farklı ailelerin çizgilerine bir noktada teğetlerin dik olduğu bir ağ. O. s. örnekleri: minimal bir yüzeyde asimptotik ağ, çizgi eğriliği ağı. A.V. İvanov...

  Matematik Ansiklopedisi

• ortogonal bir dizidir, OA, elemanları 1, 2, ..... sayıları olan kx N boyutunda bir matristir.

  Matematik Ansiklopedisi

• - izogonal yörüngeye bakın...

  Matematik Ansiklopedisi

• - Türkçe: Sistem "jeneratör - motor" Dönüştürme cihazı bir elektrikli makine dönüştürme birimi olan düzenlenmiş elektrikli tahrik Kaynak: Elektrik enerjisi endüstrisindeki terimler ve tanımlar ...

  inşaat sözlüğü

• - bkz. Projeksiyon...

  Büyük ansiklopedik politeknik sözlük

• - Temsilci organ için aday gösteren partiler arasında aldıkları oy sayısına göre görev dağılımının yapıldığı seçimlerin sonuçlarının belirlenmesi prosedürü ...

  Hukuki terimler sözlüğü

• - bir tür orantılı seçim sistemi. Nihai sonuçlarda, gösterişli ve tercihli oylama ile orantılı bir sistemi andırıyor ...

  Hukuki terimler sözlüğü

• - yavruların üreme sürecine dahil olan insan vücudunun organları ...

  Tıbbi terimler

• - çoğu çekirdekli hücrenin yüzeyinde bulunan polimorfik proteinleri kodlayan dört tip gen dizisi ...

  Tıbbi terimler

• - sipariş n Matrix...
• - eksen veya projeksiyon düzlemi projeksiyon yönüne dik olduğunda özel bir paralel projeksiyon durumu ...

  Büyük Sovyet Ansiklopedisi

• - fonksiyonlar sistemi (), n = 1, 2,..., aralıkta ρ ağırlıklı ortogonal, yani. Örnekler. Trigonometrik sistem 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O. s. f. segmentte ağırlığı 1 olan...

  Büyük Sovyet Ansiklopedisi

• - ORTOGONAL FONKSİYONLAR sistemi - fonksiyonlar sistemi??n?, n=1, 2,.....

  Büyük ansiklopedik sözlük

Kitaplarda "ORTOGONAL SİSTEM"

Bölüm XXIV Eski siper savaşı sistemi ve modern yürüyüş sistemi