En büyük ortak böleni. Karşılıklı asal sayılar. En küçük ortak Kat. Hangi sayılar göreceli olarak asaldır? Eş asal sayıların özellikleri nelerdir? Eş asal sayıların özellikleri

a ve b doğal sayılarına denir karşılıklı olarak asal, eğer en büyük ortak bölenleri 1 ise (OBEB(a; b) = 1). Başka bir deyişle, a ve b sayılarının 1'den başka ortak böleni yoksa aralarında asaldırlar.

Eş asal sayı çiftlerine örnekler: 2 ve 5, 13 ve 16, 35 ve 88, vb. Birkaç eş asal sayı belirtebilirsiniz; örneğin, 7, 9, 16 sayıları eş asaldır.

Çoğu zaman eş asal sayılar şu şekilde gösterilir: (a, b) = 1. Örneğin, (23, 30) = 1. Bu gösterim, bir bakıma, iki sayının en büyük ortak böleninin kısa gösterimidir (OBEB(23) , 30) = 1) ve en büyük ortak bölenlerinin 1 olduğunu söylüyor.

Birbirine komşu iki doğal sayı her zaman aralarında asal olacaktır.Örneğin, 15 ve 16, tıpkı 16 ve 17 gibi bir çift asal sayıdır. Eğer a ve b gibi iki doğal sayının, kendisinden daha büyük olan aynı doğal sayıya bölünebildiği "kuralını" hesaba katarsanız, bunu anlamak kolaydır. 1'den ( n > 1) ise farkları da bu n sayısına bölünebilir olmalıdır (burada a, b ve farklarının bir tamsayıya bölünebildiğini, yani n sayısının katları olduklarını kastediyoruz). Ancak a ve b iki bitişik sayıysa (a olsun)< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

Eş asal sayıların ve asal sayıların tanımından şu sonuç da çıkar: farklı asal sayılar her zaman aralarında asaldır. Sonuçta herhangi bir asal sayının bölenleri yalnızca kendisi ve 1'dir.

Eş asal sayıların özellikleri

• Bir eş asal sayı çiftinin en küçük ortak katı (LCM), bunların çarpımına eşittir.Örneğin, (3, 8) = 1 (bu eş asal anlamına gelir), dolayısıyla LCM'leri 3 × 8 = 24'tür (LCM(3, 8) = 24). Aslında hem 3'ün hem de 8'in katı olan 24'ten daha küçük bir sayı bulamazsınız.
• Eğer a ve b sayıları aralarında asalsa ve c sayısı hem a hem de b'nin katıysa, bu sayı aynı zamanda ab çarpımının da katı olacaktır. Bu şu şekilde yazılabilir: eğer c a ve c b ise, o zaman c ab. Örneğin (3, 10) = 1, 60 sayısı hem 3'ün hem de 10'un katıdır ve aynı zamanda 30'un (3 × 10) katıdır.
• Eğer a ve b sayıları aralarında asalsa ve c sayısı b'nin (c b) katıysa, ac çarpımı da b'nin (ac b) katı olacaktır. Örneğin, (2, 17) = 1, c = 34 olsun. 34 sayısı b = 17'nin katıdır, o zaman ac = 2 × 34 = 68. Şunu kontrol ederiz: 68 ÷ 17 = 4, yani şuna bölünebilir: bir bütün, yani 68, 17'nin katıdır.

Genellikle burada listelenenlerden daha fazla mülk vardır. Ayrıca eş asal sayıların özellikleri farklı şekillerde formüle edilmiştir. Bu özelliklerin kanıtlanması da gerekebilir (bu durumda herhangi bir kanıt sunulmamaktadır).

Asal sayıların en büyük ortak böleni her zaman birdir.

Eş asal sayı düğümlerine örnekler.

11 ve 7 numaralarının GCD'si

11 ve 7 sayıları aralarında asaldır ve aynı zamanda asaldır.

11 ve 7 sayılarının 1'den başka ortak böleni yoktur.

gcd(11, 7) = 1

11 ve 15 numaralarının GCD'si

11 ve 15 sayıları aralarında asaldır. Ayrıca 11 asal sayı, 15 ise bileşik sayıdır.

11'in bölenleri 1 ve 11'dir.

15'in bölenleri 1,3,5,15'tir.

Gördüğünüz gibi 11 ve 15 sayılarının tek ortak böleni 1 sayısıdır. Dolayısıyla birim 11 ve 15 sayılarının OBEB'idir:

gcd(11, 15) = 1

10 ve 21 numaralarının GCD'si

10 ve 21 sayıları aralarında asaldır. Üstelik hem 10 sayısı hem de 21 sayısı bileşiktir.

10'un çarpanları 1,2,5,10'dur.

21'in çarpanları 1, 3, 7, 21'dir.

Gördüğünüz gibi 10 ve 21 sayılarının tek ortak böleni 1 sayısıdır. Dolayısıyla birim 10 ve 21 sayılarının OBEB'idir:

gcd(21, 10) = 1

16 ve 23 numaralı GCD

16 ve 23 sayıları aralarında asaldır. Ayrıca 23 asal sayı, 16 ise bileşik sayıdır.

Görev: GCD ve LCM sayılarını en uygun şekilde bulun:

a) 12 ve 40; b) 9 ve 40; c) 12 ve 72.

Göreve 5 dakika süre verilir.

Her egzersizi çözmenin en uygun yolu nedir?

Slaytla analiz.

a) Asal çarpanlara ayırarak çözmek daha uygundur

12 = 2·2·3; 40 = 2 2 2 5

OBEB(12;40)=2·2=4; LCM(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

b) 9 ve 40 sayılarının ortak bölenleri var mıdır? (var, 1.)

Bu sayılara ne denir? ? (karşılıklı olarak asaldır.)

Bu sayıların gcd'si nedir? ? (OEB(9,40) = 1)

Bu sayıların LCM'si nedir? ? (NOC(9;40) = 9·40=360.)

c) 12 ve 72 sayıları hakkında ne söyleyebilirsiniz? ? (72 bölü 12) Hangi kuralı biliyoruz? (eğer bir sayı diğerine bölünebiliyorsa, o zaman GCD = en küçük sayı ve LCM = en büyük sayı)

gcd(12;72) = 12; LCM(12;72) = 72

Öğretmenin masasında bulunan standartla elde ettiğiniz verileri kontrol edin.

FO: Standart sayfasında yazan kriterlere göre kendilerini değerlendiriyorlar. Kriterin yanındaki kutuyu işaretleyerek.

7 tik – yüksek seviye

6-4 tik – ortalama seviye

1-3 tik – düşük seviye

Fizminutka

Hızla ayağa kalktılar, gülümsediler,

Kendilerini giderek daha yükseğe çektiler.

Peki, omuzlarınızı düzeltin,

Yükselt, indir.

Sağa dön sola dön,

Dizlerinizle ellerinize dokunun.

Oturdular, kalktılar, oturdular, ayağa kalktılar,

Ve olay yerinde koştular.

Öğretmen sorusu: GCD ve sayılara ilişkin LCA bilgimizi halihazırda nerede kullanıyoruz?

Sorunları çözerken.

Öğretmen masasının önlerinde 21 yapraktan oluşan “Görev Papatyası” bulunmaktadır.

Kırmızı Yaprak – C seviyesi görevler.

Sarı taç yaprağı – B düzeyi görevler.

Yeşil taç yaprağı – A düzeyi görevler.

FO: Kırmızı yaprakların baskın sayısı yüksek düzeyde emilimi, sarı - ortalama düzeyde emilimi ve yeşil - düşük düzeyde emilimi gösterir.