Unghiul de rotație al secțiunii transversale. Biblioteca electronică științifică Calculul deplasării fasciculului în timpul îndoirii

Cursul 13 (continuare). Exemple de soluții pentru calcularea deplasărilor folosind metoda Mohr-Vereshchagin și probleme pentru soluții independente

Determinarea deplasărilor în grinzi

Exemplul 1.

Determinați mișcarea unui punct LA grinzi (vezi figura) folosind integrala Mohr.

Soluţie.

1) Compunem o ecuație pentru momentul încovoietor dintr-o forță externă M F .

2) Aplicați la punctul LA forță unitară F = 1.

3) Notăm ecuația momentului încovoietor dintr-o forță unitară.

4) Determinați mișcările

Exemplul 2.

Determinați mișcarea unui punct LA grinzi conform metodei lui Vereshchagin.

Soluţie.

1) Construim o diagramă de marfă.

2) Aplicam o forta unitara in punctul K.

3) Construim o singură diagramă.

4) Determinați deformarea

Exemplul 3.

Determinați unghiurile de rotație pe suporturi AȘi ÎN

Soluţie.

Construim diagrame dintr-o sarcină dată și din momente individuale aplicate în secțiuni AȘi ÎN(Vezi poza). Determinăm deplasările necesare folosind integralele Mohr

,

, pe care îl calculăm folosind regula lui Vereșchagin.

Găsirea parametrilor plotului

C 1 = 2/3, C 2 = 1/3,

iar apoi unghiurile de rotatie pe suporturi AȘi ÎN

Exemplul 4.

Determinați unghiul de rotație al secțiunii CU pentru un fascicul dat (vezi figura).

Soluţie.

Determinarea reacțiilor de sprijin R A =R B ,

, , R A = R B = qa.

Construim diagrame ale momentului încovoietor dintr-o sarcină dată și dintr-un singur moment aplicat în secțiune CU, unde se cauta unghiul de rotatie. Calculăm integrala Mohr folosind regula lui Vereshchagin. Găsirea parametrilor plotului

C 2 = -C 1 = -1/4,

iar de-a lungul lor mişcarea dorită

Exemplul 5.

Determinați deformarea în secțiune CU pentru un fascicul dat (vezi figura).

Soluţie.

Diagramă M F(Fig. b)

Reacții de sprijin:

FI: , ,

, R B + R E = F, R E = 0;

AB: , R A = R ÎN = F; , .

Calculăm momentele în puncte caracteristice, M B = 0, M C = Fași construiți o diagramă a momentului încovoietor de la o sarcină dată.

Diagramă(Fig. c).

În secțiune transversală CU, unde se caută deformarea, aplicăm o forță unitară și construim o diagramă a momentului încovoietor din aceasta, calculând mai întâi reacțiile de sprijin FI - , , = 2/3; , , = 1/3, iar apoi momente în punctele caracteristice , , .

2. Determinarea deformarii dorite. Să folosim regula lui Vereshchagin și să calculăm mai întâi parametrii diagramelor și:

,

Deformarea secțiunii CU

Exemplul 6.

Determinați deformarea în secțiune CU pentru un fascicul dat (vezi figura).

Soluţie.

CU. Folosind regula lui Vereshchagin, calculăm parametrii diagramelor ,

și găsiți devierea dorită

Exemplul 7.

Determinați deformarea în secțiune CU pentru un fascicul dat (vezi figura).

Soluţie.

1. Construirea diagramelor momentelor încovoietoare.

Reacții de sprijin:

, , R A = 2qa,

, R A + R D = 3qa, R D = qa.

Construim diagrame ale momentelor încovoietoare dintr-o sarcină dată și dintr-o forță unitară aplicată într-un punct CU.

2. Determinarea mișcărilor. Pentru a calcula integrala Mohr, folosim formula lui Simpson, aplicând-o succesiv la fiecare dintre cele trei secțiuni în care este împărțit fasciculul.

ComplotAB :

ComplotSoare :

ComplotCU D :

Mișcare necesară

Exemplul 8.

Determinați deformarea secțiunii Ași unghiul de rotație al secțiunii E pentru un fascicul dat (Fig. A).

Soluţie.

1. Construirea diagramelor momentelor încovoietoare.

Diagramă M F(orez. V). După ce au determinat reacțiile de sprijin

, , R B = 19qa/8,

, R D = 13qa/8, construim diagrame ale forței transversale Qși momentul încovoietor M F de la o sarcină dată.

Diagramă(Fig. d). În secțiune transversală A, unde se caută deformarea, aplicăm o forță unitară și construim o diagramă a momentului încovoietor din aceasta.

Diagramă(Fig. e). Această diagramă este construită dintr-un singur moment aplicat în secțiune E, unde se cauta unghiul de rotatie.

2. Determinarea mișcărilor. Deformarea secțiunii A găsim folosind regula lui Vereșchagin. Epure M F la site-uri SoareȘi CDÎl împărțim în părți simple (Fig. d). Vă prezentăm calculele necesare sub forma unui tabel.

Primim.

Semnul minus din rezultat înseamnă că punctul A nu se deplasează în jos, așa cum a fost direcționată forța unitară, ci în sus.

Unghiul de rotație al secțiunii E găsim în două moduri: prin regula lui Vereșchagin și prin formula lui Simpson.

Conform regulii lui Vereshchagin, înmulțirea diagramelor M F si, prin analogie cu cea precedenta, obtinem

,

Pentru a găsi unghiul de rotație folosind formula lui Simpson, calculăm momentele încovoietoare preliminare în mijlocul secțiunilor:

Deplasarea necesară, crescută cu EI X o singura data,

Exemplul 9.

Determinați la ce valoare a coeficientului k deformarea secțiunii CU va fi egal cu zero. Când valoarea este găsită k construiți o diagramă a momentului încovoietor și descrieți o vedere aproximativă a liniei elastice a grinzii (vezi figura).

Soluţie.

Construim diagrame ale momentelor încovoietoare dintr-o sarcină dată și dintr-o forță unitară aplicată în secțiune CU, unde se caută devierea.

În funcție de condițiile problemei V C= 0. Pe de altă parte, . Integrală în complot AB calculăm folosind formula lui Simpson și în secțiune Soare– conform regulii lui Vereșchagin.

Găsim dinainte

Mutarea unei secțiuni CU ,

De aici , .

Când valoarea este găsită k determinați valoarea reacției suport în punct A: , , , din care găsim poziția punctului extremum pe diagramă M conform conditiei .

Pe baza valorilor momentului în puncte caracteristice

Construim o diagramă a momentului încovoietor (Fig. d).

Exemplul 10.

ÎN grinda cantilever prezentată în figură.

Soluţie.

M din acţiunea unei forţe externe concentrate F: M ÎN = 0, M A = –F 2l(grafic liniar).

În funcție de condițiile problemei, este necesar să se determine deplasarea verticală la ÎN puncte ÎN grindă cantilever, prin urmare construim o diagramă unitară a acțiunii unei forțe unitare verticale F i = 1 aplicat la punct ÎN.

Avand in vedere ca grinda cantilever este formata din doua sectiuni cu rigiditati la incovoiere diferite, diagrame si MÎnmulțim folosind regula lui Vereshchagin cu secțiuni separat. Diagrame Mși înmulțiți prima secțiune folosind formula și diagramele celei de-a doua secțiuni - ca zona diagramei M a doua secțiune Fl 2 / 2 la ordonata 2 l/3 diagrame ale celei de-a doua secțiuni sub centrul de greutate al diagramei triunghiulare M aceeași zonă.

În acest caz formula ofera:

Exemplul 11.

Determinați deplasarea verticală a unui punct ÎN grinda cu o singură travă prezentată în figură. Grinda are o rigiditate constantă la încovoiere pe toată lungimea sa. EI.

Soluţie.

Construim o diagramă a momentelor încovoietoare M din acțiunea unei sarcini externe distribuite: M A = 0; M D = 0;

Aplicați la punct ÎN forța verticală unitară F i = 1 și construiți o diagramă (vezi figura):

Unde R A = 2/3;

Unde R d = 1/3, deci M A = 0; M d = 0; .

Să împărțim fasciculul în cauză în 3 secțiuni. Înmulțirea diagramelor din secțiunile 1 și 3 nu provoacă dificultăți, deoarece înmulțim diagramele triunghiulare. Pentru a aplica regula lui Vereshchagin la a doua secțiune, să împărțim diagrama M A 2-a secțiune în două componente ale diagramei: dreptunghiulară și parabolică cu zonă (vezi tabel).

Centrul de greutate al părții parabolice a diagramei M se află la mijlocul secțiunii a 2-a.

Deci formula folosind regula lui Vereshchagin dă:

Exemplul 12.

Determinați deformarea maximă într-o grindă cu două suporturi încărcată cu o sarcină de intensitate distribuită uniform q(Vezi poza).

Soluţie.

Găsirea momentelor încovoietoare:

De la o sarcină dată

Dintr-o forță unitară aplicată într-un punct CU unde se caută devierea.

Calculăm deformarea maximă necesară care apare în secțiunea mijlocie a fasciculului

Exemplul 13.

Determinați deformarea într-un punct ÎN fasciculul prezentat în figură.

Soluţie.

Construim diagrame ale momentelor încovoietoare dintr-o sarcină dată și o forță unitară aplicată într-un punct ÎN. Pentru a multiplica aceste diagrame, fasciculul trebuie împărțit în trei secțiuni, deoarece o singură diagramă este limitată la trei linii drepte diferite.

Operația de multiplicare a diagramelor din a doua și a treia secțiune se realizează simplu. Apar dificultăți la calcularea ariei și coordonatele centrului de greutate al diagramei principale din prima secțiune. În astfel de cazuri, construirea diagramelor stratificate simplifică foarte mult soluția problemei. În acest caz, este convenabil să luați una dintre secțiuni în mod condiționat ca staționar și să construiți diagrame pentru fiecare dintre sarcini, abordând această secțiune din dreapta și din stânga. Este recomandabil să luați secțiunea de la locul fracturii ca una staționară în diagrama sarcinilor unitare.

O diagramă stratificată în care secțiunea este considerată staționară ÎN, este prezentat în figură. După ce au calculat ariile părților componente ale diagramei stratificate și ordonatele corespunzătoare ale diagramei unitare, obținem

Exemplul 14.

Determinați deplasările în punctele 1 și 2 ale grinzii (Fig. a).

Soluţie.

Iată diagramele MȘi Q pentru grinzi la A=2 m; q=10 kN/m; CU=1,5A; M=0,5qa 2 ; R=0,8qa; M 0 =M; =200 MPa (Fig. bȘi V).

Să determinăm deplasarea verticală a centrului secțiunii în care se aplică momentul concentrat. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un fascicul într-o stare sub influența doar a unei forțe concentrate aplicată în punctul 1 perpendicular pe axa fasciculului (în direcția deplasării dorite) (Fig. d).

Să calculăm reacțiile de sprijin compunând trei ecuații de echilibru

Examinare

Reacțiile au fost găsite corect.

Pentru a construi o diagramă, luați în considerare trei secțiuni (Fig. d).

1 parcela

a 2-a secțiune

Secțiunea 3

Folosind aceste date, construim o diagramă (Fig. e) din partea fibrelor întinse.

Să determinăm prin formula lui Mohr folosind regula lui Vereshchagin. În acest caz, o diagramă curbă în zona dintre suporturi poate fi reprezentată ca adunarea a trei diagrame. Săgeată

Semnul minus înseamnă că punctul 1 se mișcă în sus (în direcția opusă).

Să determinăm deplasarea verticală a punctului 2, unde se aplică forța concentrată. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un fascicul în stare sub influența doar a unei forțe concentrate aplicate în punctul 2 perpendicular pe axa fasciculului (în direcția deplasării dorite) (Fig. e).

Diagrama este construită similar cu cea anterioară.

Punctul 2 se deplasează în sus.

Să determinăm unghiul de rotație al secțiunii în care se aplică momentul concentrat.

îndoire dreaptă. Cot transversal plat 1.1. Construirea diagramelor factorilor de forță interni pentru grinzi 1.2. Construirea diagramelor Q și M folosind ecuațiile 1.3. Construirea diagramelor Q și M folosind secțiuni (puncte) caracteristice 1.4. Calcule de rezistență la încovoiere directă a grinzilor 1.5. Tensiuni principale la îndoire. Verificarea completă a rezistenței fasciculului 1.6. Conceptul centrului de îndoire 1.7. Determinarea deplasărilor în grinzi în timpul îndoirii. Concepte de deformare a grinzii și condiții de rigiditate a acestora 1.8. Ecuația diferențială a axei curbe a unei grinzi 1.9. Metoda de integrare directă 1.10. Exemple de determinare a deplasărilor în grinzi folosind metoda integrării directe 1.11. Sensul fizic al constantelor de integrare 1.12. Metoda parametrilor inițiali (ecuația universală a axei curbe a unei grinzi) 1.13. Exemple de determinare a deplasărilor într-o grindă folosind metoda parametrilor inițiali 1.14. Determinarea deplasărilor folosind metoda lui Mohr. Regula A.K. Vereshchagina 1.15. Calculul integralei Mohr conform regulii lui A.K. Vereshchagina 1.16. Exemple de determinare a deplasărilor folosind integrala Mohr Bibliografie 4 1. Încovoiere directă. Cot transversal plat. 1.1. Construirea diagramelor factorilor de forță interni pentru grinzi Încovoierea directă este un tip de deformare în care în secțiunile transversale ale tijei apar doi factori de forță interni: un moment încovoietor și o forță transversală. Într-un caz particular, forța tăietoare poate fi zero, atunci încovoierea se numește pură. În îndoirea transversală plană, toate forțele sunt situate într-unul dintre planurile principale de inerție ale tijei și perpendicular pe axa longitudinală a acesteia, iar momentele sunt situate în același plan (Fig. 1.1, a, b). Orez. 1.1 Forța transversală într-o secțiune transversală arbitrară a unei grinzi este numeric egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe normala la axa grinzii a tuturor forțelor externe care acționează pe o parte a secțiunii luate în considerare. Forța laterală în secțiune transversală m-n grinzile (Fig. 1.2, a) este considerată pozitivă dacă rezultanta forțelor externe din stânga secțiunii este îndreptată în sus, iar spre dreapta - în jos și negativă - în cazul opus (Fig. 1.2, b). Orez. 1.2 La calcularea forței transversale într-o secțiune dată, forțele externe situate în stânga secțiunii sunt luate cu semnul plus dacă sunt îndreptate în sus și cu semnul minus dacă sunt îndreptate în jos. Pentru partea dreaptă a fasciculului - invers. 5 Momentul încovoietor într-o secțiune transversală arbitrară a unei grinzi este numeric egal cu suma algebrică a momentelor în jurul axei centrale z a secțiunii tuturor forțelor externe care acționează pe o parte a secțiunii luate în considerare. Momentul încovoietor în secțiunea m-n a grinzii (Fig. 1.3, a) este considerat pozitiv dacă momentul rezultant al forțelor externe din stânga secțiunii este îndreptat în sensul acelor de ceasornic, iar spre dreapta - în sens invers acelor de ceasornic și negativ - în sens opus caz (Fig. 1.3, b). Orez. 1.3 La calcularea momentului încovoietor într-o secțiune dată, momentele forțelor exterioare situate în stânga secțiunii sunt considerate pozitive dacă sunt direcționate în sensul acelor de ceasornic. Pentru partea dreaptă a fasciculului - invers. Este convenabil să se determine semnul momentului încovoietor după natura deformării grinzii. Momentul încovoietor este considerat pozitiv dacă, în secțiunea luată în considerare, partea tăiată a grinzii se îndoaie convex în jos, adică fibrele inferioare sunt întinse. În cazul opus, momentul încovoietor în secțiune este negativ. Există relații diferențiale între momentul încovoietor M, forța tăietoare Q și intensitatea sarcinii q. 1. Prima derivată a forței tăietoare de-a lungul abscisei secțiunii este egală cu intensitatea sarcinii distribuite, adică. . (1.1) 2. Prima derivată a momentului încovoietor de-a lungul abscisei secțiunii este egală cu forța transversală, adică (1.2) 3. Derivata a doua de-a lungul abscisei secțiunii este egală cu intensitatea sarcinii distribuite, adică (1.3) Considerăm pozitivă sarcina distribuită direcționată în sus. Din relaţiile diferenţiale dintre M, Q, q rezultă o serie de concluzii importante: 1. Dacă pe secţiunea grinzii: a) forţa transversală este pozitivă, atunci momentul încovoietor creşte; b) forţa tăietoare este negativă, atunci momentul încovoietor scade; c) forța transversală este zero, atunci momentul încovoietor are o valoare constantă (încovoiere pură); 6 d) forța transversală trece prin zero, schimbând semnul din plus în minus, max M M, în cazul opus M Mmin. 2. Dacă nu există sarcină distribuită pe secțiunea grinzii, atunci forța transversală este constantă, iar momentul încovoietor se modifică conform unei legi liniare. 3. Dacă există o sarcină distribuită uniform pe o secțiune a grinzii, atunci forța transversală se schimbă conform unei legi liniare, iar momentul încovoietor - conform legii unei parabole pătrate, îndreptată convex în direcția sarcinii ( în cazul construcţiei diagramei M din partea fibrelor întinse). 4. În secțiunea sub o forță concentrată, diagrama Q are un salt (după mărimea forței), diagrama M are o îndoire în direcția forței. 5. În secțiunea în care se aplică un moment concentrat, diagrama M are un salt egal cu valoarea acestui moment. Acest lucru nu este reflectat în diagrama Q. Când grinzile sunt încărcate cu încărcare complexă, sunt trasate diagrame ale forțelor transversale Q și ale momentelor încovoietoare M. Diagrama Q(M) este un grafic care arată legea modificării forței transversale (momentul încovoietor) de-a lungul lungimii grinzii. Pe baza analizei diagramelor M și Q, se determină secțiuni periculoase ale fasciculului. Ordonatele pozitive ale diagramei Q sunt așezate în sus, iar ordonatele negative sunt stabilite de la linia de bază trasată paralel cu axa longitudinală a fasciculului. Sunt stabilite ordonatele pozitive ale diagramei M, iar ordonatele negative sunt așezate în sus, adică diagrama M este construită din partea fibrelor întinse. Construcția diagramelor Q și M pentru grinzi ar trebui să înceapă cu determinarea reacțiilor de sprijin. Pentru o grindă cu un capăt prins și celălalt capăt liber, construcția diagramelor Q și M poate fi începută de la capătul liber, fără a se determina reacțiile în înglobare. 1.2. Construcția diagramelor Q și M folosind ecuațiile Grinzii este împărțită în secțiuni în care funcțiile pentru momentul încovoietor și forța tăietoare rămân constante (nu au discontinuități). Limitele secțiunilor sunt punctele de aplicare a forțelor concentrate, perechile de forțe și locurile de modificare a intensității sarcinii distribuite. La fiecare secțiune se ia o secțiune arbitrară la distanța x de originea coordonatelor, iar pentru această secțiune se întocmesc ecuații pentru Q și M. Folosind aceste ecuații se construiesc diagrame ale lui Q și M. Exemplul 1.1 Construiți diagrame de transversală forțele Q și momentele încovoietoare M pentru o grindă dată (Fig. 1.4,a). Rezolvare: 1. Determinarea reacţiilor de suport. Compunem ecuații de echilibru: din care obținem Reacțiile suporturilor se determină corect. Grinda are patru secțiuni Fig. 1,4 încărcări: CA, AD, DB, BE. 2. Construcția diagramei Q. Secțiunea CA. În secțiunea CA 1, desenăm o secțiune arbitrară 1-1 la o distanță x1 de capătul stâng al grinzii. Definim Q ca suma algebrică a tuturor forțelor externe care acționează în stânga secțiunii 1-1: 1 Q 3 0 kN. Semnul minus este luat deoarece forța care acționează în stânga secțiunii este îndreptată în jos. Expresia pentru Q nu depinde de variabila x1. Diagrama Q din această secțiune va fi reprezentată ca o linie dreaptă paralelă cu axa absciselor. Sectiunea AD. Pe secțiune desenăm o secțiune arbitrară 2-2 la o distanță x2 de capătul stâng al grinzii. Definim Q2 ca suma algebrică a tuturor forțelor externe care acționează în stânga secțiunii 2-2: Valoarea lui Q este constantă pe secțiune (nu depinde de variabila x2). Graficul Q de pe secțiune este o linie dreaptă paralelă cu axa absciselor. Plot DB. Pe site desenăm o secțiune arbitrară 3-3 la o distanță x3 de capătul drept al grinzii. Definim Q3 ca suma algebrică a tuturor forțelor externe care acționează în dreapta secțiunii 3-3: . Expresia rezultată este ecuația unei drepte înclinate. Sectiunea BE. Pe site desenăm o secțiune 4-4 la o distanță x4 de capătul drept al grinzii. Definim Q ca suma algebrică a tuturor forțelor externe care acționează în dreapta secțiunii 4-4: Aici se ia semnul plus deoarece sarcina rezultantă din dreapta secțiunii 4-4 este îndreptată în jos. Pe baza valorilor obținute construim diagrame Q (Fig. 1.4, b). 3. Construcția diagramei M. Secțiunea CA m1. Definim momentul încovoietor în secțiunea 1-1 ca fiind suma algebrică a momentelor forțelor care acționează în stânga secțiunii 1-1. – ecuația unei drepte. Complot. 3Definăm momentul încovoietor în secțiunea 2-2 ca fiind suma algebrică a momentelor forțelor care acționează în stânga secțiunii 2-2. – ecuația unei drepte. Complot. 4Definăm momentul încovoietor în secțiunea 3-3 ca fiind suma algebrică a momentelor forțelor care acționează în dreapta secțiunii 3-3. – ecuația unei parabole pătratice. 9 Găsim trei valori la capetele secțiunii și în punctul cu coordonata xk, unde de aici avem kNm. Complot. 1Definăm momentul încovoietor în secțiunea 4-4 ca fiind suma algebrică a momentelor forțelor care acționează în dreapta secțiunii 4-4. – ecuația unei parabole pătratice, găsim trei valori ale lui M4: Utilizând valorile obținute, construim o diagramă a lui M (Fig. 1.4, c). În secțiunile CA și AD, diagrama Q este limitată de drepte paralele cu axa absciselor, iar în secțiunile DB și BE - de drepte înclinate. În secțiunile C, A și B de pe diagrama Q există salturi în mărimea forțelor corespunzătoare, care servește drept verificare pentru corectitudinea diagramei Q. În secțiunile în care Q 0, momentele cresc de la stânga la dreapta. În zonele în care Q 0, momentele scad. Sub forțele concentrate există îndoituri în direcția acțiunii forțelor. Sub momentul concentrat are loc un salt în magnitudinea momentului. Aceasta indică corectitudinea construcției diagramei M. Exemplul 1.2 Construiți diagramele Q și M pentru o grindă pe doi suporturi încărcate cu o sarcină distribuită, a cărei intensitate variază după o lege liniară (Fig. 1.5, a). Soluție Determinarea reacțiilor de suport. Rezultanta sarcinii distribuite este egală cu aria triunghiului, care este o diagramă a sarcinii și se aplică la centrul de greutate al acestui triunghi. Compilăm sumele momentelor tuturor forțelor raportate la punctele A și B: Construind diagrama Q. Să desenăm o secțiune arbitrară la distanța x de suportul din stânga. Ordonata diagramei de sarcină corespunzătoare secțiunii se determină din asemănarea triunghiurilor.Rezultanta acelei părți a sarcinii care se află în stânga secțiunii.Forța transversală în secțiune este egală.Forța transversală se modifică în funcție de la legea unei parabole pătrate.Echivalând cu zero ecuația forței transversale, găsim abscisa secțiunii în care diagrama Q trece prin zero: Diagrama Q este prezentată în Fig. 1.5, b. Momentul încovoietor într-o secțiune arbitrară este egal cu. Momentul încovoietor variază conform legii unei parabole cubice: Momentul încovoietor are valoarea maximă în secțiunea în care Q 0, adică la Diagrama M este prezentată în Fig. 1.5, c. 1.3. Construirea diagramelor lui Q și M din secțiuni (puncte) caracteristice Folosind dependențe diferențiale dintre M, Q, q și concluziile care decurg din acestea, se recomandă construirea diagramelor lui Q și M din secțiuni caracteristice (fără a întocmi ecuații). Folosind această metodă, valorile lui Q și M sunt calculate în secțiuni caracteristice. Secțiunile caracteristice sunt secțiunile limită ale secțiunilor, precum și secțiunile în care un factor de forță intern dat are o valoare extremă. În limitele dintre secțiunile caracteristice, conturul 12 al diagramei se stabilește pe baza dependențelor diferențiale dintre M, Q, q și a concluziilor care decurg din acestea. Exemplul 1.3 Construiți diagramele Q și M pentru grinda prezentată în Fig. 1.6, a. Începem să construim diagramele Q și M de la capătul liber al grinzii, în timp ce reacțiile în înglobare nu trebuie determinate. Grinda are trei secțiuni de încărcare: AB, BC, CD. Nu există sarcină distribuită în secțiunile AB și BC. Forțele tăietoare sunt constante. Diagrama Q este limitată la linii drepte paralele cu axa x. Momentele încovoietoare variază liniar. Diagrama M este limitată de linii drepte înclinate pe axa absciselor. Există o sarcină distribuită uniform pe secțiunea CD. Forțele transversale variază conform unei legi liniare, iar momentele încovoietoare - conform legii unei parabole pătrate cu convexitate în direcția sarcinii distribuite. La limita secțiunilor AB și BC, forța transversală se modifică brusc. La limita secțiunilor BC și CD, momentul încovoietor se modifică brusc. 1. Construcția diagramei Q. Calculăm valorile forțelor transversale Q în secțiunile limită ale secțiunilor: Pe baza rezultatelor calculului, construim diagrama Q pentru grinda (Fig. 1, b). Din diagrama Q rezultă că forţa transversală în secţiunea CD este egală cu zero în secţiunea situată la o distanţă qa a q  de la începutul acestei secţiuni. În această secțiune, momentul încovoietor are valoarea sa maximă. 2. Construcția diagramei M. Calculăm valorile momentelor încovoietoare în secțiunile limită ale secțiunilor: La Kx3, momentul maxim în secțiune.Pe baza rezultatelor calculului, construim diagrama M (Fig. 5.6, c) . Exemplul 1.4 Folosind o diagramă dată a momentelor încovoietoare (Fig. 1.7, a) pentru o grindă (Fig. 1.7, b), determinați sarcinile care acționează și construiți diagrama Q. Cercul indică vârful unei parabole pătrate. Soluție: Să determinăm sarcinile care acționează asupra grinzii. Secțiunea AC este încărcată cu o sarcină uniform distribuită, deoarece diagrama M din această secțiune este o parabolă pătrată. În secțiunea de referință B, se aplică fasciculului un moment concentrat, acționând în sensul acelor de ceasornic, deoarece în diagrama M avem un salt în sus cu mărimea momentului. În secțiunea NE, fasciculul nu este încărcat, deoarece diagrama M din această secțiune este limitată de o linie dreaptă înclinată. Reacția suportului B este determinată din condiția ca momentul încovoietor în secțiunea C să fie egal cu zero, adică pentru a determina intensitatea sarcinii distribuite, creăm o expresie pentru momentul încovoietor din secțiunea A ca suma momentelor de forțele din dreapta și echivalăm cu zero. Acum determinăm reacția suportului A. Pentru aceasta Să creăm o expresie pentru momentele încovoietoare în secțiune ca suma momentelor forțelor din stânga, de unde Fig. 1.7 Verificare Schema de proiectare a grinzii cu sarcină este prezentată în Fig. 1.7, c. Pornind de la capătul din stânga al grinzii, calculăm valorile forțelor transversale în secțiunile limită ale secțiunilor: Diagrama Q este prezentată în Fig. 1.7, d. Problema considerată poate fi rezolvată prin întocmirea dependențelor funcționale pentru M, Q în fiecare secțiune. Să alegem originea coordonatelor la capătul stâng al fasciculului. În secțiunea AC, diagrama M este exprimată printr-o parabolă pătrată, a cărei ecuație are forma Constanțele a, b, c se găsesc din condiția ca parabola să treacă prin trei puncte cu coordonate cunoscute: Înlocuind coordonatele punctelor în ecuaţia parabolei se obţine: Expresia momentului încovoietor va fi Diferenţierea funcţiei M1 , se obţine dependenţa forţei transversale După diferenţierea funcţiei Q, se obţine o expresie a intensităţii sarcinii distribuite. În secțiunea NE, expresia momentului încovoietor este prezentată sub forma unei funcții liniare.Pentru a determina constantele a și b, folosim condițiile ca această dreaptă să treacă prin două puncte ale căror coordonate sunt cunoscute. obținem două ecuații: din care avem a 10, b  20. Ecuația pentru momentul încovoietor în secțiunea NE va fi După dubla diferențiere a lui M2, vom găsi. Folosind valorile găsite ale lui M și Q, construim diagrame ale momentelor încovoietoare și ale forțelor tăietoare pentru grinda. Pe lângă sarcina distribuită, asupra fasciculului se aplică forțe concentrate în trei secțiuni, unde există salturi pe diagrama Q și momente concentrate în secțiunea în care există un șoc pe diagrama M. Exemplul 1.5 Pentru o grindă (Fig. 1.8, a), se determină poziția rațională a balamalei C, la care cel mai mare moment încovoietor din deschidere este egal cu momentul încovoietor din ansamblu (în valoare absolută). Construiți diagrame de Q și M. Rezolvare Determinarea reacțiilor suport. În ciuda faptului că numărul total de legături de sprijin este de patru, fasciculul este determinat static. Momentul încovoietor în balamaua C este zero, ceea ce ne permite să creăm o ecuație suplimentară: suma momentelor din jurul balamalei a tuturor forțelor externe care acționează pe o parte a acestei balamale este egală cu zero. Să alcătuim suma momentelor tuturor forțelor la dreapta balamalei C. Diagrama Q pentru grinda este limitată de o dreaptă înclinată, deoarece q = const. Determinăm valorile forțelor transversale în secțiunile limită ale grinzii: abscisa xK a secțiunii, unde Q = 0, este determinată din ecuația din care diagrama M pentru fascicul este limitată de o parabolă pătrată. Expresiile pentru momentele încovoietoare în secțiuni, unde Q = 0, și respectiv în înglobare se scriu astfel: Din condiția de egalitate a momentelor, obținem o ecuație pătratică pentru parametrul dorit x: Valoare reală. Determinăm valorile numerice ale forțelor transversale și ale momentelor încovoietoare în secțiunile caracteristice ale grinzii.Figura 1.8, b prezintă diagrama Q, iar în Fig. 1.8, c – diagrama M. Problema luată în considerare ar putea fi rezolvată prin împărțirea grinzii articulate în elementele sale constitutive, așa cum se arată în Fig. 1.8, d. La început se determină reacţiile suporturilor VC şi VB. Diagramele lui Q și M sunt construite pentru grinda suspendată SV din acțiunea sarcinii aplicate acesteia. Apoi se deplasează la fasciculul principal AC, încărcându-l cu o forță suplimentară VC, care este forța de presiune a fasciculului CB asupra fasciculului AC. După aceea, diagramele Q și M sunt construite pentru fasciculul AC. 1.4. Calcule de rezistență la încovoiere directă a grinzilor Calcule de rezistență bazate pe tensiuni normale și forfecare. Când o grindă se îndoaie direct în secțiunile sale transversale, apar tensiuni normale și tangenţiale (Fig. 1.9). Tensiunile normale sunt asociate cu momentul încovoietor, tensiunile tăietoare sunt asociate cu forța tăietoare. În îndoirea dreaptă pură, tensiunile tăietoare sunt zero. Tensiunile normale într-un punct arbitrar al secțiunii transversale a unei grinzi sunt determinate de formula (1.4) unde M este momentul încovoietor într-o secțiune dată; Iz – momentul de inerție al secțiunii față de axa neutră z; y este distanța de la punctul în care este determinată tensiunea normală până la axa z neutră. Tensiunile normale de-a lungul înălțimii secțiunii se modifică conform unei legi liniare și ating cea mai mare valoare în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră.Dacă secțiunea este simetrică față de axa neutră (Fig. 1.11), atunci Fig. 1.11 cele mai mari tensiuni de tracțiune și compresiune sunt aceleași și sunt determinate de formula - momentul axial de rezistență al unei secțiuni la încovoiere. Pentru o secțiune dreptunghiulară cu lățimea b și înălțimea h: (1.7) Pentru o secțiune circulară cu diametrul d: (1.8) Pentru o secțiune inelară (1.9) unde d0 și d sunt diametrele interior și, respectiv, exterior ale inelului. Pentru grinzile din materiale plastice, cele mai raționale sunt formele simetrice de 20 de secțiuni (grindă în I, în formă de cutie, inelară). Pentru grinzile din materiale fragile care nu rezistă în mod egal la tensiune și compresie, secțiunile care sunt asimetrice față de axa z neutră (grindă în T, în formă de U, grinzi în I asimetrice) sunt raționale. Pentru grinzile cu secțiune transversală constantă din materiale plastice cu forme de secțiune transversală simetrică, condiția de rezistență se scrie după cum urmează: (1.10) unde Mmax este momentul încovoietor maxim în modul; – efort admisibil pentru material. Pentru grinzile cu secțiune transversală constantă din materiale plastice cu forme de secțiune transversală asimetrică, condiția de rezistență se scrie sub următoarea formă: Pentru grinzile din materiale fragile cu secțiuni asimetrice față de axa neutră, dacă diagrama M este lipsit de ambiguitate (Fig. 1.12), trebuie scrise două condiții de rezistență unde yP,max , yC,max – distanțe de la axa neutră până la punctele cele mai îndepărtate ale zonelor întinse și respectiv comprimate ale secțiunii periculoase; – tensiuni admisibile în tracțiune și respectiv compresiune. Fig.1.12. 21 Dacă diagrama momentelor încovoietoare are secțiuni de semne diferite (Fig. 1.13), atunci pe lângă verificarea secțiunii 1-1, unde acționează Mmax, este necesar să se calculeze cele mai mari tensiuni de întindere pentru secțiunea 2-2 (cu cea mai mare momentul semnului opus). Orez. 1.13 Alături de calculul principal folosind tensiuni normale, în unele cazuri este necesară verificarea rezistenței grinzii folosind tensiuni tangenţiale. Tensiunile tangenţiale în grinzi sunt calculate utilizând formula lui D.I. Zhuravsky (1.13) unde Q este forţa transversală în secţiunea transversală a grinzii luate în considerare; Szотс - moment static relativ la axa neutră a zonei părții de secțiune situată pe o parte a unei drepte trasate printr-un punct dat și paralelă cu axa z; b – lăţimea secţiunii la nivelul punctului luat în considerare; Iz este momentul de inerție al întregii secțiuni față de axa neutră z. În multe cazuri, tensiunile de forfecare maxime apar la nivelul stratului neutru al grinzii (dreptunghi, grindă în I, cerc). În astfel de cazuri, condiția de rezistență pentru tensiunile tangențiale este scrisă sub forma (1.14) unde Qmax este cea mai mare forță transversală ca mărime; – efortul de forfecare admisibil pentru material. Pentru o secțiune dreptunghiulară a unei grinzi, condiția de rezistență are forma 22 (1.15) A - aria secțiunii transversale a grinzii. Pentru o secțiune circulară, condiția de rezistență este prezentată sub forma (1.16). Pentru o secțiune în I, condiția de rezistență se scrie după cum urmează: (1.17) unde Szo,тmсax este momentul static al semisecțiunii relativ la neutru. axă; d – grosimea peretelui grinzii I. De obicei, dimensiunile secțiunii transversale ale unei grinzi sunt determinate din condiția de rezistență la solicitări normale. Verificarea rezistenței grinzilor prin efort de forfecare este obligatorie pentru grinzile scurte și grinzile de orice lungime dacă în apropierea suporturilor există forțe concentrate de mare magnitudine, precum și pentru grinzile din lemn, nituite și sudate. Exemplul 1.6 Verificați rezistența unei grinzi cu secțiune cutie (Fig. 1.14) folosind tensiuni normale și forfecare, dacă 0 MPa. Construiți diagrame în secțiunea periculoasă a fasciculului. Orez. 1.14 Rezolvarea 23 1. Construirea diagramelor lui Q și M folosind secțiuni caracteristice. Având în vedere partea stângă a grinzii, obținem Diagrama forțelor transversale este prezentată în Fig. 1.14, c. . Diagrama momentelor încovoietoare este prezentată în Fig. 5.14, g. 2. Caracteristicile geometrice ale secțiunii transversale 3. Cele mai mari tensiuni normale din secțiunea C, unde acționează Mmax (modulo): Tensiunile normale maxime în grinda sunt aproape egale cu cele admisibile. 4. Cele mai mari tensiuni tangențiale în secțiunea C (sau A), unde acționează momentul static al ariei semisecțiunii față de axa neutră; b2 cm – lăţimea secţiunii la nivelul axei neutre. 5. Tensiuni tangențiale într-un punct (în perete) din secțiunea C: Iată momentul static al ariei părții secțiunii situate deasupra liniei care trece prin punctul K1; b2 cm – grosimea peretelui în punctul K1. Diagramele pentru secțiunea C a grinzii sunt prezentate în Fig. 1.15. Exemplul 1.7 Pentru fasciculul prezentat în Fig. 1.16, a, necesar: 1. Construiți diagrame de forțe transversale și momente încovoietoare de-a lungul secțiunilor (puncte) caracteristice. 2. Determinați dimensiunile secțiunii transversale sub formă de cerc, dreptunghi și grinzi în I din starea de rezistență la solicitări normale, comparați zonele secțiunii transversale. 3. Verificați dimensiunile selectate ale secțiunilor grinzii în funcție de solicitarea tangenţială. Soluție: 1. Determinați reacțiile suporturilor grinzii de unde Verificați: 2. Construcția diagramelor Q și M. Valorile forțelor transversale în secțiunile caracteristice ale grinzii În secțiunile CA și AD, intensitatea sarcinii q = const. În consecință, în aceste zone diagrama Q este limitată la linii drepte înclinate față de axă. În secțiunea DB, intensitatea sarcinii distribuite este q = 0, prin urmare, în această secțiune, diagrama Q este limitată la o dreaptă paralelă cu axa x. Diagrama Q pentru fascicul este prezentată în Fig. 1.16, b. Valorile momentelor încovoietoare în secțiunile caracteristice ale grinzii: În a doua secțiune, determinăm abscisa x2 a secțiunii în care Q = 0: Momentul maxim în a doua secțiune Diagrama M pentru grinda este prezentată în Fig. 1.16, c. 2. Creăm o condiție de rezistență pe baza solicitărilor normale, din care determinăm momentul axial de rezistență necesar al secțiunii din expresia determinată de diametrul necesar d al unei grinzi de secțiune circulară.Aria unei secțiuni circulare. Pentru o grindă cu o secțiune dreptunghiulară. Înălțimea necesară a secțiunii. Aria unei secțiuni dreptunghiulare. Determinați numărul necesar al fasciculului I. Folosind tabelele GOST 8239-89, găsim cea mai apropiată valoare mai mare a momentului axial de rezistență care corespunde grinzii în I nr. 33 cu caracteristicile: Verificarea toleranței: (subsarcină cu 1% din 5%) cea mai apropiată Fasciculul I nr. 30 (W  472 cm3) duce la o suprasarcină semnificativă (mai mult de 5%). În cele din urmă acceptăm grinda în I nr. 33. Compară suprafețele secțiunilor rotunde și dreptunghiulare cu cea mai mică zonă A a grinzii în I: Din cele trei secțiuni luate în considerare, cea mai economică este secțiunea grinzii în I. 3. Calculăm cele mai mari tensiuni normale în secțiunea periculoasă 27 a grinzii I (Fig. 1.17, a): Tensiuni normale în peretele din apropierea flanșei secțiunii grinzii în I Diagrama tensiunilor normale în secțiunea periculoasă a fasciculul este prezentat în fig. 1.17, b. 5. Determinați cele mai mari tensiuni de forfecare pentru secțiunile selectate ale grinzii. a) secțiunea dreptunghiulară a grinzii: b) secțiunea rotundă a grinzii: c) secțiunea grinzii în I: Tensiuni tangențiale în peretele de lângă flanșa grinzii în I în secțiunea periculoasă A (dreapta) (la punctul 2): diagrama tensiunilor tangențiale în secțiuni periculoase ale grinzii I este prezentată în Fig. 1.17, c. Tensiunile tangenţiale maxime din grindă nu depăşesc tensiunile admise. Exemplul 1.8 Determinați sarcina admisibilă asupra grinzii (Fig. 1.18, a) dacă sunt date dimensiunile secțiunii transversale (Fig. 1.19, a). Construiți o diagramă a tensiunilor normale într-o secțiune periculoasă a unei grinzi la o sarcină admisă. Figura 1.18 1. Determinarea reacțiilor suporturilor grinzilor. Datorită simetriei sistemului VVB A8qa . 29 2. Construirea diagramelor Q și M folosind secțiuni caracteristice. Forțe transversale în secțiunile caracteristice ale unei grinzi: Diagrama Q pentru o grindă este prezentată în Fig. 5.18, b. Momentele încovoietoare în secțiunile caracteristice ale grinzii Pentru a doua jumătate a grinzii, ordonatele M sunt de-a lungul axelor de simetrie. Diagrama M pentru fascicul este prezentată în Fig. 1.18, b. 3. Caracteristicile geometrice ale secțiunii (Fig. 1.19). Împărțim figura în două elemente simple: I-beam - 1 și dreptunghi - 2. Fig. 1.19 Conform sortimentului pentru grinda I Nr. 20, avem Pentru un dreptunghi: Momentul static al ariei secțiunii relativ la axa z1 Distanța de la axa z1 la centrul de greutate al secțiunii Momentul de inerție al secțiunii relativ la axa centrală principală z a întregii secțiuni conform formulelor de trecere la axele paralele 4. Condiție de rezistență pentru tensiuni normale pentru punctul periculos „a” (Fig. 1.19) în secțiunea periculoasă I (Fig. 1.18): După înlocuire date numerice 5. Cu o sarcină admisibilă q într-o secțiune periculoasă, tensiunile normale la punctele „a” și „b” vor fi egale: Diagrama tensiunilor normale pentru secțiunea periculoasă 1-1 este prezentată în Fig. 1.19, b. Exemplul 1.9 Determinați dimensiunile necesare ale secțiunii transversale a unei grinzi din fontă (Fig. 1.20), după ce ați selectat anterior o locație rațională a secțiunii. Luați decizia 1. Determinați reacțiile suporturilor grinzii. 2. Construcția diagramelor Q și M. Diagramele sunt prezentate în Fig. 1,20, în, g. Cel mai mare moment încovoietor (în valoare absolută) apare în secțiunea „b”. În această secțiune, fibrele întinse sunt situate în partea de sus. Majoritatea materialului ar trebui să fie situat în zona de tensiune. Prin urmare, este rațional să poziționați secțiunea fasciculului așa cum se arată în Fig. 1.20, b. 3. Determinarea poziţiei centrului de greutate al secţiunii (prin analogie cu exemplul anterior): 4. Determinarea momentului de inerţie al secţiunii faţă de axa neutră: 5. Determinarea dimensiunilor cerute ale grinzii secțiune din starea de rezistență la solicitări normale. Să notăm cu y, respectiv, distanțele de la axa neutră până la punctele cele mai îndepărtate din zonele de tensiune și compresie (pentru secțiunea B): atunci punctele zonei de tensiune care sunt cele mai îndepărtate de axa neutră sunt periculoase. Creăm o condiție de rezistență pentru punctul m din secțiunea B: sau după înlocuirea valorilor numerice.În acest caz, tensiunile în punctul n, cel mai îndepărtat de axa neutră din zona comprimată (în secțiunea B), vor fi MPa. Diagrama M este ambiguă. Este necesar să se verifice rezistența fasciculului în secțiunea C. Iată momentul, dar fibrele inferioare sunt întinse. Punctul periculos va fi punctul n: În acest caz, tensiunile din punctul m vor fi Din calcule acceptăm în sfârșit Diagrama tensiunilor normale pentru secțiunea periculoasă C este prezentată în Fig. 1.21. Orez. 1,21 1,5. Tensiuni principale la îndoire. Verificarea completă a rezistenței grinzilor Mai sus sunt discutate exemple de calcul a rezistenței grinzilor folosind tensiuni normale și forfecare. În marea majoritate a cazurilor, acest calcul este suficient. Cu toate acestea, în grinzile cu pereți subțiri ale secțiunilor de grinzi în I, grinzi în T, canale și casete, apar tensiuni de forfecare semnificative la joncțiunea peretelui și a flanșei. Acest lucru se întâmplă în cazurile în care grinzii este aplicată o forță tăietoare semnificativă și există secțiuni în care M și Q sunt simultan mari. Una dintre aceste secțiuni va fi periculoasă și este verificată 34 de solicitările principale folosind una dintre teoriile rezistenței. Verificarea rezistenței grinzilor folosind tensiuni normale, tangențiale și principale se numește verificare completă a rezistenței grinzilor. Acest calcul este discutat mai jos. Principalul lucru este să calculați grinda folosind tensiuni normale. Condiția de rezistență pentru grinzi, al căror material rezistă în mod egal la tensiune și compresiune, are forma în care Mmax ─ momentul încovoietor maxim (modulo), luat din diagrama M, Wz ─ momentul axial de rezistență al secțiunii în raport cu axa neutră a grinda; [ ]─ efort normal admisibil pentru material. Din condiția de rezistență (1), se determină dimensiunile secțiunii transversale necesare ale grinzii. Dimensiunile selectate ale secțiunii grinzii sunt verificate prin eforturi de forfecare. Condiția de rezistență pentru tensiuni tangenţiale are forma (formula lui D.I. Zhuravsky): unde Qmax ─ forța transversală maximă luată din diagrama Q; Szots.─ moment static (față de axa neutră) al părții tăiate a secțiunii transversale situată pe o parte a nivelului la care se determină eforturile de forfecare; I z ─ momentul de inerție al întregii secțiuni transversale față de axa neutră; b─ lățimea secțiunii grinzii la nivelul la care se determină eforturile de forfecare; ─ solicitarea tangenţială admisă a materialului la încovoiere. Testul normal de rezistență la efort se referă la punctul cel mai îndepărtat de axa neutră din secțiunea în care acționează Mmax. Testul de rezistență la forfecare se referă la un punct situat pe axa neutră în secțiunea în care acționează Qmax. În grinzile cu o secțiune transversală cu pereți subțiri (grinda I etc.), un punct situat în perete într-o secțiune în care M și Q sunt ambele mari poate fi periculos. În acest caz, rezistența este verificată folosind tensiunile principale. Tensiunile tangențiale principale și extreme sunt determinate de dependențe analitice obținute din teoria stării de efort plane a corpurilor: Unghiul de înclinare al zonelor principale este determinat de formula (1. 22) Având valorile tensiunilor principale, condițiile de rezistență sunt întocmite după una sau alta teorie de rezistență. De exemplu, Conform celei de-a treia teorii a celor mai mari tensiuni tangențiale, avem După înlocuirea valorilor tensiunilor principale, obținem în final (1.23) Conform celei de-a patra teorii energetice a rezistenței, condiția de rezistență are forma (1.24). ) Din formulele (1.6) și (1.7) este clar că Eq depinde de efortul de proiectare. În consecință, elementul material al grinzii pentru care va fi în același timp mare este supus verificării. Aceasta se realizează în următoarele cazuri: 1) atinge momentul încovoietor și forța tăietoare cea mai mare valoare în aceeași secțiune; 2) lățimea grinzii se modifică brusc în apropierea marginilor secțiunii (grinda I etc.). Dacă condițiile specificate nu sunt valabile, atunci este necesar să se ia în considerare mai multe secțiuni în care cele mai mari valori ale eq. Exemplul 1.10 O grindă sudată cu secțiune transversală a grinzii I cu o deschidere de l = 5 m, susținută simplu la capete, este încărcată cu o sarcină uniform distribuită de intensitate q și o forță concentrată P 5qa aplicată la o distanță a = 1 m din suportul din dreapta (fig. 1.22). Determinați sarcina admisibilă pe grinda din condiția de rezistență pentru tensiuni normale și verificați tensiunile tangenţiale și principale conform 36 a 4-a teorie a rezistenței (energetice). Construiți diagrame într-o secțiune periculoasă folosind tensiunile principale și examinați starea solicitată a unui element selectat în peretele de lângă flanșă în secțiunea indicată. Tensiuni admisibile de tracțiune și compresiune: încovoiere 160 MPa; și forfecare 100 MPa. Orez. 1.22 Rezolvarea 1. Determinarea reacțiilor suporturilor grinzilor: 2. Construirea diagramelor M și Q folosind secțiuni (puncte) caracteristice: 3. Calculul caracteristicilor geometrice ale secțiunii grinzii. a) momentul axial de inerție al secțiunii față de axa neutră z: 37 b) Momentul axial de rezistență față de axa neutră z: 4. Determinarea sarcinii admisibile asupra grinzii din starea de rezistență prin solicitări normale : Sarcina admisibilă asupra grinzii 5. Verificarea rezistenței grinzii prin tensiuni tangenţiale utilizând formula D.I. Zhuravsky Momentul static al semi-secțiunii unei grinzi în I în raport cu axa neutră z: Lățimea secțiunii la nivelul punctului 3: transversală maximă forţă Tensiuni de forfecare maxime în grinda 6. Verificarea rezistenţei grinzii prin tensiuni principale. Periculoasă din punct de vedere al tensiunilor principale este secțiunea D, în care M și Q sunt ambele mari, iar punctele periculoase din această secțiune sunt punctele 2 și 4, unde  și  sunt ambele mari (Fig. 1.23). Pentru punctele 2 și 4, verificăm rezistența prin tensiuni principale, folosind a 4-a teorie a rezistenței unde (2) și (2)─ tensiunile normale și, respectiv, forfecare la punctul 2(4), (Fig. 1.2). Orez. 1.23 distanța de la axa neutră până la punctul 2. unde Sz este momentul static al flanșei față de axa neutră z. cm ─ lățimea secțiunii de-a lungul unei linii care trece prin punctul 3. Tensiuni echivalente conform celei de-a 4-a teorii a rezistenței la punctul 2 al secțiunii D: Condiția de rezistență conform celei de-a 4-a teorii a rezistenței este îndeplinită. 7. Construirea diagramelor de tensiuni normale, tangenţiale, tangenţiale principale şi extreme în secţiunea periculoasă D (pe baza tensiunilor principale). a) calculați tensiunile la punctele (1-5) din secțiunea D folosind formulele adecvate. Punctul 2 (în perete) Anterior s-au calculat valorile tensiunilor normale și tăietoare la punctul 2. Găsim tensiunile de forfecare principale și extreme în același punct 2: Punctul 3. Tensiuni normale și de forfecare la punctul 3: Principalele si tensiuni de forfecare extreme la punctul 3: Tensiunile la punctele 4 si 5 se gasesc similar.Pe baza datelor obtinute construim diagrame, max. 8. Starea tensionată a elementului selectat în vecinătatea punctului 2 din secțiunea D este prezentată în Fig. 1.24, unghiul de înclinare al platformelor principale 1.6. Conceptul centrului de îndoire După cum sa menționat mai sus, tensiunile tangenţiale în secțiunile transversale ale tijelor cu pereți subțiri în timpul îndoirii (de exemplu, o grindă în I sau un canal) sunt determinate de formula din fig. 194 prezintă diagrame ale tensiunilor tangențiale într-o secțiune I. Folosind tehnica descrisă în paragraful 63, este posibilă construirea diagramei 41 și pentru canal. Să luăm în considerare cazul în care canalul este încorporat într-un perete, iar la celălalt capăt este încărcat cu o forță P aplicată la centrul de greutate al secțiunii. Orez. 1.25 Vederea generală a diagramei τ în orice secțiune este prezentată în Fig. 1.25, a. Tensiunile tangenţiale τу apar în peretele vertical. Ca urmare a acțiunii tensiunilor τу, apare o forță tăietoare totală T2 (Fig. 1.25, b). Dacă neglijăm tensiunile tangenţiale τу în flanşe, atunci putem scrie egalitatea aproximativă. În flanşele orizontale apar tensiuni tangenţiale τх, care sunt direcţionate orizontal. Cea mai mare efort de forfecare în flanșă τx max este egală cu Aici S1OTS este momentul static al ariei flanșei în raport cu axa Ox: În consecință, forța tăietoare totală în flanșă va fi determinată ca aria diagramei tensiunii de forfecare. înmulțit cu grosimea flanșei.Asupra flanșei inferioare acționează exact aceeași forță de forfecare ca și deasupra, dar este îndreptată în sens opus. Două forțe T1 formează o pereche cu un moment (1.25) Astfel, din cauza tensiunilor tangențiale τу și τх, apar trei forțe tangenţiale interne, care sunt prezentate în Fig. 1.25, b. Din această figură este clar că forțele T1 și T2 tind să rotească secțiunea canalului în raport cu centrul de greutate în aceeași direcție. Orez. 1.25 În consecință, în secțiunea canalului apare un cuplu intern, îndreptat în sensul acelor de ceasornic. Deci, atunci când un fascicul de canal este îndoit de o forță aplicată la centrul de greutate al secțiunii, fasciculul se răsucește simultan. Trei forțe tangențiale pot fi reduse la un vector principal și un moment principal. Mărimea momentului principal depinde de poziția punctului la care sunt aduse forțele. Rezultă că este posibil să alegeți un punct A relativ la care momentul principal este egal cu zero. Acest punct se numește centrul curbei. Echivalarea momentului forțelor tangențiale cu zero: obținem Ținând cont de expresia (1.25), vom găsi în final distanța de la axa peretelui vertical până la centrul de încovoiere: Dacă se aplică o forță externă nu în centrul de greutate. a secțiunii, dar la centrul de îndoire, atunci se va crea același moment relativ la centrul de greutate ca și forțele tangenţiale interne, dar numai de semn opus. Cu o astfel de sarcină (Fig. 1.25, c), canalul nu se va răsuci, ci doar se va îndoi. De aceea punctul A se numește centrul curbei. O descriere detaliată a calculului tijelor cu pereți subțiri este dată în capitolul. XIII. 1.7. Determinarea deplasărilor în grinzi în timpul îndoirii. Concepte de deformare a grinzilor și condiții de rigiditate a acestora Sub influența unei sarcini externe, grinda este deformată și axa ei este îndoită. Curba în care se întoarce axa grinzii după aplicarea unei sarcini se numește linie elastică, cu condiția ca tensiunile grinzii să nu depășească limita de proporționalitate. În funcție de direcția sarcinii, de locația diagramelor, linia elastică poate avea o convexitate în sus (Fig. 1.26, a), în jos (Fig. 1.26, b) sau o combinație (Fig. 1.26, c). În acest caz, centrele de greutate ale secțiunilor transversale se deplasează fie în sus, fie în jos, iar secțiunile însele se rotesc față de axa neutră, rămânând perpendiculare pe axa curbă a fasciculului (Fig. 1.26, a). Strict vorbind, centrele de greutate ale secțiunilor transversale se deplasează și în direcția axei longitudinale a fasciculului. Cu toate acestea, din cauza micșorării acestor mișcări pentru grinzi, ele sunt neglijate, adică se presupune că centrul de greutate al secțiunii se mișcă perpendicular pe axa fasciculului. Să notăm această mișcare cu y, iar în viitor vom înțelege prin ea deformarea fasciculului (vezi Fig. 1.26). Deviația unei grinzi într-o secțiune dată este mișcarea centrului de greutate al secțiunii într-o direcție perpendiculară pe axa grinzii. Orez. 1.26 Deviațiile în diferite secțiuni ale unei grinzi depind de poziția secțiunilor și sunt o valoare variabilă. Deci, pentru o grindă (Fig. 1.26, a) în punctul B deformarea va avea o valoare maximă, iar în punctul D va fi zero. După cum sa menționat deja, împreună cu mișcarea centrului de greutate al secțiunii, secțiunile se rotesc în raport cu axa neutră a secțiunii. Unghiul cu care se rotește secțiunea față de poziția inițială se numește unghi de rotație al secțiunii. Vom nota unghiul de rotație cu (Fig. 1.26, a). Deoarece atunci când o grindă este îndoită, secțiunea transversală rămâne întotdeauna perpendiculară pe axa sa curbă, unghiul de rotație poate fi reprezentat ca unghiul dintre tangenta la axa curbă într-un punct dat și axa originală a grinzii (Fig. 1.26). , a) sau perpendicular pe axele inițiale și curbe ale grinzii în punctul în cauză. Unghiul de rotație al secțiunii pentru grinzi este, de asemenea, o valoare variabilă. De exemplu, pentru o grindă (Fig. 1.26, b), aceasta are o valoare maximă în suporturile articulate și o valoare minimă de 0 pentru secțiunea în care deformarea are o valoare maximă. Pentru o grindă cantilever (Fig. 1.26, a) unghiul maxim de rotație va fi la capătul liber, adică în punctul B. Pentru a asigura funcționarea normală a grinzilor, nu este suficient ca acestea să satisfacă condiția de rezistență. De asemenea, este necesar ca grinzile să aibă o rigiditate suficientă, adică ca deformarea maximă și unghiul de rotație să nu depășească valorile admise determinate de condițiile de funcționare ale grinzilor. Această situație se numește condiția rigidității grinzii în timpul îndoirii. Într-o formă matematică scurtă de notație, condițiile de rigiditate au forma: unde [y] și, în consecință, deformarea și unghiul de rotație admise. 45 Deformarea admisibilă este de obicei specificată ca parte a distanței dintre suporturile grinzii (lungimea travei l), adică unde m este un coeficient în funcție de valoarea și condițiile de funcționare ale sistemului în care este utilizată această grindă. În fiecare ramură a ingineriei mecanice, această valoare este determinată de standardele de proiectare și variază foarte mult. Astfel: - pentru grinzi macarale m = 400 - 700; - Pentru poduri de cale ferată m = 1000; - pentru fusuri de strung m= 1000-2000. Unghiurile de rotație admise pentru grinzi nu depășesc de obicei 0,001 rad. Partea stângă a ecuațiilor (1.26) include deviația maximă ymax și unghiul de rotație max, care sunt determinate prin calcul pe baza metodelor cunoscute: analitică, grafică și grafico-analitică, dintre care unele sunt discutate mai jos. 1.8. Ecuația diferențială pentru axa curbă a unei grinzi Sub influența forțelor externe, axa grinzii este îndoită (vezi Fig. 1.26, a). Atunci ecuația axei curbe a grinzii poate fi scrisă sub forma și unghiul de rotație  pentru orice secțiune va fi egal cu unghiul de înclinare al tangentei la axa curbă într-un punct dat. Tangenta acestui unghi este numeric egală cu derivata deformarii de-a lungul abscisei secțiunii curente x, adică Deoarece deviațiile fasciculului sunt mici în comparație cu lungimea sa l (vezi mai sus), putem presupune că unghiul de rotație (1.27) La derivarea formulei tensiunii normale în timpul încovoierii, s-a constatat că între curbura stratului neutru și momentul încovoietor există următoarea relație: Această formulă arată că curbura se modifică pe lungimea grinzii conform aceleiași legi. conform căruia valoarea Mz se modifică. Dacă o grindă cu secțiune transversală constantă experimentează îndoire pură (Fig. 5.27), în care momentul de-a lungul lungimii nu se modifică, curbura sa este: Prin urmare, pentru o astfel de grindă, raza de curbură este, de asemenea, o valoare constantă și fasciculul în acest caz se va îndoi de-a lungul unui arc circular. Cu toate acestea, în cazul general, nu este posibil să se aplice direct legea modificării curburii pentru a determina deviațiile. Pentru a rezolva problema analitic, folosim expresia binecunoscută pentru curbură din matematică. (1.29) Înlocuind (1.28) în (1.29), obținem ecuația diferențială exactă pentru axa curbă a grinzii: . (1.30) Ecuația (1.30) este neliniară, iar integrarea ei este asociată cu mari dificultăți. Având în vedere că deviațiile și unghiurile de rotație pentru grinzile reale utilizate în inginerie mecanică, construcții etc. sunt mici, atunci valoarea poate fi neglijată. Ținând cont de acest lucru, precum și de faptul că pentru sistemul de coordonate drept momentul încovoietor și curbura au același semn (Fig. 1.26), atunci pentru sistemul de coordonate drept semnul minus din ecuația (1.26) poate fi omis. Atunci ecuația diferențială aproximativă va avea forma 1.9. Metoda integrării directe Această metodă se bazează pe integrarea ecuației (1.31) și ne permite să obținem ecuația axei elastice a grinzii sub formă de deviații y f (x) și ecuația unghiurilor de rotație Având ecuația integrată (1.31). ) pentru prima dată, obținem ecuația unghiurilor de rotație (1. 32) unde C este constanta de integrare. Integând a doua oară, obținem ecuația de deviere unde D este a doua constantă de integrare. Constantele C și D sunt determinate din condițiile la limită ale suportului grinzii și din condițiile la limită ale secțiunilor sale. Deci, pentru o grindă (Fig. 1.26, a), la locul de încorporare (x l), deformarea și unghiul de rotație al secțiunii sunt egale cu zero, iar pentru o grindă (vezi Fig. 1.26, b) deformarea y iar deformarea yD 0, la x .l Pentru grinda sprijinită articulată cu console (Fig. 1.28), când originea coordonatelor este aliniată cu capătul suportului din stânga și alegerea sistemului de coordonate din dreapta, condițiile la limită au forma Ținând cont de condițiile la limită, se determină constantele de integrare. După înlocuirea constantelor de integrare în ecuațiile unghiurilor de rotație (1.32) și deformațiilor (1.33), se calculează unghiurile de rotație și deviațiile unei secțiuni date. 1.10. Exemple de determinare a deplasărilor în grinzi folosind metoda de integrare directă Exemplul 1.11 Determinați deformarea maximă și unghiul de rotație pentru o grindă cantilever (Fig. 1.26, a). Soluție Originea coordonatelor este aliniată cu capătul din stânga al fasciculului. Momentul încovoietor într-o secțiune arbitrară la distanța x de capătul stâng al grinzii se calculează folosind formula Ținând cont de momentul, ecuația diferențială aproximativă are forma Integrare pentru prima dată, avem (1.34) Integrare pentru a doua oară Condiții la limită Ținând cont de a doua condiție, din care În mod similar, din prima condiție vom avea Ținând cont de constantele de integrare găsite C și D, ecuația pentru unghiurile de rotație și de deviere va avea forma: Când ( vezi Fig. 1.26, a) unghiul de rotaţie şi deformare au valori maxime: O valoare pozitivă a unghiului  indică faptul că secţiunea la îndoirea grinzii se roteşte în direcţia opusă mişcării în sensul acelor de ceasornic. O valoare negativă a y indică faptul că centrul de greutate al secțiunii se mișcă în jos. 1.11. Semnificația fizică a constantelor de integrare Dacă ne întoarcem la ecuațiile (1.32), (1.33) și (1.34), (1.35), exemplele considerate mai sus, atunci este ușor de observat că pentru x 0 rezultă din ele. se poate concluziona că constantele de integrare C și D reprezintă produsul rigidității grinzii, respectiv, prin unghiul: rotație 0 și deformare y0 la origine. Dependențele (1.36) și (1.37) se dovedesc a fi întotdeauna valabile pentru grinzile care au o singură secțiune de încărcare, dacă calculăm momentul încovoietor din forțele situate între secțiune și origine. Același lucru rămâne valabil și pentru grinzile cu orice număr de secțiuni de încărcare, dacă se folosesc tehnici speciale de integrare a ecuației diferențiale a axei curbe a grinzii, care vor fi discutate mai jos. 1.12. Metoda parametrilor inițiali (ecuația universală a axei curbe a unei grinzi) La determinarea deformațiilor și unghiurilor de rotație prin metoda integrării directe, este necesar să se găsească două constante de integrare C și D, chiar și în cazurile în care grinda are o secțiune de încărcare . În practică, se folosesc grinzi care au mai multe secțiuni de încărcare. În aceste cazuri, legea momentului încovoietor va fi diferită în diferite zone de încărcare. Apoi, ecuația diferențială a axei curbe va trebui compilată pentru fiecare secțiune a grinzii și pentru fiecare dintre ele trebuie găsite constantele sale de integrare C și D. Evident, dacă o grindă are n secțiuni de încărcare, atunci numărul constantelor de integrare va fi egal cu dublul numărului de secțiuni. Pentru a le determina, va trebui să rezolvați 2 ecuații. Această sarcină necesită timp. Pentru a rezolva problemele care au mai mult de o zonă de încărcare, metoda parametrilor inițiali, care este o dezvoltare a metodei de integrare directă, a devenit larg răspândită. Rezultă că prin respectarea anumitor condiții și tehnici de alcătuire și integrare a ecuațiilor peste secțiuni, este posibil să se reducă numărul constantelor de integrare, indiferent de numărul de secțiuni de încărcare, la două, reprezentând unghiul de deformare și rotație la origine. Să luăm în considerare esența acestei metode folosind exemplul unei grinzi cantilever (Fig. 1.28), încărcată cu o sarcină arbitrară, dar creând un moment pozitiv în orice secțiune a grinzii. Să fie dat un fascicul de secțiune transversală constantă, iar secțiunea transversală are o axă de simetrie care coincide cu axa y, iar întreaga sarcină este situată într-un plan care trece prin această axă. Să stabilim sarcina de a stabili dependențele care determină unghiul de rotație și deformare a unei secțiuni arbitrare a unui fascicul. Orez. 1.29 La rezolvarea problemelor, suntem de acord: 1. Originea coordonatelor va fi asociată cu capătul din stânga al grinzii și este comună tuturor secțiunilor. 2. Momentul încovoietor într-o secțiune arbitrară va fi calculat întotdeauna pentru secțiunea grinzii situată în stânga secțiunii, adică între origine și secțiune. 3. Vom integra ecuația diferențială a axei curbe în toate secțiunile fără a deschide parantezele unor expresii care conțin paranteze. Deci, de exemplu, integrarea unei expresii de forma P x(b) se realizează fără deschiderea parantezei, și anume după următoarea formulă Integrarea după această formulă diferă de integrarea cu deschiderea preliminară a parantezelor doar în valoarea unei constante arbitrare. 4. Când compunem o expresie pentru momentul încovoietor într-o secțiune arbitrară cauzată de un moment extern concentrat M, vom adăuga factorul (x)a0 1. Respectând aceste reguli, vom compune și integra o ecuație diferențială aproximativă pentru fiecare dintre cele cinci secțiuni ale fasciculului indicate în Fig. 1,28 cu cifre romane. Ecuația diferențială aproximativă pentru secțiunile indicate are aceeași formă: (1.38) dar pentru fiecare secțiune momentul încovoietor are propria sa lege de schimbare. Momentele încovoietoare pentru secțiuni au forma: Înlocuind expresiile pentru momentul încovoietor în ecuația (1.38), pentru fiecare dintre secțiuni după integrare obținem două ecuații: ecuația unghiurilor de rotație și ecuația deformațiilor, care vor include lor. două constante de integrare Ci și Di. Deoarece fasciculul are cinci secțiuni, vor exista zece astfel de constante de integrare. Totuși, ținând cont de faptul că axa curbă a fasciculului este o linie continuă și elastică, atunci la limitele secțiunilor adiacente deformarea și unghiul de rotație au aceleași valori, adică etc. Din acest motiv, dintr-o comparație a ecuațiile pentru unghiurile de rotație și de deviație ale secțiunilor învecinate, obținem că constantele de integrare Astfel, în loc de zece constante de integrare, pentru a rezolva problema pusă, este necesar să se determine doar două constante de integrare C și D. Din luarea în considerare a ecuaţiilor integrale din prima secţiune rezultă că la x 0: i.e. ele reprezintă aceleași dependențe (1.36) și (1.37). Parametrii inițiali 0 și y0 о sunt determinați din condițiile la limită care au fost discutate în secțiunea anterioară. Analizând expresiile obţinute pentru unghiurile de rotaţie şi deflexiuni y, vedem că cel mai forma generala ecuații corespunde celei de-a cincea secțiuni. Ținând cont de constantele de integrare, aceste ecuații au forma: Prima dintre aceste ecuații reprezintă ecuația unghiurilor de rotație, iar a doua reprezintă ecuația deformațiilor. Deoarece asupra unei grinzi pot actiona mai mult de o forta concentrata, un moment sau o grinda poate avea mai multe sectiuni cu sarcina distribuita, atunci pentru cazul general, ecuatiile (1.38), (1.39) se vor scrie sub forma: Ecuatii (1.41), (1.42) sunt numite ecuații universale axa curbă a fasciculului. Prima dintre aceste ecuații este ecuația unghiurilor de rotație, iar a doua este ecuația deformațiilor. Folosind aceste ecuații, este posibil să se determine deviațiile și unghiurile de rotație ale secțiunilor pentru orice grinzi determinate static a căror rigiditate pe lungimea lor este constantă EI  const. În ecuațiile (1.41), (1.42): M, P, q, qx ─ sarcină externă situată între originea coordonatelor și secțiunea în care se determină deplasările (unghiul de rotație și deformare); a, b, c, d ─ distanțe de la originea coordonatelor până la punctele de aplicare, respectiv, a momentului M, forța concentrată P, începutul unei sarcini uniform distribuite și începutul unei sarcini distribuite neuniform. Este necesar să se acorde atenție: 53 1. În direcția opusă sarcinii externe, care este acceptată la derivarea ecuațiilor universale, în fața termenului corespunzător al ecuațiilor semnul se schimbă în opus, adică în minus. 2. Ultimii doi termeni ai ecuațiilor (1.41), (1.42) sunt valabili numai dacă sarcina distribuită nu se termină înainte de secțiunea în care se determină deformarea și unghiul de rotație. Daca sarcina nu ajunge in aceasta sectiune, atunci trebuie continuata in aceasta sectiune si in acelasi timp adaugata pe sectiunea extinsa aceeasi sarcina distribuita, dar de semn opus, aceasta idee este explicata in Fig. 1.30. Linia punctată arată sarcina distribuită adăugată pe secțiunea extinsă. Orez. 1.30 La determinarea unghiurilor de rotație  și a deviațiilor y, originea coordonatelor trebuie plasată la capătul din stânga al fasciculului, îndreptând axa y în sus și axa x la dreapta. Ecuația compilată pentru unghiurile de rotație și deviații include doar acele forțe care sunt situate în stânga secțiunii, de exemplu. pe secțiunea fasciculului dintre originea coordonatelor și secțiunea în care sunt determinate deformarea și unghiul de rotație (inclusiv forțele care acționează în secțiunea care coincide cu originea coordonatelor). 1.13. Exemple de determinare a deplasărilor într-o grindă folosind metoda parametrilor inițiali Exemplul 1.12 Pentru o grindă (Fig. 1.31), strânsă la capătul din stânga și încărcată cu o forță concentrată P, se determină unghiul de rotație și deformare în punctul de aplicare a forța, precum și capătul liber (secțiunea D). Rigiditatea grinzii Fig. 1.31 Rezolvarea ecuației de echilibru static: 1) Rețineți că cuplul reactiv este direcționat în sens invers acelor de ceasornic, deci va intra în ecuația axei curbe cu semnul minus. 2. Combinați originea coordonatelor cu punctul B și setați parametrii inițiali. În ciupirea ()B nu există nicio deviere și nici un unghi de rotație, adică. 0 0. Notăm ecuația unghiurilor de rotație și a deviațiilor pentru o secțiune arbitrară a celei de-a doua secțiuni, i.e. situate la distanta x de originea coordonatelor Tinand cont de fortele reactive, precum si de egalitatea la zero a parametrilor initiali, aceste ecuatii au forma Pentru x l avem unghiul de rotatie si deformare al sectiunii C , respectiv 55 Pentru secţiunea D, x1l 12(1)2 Exemplul 1.13 Să se determine deformarea maximă şi rotaţia unghiulară pe suportul drept al grinzii, încărcat în mijlocul travei cu o forţă concentrată (Fig. 1.32). Rezolvarea 1. Determinați reacțiile de sprijin Din ecuațiile statice avem B 2. Plasați originea coordonatelor la capătul din stânga grinzii (punctul B). Orez. 1.32 3. Setați parametrii inițiali. Deformare la origine By0, deoarece suportul nu permite deplasarea verticală. Trebuie remarcat faptul că, dacă suportul ar fi încărcat cu arc, atunci deformarea la origine ar fi egală cu deformarea arcului. Unghiul de rotație la originea coordonatelor nu este egal cu zero, adică 4. Determinați unghiul de rotație la originea coordonatelor 0. Pentru a face acest lucru, folosim condiția ca la x l deformarea să fie egală cu zero yD 0: 3 Deoarece grinda este simetrică față de sarcina P, unghiul de rotație pe suportul din dreapta este egal cu unghiul de rotație din stânga a sustine. 2 BD 16z Pl EI . Deviația maximă va fi în mijlocul fasciculului la x. Prin urmare, Exemplul 1.14 Determinați deformarea în mijlocul travei și la capătul drept al grinzii (Fig. 1.33), dacă grinda este realizată din grindă I nr. 10 (moment de inerție Iz 198 scm4), încărcată cu o sarcină distribuită q 2.N/m, concentrată de un moment M forță. P kkNN Fig. 1.33 Soluția 1. Determinarea reacţiilor de sprijin De unde: Verificarea corectitudinii determinării reacţiilor 2. Combinaţi originea coordonatelor cu punctul B şi setaţi parametrii iniţiali. Din fig. 1.33 rezultă că la originea coordonatelor deviația y0 0 și unghiul de rotație. 57 3. Determinați parametrii inițiali y0 și 0. Pentru a face acest lucru, folosim condițiile la limită care atunci când: Pentru a implementa condițiile la limită, creăm o ecuație pentru axa curbă. pentru două secțiuni: secțiunea BC 0 mm1: La scrierea acestei ecuații s-a ținut cont că sarcina distribuită a fost întreruptă în punctul C, de aceea, conform celor spuse mai sus, s-a continuat și o sarcină compensatoare de aceeași mărime, dar în sens invers, a fost introdus în secțiunea continuată. Ținând cont de condițiile la limită (punctul 3) și de sarcină, ecuațiile (1.43) și (1.44) au forma: Din soluția comună a acestor ecuații avem 4. Determinăm deformarea în secțiunile K și E. Pentru secțiunea K la x 2 mm avem 1,14. Determinarea deplasărilor folosind metoda lui Mohr Regula A.K. Metoda Mohr a lui Vereshchagin este metoda generala determinarea deplasărilor în sistemele de tije deformabile liniar. Determinarea deplasărilor (liniare, unghiulare) în secțiunile de proiectare se face folosind formula Mohr (integrală), care este ușor de obținut pe baza teoremei privind reciprocitatea muncii (teorema lui Betti) și a teoremei privind reciprocitatea deplasărilor ( teorema lui Maxwell). Să fie dat, de exemplu, un sistem elastic plat sub formă de grindă (Fig. 1.34), încărcat cu o sarcină arbitrară plată echilibrată. Vom numi starea dată a încărcăturii sistemului și o vom nota cu litera P. Sub influența unei sarcini externe, se va produce deformare, iar deplasările vor avea loc în punctul K, în special, pe direcția perpendiculară pe axa - deformare cr. Să introducem o stare nouă (auxiliară) a aceluiași sistem, dar încărcată în punctul K în direcția deplasării dorite (cr) de o forță unitară adimensională (Fig. 1.34). Vom desemna o astfel de stare a sistemului cu litera i și o vom numi o singură stare. 59 Fig. 1.34 Pe baza teoremei lui Betti, lucrul posibil al forțelor stării de încărcătură pi A și forțele unei singure stări pi A sunt egale cu (1.45) Lucrul posibil al forțelor stării de încărcătură, exprimat în termeni de forțe interne , se determină prin formula și forțele unei singure stări - prin formula (1.47) Ținând cont de (1.46 ), (1.47) din (1.45) avem (1.48) unde M p , Qp, Np ─ respectiv încovoiere moment, forțe transversale și longitudinale care apar în sistem din sarcina externă; Mi, Qi, Ni ─ respectiv, momentul încovoietor, forțele transversale și longitudinale care apar în sistem dintr-o sarcină unitară aplicată în direcția deplasării determinate; k ─ coeficient luând în considerare denivelările tensiunilor tangenţiale pe secţiune; I ─ momentul de inerție axial față de axa centrală principală; A─ aria secțiunii transversale a tijei în zonă; 60 E, G ─ module elastice ale materialului. Distribuția neuniformă a tensiunilor tangențiale într-o secțiune depinde de forma secțiunii. Pentru secțiuni dreptunghiulare și triunghiulare k 1.2, secțiune circulară k 1.11, secțiune circulară inelară k 2. Formula (1.48) vă permite să determinați deplasarea în orice punct al unui sistem elastic plat. La determinarea deformarii în secțiunea (K), aplicăm o forță unitară (adimensională) în acest punct. În cazul determinării unghiului de rotație al secțiunii în punctul K, este necesar să se aplice un moment adimensional unitar

Determinarea analitică a deplasărilor în grinzi

Exemplul 1

Sarcina

Pentru fasciculul prezentat în Fig. 4.20, A, trebuie să găsiți devierea în secțiune CU, unghiul de rotație în secțiune ÎN analitic și verificați starea de rigiditate dacă deformarea admisă este egală cu l/100. Grinda este realizată din lemn și are o secțiune transversală de trei bușteni cu o rază de 12 cm (Pentru selectarea secțiunii transversale a acestei grinzi, vezi Secțiunea 4.1.2, exemplu 1.)

Soluţie

Pentru a determina deplasările grinzii în mod analitic, vom compune ecuația diferențială a axei curbe (4.16), folosind regulile Clebsch pentru înregistrarea expresiei momentului încovoietor. Este mai rațional să alegeți originea coordonatelor în problema luată în considerare din dreapta (în sfârșit). Sarcina distribuită, care nu ajunge la capătul stâng al grinzii, va fi extinsă la secțiune CU(Fig. 4.20, V). Expresia pentru momentul încovoietor va arăta astfel:

.

Să substituim această expresie în ecuația diferențială (4.16) și să o integrăm de două ori:

;

;

.

Pentru a determina constante CUȘi D Să notăm condițiile limită: în încorporare (în secțiunea A, unde se află originea coordonatelor), unghiul de rotație și deflexie al fasciculului sunt egale cu zero, adică

ȘI .

Înlocuind aceste condiții în expresiile pentru unghiul de rotație și deformare din prima secțiune, aflăm că

Acum puteți defini mișcările specificate. Pentru a determina unghiul de rotație într-o secțiune ÎN Să substituim în expresia unghiului de rotație din prima secțiune (doar până la linia numerotată I) valoarea:

Conform regulii semnului, semnul negativ al unghiului de rotație pentru originea selectată X din dreapta înseamnă că secțiunea este rotită în sensul acelor de ceasornic.

În secțiune transversală CU, unde doriți să găsiți deviația, coordonatele X este egal cu , iar această secțiune este situată în a treia secțiune a fasciculului, așa că înlocuim X= 4 m în expresia pentru deviații, folosind termeni din toate cele trei secțiuni:

kN m 3.

Semnul minus pentru devierea găsită indică faptul că secțiunea CU se mișcă în sus. Să arătăm deplasările găsite pe axa curbă a fasciculului. Pentru a desena axa grinzii după deformare, construim o diagramă a momentelor încovoietoare (Fig. 4.20, b). Semnul pozitiv al diagramei Mîntr-o secțiune arată că grinda din această secțiune se îndoaie convex în jos, cu semn negativ M axa curbată convexă în sus. În plus, axa deformată a grinzii trebuie să îndeplinească condițiile de fixare: în cazul nostru, la capătul drept grinda este strânsă rigid și, după cum sa menționat deja la scrierea condițiilor limită, deformarea și unghiul de rotație în ciupire. trebuie să fie egal cu zero. În fig. 4.20, G axa grinzii luate în considerare este prezentată după deformare, îndeplinind aceste condiţii. Axa curbată arată deviațiile găsite în secțiune CUși unghiul de rotație al secțiunii ÎN tinand cont de semnele lor.

În concluzie, să calculăm deviația fasciculului în centimetri, unghiul de rotație în radiani și să verificăm starea de rigiditate. Să găsim rigiditatea EI grinda de lemn considerată din trei bușteni cu raza de 12 cm.Momentul de inerție al secțiunii transversale

cm 4.

Modulul de elasticitate al lemnului E= 10 4 MPa = 10 3 kN / cm 2. Apoi

Deviația fasciculului în secțiune CU

cm,

și unghiul de rotație al secțiunii ÎN

bucuros.

Evident (vezi Fig. 4.20, G), că abaterea găsită a grinzii în secțiune CU este maximă, prin urmare, pentru a verifica starea de rigiditate, o comparăm cu deformarea admisă. Pentru o lungime a fasciculului m, deformarea admisă în funcție de condiție cm.Astfel, deformarea maximă este cm este mai puțin decât permis și condiția de rigiditate este îndeplinită.

Exemplul 2

Sarcina

Într-o grindă cu două console, prezentată în Fig. 4.21, A trebuie să găsim unghiul de rotație al secțiunii Ași deformarea secțiunii D folosind o metodă analitică. Secțiunea transversală a grinzii este grinda I nr. 24.

Soluţie

Să alegem originea coordonatei X la capătul stâng al grinzii în punct Ași notează expresia pentru momentul încovoietor în toate secțiunile, ținând cont de regulile lui Clebsch:

Să substituim această expresie în ecuația diferențială a axei curbe (4.16) și să o integrăm de două ori:

Să găsim constante arbitrare CUȘi D din condiţiile la limită. La puncte ÎNȘi CU unde sunt amplasate suporturile nu sunt posibile abateri. De aceea

Am obținut un sistem de două ecuații cu două necunoscute CUȘi D. Rezolvând acest sistem, găsim CU= 40 kN m2, D= – 40 kN m 3. Să analizăm rezultatul folosind semnificația geometrică a constantelor arbitrare CUȘi D. În fig. 4.21, V este prezentată axa curbă a grinzii, corespunzătoare diagramei momentelor încovoietoare și condițiilor de fixare. Punct A, situat la origine, se mișcă în sus și, prin urmare, ar trebui să ne așteptăm la asta va avea un semn negativ în conformitate cu regula semnului. Secțiune la un punct A se rotește în sensul acelor de ceasornic, deci constanta trebuie să fie pozitiv. Semne primite CUȘi D nu contrazice analiza efectuată.

4.1. Ecuația diferențială a axei curbe a unei grinzi și integrarea acesteia.

La îndoire, axa grinzii este îndoită, iar secțiunile transversale se deplasează translațional și se rotesc în jurul axelor neutre, rămânând în același timp normal cu axa longitudinală curbată (Fig. 8.22). Axa longitudinală deformată (curbată) a grinzii se numește linie elastică, iar deplasările de translație ale secțiunilor sunt egale cu deplasările y= y(X) centrele lor de greutate ale secțiunilor sunt deviațiile grinzii.

Între abateri y(X) și unghiurile de rotație ale secțiunilor θ (X) există o anumită dependență. Din fig. 8.22 se poate observa că unghiul de rotaţie al secţiunii θ egal cu unghiul φ înclinarea tangentei la linia elastică ( θ Și φ - unghiuri cu laturile reciproc perpendiculare). Dar după sensul geometric al primei derivate y / = tgθ . Prin urmare, tgθ =tgφ =y / .

În limitele deformațiilor elastice, deviațiile grinzii sunt de obicei semnificativ mai mici decât înălțimea secțiunii h, și unghiurile de rotație θ nu depășesc 0,1 – 0,15 rad. În acest caz, relația dintre deviații și unghiurile de rotație este simplificată și ia forma θ =y / .

Să determinăm acum forma liniei elastice. Influența forțelor de forfecare Q deformarea grinzilor este, de regulă, nesemnificativă. Prin urmare, se poate presupune cu suficientă precizie că în timpul încovoierii transversale, curbura liniei elastice depinde numai de mărimea momentului încovoietor. Mz si rigiditate EIz(vezi ecuația (8.8)):

Echivalând părțile din dreapta ale (8.26) și (8.27) și ținând cont de faptul că semnul reglementează MzȘi y// au fost acceptați independent unul de celălalt, obținem

Alegerea semnului din partea dreaptă a (8.29) este determinată de direcția axei de coordonate y, deoarece semnul derivatei a doua depinde de această direcție y// . Dacă axa este îndreptată în sus, atunci, așa cum se poate vedea din fig. 8.23, semne y// Și Mz coincid, iar semnul plus trebuie lăsat în partea dreaptă. Dacă axa este îndreptată în jos, atunci semnele y// Și Mz sunt opuse, iar acest lucru ne obligă să selectăm semnul minus din partea dreaptă.

Rețineți că ecuația (8.29) este valabilă numai în limitele de aplicabilitate ale legii lui Hooke și numai în acele cazuri în care planul de acțiune al momentului încovoietor Mz conţine una dintre principalele axe de inerţie ale secţiunii.

Integrând (8.29), găsim mai întâi unghiurile de rotație ale secțiunilor

Constantele de integrare sunt determinate din condițiile la limită. În secțiunile cu expresii analitice diferite pentru momentele încovoietoare, ecuațiile diferențiale ale dreptei elastice sunt și ele diferite. Integrarea acestor ecuații la n parcelele dă 2 n constante arbitrare. Pentru a le determina, la condițiile limită de pe suporturi se adaugă condițiile de egalitate a deformațiilor și unghiurilor de rotație la joncțiunea a două secțiuni adiacente ale grinzii.

2013_2014 an universitar II semestru Curs nr. 2.6 pagina 12

Deformarea grinzilor în timpul îndoirii. Ecuație diferențială pentru axa curbă a unui fascicul. Metoda parametrilor inițiali. Ecuația universală a unei linii elastice.

6. Deformarea grinzilor în timpul îndoirii plane

6.1. Concepte de bază și definiții

Să luăm în considerare deformarea unei grinzi în timpul îndoirii plane. Axa fasciculului sub influența sarcinii este îndoită în planul de acțiune al forțelor (plan X 0y), în timp ce secțiunile transversale sunt rotite și deplasate cu o anumită cantitate. Axa curbată a unei grinzi în timpul îndoirii se numește axa curbata sau linie elastică.

Vom descrie deformarea grinzilor în timpul îndoirii prin doi parametri:

abatere(y) – deplasarea centrului de greutate al secțiunii grinzii pe o direcție perpendiculară pe

orez. 6.1 la axa sa.

Nu confunda deviația y cu coordonata y puncte de secțiune a fasciculului!

Cea mai mare deviație a fasciculului se numește săgeată de deviere ( f= y max);

2) unghiul de rotație al secțiunii() – unghiul cu care secțiunea se rotește față de poziția sa inițială (sau unghiul dintre tangenta la linia elastică și axa originală a grinzii).

În general, cantitatea de deviere a unui fascicul la un punct dat este o funcție a coordonatei z și poate fi scrisă ca următoarea ecuație:

Apoi unghiul dintre tangenta la axa curbată a fasciculului și axă X va fi determinată din următoarea expresie:

.

Datorită micii unghiuri și deplasări, putem presupune că

unghiul de rotație al secțiunii este prima derivată a deformarii fasciculului de-a lungul abscisei secțiunii.

6.2. Ecuația diferențială a axei curbe a unei grinzi

Pe baza naturii fizice a fenomenului de încovoiere, putem afirma că axa curbă a unui fascicul continuu trebuie să fie o curbă continuă și netedă (fără îndoituri). În acest caz, deformarea unei anumite secțiuni a fasciculului este determinată de curbura liniei sale elastice, adică de curbura axei fasciculului.

Anterior, am obținut o formulă pentru determinarea curburii unei grinzi (1/ρ) în timpul îndoirii

.

Pe de altă parte, de la curs matematică superioară Se știe că ecuația de curbură a unei curbe plane este următoarea:

.

Echivalând părțile din dreapta ale acestor expresii, obținem o ecuație diferențială pentru axa curbă a fasciculului, care se numește ecuația exactă pentru axa curbă a fasciculului.

În sistemul de coordonate al deviațiilor z0 y când axa y este îndreptată în sus, semnul momentului determină semnul derivatei a doua a y De z.

Integrarea acestei ecuații prezintă, evident, unele dificultăți. Prin urmare, de obicei este scris într-o formă simplificată, neglijând valoarea din paranteze în comparație cu unitatea.

Apoi ecuația diferențială a liniei elastice a unei grinziîl vom considera sub forma:

(6.1)

Găsim soluția ecuației diferențiale (6.1) prin integrarea ambelor părți asupra variabilei z:

(6.2)

(6.3)

Constantele integrării C 1 , D 1 se găsește din condițiile la limită - condițiile de asigurare a grinzii, iar pentru fiecare secțiune a grinzii se vor determina propriile sale constante.

Să luăm în considerare procedura de rezolvare a acestor ecuații folosind un exemplu specific.

D un nu:

Lungimea grinzii în consolă lîncărcat cu forță tăietoare F. Materialul fasciculului ( E), forma și dimensiunile secțiunii sale transversale ( eu X) considerăm de asemenea cunoscute.

DESPRE limită legea modificării unghiului de rotație ( z) și deformare y(z) grinzi de-a lungul lungimii și valorile acestora în secțiuni caracteristice.

Soluţie

a) determinați reacțiile în etanșare

b) folosind metoda secțiunilor, determinăm momentul încovoietor intern:

c) determinați unghiul de rotație al secțiunilor grinzii

Constant C 1 găsim din condițiile de fixare și anume, într-o încastrare rigidă unghiul de rotație este egal cu zero, atunci


(0) = 0  C 1 =0.

Să găsim unghiul de rotație al capătului liber al grinzii ( z = l) :

Semnul minus indică faptul că secțiunea s-a rotit în sensul acelor de ceasornic.

d) determinați deviațiile grinzii:

Constant D 1 găsim din condițiile de fixare, și anume, într-un ansamblu rigid, deformarea este egală cu zero, atunci

y(0) = 0 + D 1  D 1 = 0

Să găsim deformarea capătului liber al grinzii ( X= l)

.

Semnul minus indică faptul că secțiunea transversală s-a deplasat în jos.