Trigonometric. Modulul și argumentul unui număr complex. Notație trigonometrică: Care este modulul și argumentul unui număr complex?
Corespunzător acestui număr: .
Modulul unui număr complex z este de obicei notat | z| sau r.
Fie și să fie numere reale astfel încât un număr complex (notație obișnuită). Apoi
Fundația Wikimedia. 2010.
Vedeți ce este „Modulul unui număr complex” în alte dicționare:
modulul unui număr complex- kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. modulul numărului complex vok. Betrag der komplexen Zahl, m rus. modulul unui număr complex, m pranc. module du nombre complex, m … Fizikos terminų žodynas
- (modul) Mărimea unui număr în termeni de distanță de la 0. Modulul, sau valoarea absolută a unui număr real x (notat cu |x|), este diferența dintre x și 0, indiferent de semn. Prin urmare, dacă x0, atunci |x|=x și dacă x 0, atunci |x|=–x... Dicționar economic
Pentru un număr complex, consultați Valoare absolută. Modulul de tranziție de la un sistem de logaritmi cu baza a la un sistem cu baza b este numărul 1/logab... Dicţionar enciclopedic mare
Valoarea absolută sau modulul unui număr real sau complex x este distanța de la x la origine. Mai precis: Valoarea absolută a unui număr real x este un număr nenegativ, notat cu |x| și definit după cum urmează: ... ... Wikipedia
Modul de matematică, 1) M. (sau valoarea absolută) a unui număr complex z = x + iy este numărul ═ (rădăcina este luată cu semnul plus). Când se reprezintă un număr complex z în formă trigonometrică z = r(cos j + i sin j) numărul real r este... ...
- (la matematică) o măsură de comparare a mărimilor omogene și de exprimare a uneia dintre ele folosind alta; m. se exprimă ca număr. Dicţionar cuvinte străine, inclus în limba rusă. Pavlenkov F., 1907. MODUL (lat.). 1) un număr care se înmulțește... ... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse
MODUL al unui număr complex, vezi Valoare absolută (vezi VALOARE ABSOLUTĂ). Modulul de tranziție de la un sistem de logaritmi cu baza a la un sistem cu baza b este numărul 1/logab... Dicţionar enciclopedic
I Modul (din latină modulus measure) în arhitectură, o unitate convențională adoptată pentru a coordona dimensiunile părților unei clădiri sau complex. În arhitectură națiuni diferiteîn funcție de caracteristicile echipamentelor de construcții și de compoziția clădirilor dincolo de M.... ... Marea Enciclopedie Sovietică
eu; m. [din lat. măsura modulului] 1. de ce. Specialist. O cantitate care o caracterizează l. proprietate solid. M. compresie. M. elasticitate. 2. Matematică. Număr real, valoarea absolută a unui număr negativ sau pozitiv. M. număr complex. M... Dicţionar enciclopedic
Caracteristicile numerice ale oricărui matematic obiect. De obicei, valoarea lui M este un număr real nenegativ, un element care are anumite caracteristici. proprietăţi determinate de proprietăţile mulţimii de obiecte luate în considerare. Conceptul de M.... ... Enciclopedie matematică
Care reprezintă un număr complex dat $z=a+bi$ se numește modulul numărului complex dat.
Modulul unui număr complex dat se calculează folosind următoarea formulă:
Exemplul 1
Calculați modulul numerelor complexe date $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.
Calculăm modulul unui număr complex $z=a+bi$ folosind formula: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.
Pentru numărul complex original $z_(1) =13$ obținem $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$
Pentru numărul complex original $\, z_(2) =4i$ obținem $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$
Pentru numărul complex original $\, z_(3) =4+3i$ obținem $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$
Definiția 2
Unghiul $\varphi $ format din direcția pozitivă a axei reale și vectorul rază $\overrightarrow(OM) $, care corespunde unui număr complex dat $z=a+bi$, se numește argument număr datși se notează cu $\arg z$.
Nota 1
Modulul și argumentul unui număr complex dat sunt utilizate în mod explicit atunci când se reprezintă un număr complex în formă trigonometrică sau exponențială:
- $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - formă trigonometrică;
- $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - formă exponențială.
Exemplul 2
Scrieţi un număr complex în forme trigonometrice şi exponenţiale, dat de următoarele date: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.
1) Înlocuiți datele $r=3;\varphi =\pi $ în formulele corespunzătoare și obțineți:
$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - formă trigonometrică
$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - formă exponențială.
2) Înlocuiți datele $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ în formulele corespunzătoare și obțineți:
$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - formă trigonometrică
$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - formă exponențială.
Exemplul 3
Determinați modulul și argumentul numerelor complexe date:
1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.
Vom găsi modulul și argumentul folosind formule pentru scrierea unui număr complex dat în forme trigonometrice și, respectiv, exponențiale
\ \
1) Pentru numărul complex original $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ obținem $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .
2) Pentru numărul complex inițial $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ avem obţine $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.
3) Pentru numărul complex inițial $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ obținem $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.
4) Pentru numărul complex original $z=13\cdot e^(i\pi ) $ obținem $r=13;\varphi =\pi $.
Argumentul $\varphi $ al unui număr complex dat $z=a+bi$ poate fi calculat folosind următoarele formule:
\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]
În practică, pentru a calcula valoarea argumentului unui număr complex dat $z=a+bi$, se utilizează de obicei formula:
$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a
sau rezolvarea unui sistem de ecuații
$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) \end(array)\right $.
Exemplul 4
Calculați argumentul numerelor complexe date: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.
Deoarece $z=3$, atunci $a=3,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]
Deoarece $z=4i$, atunci $a=0,b=4$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]
Deoarece $z=1+i$, atunci $a=1,b=1$. Să calculăm argumentul numărului complex original prin rezolvarea sistemului (**):
\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) \end(array)\right .\]
Din cursul de trigonometrie se știe că $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ pentru unghiul corespunzător primului sfert de coordonate și egal cu $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.
Deoarece $z=-5$, atunci $a=-5,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]
Deoarece $z=-2i$, atunci $a=0,b=-2$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]
Nota 2
Numărul $z_(3)$ este reprezentat de punctul $(0;1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(2) $ conform Notei 3.
Numărul $z_(4)$ este reprezentat de punctul $(0;-1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ conform Notei 3.
Numărul $z_(5) $ este reprezentat de punctul $(2;2)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, i.e. $r=2\sqrt(2) $, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(4) $ prin proprietatea unui triunghi dreptunghic.
Un număr complex este un număr de forma z =x + i * y, unde x și y sunt reale numereși i = unitate imaginară (adică un număr al cărui pătrat este -1). Pentru a defini conceptul argument cuprinzător numere, este necesar să se ia în considerare un număr complex pe plan complex în sistemul de coordonate polare.
Instrucțiuni
Planul pe care sunt reprezentate complexe complexe numere, se numește complex. Pe acest plan, axa orizontală este ocupată de real numere(x), iar axa verticală este imaginară numere(y). Pe un astfel de plan, numărul este dat de două coordonate z = (x, y). În sistemul de coordonate polare, coordonatele unui punct sunt modulul și argumentul. Modulul este distanța |z| de la un punct la origine. Argumentul este unghiul dintre vectorul care leagă punctul și originea și axa orizontală a sistemului de coordonate (vezi figura).
Figura arată că modulul complex numere z = x + i * y se găsește folosind teorema lui Pitagora: |z| = ? (x^2 + y^2). Următorul argument numere z se găsește ca unghi ascuțit al unui triunghi - prin valori funcții trigonometrice sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2),
cos = x / ? (x^2 + y^2),
tg = y/x.
De exemplu, să fie dat numărul z = 5 * (1 + ?3 * i). În primul rând, selectați părțile reale și imaginare: z = 5 +5 * ?3 * i. Rezultă că partea reală este x = 5, iar partea imaginară este y = 5 * ?3. Calculați modulul numere: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Apoi, găsiți sinusul unghiului: sin = 5 / 10 = 1 / 2. Acest lucru dă argumentul numere z este egal cu 30°.
Exemplul 2. Fie dat numărul z = 5 * i. Figura arată că unghiul = 90°. Verificați această valoare folosind formula dată mai sus. Notați coordonatele acestuia numere pe plan complex: z = (0, 5). Modul numere|z| = 5. Tangenta unghiului tg = 5 / 5 = 1. Rezultă că = 90°.
Exemplul 3. Să fie necesar să găsim argumentul sumei a două numere complexe z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. Conform regulilor de adăugare, adăugați aceste două complexe numere: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Apoi, folosind diagrama de mai sus, calculați argumentul: tg = 9 / 3 = 3.
Care reprezintă un număr complex dat $z=a+bi$ se numește modulul numărului complex dat.
Modulul unui număr complex dat se calculează folosind următoarea formulă:
Exemplul 1
Calculați modulul numerelor complexe date $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.
Calculăm modulul unui număr complex $z=a+bi$ folosind formula: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.
Pentru numărul complex original $z_(1) =13$ obținem $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$
Pentru numărul complex original $\, z_(2) =4i$ obținem $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$
Pentru numărul complex original $\, z_(3) =4+3i$ obținem $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$
Definiția 2
Unghiul $\varphi $ format din direcția pozitivă a axei reale și vectorul rază $\overrightarrow(OM) $, care corespunde unui număr complex dat $z=a+bi$, se numește argumentul acestui număr și se notează cu $\arg z$.
Nota 1
Modulul și argumentul unui număr complex dat sunt utilizate în mod explicit atunci când se reprezintă un număr complex în formă trigonometrică sau exponențială:
- $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - formă trigonometrică;
- $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - formă exponențială.
Exemplul 2
Scrieţi un număr complex în forme trigonometrice şi exponenţiale, dat de următoarele date: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.
1) Înlocuiți datele $r=3;\varphi =\pi $ în formulele corespunzătoare și obțineți:
$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - formă trigonometrică
$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - formă exponențială.
2) Înlocuiți datele $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ în formulele corespunzătoare și obțineți:
$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - formă trigonometrică
$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - formă exponențială.
Exemplul 3
Determinați modulul și argumentul numerelor complexe date:
1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.
Vom găsi modulul și argumentul folosind formule pentru scrierea unui număr complex dat în forme trigonometrice și, respectiv, exponențiale
\ \
1) Pentru numărul complex original $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ obținem $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .
2) Pentru numărul complex inițial $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ avem obţine $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.
3) Pentru numărul complex inițial $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ obținem $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.
4) Pentru numărul complex original $z=13\cdot e^(i\pi ) $ obținem $r=13;\varphi =\pi $.
Argumentul $\varphi $ al unui număr complex dat $z=a+bi$ poate fi calculat folosind următoarele formule:
\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]
În practică, pentru a calcula valoarea argumentului unui număr complex dat $z=a+bi$, se utilizează de obicei formula:
$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a
sau rezolvarea unui sistem de ecuații
$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) \end(array)\right $.
Exemplul 4
Calculați argumentul numerelor complexe date: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.
Deoarece $z=3$, atunci $a=3,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]
Deoarece $z=4i$, atunci $a=0,b=4$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]
Deoarece $z=1+i$, atunci $a=1,b=1$. Să calculăm argumentul numărului complex original prin rezolvarea sistemului (**):
\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) \end(array)\right .\]
Din cursul de trigonometrie se știe că $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ pentru unghiul corespunzător primului sfert de coordonate și egal cu $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.
Deoarece $z=-5$, atunci $a=-5,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]
Deoarece $z=-2i$, atunci $a=0,b=-2$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):
\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]
Nota 2
Numărul $z_(3)$ este reprezentat de punctul $(0;1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(2) $ conform Notei 3.
Numărul $z_(4)$ este reprezentat de punctul $(0;-1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ conform Notei 3.
Numărul $z_(5) $ este reprezentat de punctul $(2;2)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, i.e. $r=2\sqrt(2) $, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(4) $ prin proprietatea unui triunghi dreptunghic.
Definiția 8.3 (1).
Lungimea |z| vectorul z = (x,y) se numește modulul numărului complex z = x + yi
Deoarece lungimea fiecărei laturi a triunghiului nu depășește suma lungimilor celorlalte două laturi ale sale, iar valoarea absolută a diferenței dintre lungimile celor două laturi ale triunghiului nu este mai mică decât lungimea celei de-a treia laturi. , atunci pentru oricare două numere complexe z 1 și z 2 inegalitățile sunt valabile
Definiția 8.3 (2).
Argumentul numărului complex. Dacă φ este unghiul format dintr-un vector z diferit de zero cu axa reală, atunci orice unghi de forma (φ + 2πn, unde n este un număr întreg, și numai un unghi de acest fel, va fi de asemenea un unghi format din vectorul z cu axa reală.
Mulțimea tuturor unghiurilor formată de vectorul diferit de zero z = = (x, y) cu axa reală se numește argumentul numărului complex z = x + yi și se notează cu arg z. Fiecare element al acestei mulțimi se numește valoarea argumentului numărului z (Fig. 8.3(1)).
Orez. 8.3(1).
Deoarece un vector diferit de zero al unui plan este determinat în mod unic de lungimea sa și de unghiul pe care îl formează cu axa x, atunci două numere complexe diferite de zero sunt egale dacă și numai dacă valorile lor absolute și argumentele sunt egale.
Dacă, de exemplu, condiția 0≤φ este impusă valorilor argumentului φ al numărului z<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.
Definiția 8.3.(3)
Forma trigonometrică de scriere a unui număr complex. Părțile reale și imaginare ale unui număr complex z = x + уi ≠ 0 sunt exprimate prin modulul său r= |z| iar argumentul φ după cum urmează (din definiția sinusului și cosinusului):
Partea dreaptă a acestei egalități se numește forma trigonometrică de scriere a numărului complex z. O vom folosi și pentru z = 0; în acest caz, r = 0, iar φ poate lua orice valoare - argumentul numărului 0 este nedefinit. Deci, fiecare număr complex poate fi scris în formă trigonometrică.
De asemenea, este clar că dacă numărul complex z este scris sub forma
atunci numărul r este modulul său, deoarece
Și φ este una dintre valorile argumentului său
Forma trigonometrică de scriere a numerelor complexe poate fi convenabilă de utilizat atunci când înmulțiți numere complexe, vă permite să aflați semnificația geometrică a produsului numerelor complexe;
Să găsim formule pentru înmulțirea și împărțirea numerelor complexe în formă trigonometrică. Dacă
apoi conform regulii înmulțirii numerelor complexe (folosind formulele pentru sinus și cosinus ale sumei)
Astfel, la înmulțirea numerelor complexe, valorile lor absolute sunt înmulțite, iar argumentele sunt adăugate:
Aplicând această formulă secvenţial la n numere complexe, obţinem
Dacă toate n numere sunt egale, obținem
Unde pentru
efectuat
Prin urmare, pentru un număr complex a cărui valoare absolută este 1 (prin urmare, are forma
Această egalitate se numește formulele lui Moivre
Cu alte cuvinte, la împărțirea numerelor complexe, modulele lor sunt împărțite,
iar argumentele se scad.
Exemplele 8.3 (1).
Desenați pe planul complex C o mulțime de puncte care îndeplinesc următoarele condiții:
Se încarcă...
