Proprietăți și grafice ale funcțiilor trigonometrice. Funcții trigonometrice ale unui argument numeric. Graficul și proprietățile funcției y = sin x Funcțiile unui argument numeric

Oricare ar fi numărul real t, acesta poate fi asociat cu un număr definit în mod unic sin t. Adevărat, regula de potrivire este destul de complexă; după cum am văzut mai sus, este după cum urmează.

Pentru a găsi valoarea lui sin t folosind numărul t, aveți nevoie de:

1) poziționați cercul numeric în planul de coordonate astfel încât centrul cercului să coincidă cu originea coordonatelor, iar punctul de plecare A al cercului să cadă în punctul (1; 0);

2) găsiți un punct pe cerc corespunzător numărului t;

3) găsiți ordonata acestui punct.

Această ordonată este sin t.

De fapt, vorbim despre funcția u = sin t, unde t este orice număr real.

Toate aceste funcții sunt numite funcţiile trigonometrice ale argumentului numeric t.

Există o serie de relații care conectează valorile diferitelor funcții trigonometrice; am obținut deja câteva dintre aceste relații:

sin 2 t+cos 2 t = 1

Din ultimele două formule este ușor de obținut o relație care leagă tg t și ctg t:

Toate aceste formule sunt utilizate în cazurile în care, cunoscând valoarea unei funcții trigonometrice, este necesar să se calculeze valorile altor funcții trigonometrice.

Termenii „sinus”, „cosinus”, „tangent” și „cotangent” erau de fapt familiari, totuși, ei erau încă utilizați într-o interpretare puțin diferită: în geometrie și fizică ei considerau sinus, cosinus, tangentă și cotangentă. la cap(dar nu

numere, așa cum a fost în paragrafele precedente).

Din geometrie se știe că sinusul (cosinusul) unui unghi ascuțit este raportul catetelor unui triunghi dreptunghic și ipotenuza acestuia, iar tangenta (cotangenta) unui unghi este raportul catetelor unui triunghi dreptunghic. O abordare diferită a conceptelor de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a fost dezvoltată în paragrafele precedente. De fapt, aceste abordări sunt interdependente.

Să luăm un unghi cu măsura gradului b o și să-l plasăm în modelul „cerc numeric într-un sistem de coordonate dreptunghiular”, așa cum se arată în Fig. 14

vârful unghiului este compatibil cu centrul

cercuri (cu originea sistemului de coordonate),

și o parte a colțului este compatibilă cu

raza pozitivă a axei x. Punct

intersecția celei de-a doua laturi a unghiului cu

notează prin cerc litera M. Ordina-

Fig. 14 b o, iar abscisa acestui punct este cosinusul unghiului b o.

Pentru a găsi sinusul sau cosinusul unui unghi b o nu este deloc necesar să faceți de fiecare dată aceste construcții foarte complexe.

Este suficient de remarcat că arcul AM alcătuiește aceeași parte din lungimea cercului numeric pe care o face unghiul b o din colțul de 360°. Dacă lungimea arcului AM este notată cu litera t, obținem:

Prin urmare,

De exemplu,

Se crede că 30° este o măsură de grad a unui unghi și o măsură în radian a aceluiași unghi: 30° = rad. Deloc:

În special, mă bucur de unde, la rândul nostru, îl obținem.

Deci, ce este 1 radian? Există diverse măsuri de lungime a segmentelor: centimetri, metri, yarzi etc. Există, de asemenea, diverse măsuri pentru a indica mărimea unghiurilor. Considerăm unghiurile centrale ale cercului unitar. Un unghi de 1° este unghiul central subtins de un arc care face parte dintr-un cerc. Un unghi de 1 radian este unghiul central subîntins de un arc de lungime 1, i.e. pe un arc a cărui lungime este egală cu raza cercului. Din formulă, aflăm că 1 rad = 57,3°.

Când luăm în considerare funcția u = sin t (sau orice altă funcție trigonometrică), putem considera variabila independentă t ca fiind un argument numeric, așa cum a fost cazul în paragrafele anterioare, dar putem considera și această variabilă ca fiind o măsură a unghiul, adică argument de colț. Prin urmare, când vorbim despre o funcție trigonometrică, într-un anumit sens, nu are nicio diferență să o consideri o funcție a unui argument numeric sau unghiular.

Funcții trigonometrice ale unui argument numeric.

Funcții trigonometrice ale argumentului numerict sunt funcţii ale formei y= cos t,
y= sin t, y= tg t, y= ctg t.

Folosind aceste formule, prin valoarea cunoscută a unei funcții trigonometrice, puteți găsi valorile necunoscute ale altor funcții trigonometrice.

Explicații.

1) Luați formula cos 2 t + sin 2 t = 1 și folosiți-o pentru a obține o nouă formulă.

Pentru a face acest lucru, împărțiți ambele părți ale formulei la cos 2 t (pentru t ≠ 0, adică t ≠ π/2 + π k). Asa de:

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Primul termen este egal cu 1. Știm că raportul dintre sinus și conis este tangent, ceea ce înseamnă că al doilea termen este egal cu tg 2 t. Drept urmare, obținem o formulă nouă (și deja cunoscută de dvs.):

2) Acum împărțiți cos 2 t + sin 2 t = 1 la sin 2 t (pentru t ≠ π k):

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, unde t ≠ π k + π k, k– număr întreg
sin 2 t sin 2 t sin 2 t

Raportul dintre cosinus și sinus este cotangenta. Mijloace:

Cunoscând principiile de bază ale matematicii și după ce ați învățat formulele de bază ale trigonometriei, puteți obține cu ușurință majoritatea celorlalte identități trigonometrice pe cont propriu. Și asta este chiar mai bine decât să le memorezi: ceea ce înveți pe de rost se uită repede, dar ceea ce înțelegi este amintit mult timp, dacă nu pentru totdeauna. De exemplu, nu este necesar să memorați cu ce este egală suma unu și pătratul tangentei. Dacă ați uitat, vă puteți aminti cu ușurință dacă știți cel mai simplu lucru: tangenta este raportul dintre sinus și cosinus. În plus, aplicați regula simplă de a adăuga fracții cu numitori diferiți și obțineți rezultatul:

sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t

În același mod, puteți găsi cu ușurință suma unu și pătratul cotangentei, precum și multe alte identități.

Funcții trigonometrice ale argumentului unghiular.

În funcțiila = cost, la = păcatt, la = tgt, la = ctgt variabilt poate fi mai mult decât un argument numeric. De asemenea, poate fi considerată o măsură a unghiului - adică argumentul unghiular.

Folosind cercul numeric și sistemul de coordonate, puteți găsi cu ușurință sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta oricărui unghi. Pentru a face acest lucru, trebuie îndeplinite două condiții importante:
1) vârful unghiului trebuie să fie centrul cercului, care este și centrul axei de coordonate;

2) una dintre laturile unghiului trebuie să fie un fascicul cu ax pozitiv X.

În acest caz, ordonata punctului în care se intersectează cercul și a doua latură a unghiului este sinusul acestui unghi, iar abscisa acestui punct este cosinusul acestui unghi.

Explicaţie. Să desenăm un unghi, o parte a căruia este raza pozitivă a axei X, iar a doua latură iese de la originea axei de coordonate (și din centrul cercului) la un unghi de 30º (vezi figura). Atunci punctul de intersecție al celei de-a doua laturi cu cercul corespunde cu π/6. Cunoaștem ordonata și abscisa acestui punct. Ele sunt, de asemenea, cosinusul și sinusul unghiului nostru:

√3 1
--; --
2 2

Și cunoscând sinusul și cosinusul unui unghi, îi puteți găsi cu ușurință tangenta și cotangenta.

Astfel, cercul numeric, situat într-un sistem de coordonate, este o modalitate convenabilă de a găsi sinusul, cosinusul, tangenta sau cotangenta unui unghi.

Dar există o cale mai ușoară. Nu trebuie să desenați un cerc și un sistem de coordonate. Puteți folosi formule simple și convenabile:

Exemplu: găsiți sinusul și cosinusul unui unghi egal cu 60º.

Solutie:

π 60 π √3
sin 60º = sin --- = sin -- = --
180 3 2

π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2

Explicație: am aflat că sinusul și cosinusul unui unghi de 60º corespund valorilor unui punct de pe un cerc π/3. În continuare, găsim pur și simplu valorile acestui punct în tabel - și astfel rezolvăm exemplul nostru. Tabelul sinusurilor și cosinusurilor punctelor principale ale cercului numeric se află în secțiunea anterioară și pe pagina „Tabele”.

Definiție. Funcțiile trigonometrice ale unui argument numeric sunt aceleași funcții trigonometrice ale unui unghi egal cu radiani.

Să explicăm această definiție cu exemple specifice.

Exemplul 1. Să calculăm valoarea. Aici ne referim la un număr abstract irațional. Conform definiţiei. Asa de, .

Exemplul 2. Să calculăm valoarea. Aici, prin 1,5 înțelegem un număr abstract. După cum este definit (a se vedea Anexa II).

Exemplul 3. Calculați valoarea Obținem la fel ca mai sus (vezi Anexa II).

Deci, pe viitor, prin argumentul funcțiilor trigonometrice vom înțelege un unghi (arc) sau doar un număr, în funcție de problema pe care o rezolvăm. Și în unele cazuri, argumentul poate fi o mărime care are o altă dimensiune, de exemplu timpul, etc. Numind un argument unghi (arc), putem înțelege prin acesta numărul cu care se măsoară în radiani.

Lecție și prezentare pe tema: „Funcția trigonometrică a unui argument numeric, definiție, identități”

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările voastre. Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online Integral pentru clasa a 10-a
Probleme algebrice cu parametri, clasele 9–11
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”

Ce vom studia:
1. Definirea unui argument numeric.
2. Formule de bază.
3. Identităţi trigonometrice.
4. Exemple și sarcini pentru soluții independente.

Definirea unei funcții trigonometrice a unui argument numeric

Să ne amintim formulele de bază:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Apropo, care este numele acestei formule?

$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, cu $t≠\frac(π)(2)+πk$.
$ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$, pentru $t≠πk$.

Să derivăm noi formule.

Identități trigonometrice

Acum să împărțim ambele părți ale identității la $sin^2(t)$.
Se obține: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2 (t))$.
Să transformăm: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sin^2(t)).$
Obținem o nouă identitate care merită reținută:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, pentru $t≠πk$.

Am reușit să obținem două formule noi. Amintiți-vă de ele.
Aceste formule sunt folosite dacă, dintr-o valoare cunoscută a unei funcții trigonometrice, este necesar să se calculeze valoarea unei alte funcții.

Rezolvarea exemplelor de funcții trigonometrice ale unui argument numeric

$cos(t) =\frac(5)(7)$, găsiți $sin(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ pentru toate t.

Soluţie:

$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
Atunci $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49)$.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.

Exemplul 2.

$tg(t) = \frac(5)(12)$, găsiți $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, pentru toți $0

Soluţie:
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
Atunci $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
Obținem că $cos^2(t)=\frac(144)(169)$.
Atunci $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, dar $0 Cosinusul din primul trimestru este pozitiv. Atunci $cos(t)=\frac(12)(13)$.
Se obține: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.

Probleme de rezolvat independent