Vezi paginile în care este menționat termenul de sistem ortogonal. Vezi paginile în care este menționat termenul sistem ortogonal sistem guvernamental francez, vot și sistem electoral

Un astfel de subset de vectori $\left$ \varphi_i \right$\subset H$ că oricare două dintre ele sunt ortogonale, adică produsul lor scalar este egal cu zero:

$(\varphi_i, \varphi_j) = 0$ .

Un sistem ortogonal, dacă este complet, poate fi folosit ca bază pentru spațiu. Mai mult, descompunerea oricărui element $\vec a$ poate fi calculat folosind formulele: $\vec a = \sum_(k) \alpha_i \varphi_i$ , Unde $\alpha_i = \frac((\vec a, \varphi_i))((\varphi_i, \varphi_i))$ .

Cazul în care norma tuturor elementelor $||\varphi_i||=1$ , se numește sistem ortonormal.

Ortogonalizarea

Orice liniar complet sistem independentîntr-un spațiu finit-dimensional este o bază. De la o bază simplă, așadar, se poate trece la o bază ortonormală.

Descompunerea ortogonală

La descompunerea vectorilor unui spațiu vectorial conform unei baze ortonormale, calculul produsului scalar este simplificat: $(\vec a, \vec b) = \sum_(k) \alpha_k\beta_k$ , Unde $\vec a = \sum_(k) \alpha_k \varphi_k$ Și $\vec b = \sum_(k) \beta_k \varphi_k$ .

Vezi si

Scrieți o recenzie despre articolul „Sistem ortogonal”

Un fragment care caracterizează sistemul ortogonal

- Ei bine, ce vrei? Sunteți cu toții îndrăgostiți în aceste zile. Ei bine, ești îndrăgostit, așa că căsătorește-te cu el! – spuse contesa râzând supărată. - Cu Dumnezeu binecuvântare!
- Nu, mamă, nu sunt îndrăgostit de el, nu trebuie să fiu îndrăgostit de el.
- Ei bine, spune-i așa.
- Mamă, ești supărată? Nu ești supărată, draga mea, ce vină am?
- Nu, ce zici, prietene? Dacă vrei, mă duc să-i spun”, a spus contesa zâmbind.
- Nu, o voi face eu, doar învață-mă. Totul este ușor pentru tine”, a adăugat ea, răspunzând zâmbetului ei. - Dacă ai putea vedea cum mi-a spus asta! La urma urmei, știu că nu a vrut să spună asta, dar a spus-o întâmplător.
- Ei bine, tot trebuie să refuzi.
- Nu, nu. Îmi pare atât de rău pentru el! El este atât de drăguț.
- Ei bine, atunci acceptă oferta. „Și atunci este timpul să ne căsătorim”, a spus mama furioasă și batjocoritoare.
- Nu, mamă, îmi pare atât de rău pentru el. Nu știu cum o voi spune.
„Nu ai nimic de spus, o spun eu însumi”, a spus contesa, indignată că au îndrăznit să se uite la această micuță Natasha de parcă ar fi fost mare.
„Nu, în niciun caz, eu însumi și tu asculți la ușă”, iar Natașa a alergat prin sufragerie în hol, unde Denisov stătea pe același scaun, lângă clavicord, acoperindu-și fața cu mâinile. El sări în sus la sunetul pașilor ei ușori.
— Natalie, spuse el, apropiindu-se de ea cu pași repezi, hotărăște-mi soarta. Este în mâinile tale!
- Vasily Dmitrich, îmi pare atât de rău pentru tine!... Nu, dar ești atât de drăguț... dar nu... asta... altfel te voi iubi mereu.

Definiție. VectoriA Șib sunt numite ortogonale (perpendiculare) între ele dacă produsul lor scalar este egal cu zero, adică.A × b = 0.

Pentru vectori nenuli A Și b egalitatea produsului scalar la zero înseamnă că cos j= 0, adică . Vectorul zero este ortogonal cu orice vector, deoarece A × 0 = 0.

Exercițiu. Fie și să fie vectori ortogonali. Atunci este firesc să luăm în considerare diagonala unui dreptunghi cu laturile și . Demonstrează asta

acestea. pătratul lungimii diagonalei unui dreptunghi este egal cu suma pătratelor lungimilor celor două laturi neparalele ale sale(Teorema lui Pitagora).

Definiție. Sistem vectorialA 1 ,…, A m se numește ortogonal dacă oricare doi vectori ai acestui sistem sunt ortogonali.

Astfel, pentru un sistem ortogonal de vectori A 1 ,…,A m egalitatea este adevarata: A i × A j= 0 la i¹ j, i= 1,…, m; j= 1,…,m.

Teorema 1.5. Un sistem ortogonal format din vectori nenuli este liniar independent. .

□ Efectuăm proba prin contradicţie. Să presupunem că sistemul ortogonal de vectori nenuli A 1 , …, A m dependent liniar. Apoi

l 1 A 1 + …+ l mA m= 0 , în care . (1,15)

Fie, de exemplu, l 1 ¹ 0. Înmulțiți cu A 1 ambele părți ale egalității (1.15):

l 1 A 1× A 1 + …+ l m A m × A 1 = 0.

Toți termenii, cu excepția primului, sunt egali cu zero datorită ortogonalității sistemului A 1 , …, A m. Apoi l 1 A 1× A 1 =0, care urmează A 1 = 0 , ceea ce contrazice condiția. Presupunerea noastră s-a dovedit a fi greșită. Aceasta înseamnă că sistemul ortogonal de vectori nenuli este liniar independent. ■

Următoarea teoremă este valabilă.

Teorema 1.6. În spațiul Rn există întotdeauna o bază formată din vectori ortogonali (bază ortogonală)
(Nicio dovadă).

Bazele ortogonale sunt convenabile în primul rând deoarece coeficienții de expansiune ai unui vector arbitrar peste astfel de baze sunt pur și simplu determinați.

Să presupunem că trebuie să găsim descompunerea unui vector arbitrar b pe bază ortogonală e 1 ,…,e n. Să compunem o expansiune a acestui vector cu coeficienți de expansiune încă necunoscuți pentru această bază:

Să înmulțim scalar ambele părți ale acestei egalități cu vectorul e 1 . În virtutea axiomelor 2° și 3° ale produsului scalar al vectorilor, obținem

Deoarece vectorii de bază e 1 ,…,e n sunt reciproc ortogonale, atunci toate produsele scalare ale vectorilor de bază, cu excepția primului, sunt egale cu zero, i.e. coeficientul este determinat de formula

Înmulțind egalitatea (1.16) unul câte unul cu alți vectori de bază, obținem formule simple pentru calcularea coeficienților de expansiune vectorială b :

Formulele (1.17) au sens deoarece .

Definiție. VectorA se numește normalizat (sau unitate) dacă lungimea sa este egală cu 1, adică (A , A )= 1.

Orice vector diferit de zero poate fi normalizat. Lăsa A ¹ 0 . Atunci , iar vectorul este un vector normalizat.

Definiție. Sistem vectorial e 1 ,…,e n se numește ortonormal dacă este ortogonal și lungimea fiecărui vector al sistemului este egală cu 1, adică

Deoarece există întotdeauna o bază ortogonală în spațiul Rn și vectorii acestei baze pot fi normalizați, atunci există întotdeauna o bază ortonormală în Rn.

Un exemplu de bază ortonormală a spațiului R n este sistemul de vectori e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) cu produsul scalar definit prin egalitate (1.9). Pe o bază ortonormală e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) formula (1.17) pentru a determina coordonatele descompunerii vectoriale b au cea mai simplă formă:

Lăsa A Și b – doi vectori arbitrari ai spațiului R n cu bază ortonormală e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Să notăm coordonatele vectorilor A Și b în bază e 1 ,…,e n in consecinta prin A 1 ,…,A nȘi b 1 ,…, b nși găsiți expresia produsului scalar al acestor vectori prin coordonatele lor în pe această bază, adică Să ne prefacem că

Din ultima egalitate, în virtutea axiomelor și relațiilor produsului scalar (1.18), obținem

În sfârșit avem

Prin urmare, pe o bază ortonormală, produsul scalar al oricăror doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare ale acestor vectori.

Să considerăm acum o bază complet arbitrară (în general vorbind, nu ortonormală) în spațiul euclidian n-dimensional R n și să găsim o expresie pentru produsul scalar a doi vectori arbitrari A Și b prin coordonatele acestor vectori în baza specificată. f 1 ,…,f n Spațiul euclidian R n produsul scalar al oricăror doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare acestor vectori, este necesar și suficient ca baza f 1 ,…,f n era ortonormal.

De fapt, expresia (1.20) intră în (1.19) dacă și numai dacă sunt îndeplinite relațiile care stabilesc ortonormalitatea bazei. f 1 ,…,f n.

1) O. astfel încât (x a , X ab)=0 la . Dacă norma fiecărui vector este egală cu unu, atunci se numește sistemul (x a). ortonormal. O. s. (x a) numit bază ortogonală (ortonormală). M. I. Voitsekhovsky.

2) O. s. coordonate - un sistem de coordonate în care liniile de coordonate (sau suprafețele) se intersectează în unghi drept. O. s. coordonatele există în orice spațiu euclidian, dar, în general, nu există în niciun spațiu. Într-un spațiu afin neted bidimensional O. s. poate fi introdus oricând cel puţin într-o vecinătate suficient de mică a fiecărui punct. Uneori este posibil să se introducă O. s. coordonatele in actiune. În O. s. metric tensor g ij diagonale; componente diagonale gii nume acceptat Coeficienții Lamé. Coeficient de șchioapă O.S. în spațiu sunt exprimate prin formule

Unde X yȘi z- Coordonate dreptunghiulare carteziene. Elementul de lungime este exprimat prin coeficienții Lamé:

element de suprafață:

element de volum:

operații diferențiale vectoriale:

Cel mai des folosit O. s. coordonate: pe plan - carteziene, polare, eliptice, parabolice; în spațiu - sferic, cilindric, paraboloidal, bicilindric, bipolar. D. D. Sokolov.

3) O. s. funcții - sistem finit sau numărabil (j i(x)) funcții aparținând spațiului

L 2(X, S, m) și îndeplinirea condițiilor

Dacă l i=1 pentru toate eu, atunci sistemul este apelat ortonormal. Se presupune că măsura m(x), definită pe s-algebra S de submulțimi ale mulțimii X, este numărabilă aditivă, completă și are o bază numărabilă. Aceasta este definiția lui O. s. include toate paginile O. considerate în analiza modernă; sunt obținute pentru diverse implementări specifice ale spațiului de măsură ( X, S, m).

De cel mai mare interes sunt sistemele ortonormale complete (j n(x)), care au proprietatea că pentru orice funcție există o serie unică convergentă spre f(x) în metrica spațiului L 2(X, S, m) , în timp ce coeficienţii s p sunt determinate de formulele Fourier

Astfel de sisteme există datorită separabilității spațiului L 2(X, S, m). O modalitate universală de a construi sisteme ortonormale complete este oferită de metoda de ortogonalizare Schmidt. Pentru a face acest lucru, este suficient să-l aplicați la un anumit roi de complet L 2(S X, m) un sistem de funcţii liniar independente.

Teoretic serie ortogonală în considerată în principal O. s. spaceLva L 2[a, b](acel caz special când X=[a, b], S- sistem de mulțimi măsurabile Lebesgue, iar m este măsura Lebesgue). Multe teoreme privind convergența sau sumabilitatea serii , , conform sistemelor matematice generale. (j n(x)) spații L 2[a, b] sunt valabile și pentru serii din sistemele ortonormale ale spațiului L 2(X, S, m). În același timp, în acest caz particular, s-au construit interesante sisteme specifice O. care au anumite proprietăți bune. Acestea sunt, de exemplu, sistemele lui Haar, Rademacher, Walsh-Paley și Franklin.

1) Sistemul Haar

unde m=2 n+k, , t=2, 3, ... . Seria Haar reprezintă un exemplu tipic martingale iar pentru ei teoremele generale din teoria martingale sunt adevărate. În plus, sistemul este baza în Lp, , și seria Fourier din sistemul Haar a oricărei funcții integrabile converge aproape peste tot.

2) Sistemul Rademacher

reprezintă un exemplu important de O. s. funcţii independente şi are aplicaţii atât în teoria probabilităţilor cât şi în teoria serii funcţionale ortogonale şi generale.

3) Sistemul Walsh-Paley este determinat prin funcțiile Rademacher:

unde sunt numerele ti q k sunt determinate din expansiunea binară a numărului n:

4) Sistemul Franklin se obține prin ortogonalizarea succesiunii de funcții folosind metoda Schmidt

Este un exemplu de bază ortogonală a spațiului C al funcțiilor continue.

În teoria serii ortogonale multiple sunt luate în considerare sistemele de funcții ale formei

unde este sistemul ortonormal L 2[a, b]. Astfel de sisteme sunt ortonormale pe cubul m-dimensional J m =[a, b]X . . .X[ a, b] și sunt complete dacă sistemul (j n(X))

Lit.:[l] Kaczmarz S., Shteingauz G., Teoria seriei ortogonale, trad. din germană, M., 1958; Rezultatele științei. Analiza matematică, 1970, M., 1971, p. 109-46; acolo, s. 147-202; Dub J., Procese probabilistice, trad. din engleză, M., 1956; Loeve M., Teoria probabilității, trad. din engleză, M., 1962; Zygmund A., Seria trigonometrică, trad. din engleză, vol. 1-2, M., 1965. A. A. Talalyan.

- un sistem finit sau numărabil de funcții aparținând spațiului Hilbert L2 și care îndeplinește condițiile funcției gnaz. cântărind O. s. f.,* înseamnă conjugare complexă...
Enciclopedie fizică
- grupul tuturor transformărilor liniare ale spațiului vectorial n-dimensional V peste câmpul k, păstrând o formă pătratică fixă nedegenerată Q pe V)=Q pentru orice)...
Enciclopedie matematică
- o matrice peste un inel comutativ R cu unitatea 1, pentru care matricea transpusa coincide cu inversul. Determinantul lui O. m este egal cu +1...
Enciclopedie matematică
- o rețea în care tangentele dintr-un anumit punct la linii de diferite familii sunt ortogonale. Exemple de sisteme operaționale: rețea asimptotică pe o suprafață minimă, rețea cu curbură linie. A.V. Ivanov...
Enciclopedie matematică
- o matrice ortogonală, OA - o matrice de dimensiunea kx N, ale cărei elemente sunt numerele 1, 2, .....
Enciclopedie matematică
- vezi traiectoria izogonala...
Enciclopedie matematică
- Engleză: Sistem „generator - motor” Acționare electrică reglabilă, al cărui dispozitiv de conversie este o unitate de conversie a mașinii electrice Sursa: Termeni și definiții în industria energiei electrice...
Dicționar de construcții
- vezi proiecția...
Big Enciclopedic Polytechnic Dictionary
- procedura de stabilire a rezultatelor alegerilor, în care mandatele se repartizează între partidele care și-au desemnat candidații la organul reprezentativ în funcție de numărul de voturi pe care le-au primit...
Dicţionar de termeni juridici
- un tip de sistem electoral proporțional. Rezultatele finale seamănă cu un sistem proporțional cu panoare și vot preferențial...
Dicţionar de termeni juridici
- organe ale corpului uman implicate în procesul de reproducere...
Termeni medicali
- o serie de patru tipuri de gene care codifică proteine polimorfe găsite pe suprafața majorității celulelor nucleate...
Termeni medicali
- comanda n Matrix...
- un caz special de proiecție paralelă, când axa sau planul proiecțiilor este perpendicular pe direcția de proiecție...
Marea Enciclopedie Sovietică
- un sistem de funcții (), n = 1, 2,..., ortogonal cu greutatea ρ pe segment, adică astfel încât Exemple. Sistem trigonometric 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., - O.s. f. cu greutatea 1 pe segment...
Marea Enciclopedie Sovietică
- sistem ORTOGONAL de FUNCȚII - sistem de funcții??n?, n=1, 2,.....
Dicționar enciclopedic mare

„SISTEM ORTOGONAL” în cărți

Alineatul XXIV Vechiul sistem de război de tranșee și sistemul modern de marșuri

Din cartea Strategie and Tactics in the Art of War autor Zhomini Genrikh Veniaminovici

Alineatul XXIV Vechiul sistem de război de tranșee și sistem modern marșuri Prin sistemul de poziții se înțelege vechiul mod de a conduce un război metodic cu armate dormind în corturi, având provizii la îndemână, angajate în observarea reciprocă; o singură armată

19. Conceptul de „sistem fiscal al Federației Ruse”. Relația dintre conceptele „sistem fiscal” și „sistem fiscal”

Din cartea Drept fiscal autorul Mikidze S G

19. Conceptul de „sistem fiscal al Federației Ruse”. Relația dintre conceptele de „sistem fiscal” și „sistem fiscal” Sistemul fiscal este un set de taxe federale, impozite regionale și locale stabilite în Federația Rusă. Structura sa este consacrată în art. 13–15 Codul fiscal al Federației Ruse În conformitate cu

Din cartea Cum sa întâmplat cu adevărat. Reconstrucţie istorie adevarata autor Nosovski Gleb Vladimirovici

23. Sistemul geocentric al lui Ptolemeu și sistemul heliocentric al lui Tycho Brahe (și Copernic) Sistemul lumii după Tycho Brahe este prezentat în Fig. 90. În centrul lumii se află Pământul, în jurul căruia se învârte Soarele. Cu toate acestea, toate celelalte planete orbitează deja în jurul Soarelui. Exact

23. Sistemul geocentric al lui Ptolemeu și sistemul heliocentric al lui Tycho Brahe (și Copernic)

Din cartea autorului

Matrice ortogonală

TSB

Proiecție ortografică

Din cartea Big Enciclopedia Sovietică(SAU) al autorului TSB

Sistem de funcții ortogonale

Din cartea Marea Enciclopedie Sovietică (OR) a autorului TSB

49. Sistemul judiciar și sistemul agențiilor de aplicare a legii conform „Fundamentelor Legislației URSS și Republicilor Unirii” 1958

Din cartea Istoria statului și a dreptului Rusiei autor Pașkevici Dmitri

49. Sistemul judiciar și sistemul agențiilor de aplicare a legii conform „Fundamentele legislației URSS și Republicilor Uniunii” din 1958. Fundamentele legislației privind sistemul judiciar au stabilit principiile pentru construirea sistemului judiciar al URSS, principiile consideraţiei colegiale

Sistemul de drept obiectiv (pozitiv) și sistemul de legislație: relația conceptelor

Din cartea Jurisprudență autorul Mardaliev R.T.

Sistemul de drept obiectiv (pozitiv) și sistemul de legislație: relația dintre concepte Sistemul de drept obiectiv (pozitiv) este structura interna drept, împărțind-o în ramuri, subsectoare și instituții în conformitate cu subiectul și modalitatea juridică

29. Sistemul de management obligatoriu și sistemul de autoguvernare locală în perioada monarhiei reprezentative-moșiale

autor

29. Sistemul de management al ordinelor și sistemul de autoguvernare locală în perioada monarhiei patrimoniale-reprezentative Ordinele sunt organe ale sistemului de conducere centralizată, care s-au dezvoltat inițial din ordinele de guvernare individuale și temporare emise.

86. Sistemul judiciar și sistemul agențiilor de aplicare a legii conform „Fundamentelor Legislației URSS și ale Republicilor Uniunii” 1958

Din cartea Cheat Sheet on the History of State and Law of Russia autor Dudkina Lyudmila Vladimirovna

86. Sistemul judiciar și sistemul organelor de drept conform „Fundamentele legislației URSS și ale republicilor Uniunii” 1958 Deja din 1948, legislația procesuală a URSS și a republicilor a suferit modificări semnificative: 1) instanțele populare au suferit devin aleși 2) instanțele au devenit mai multe

31. Sistemul guvernamental francez, votul și sistemul electoral

Din cartea Dreptul constituțional al țărilor străine autorul Imasheva E G

31. Sistemul organismelor guvernamentale din Franța, votşi sistemul electoral Franţa are un guvern republican mixt (sau semiprezidenţial). Sistemul de guvernare din Franța este construit pe principiul separării puterilor

44. Sistemul guvernamental francez, votul și sistemul electoral

Din cartea Dreptul constituțional al țărilor străine. Pat de copil autor Belousov Mihail Sergheevici

44. Sistemul organelor guvernamentale din Franța, votul și sistemul electoral Franța este o republică mixtă (semi-prezidențială), al cărei sistem de organe guvernamentale se bazează pe principiul separației puterilor Franța de astăzi este o republică puternică

Capitolul IV. Sistem de potrivire dublu cap. Sistemul „insecte”. Minisistem

Din cartea Su Jok pentru toată lumea de Woo Park Jae

Capitolul IV. Sistem de potrivire cu dublu cap. Sistemul „insecte”. Minisistem Sistem dublu de corespondență cu capul Pe degetele de la mâini și de la picioare există două sisteme de corespondență cu capul: sistemul „tip uman” și sistemul „tip uman”.

Primul centru emoțional - sistemul osos, articulațiile, circulația sângelui, sistemul imunitar, pielea

Din cartea Totul va fi bine! de Hay Louise

Primul centru emoțional este sistemul osos, articulații, circulație sanguină, sistemul imunitar, piele Starea sănătoasă a organelor asociate cu primul centru emoțional depinde de sentimentul de siguranță din această lume. Dacă sunteți lipsit de sprijinul familiei și al prietenilor pe care îl aveți

Dacă alegem oricare doi vectori reciproc perpendiculari de lungime unitară pe un plan (Fig. 7), atunci un vector arbitrar din același plan poate fi extins în direcțiile acestor doi vectori, adică reprezentat sub forma

unde sunt numere egale cu proiecțiile vectorului pe direcțiile axelor Deoarece proiecția pe axă este egală cu produsul lungimii și cosinusul unghiului cu axa, atunci, amintind definiția produsului scalar. , putem scrie

La fel, dacă în spatiu tridimensional alege oricare trei vectori reciproc perpendiculari de unitate de lungime, apoi un vector arbitrar din acest spațiu poate fi reprezentat ca

Într-un spațiu Hilbert, se pot lua în considerare și sisteme de vectori ortogonali în perechi ai acestui spațiu, adică funcții

Astfel de sisteme de funcții sunt numite sisteme ortogonale de funcții și joacă un rol important în analiză. Ele se regăsesc într-o mare varietate de întrebări de fizică matematică, ecuații integrale, calcule aproximative, teoria funcțiilor unei variabile reale etc. Ordonarea și unificarea conceptelor legate de astfel de sisteme a fost unul dintre stimulentele care au condus la începutul secolul al XX-lea. la creație concept general Spațiul Hilbert.

Să dăm definiții precise. Sistem de funcții

se numește ortogonală dacă oricare două funcții ale acestui sistem sunt ortogonale una față de cealaltă, adică dacă

În spațiul tridimensional, am cerut ca lungimile vectorilor sistemului să fie egale cu unu. Reamintind definiția lungimii vectorului, vedem că în cazul unui spațiu Hilbert această cerință este scrisă după cum urmează:

Un sistem de funcții care satisface cerințele (13) și (14) se numește ortogonal și normalizat.

Să dăm exemple de astfel de sisteme de funcții.

1. Pe interval, luați în considerare șirul de funcții

Fiecare două funcții din această secvență sunt ortogonale una față de cealaltă. Acest lucru poate fi verificat prin simpla calculare a integralelor corespunzătoare. Pătratul lungimii unui vector într-un spațiu Hilbert este integrala pătratului funcției. Astfel, lungimile pătrate ale vectorilor de secvență

esența integralelor

adică secvența vectorilor noștri este ortogonală, dar nu normalizată. Lungimea primului vector al secvenței este egală cu

restul au lungime. Împărțind fiecare vector la lungimea lui, obținem un sistem ortogonal și normalizat funcții trigonometrice

Acest sistem este din punct de vedere istoric unul dintre primele și cele mai importante exemple de sisteme ortogonale. A apărut în lucrările lui Euler, D. Bernoulli și d'Alembert în legătură cu problema vibrațiilor corzilor. Studiul ei a jucat un rol semnificativ în dezvoltarea întregii analize.

Apariția unui sistem ortogonal de funcții trigonometrice în legătură cu problema vibrațiilor corzilor nu este întâmplătoare. Fiecare problemă despre oscilațiile mici ale unui mediu duce la un anumit sistem de funcții ortogonale care descriu așa-numitele oscilații naturale ale unui sistem dat (vezi § 4). De exemplu, în legătură cu problema oscilațiilor unei sfere apar așa-numitele funcții sferice, în legătură cu problema oscilațiilor unei membrane rotunde sau a unui cilindru apar așa-numitele funcții cilindrice etc.

2. Puteți da un exemplu de sistem ortogonal de funcții, fiecare funcție fiind un polinom. Un astfel de exemplu este șirul de polinoame Legendre

adică există (până la un factor constant) derivata de ordin a lui . Să scriem primele câteva polinoame ale acestei secvențe:

Este evident că în general există un polinom de grad. Lăsăm cititorului să vadă singur că aceste polinoame reprezintă o secvență ortogonală pe interval

Teoria generală a polinoamelor ortogonale (așa-numitele polinoame ortogonale cu greutate) a fost dezvoltată de remarcabilul matematician rus P. L. Cebyshev în a doua jumătate a secolului al XIX-lea.

Extinderea în sistemele ortogonale de funcții. La fel ca în spațiul tridimensional, fiecare vector poate fi reprezentat

ca o combinație liniară a trei vectori ortogonali perechi de lungime unitară

în spațiul funcțiilor, se pune problema extinderii unei funcții arbitrare într-o serie într-un sistem ortogonal și normalizat de funcții, adică reprezentarea funcției sub forma

În acest caz, convergența seriei (15) la o funcție este înțeleasă în sensul distanței dintre elemente din spațiul Hilbert. Aceasta înseamnă că abaterea pătratică medie a sumei parțiale a seriei de la funcție tinde spre zero ca , i.e.

Această convergență este de obicei numită „convergență în medie”.

Expansiunile în ceea ce privește anumite sisteme de funcții ortogonale se găsesc adesea în analiză și reprezintă o metodă importantă pentru rezolvarea problemelor de fizică matematică. Deci, de exemplu, dacă un sistem ortogonal este un sistem de funcții trigonometrice pe interval

atunci o astfel de expansiune este expansiunea clasică a unei funcții dintr-o serie trigonometrică

Să presupunem că expansiunea (15) este posibilă pentru orice funcție din spațiul Hilbert și să găsim coeficienții unei astfel de expansiuni. Pentru a face acest lucru, să înmulțim scalar ambele părți ale egalității cu aceeași funcție a sistemului nostru. Vom obține egalitate

din care, datorită faptului că atunci când se determină valoarea coeficientului

Vedem că, ca și în spațiul tridimensional obișnuit (vezi începutul acestei secțiuni), coeficienții sunt egali cu proiecțiile vectorului pe direcțiile vectorilor.

Reamintind definiția produsului scalar, constatăm că coeficienții expansiunii unei funcții într-un sistem ortogonal și normalizat de funcții

determinate prin formule

Ca exemplu, luați în considerare sistemul trigonometric normalizat ortogonal de funcții prezentat mai sus:

Am obținut o formulă pentru calcularea coeficienților de expansiune a unei funcții într-o serie trigonometrică, presupunând, desigur, că această expansiune este posibilă.

Am stabilit forma coeficienților de expansiune (18) ai unei funcții într-un sistem ortogonal de funcții în ipoteza că o astfel de expansiune are loc. Cu toate acestea, un sistem ortogonal infinit de funcții poate să nu fie suficient pentru a fi posibilă extinderea oricărei funcții dintr-un spațiu Hilbert. Pentru ca o astfel de extindere să fie posibilă, sistemul de funcții ortogonale trebuie să satisfacă o condiție suplimentară - așa-numita condiție de completitate.

Un sistem ortogonal de funcții se numește complet dacă este imposibil să se adauge la el o singură funcție non-identică zero, ortogonală la toate funcțiile sistemului.

Este ușor să dați un exemplu de sistem ortogonal incomplet. Pentru a face acest lucru, să luăm un sistem ortogonal, de exemplu același

sistem de funcții trigonometrice și eliminați una dintre funcțiile acestui sistem, de exemplu, sistemul infinit de funcții rămas

va fi în continuare ortogonal, desigur, nu va fi complet, deoarece funcția pe care am exclus-o este ortogonală cu toate funcțiile sistemului.

Dacă un sistem de funcții nu este complet, atunci nu orice funcție dintr-un spațiu Hilbert poate fi extins peste el. Într-adevăr, dacă încercăm să extindem într-un astfel de sistem o funcție zero ortogonală cu toate funcțiile sistemului, atunci, în virtutea formulelor (18), toți coeficienții vor fi egali cu zero, în timp ce funcția nu este egală cu zero.

Următoarea teoremă este valabilă: dacă este dat un sistem complet ortogonal și normalizat de funcții într-un spațiu Hilbert, atunci orice funcție poate fi extinsă într-o serie în ceea ce privește funcțiile acestui sistem.

În acest caz, coeficienții de expansiune sunt egali cu proiecțiile vectorilor pe elementele sistemului normalizat ortogonal.

Teorema lui Pitagora din § 2 în spațiul Hilbert ne permite să găsim o relație interesantă între coeficienți și funcție Să notăm prin diferența dintre și suma primilor termeni ai seriei sale, i.e.