Inegalități complexe. Inegalități. Tipuri de inegalități. Informații generale despre inegalități

În articol vom lua în considerare rezolvarea inegalităților. Vă vom spune clar despre cum se construiește o soluție la inegalități, cu exemple clare!

Înainte de a ne uita la rezolvarea inegalităților folosind exemple, să înțelegem conceptele de bază.

Informații generale despre inegalități

Inegalitate este o expresie în care funcțiile sunt legate prin semne de relație >, . Inegalitățile pot fi atât numerice, cât și literale.
Inegalitățile cu două semne ale raportului se numesc dublu, cu trei - triplu etc. De exemplu:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) Inegalitățile care conțin semnul > sau sau - nu sunt stricte.
Rezolvarea inegalității este orice valoare a variabilei pentru care această inegalitate va fi adevărată.
"Rezolvați inegalitatea" înseamnă că trebuie să găsim setul tuturor soluțiilor sale. Există diferite metode de rezolvare a inegalităților. Pentru soluții pentru inegalități Ei folosesc linia numerică, care este infinită. De exemplu, soluție la inegalitate x > 3 este intervalul de la 3 la +, iar numărul 3 nu este inclus în acest interval, prin urmare punctul de pe linie este notat cu un cerc gol, deoarece inegalitatea este strictă.
+
Răspunsul va fi: x (3; +).
Valoarea x=3 nu este inclusă în setul de soluții, deci paranteza este rotundă. Semnul infinitului este întotdeauna evidențiat cu o paranteză. Semnul înseamnă „apartenere”.
Să ne uităm la cum să rezolvăm inegalitățile folosind un alt exemplu cu semn:
x 2
-+
Valoarea x=2 este inclusă în setul de soluții, deci paranteza este pătrată, iar punctul de pe linie este indicat printr-un cerc umplut.
Răspunsul va fi: x.

Acum să ne uităm la inegalitățile liniare din două variabile. De regulă, astfel de probleme se reduc la reprezentarea unui set de puncte ale căror coordonate satisfac inegalitatea pe planul de coordonate.

Pe planul de coordonate descriem un set de puncte ale căror coordonate satisfac inegalitatea y-2 > x-3.

Să scriem această inegalitate în forma y > x-1. Mai întâi, să reprezentăm grafic funcția liniară y = x-1 (linie dreaptă). Această linie împarte toate punctele planului de coordonate în puncte situate pe această linie și puncte situate sub această linie. Să verificăm ce puncte satisfac această inegalitate.

Din prima zonă luăm, de exemplu, punctul de control A (0; 0) - originea coordonatelor. Este ușor de verificat că atunci inegalitatea y > -1 este valabilă. Din a doua zonă selectăm, de exemplu, punctul de control B (1; -1). Pentru un astfel de punct inegalitatea y > x-1 nu este valabilă. În consecință, această inegalitate este satisfăcută de punctele situate deasupra și pe dreapta y = x-1 (adică puncte similare cu punctul A). Aceste puncte sunt umbrite.

Pentru ce valori ale parametrului a ecuația ax 2 + x – 1 = 0 nu are soluții?

Deoarece coeficientul de conducere al ecuației depinde de parametrul a, este necesar să luăm în considerare două cazuri.

a) Dacă a 0, atunci ecuația ax 2 + x – 1 = 0 este pătratică. O astfel de ecuație nu are soluții dacă discriminantul său D< 0. Решение этого неравенства а (-; -). Заметим, что в указанный промежуток значение а = 0 не входит.

b) Dacă a = 0, atunci ecuația ax 2 + x – 1 = 0 este liniară și are forma x – 1 = 0. Evident, ecuația are o soluție unică x = 1.

Deci, pentru un (-; -) această ecuație nu are soluții.

Să rezolvăm inegalitatea |x – 1| + x 2 + 2 x + 1< 0.

Să scriem inegalitatea sub forma |x – 1| + (x + 1) 2< 0 и введем новую переменную, а = х + 1. Тогда неравенство примет вид, |a| + а 2 < 0. Так как |a| >0 și a 2 > 0 pentru toate valorile lui a, apoi suma

|a| + a 2 > 0 pentru toate a. Prin urmare inegalitatea, |a| + un 2< 0 имеет единственное решение а = 0. теперь вернемся к старой неизвестной х. Получаем линейное уравнение х + 1 = 0, решение которого х = – 1. Итак, решение данного неравенства х = – 1.

Există tipuri similare de inegalități cu două variabile.

Pe planul de coordonate descriem un set de puncte ale căror coordonate satisfac inegalitatea y-1< х 2 .

Să scriem inegalitatea sub forma y< х 2 + 1 и построим параболу y = х 2 + 1 (этот график получается смещением графика y = х 2 на одну единицу вверх). Парабола разбивает точки плоскости на точки, расположенные под параболой. Взяв в качестве контрольной точки начало координат, получаем верное неравенство 0 < 1. Поэтому данному неравенству удовлетворяют точки, расположенные ниже параболы и на параболе. Эти точки заштрихованы.

1. Rezolvați inegalitatea analitic:

2. Pentru toate valorile lui a, rezolvați inegalitatea:

3. La ce valori ale parametrului a face ecuația

a) 3x 2 – 2x + a = 0 nu are rădăcini;
b) 2x 2 – 3x + 5a = 0 are două rădăcini diferite;
c) 3akh 2 – 4х + 1 = 0 are două rădăcini diferite;
d) ax 2 – 3x + 2 = 0 are cel puțin o rădăcină.

4. Rezolvați analitic (și dacă este posibil, grafic) inegalitățile: