Lucrează 7 formule dreptunghiulare legi ale operațiilor aritmetice. Fundamentele teoretice ale legilor și proprietăților operațiilor aritmetice. Învățarea de materiale noi
În cursul dezvoltării istorice, desigur, s-au adăugat și s-au înmulțit îndelung, fără să-și dea seama de legile cărora le sunt supuse aceste operațiuni. Abia în anii 20 și 30 ai secolului precedent, matematicienii francezi și englezi și-au dat seama de proprietățile de bază ale acestor operații. Oricine dorește să se familiarizeze cu istoria acestei probleme mai detaliat, pot recomanda aici, așa cum voi face acest lucru în mod repetat mai jos, marea „Enciclopedie a Științelor Matematice”.
Revenind la subiectul nostru, acum vreau să enumerez acele cinci legi fundamentale la care se reduce adunarea:
1) reprezintă întotdeauna un număr, cu alte cuvinte, acțiunea de adunare este întotdeauna fezabilă fără excepții (spre deosebire de scădere, care nu este întotdeauna fezabilă în zona numerelor pozitive);
2) suma este întotdeauna determinată în mod unic;
3) există o lege combinațională sau asociativă: , deci parantezele pot fi omise cu totul;
4) există o lege comutativă sau comutativă:
5) legea monotonității este valabilă: dacă , atunci .
Aceste proprietăți sunt de înțeles fără alte explicații dacă avem în fața ochilor o reprezentare vizuală a numărului ca cantitate. Dar ele trebuie exprimate strict formal, astfel încât să se poată baza pe ele în viitor în mod strict. dezvoltare logica teorii.
În ceea ce privește înmulțirea, există, în primul rând, cinci legi asemănătoare celor enumerate:
1) există întotdeauna un număr;
2) produsul nu este ambiguu,
3) legea combinației:
4) legea mobilității:
5) legea monotonității: dacă , atunci
În sfârșit, legătura dintre adunare și înmulțire este stabilită prin legea a șasea:
6) legea distribuției sau distributivității:
Este ușor de înțeles că toate calculele se bazează exclusiv pe aceste 11 legi. Mă voi limita la un exemplu simplu, să zicem, înmulțirea numărului 7 cu 12;
conform legii distribuţiei
În această scurtă discuție, veți recunoaște, desigur, pașii individuali pe care îi efectuăm atunci când calculăm în sistemul zecimal. Vă las pe voi să vă dați seama de exemplele mai complexe. Aici vom exprima doar un rezultat sumar: calculele noastre digitale constau în reaplicarea celor unsprezece prevederi de bază enumerate mai sus, precum și în aplicarea rezultatelor operațiilor pe numere cu o singură cifră (tabelul de adunare și tabelul înmulțirii) învățate pe de rost. .
Totuși, unde se aplică legile monotoniei? În calculele obișnuite, formale, chiar nu ne bazăm pe ele, dar se dovedesc a fi necesare în probleme de un fel ușor diferit. Permiteți-mi să vă reamintesc aici o metodă care în numărarea zecimală se numește estimarea valorii produsului și a coeficientului. Aceasta este o tehnică de cea mai mare importanță practică, care, din păcate, nu este încă suficient de cunoscută la școală și în rândul elevilor, deși ocazional se vorbește despre ea deja în clasa a II-a; Mă voi limita aici doar la un exemplu. Să presupunem că trebuie să înmulțim 567 cu 134, iar în aceste numere cifrele unității sunt stabilite, să zicem, prin măsurători fizice- doar foarte inexacte. În acest caz, ar fi complet inutil să calculăm produsul cu acuratețe deplină, deoarece un astfel de calcul încă nu ne garantează valoarea exactă a numărului care ne interesează. Dar ceea ce este cu adevărat important pentru noi este să cunoaștem ordinul de mărime al produsului, adică să stabilim în ce număr de zeci sau sute se află numărul. Dar legea monotonității îți oferă de fapt această estimare în mod direct, pentru că din aceasta rezultă că numărul necesar este cuprins între 560-130 și 570-140. Vă las din nou dezvoltarea ulterioară a acestor considerații pe seama dumneavoastră.
În orice caz, vezi că în „estimarea calculelor” trebuie să folosești constant legile monotonității.
În ceea ce privește aplicarea efectivă a tuturor acestor lucruri în predarea școlară, nu poate fi vorba de o expunere sistematică a tuturor acestor legi fundamentale ale adunării și înmulțirii. Profesorul nu se poate opri decât asupra legile combinării, comutării și distribuției și numai atunci când trece la calcule literale, deducându-le euristic din exemple numerice simple și clare.
Abordarea adunării numerelor întregi nenegative ne permite să argumentăm binecunoscutele legi ale adunării: comutativă și combinațională.
Să demonstrăm mai întâi legea comutativă, adică să demonstrăm că pentru orice numere întregi nenegative a și b este valabilă egalitatea a + b = b + a.
Fie a numărul de elemente din mulțimea A, b numărul de elemente din mulțimea B și A B=0. Atunci, prin definiția sumei numerelor întregi nenegative, a + b este numărul de elemente ale uniunii mulțimilor A și B: a + b = n (A//B). Dar mulțimea A B este egală cu mulțimea B A conform proprietății comutative a uniunii mulțimilor și, prin urmare, n(AU B) = n(B U A). Prin definiția sumei n(BiA) = b + a, deci a+b=b+a pentru orice numere întregi nenegative a și b.
Să demonstrăm acum legea combinației, adică să demonstrăm că pentru orice numere întregi nenegative a, b, c este valabilă egalitatea (a + b) + c = a + (b + c).
Fie a = n(A), b = n(B), c = n(C) și АУВ = 0, ВУС = 0 Atunci, prin definiția sumei a două numere, putem scrie (a+ b)+ c = n(A/ /)B) + p(C) = p((AUBUC).
Deoarece unirea mulțimilor respectă legea combinației, atunci n((AUB)U C) = n(A U(BUC)). De unde, prin definiția sumei a două numere, avem n (A J(BUC)) = n (A) + n (BU C) = a + (b + c). Prin urmare, (a+ b)+ c -- a+(b + c) pentru orice numere întregi nenegative a, b și c.
Care este scopul legii asociative a adunării? El explică cum puteți găsi suma a trei termeni: pentru a face acest lucru, adăugați primul termen cu al doilea și adăugați al treilea termen la numărul rezultat sau adăugați primul termen la suma celui de-al doilea și al treilea. Rețineți că legea combinației nu implică rearanjarea termenilor.
Atât legile comutative, cât și cele asociative ale adunării pot fi generalizate la orice număr de termeni. În acest caz, legea comutativă va însemna că suma nu se modifică cu nicio rearanjare a termenilor, iar legea asociativă va însemna că suma nu se modifică cu nicio grupare de termeni (fără a le schimba ordinea).
Din legile comutative și asociative ale adunării rezultă că suma mai multor termeni nu se va schimba dacă sunt rearanjați în vreun fel și dacă vreun grup dintre ei este cuprins între paranteze.
Să calculăm, folosind legile adunării, valoarea expresiei 109 + 36+ 191 +64 + 27.
Pe baza legii comutative, rearanjam termenii 36 și 191. Atunci 109 + 36+191+64 + 27= 109+191+36 + 64 + 27.
Să folosim legea combinației, grupând termenii și apoi să găsim sumele între paranteze: 109+ 191 +36 + 64 + 27 ==(109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.
Să aplicăm din nou legea combinației, incluzând între paranteze suma numerelor 300 și 100: 300+ 100 + 27 = (300+ 100) + 27.
Să facem calculele: (300+ 100)+ 27 = 400+ 27 = 427.
Cu proprietatea comutativă a adunării, elevii clasele primare deveniți familiari când studiați numerele primelor zece. Este folosit mai întâi pentru a crea un tabel de adunare cu o singură cifră și apoi pentru a raționaliza diferite calcule.
Legea combinației adunării în curs initial matematica nu este studiată în mod explicit, ci este folosită în mod constant. Astfel, ea stă la baza tehnicii de adunare a unui număr pe părți: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1)+ 1 =4+ 1 =5. În plus, în cazurile în care este necesară adăugarea unui număr la o sumă, o sumă la un număr, o sumă la o sumă, legea asociativă este utilizată în combinație cu legea comutativă. De exemplu, adăugarea sumei 2+1 la numărul 4 este propusă în următoarele moduri:
1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;
4+2+ 1 = 6+1 =7;
4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.
Să analizăm aceste metode. În cazul 1, calculele sunt efectuate în conformitate cu în ordinea indicată actiuni. În cazul 2 se aplică proprietatea asociativă a adunării. Calculele în acest ultim caz se bazează pe legile comutative și asociative ale adunării, iar transformările intermediare sunt omise. Ei sunt așa. În primul rând, pe baza legii comutative, am schimbat termenii 1 și 2: 4+(2-1) = 4 + (1+2). Apoi am folosit legea combinației: 4 + (1 +2) = (4+ 1) + 2. Și, în final, am făcut calcule după ordinea operațiilor (4 +1)+ 2 = 5 + 2 = 7.
Reguli pentru scăderea unui număr dintr-o sumă și a unei sume dintr-un număr
Să justificăm regulile cunoscute pentru scăderea unui număr dintr-o sumă și a unei sume dintr-un număr.
Regula pentru scăderea unui număr dintr-o sumă. Pentru a scădea un număr dintr-o sumă, este suficient să scădeți acest număr din unul dintre termenii sumei și să adăugați un alt termen la rezultatul rezultat.
Să scriem această regulă folosind simbolurile: Dacă a, b, c sunt numere întregi nenegative, atunci:
a) pentru a>c avem că (a+b) -- c = (a -- c)+b;
b) pentru b>c avem că (a+b) -- c==a + (b -- c);
c) pentru a>c și b>c, puteți utiliza oricare dintre aceste formule.
Fie a >c, atunci diferența a -c există. Să o notăm cu p: a - c = p. Prin urmare a = p+c. Înlocuiți suma p+-c în loc de a în expresia (a+b) -- c și transformați-o: (a + 6) --c = (p + c+b) -- c = p+b+-c - - c = p+b
Dar litera p indică diferența a - c, ceea ce înseamnă că avem (a + b) - - c = (a - c) + b, ceea ce trebuia demonstrat.
Același raționament se aplică și în alte cazuri. Să ilustrăm acum această regulă (cazul „a”) folosind cercuri Euler. Să luăm trei mulțimi finite A, B și C, astfel încât n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c și AUB = 0, CUA. Atunci (a+b) - c este numărul de elemente ale mulțimii (AUB)C, iar numărul (a - c) + b este numărul de elemente ale mulțimii (AC)UB. Pe cercurile Euler, mulțimea (AUB)C este reprezentată de zona umbrită prezentată în figură.
Este ușor de verificat că setul (AC)UB va fi reprezentat de exact aceeași zonă. Deci (AUB)C = (AC)UB pentru date
multimile A, B si C. In consecinta, n((AUB)C) = n((AC)UB)u (a + b) - c - (a - c) + b.
Cazul „b” poate fi ilustrat în mod similar.
Regula pentru scăderea unei sume dintr-un număr. Pentru a scădea suma numerelor dintr-un număr, este suficient să scădem din acest număr fiecare termen unul câte unul, adică dacă a, b, c sunt numere întregi nenegative, atunci pentru a>b+c avem a--( b+c ) = (a - b) - c.
Rațiunea acestei reguli și ilustrarea ei teoretică a mulțimilor sunt efectuate în același mod ca și pentru regula pentru scăderea unui număr dintr-o sumă.
Regulile de mai sus sunt discutate în școală primară folosind exemple specifice, imaginile vizuale sunt folosite pentru justificare. Aceste reguli vă permit să efectuați calcule rațional. De exemplu, regula pentru scăderea unei sume dintr-un număr stă la baza tehnicii de scădere a unui număr pe părți:
5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.
Semnificația regulilor de mai sus este bine dezvăluită atunci când rezolvăm probleme aritmetice în diferite moduri. De exemplu, problema „Dimineața au plecat la mare 20 de bărci de pescuit mici și 8 mari. 6 bărci s-au întors. Câte bărci cu pescari mai trebuie să se întoarcă? poate fi rezolvată în trei moduri:
/ cale. 1. 20 + 8 = 28 2. 28 -- 6 = 22
// cale. 1. 20 -- 6=14 2. 14 + 8 = 22
metoda III. 1. 8 -- 6 = 2 2. 20 + 2 = 22
Legile înmulțirii
Să demonstrăm legile înmulțirii pe baza definiției unui produs prin produsul cartezian al mulțimilor.
1. Legea comutativă: pentru orice numere întregi nenegative a și b, egalitatea a*b = b*a este adevărată.
Fie a = n(A), b = n(B). Apoi, după definiția produsului, a*b = n(A*B). Dar seturile A*B și B*A sunt la fel de puternice: fiecare pereche (a, b) din mulțimea AXB poate fi asociată cu o singură pereche (b, a) din mulțimea BxA și invers. Aceasta înseamnă n(AXB) = n(BxA) și, prin urmare, a-b = n (AXB) = n (BXA) = b-a.
2. Legea combinației: pentru orice numere întregi nenegative a, b, c, egalitatea (a* b) *c = a* (b*c) este adevărată.
Fie a = n(A), b = n(B), c = n(C). Apoi, prin definiția produsului (a-b)-c = n((AXB)XQ, a-(b -c) = n (AX(BXQ). Mulțimile (AxB)XC și A X (BX Q sunt diferite: primul este format din perechi de forma ((a, b), c), iar al doilea - din perechi de forma (a, (b, c)), unde aЈA, bЈB, cЈC. Dar mulțimile (AXB) XC și AX(BXC) sunt de putere egală, deoarece există o mapare unu-la-unu a unei mulțimi la alta. Prin urmare, n((AXB) *C) = n(A*(B*C)) și , prin urmare, (a*b) *c = a* (b*c).
3. Legea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea: pentru orice numere întregi nenegative a, b, c, egalitatea (a + b) x c = ac+ be este adevărată.
Fie a - n (A), b = n (B), c = n (C) și AUB = 0. Atunci, prin definiția unui produs, avem (a + b) x c = n ((AUB) * C. De unde, pe baza egalității (*) obținem n ((A UВ) * C) = n((A * C)U(B* C)), și mai departe, prin definiția sumei și produsului n ( (A*C)U(B*C)) -- = n(A*C) + n(B*C) = ac + bc.
4. Legea distributivă a înmulțirii relativ la scădere: pentru orice numere întregi nenegative a, b și c și a^b egalitatea (a - b)c = = ac - bc este adevărată.
Această lege este derivată din egalitatea (AB) *C = (A *C)(B*C) și este dovedită în mod similar cu cea anterioară.
Legile comutative și asociative ale înmulțirii pot fi extinse la orice număr de factori. Ca și în plus, aceste legi sunt adesea folosite împreună, adică produsul mai multor factori nu se va schimba dacă sunt rearanjați în vreun fel și dacă vreun grup dintre ei este cuprins între paranteze.
Legile distributive stabilesc legătura dintre înmulțire și adunare și scădere. Pe baza acestor legi, parantezele sunt deschise în expresii precum (a + b) c și (a - b) c, precum și factorul este scos din paranteze dacă expresia este de forma ac - be sau
În cursul inițial de matematică, proprietatea comutativă a înmulțirii este studiată; este formulată astfel: „Produsul nu se va schimba prin rearanjarea factorilor” - și este utilizat pe scară largă la alcătuirea tabelului de înmulțire pentru numere cu o singură cifră. Legea comutativă nu este luată în considerare în mod explicit în școala elementară, dar este folosită împreună cu legea comutativă la înmulțirea unui număr cu un produs. Acest lucru se întâmplă după cum urmează: elevii sunt rugați să ia în considerare diferite căi găsiți valoarea expresiei 3* (5*2) și comparați rezultatele.
Sunt date cazuri:
1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;
2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;
3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.
Prima dintre ele se bazează pe regula ordinii acțiunilor, a doua pe legea asociativă a înmulțirii, a treia pe legile comutative și asociative ale înmulțirii.
Legea distributivă a înmulțirii relativ la adunare este discutată în școală folosind exemple specifice și se numește reguli de înmulțire a unui număr cu o sumă și a unei sume cu un număr. Luarea în considerare a acestor două reguli este dictată de considerente metodologice.
Reguli pentru împărțirea unei sume la un număr și a numerelor la un produs
Să ne familiarizăm cu câteva proprietăți ale împărțirii numerelor naturale. Alegerea acestor reguli este determinată de conținutul cursului inițial de matematică.
Regula pentru împărțirea unei sume la un număr. Dacă numerele a și b sunt divizibile cu numărul c, atunci suma lor a + b este divizibilă cu c; câtul obținut prin împărțirea sumei a + b la numărul c este egal cu suma câte obținute prin împărțirea a la c și b la c, adică.
(a + b): c = a: c + b: c.
Dovada. Deoarece a este divizibil cu c, există o astfel de a numar natural t = a:c, că a = c-t. În mod similar, există un număr natural n - b:c astfel încât b = c-n. Atunci a+b = c-m + c-/2 = c-(m + n). Rezultă că a + b este divizibil cu c și câtul obținut prin împărțirea a + b la numărul c este egal cu m + n, adică a: c + b: c.
Regula dovedită poate fi interpretată din punct de vedere teoretic al mulțimilor.
Fie a = n(A), b = n(B) și AGV = 0. Dacă fiecare dintre mulțimile A și B poate fi împărțită în submulțimi egale, atunci unirea acestor mulțimi permite aceeași partiție.
Mai mult, dacă fiecare submulțime a partiției mulțimii A conține elemente a:c, iar fiecare submulțime a mulțimii B conține elemente b:c, atunci fiecare submulțime a mulțimii A[)B conține elemente a:c+b:c. Aceasta înseamnă că (a + b): c = a: c + b: c.
Regula pentru împărțirea unui număr la un produs. Dacă un număr natural a este divizibil cu numerele naturale b și c, atunci pentru a împărți a la produsul numerelor b și c, este suficient să împărțiți numărul a la b (c) și să împărțiți câtul rezultat la c (b) : a: (b * c) --(a: b): c = (a: c): b Dovada. Să punem (a:b):c = x. Apoi, prin definiția coeficientului a:b = c-x, deci în mod similar a - b-(cx). Pe baza legii asociative a înmulțirii a = (bc)-x. Egalitatea rezultată înseamnă că a:(bc) = x. Astfel a:(bc) = (a:b):c.
Regula pentru înmulțirea unui număr cu câtul a două numere. Pentru a înmulți un număr cu câtul a două numere, este suficient să înmulțiți acest număr cu dividendul și să împărțiți produsul rezultat la divizor, adică.
a-(b:c) = (a-b):c.
Aplicarea regulilor formulate face posibilă simplificarea calculelor.
De exemplu, pentru a găsi valoarea expresiei (720+ 600): 24, este suficient să împărțiți termenii 720 și 600 la 24 și să adăugați coeficientii rezultați:
(720+ 600): 24 = 720:24 + 600:24 = 30 + 25 = 55. Valoarea expresiei 1440:(12* 15) poate fi găsită împărțind mai întâi 1440 la 12 și apoi împărțind câtul rezultat pana la 15:
1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.
Aceste reguli sunt discutate în cursul inițial de matematică folosind exemple specifice. Când vă familiarizați pentru prima dată cu regula împărțirii sumei 6 + 4 la numărul 2, se folosește material ilustrativ. În viitor, această regulă este folosită pentru a raționaliza calculele. Regula împărțirii unui număr la un produs este utilizată pe scară largă la împărțirea numerelor care se termină cu zerouri.
Pentru a utiliza previzualizările prezentării, creați un cont Google și conectați-vă la el: https://accounts.google.com
Subtitrările diapozitivelor:
22.10.15 Lucru grozav
Aflați lungimea segmentului AB a b A B b a B A AB= a + b AB= b + a
11 + 16 = 27 (fructe) 16 + 11 = 27 (fructe) Se va schimba numărul total de fructe dacă termenii sunt rearanjați? Masha a strâns 11 mere și 16 pere. Câte fructe erau în coșul lui Masha?
Alcătuiți o expresie cu litere pentru a înregistra afirmația verbală: „suma nu se va schimba prin rearanjarea termenilor” a + b = b + a Legea comutativă a adunării
(5 + 7) + 3 = 15 (jucării) Care metodă de numărare este mai ușoară? Masha împodobește pomul de Crăciun. A atârnat 5 bile de Crăciun, 7 conuri de pin și 3 stele. Câte jucării a închis Masha? (7 + 3) + 5 = 15 (jucării)
Alcătuiți o expresie cu litere pentru a înregistra afirmația verbală: „Pentru a adăuga un al treilea termen la suma a doi termeni, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea termen la primul termen” (a + b) + c = a + (b + c) Legea adunării combinate
Să numărăm: 27+ 148+13 = (27+13) +148= 188 124 + 371 + 429 + 346 = = (124 + 346) + (371 + 429) = = 470 + 800 = 1270 Să învățăm rapid să numărăm !
Sunt valabile aceleași legi pentru înmulțire ca și pentru adunare? a b = b a (a b) c = a (b c)
b=15 a =12 c=2 V = (a b) c = a (b c) V = (12 15) 2= =12 (15 2)=360 S = a b= b a S = 12 15 = 15 12 = 180
a · b = b · a (a · b) · с = a · (b · с) Legea comutativă a înmulțirii Legea combinativă a înmulțirii
Să numărăm: 25 · 756 · 4 = (25 · 4) · 756= 75600 8 · (956 · 125) = = (8 · 125) · 956 = = 1000 · 956 = 956000 Să învățăm să numărăm repede!
TEMA LECȚIEI: Cu ce lucrăm în lecția de astăzi? Formulați subiectul lecției.
212 (1 coloană), 214 (a, b, c), 231, 230 În sala de clasă Teme pentru acasă 212 (2 coloane), 214(d,e,f), 253
Pe tema: dezvoltări metodologice, prezentări și note
Desfasurarea unei lectii de matematica in clasa a 5-a „Legile operatiilor aritmetice” include un fisier text si o prezentare pentru lectie.In aceasta lectie se repeta legile comutative si asociative, introducand...
Legile operațiilor aritmetice
Această prezentare este pregătită pe jumătate pentru o lecție de matematică din clasa a 5-a pe tema „Legile operațiilor aritmetice” (manual de I.I. Zubarev, A.G. Mordkovich)....
O lecție de învățare a materialelor noi folosind ESM....
Legile operațiilor aritmetice
Prezentarea a fost creată pentru a însoți vizual o lecție de clasa a V-a pe tema „Operații aritmetice cu numere întregi”. Prezintă o selecție de sarcini pentru rezolvarea atât generală, cât și independentă...
desfăşurarea lecţiei Matematică clasa a V-a Legile operaţiilor aritmetice
desfășurarea lecției Matematică clasa a V-a Legile operațiilor aritmetice Nr. Structura adnotării Conținutul adnotării 1231 Numele complet Malyasova Lyudmila Gennadievna 2 Poziția, disciplina predată Ma...
Subiectul nr. 1.
Numere reale.Expresii numerice. Conversia expresiilor numerice
I. Material teoretic
Noțiuni de bază
· Numerele întregi
· Notarea zecimală a numărului
· Numerele opuse
· Numere întregi
· Fracție comună
Numere rationale
· Decimală infinită
· Perioada numărului, fracția periodică
· Numere irationale
· Numere reale
Operatii aritmetice
Expresie numerică
· Valoarea expresiei
· Conversia unei fracții zecimale într-o fracție obișnuită
Conversia unei fracții într-o zecimală
Conversia unei fracții periodice într-o fracție obișnuită
· Legile operaţiilor aritmetice
· Semne de divizibilitate
Sunt numite numerele folosite la numărarea obiectelor sau pentru a indica numărul de serie al unui obiect printre obiecte similare natural. Orice număr natural poate fi scris folosind zece numere: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Această notație a numerelor se numește zecimal
De exemplu: 24; 3711; 40125.
Se notează de obicei mulțimea numerelor naturale N.
Sunt numite două numere care diferă unul de celălalt doar prin semn opus numere.
De exemplu, numerele 7 și – 7.
Numerele naturale, contrariile lor și numărul zero alcătuiesc mulțimea întreg Z.
De exemplu: – 37; 0; 2541.
Numărul formularului, unde m –întreg, n – număr natural, numit obișnuit fracțiune. Rețineți că orice număr natural poate fi reprezentat ca o fracție cu numitorul 1.
De exemplu: , .
Unirea mulțimilor de numere întregi și fracții (pozitive și negative) constituie o mulțime raţional numere. Este de obicei notat Q.
De exemplu: ; – 17,55; .
Fie dată fracția zecimală dată. Valoarea sa nu se va schimba dacă adăugați orice număr de zerouri la dreapta.
De exemplu: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .
O astfel de zecimală se numește zecimală infinită.
Orice fracție comună poate fi reprezentată ca o fracție zecimală infinită.
Este apelat un grup de cifre repetat secvenţial după punctul zecimal dintr-un număr perioadă, iar o fracție zecimală infinită având o astfel de perioadă în notația sa se numește periodic. Pentru concizie, se obișnuiește să scrieți un punct o singură dată, anexându-l între paranteze.
De exemplu: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).
2,73000… = 2,73(0).
Se numesc fracții neperiodice zecimale infinite iraţional numere.
Unirea mulțimilor de numere raționale și iraționale constituie mulțimea valabil numere. Este de obicei notat R.
De exemplu: ; 0,(23); 41,3574…
Număr 
este iraţional.
Pentru toate numerele, sunt definite acțiunile a trei pași:
· Acțiuni din etapa I: adunarea și scăderea;
· Acțiuni din etapa a II-a: înmulțire și împărțire;
· Acțiuni în stadiul III: exponențiere și extracție rădăcină.
Se numește o expresie formată din numere, simboluri aritmetice și paranteze numeric.
De exemplu: 
; .
Se numește numărul obținut în urma efectuării acțiunilor valoarea expresiei.
Expresie numerică nu are sens, dacă conține împărțirea la zero.
La aflarea valorii expresiei se execută secvenţial acţiunile etapei III, a II-a şi la sfârşitul acţiunii etapei I. În acest caz, este necesar să se țină cont de plasarea parantezelor în expresia numerică.
Conversia unei expresii numerice constă în efectuarea secvenţială de operaţii aritmetice asupra numerelor incluse în ea folosind regulile adecvate (regula de adunare a fracţiilor obişnuite cu diferiţi numitori, înmulţirea zecimalelor etc.). Sarcini pentru conversia expresiilor numerice în manuale se regăsesc în următoarele formulări: „Găsiți valoarea unei expresii numerice”, „Simplificați expresia numerică”, „Calculați”, etc.
Când găsiți valorile unor expresii numerice, trebuie să efectuați operații cu fracții tipuri diferite: ordinar, zecimal, periodic. În acest caz, poate fi necesar să convertiți o fracție obișnuită într-o zecimală sau să efectuați acțiunea opusă - înlocuiți fracția periodică cu una obișnuită.
A converti zecimală la fracție comună, este suficient să scrieți numărul după virgulă zecimală în numărătorul fracției și unul cu zerouri în numitor și ar trebui să fie atâtea zerouri câte cifre sunt în dreapta virgulei zecimale.
De exemplu: ; .
A converti fracție până la zecimală, trebuie să împărțiți numărătorul său la numitorul său conform regulii de împărțire a unei fracții zecimale la un număr întreg.
De exemplu: 
;
;
.
A converti fracție periodică la fracție comună, necesar:
1) din numărul de dinainte de a doua perioadă, scădeți numărul de dinainte de prima perioadă;
2) scrieți această diferență ca numărător;
3) scrieți numărul 9 la numitor de câte ori există numere în perioadă;
4) adaugă la numitor atâtea zerouri câte cifre există între virgulă zecimală și prima perioadă.
De exemplu: 
; 
.
Legile operațiilor aritmetice asupra numerelor reale
1. Călător legea (comutativă) a adunării: rearanjarea termenilor nu schimbă valoarea sumei:
2. Călător legea (comutativă) a înmulțirii: rearanjarea factorilor nu modifică valoarea produsului:
3. Conjunctiv legea (asociativă) a adunării: valoarea sumei nu se va modifica dacă orice grup de termeni este înlocuit cu suma lor:
4. Conjunctiv legea (asociativă) a înmulțirii: valoarea produsului nu se va modifica dacă orice grup de factori este înlocuit cu produsul lor:
.
5. Distributie Legea (distributivă) a înmulțirii în raport cu adunarea: pentru a înmulți o sumă cu un număr, este suficient să înmulțiți fiecare sumă cu acest număr și să adăugați produsele rezultate:
Proprietățile 6 – 10 se numesc legile de absorbție 0 și 1.
Semne de divizibilitate
Proprietățile care permit, în unele cazuri, fără împărțire, să se determine dacă un număr este divizibil cu altul, se numesc semne de divizibilitate.
Testul de divizibilitate cu 2. Un număr este divizibil cu 2 dacă și numai dacă numărul se termină în chiar număr. Adică la 0, 2, 4, 6, 8.
De exemplu: 12834; –2538; 39,42.
Testul de divizibilitate cu 3. Un număr este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibil cu 3.
De exemplu: 2742; –17940.
Testul de divizibilitate cu 4. Un număr care conține cel puțin trei cifre este divizibil cu 4 dacă și numai dacă numărul de două cifre format din ultimele două cifre ale numărului dat este divizibil cu 4.
De exemplu: 15436; –372516.
Testul de divizibilitate cu 5. Un număr este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima lui cifră este fie 0, fie 5.
De exemplu: 754570; –4125.
Testul de divizibilitate cu 9. Un număr este divizibil cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibil cu 9.
De exemplu: 846; –76455.
Se încarcă...
