Relații proporționale directe și inverse 6. Proporționalitate directă și inversă. Întrebări de autotest

Proporționalitatea este o relație între două mărimi, în care o modificare a uneia dintre ele atrage după sine o modificare a celeilalte cu aceeași valoare.

Proporționalitatea poate fi directă sau inversă. În această lecție ne vom uita la fiecare dintre ele.

Proporționalitate directă

Să presupunem că mașina se deplasează cu o viteză de 50 km/h. Ne amintim că viteza este distanța parcursă pe unitatea de timp (1 oră, 1 minut sau 1 secundă). În exemplul nostru, mașina se deplasează cu o viteză de 50 km/h, adică într-o oră va parcurge o distanță de cincizeci de kilometri.

Să descriem în figură distanța parcursă de mașină în 1 oră.

Lasă mașina să conducă încă o oră cu aceeași viteză de cincizeci de kilometri pe oră. Apoi se dovedește că mașina va parcurge 100 km

După cum se poate observa din exemplu, dublarea timpului a dus la o creștere a distanței parcurse cu aceeași sumă, adică de două ori.

Mărimi precum timpul și distanța se numesc direct proporționale. Și relația dintre astfel de cantități se numește proporționalitate directă.

Proporționalitatea directă este relația dintre două cantități în care o creștere a uneia dintre ele atrage după sine o creștere a celeilalte cu aceeași sumă.

și invers, dacă o cantitate scade de un anumit număr de ori, atunci cealaltă scade de același număr de ori.

Să presupunem că planul inițial era de a conduce o mașină 100 km în 2 ore, dar după ce a condus 50 de km, șoferul a decis să se odihnească. Apoi se dovedește că prin reducerea distanței la jumătate, timpul va scădea cu aceeași cantitate. Cu alte cuvinte, reducerea distanței parcurse va duce la o scădere a timpului cu aceeași sumă.

O caracteristică interesantă a mărimilor direct proporționale este că raportul lor este întotdeauna constant. Adică, atunci când se modifică valorile mărimilor direct proporționale, raportul lor rămâne neschimbat.

În exemplul luat în considerare, distanța a fost inițial de 50 km și timpul a fost de o oră. Raportul dintre distanță și timp este numărul 50.

Dar am mărit timpul de călătorie de 2 ori, făcându-l egal cu două ore. Ca urmare, distanța parcursă a crescut cu aceeași sumă, adică a devenit egală cu 100 km. Raportul dintre o sută de kilometri și două ore este din nou numărul 50

Se numește numărul 50 coeficient de proporţionalitate directă. Arată câtă distanță există pe oră de mișcare. În acest caz, coeficientul joacă rolul vitezei de mișcare, deoarece viteza este raportul dintre distanța parcursă și timpul.

Proporțiile pot fi făcute din cantități direct proporționale. De exemplu, rapoartele formează proporția:

Cincizeci de kilometri înseamnă o oră, precum o sută de kilometri înseamnă două ore.

Exemplul 2. Costul și cantitatea bunurilor achiziționate sunt direct proporționale. Dacă 1 kg de dulciuri costă 30 de ruble, atunci 2 kg din aceleași dulciuri vor costa 60 de ruble, 3 kg 90 de ruble. Pe măsură ce costul unui produs achiziționat crește, cantitatea acestuia crește cu aceeași sumă.

Deoarece costul unui produs și cantitatea acestuia sunt cantități direct proporționale, raportul lor este întotdeauna constant.

Să scriem care este raportul dintre treizeci de ruble la un kilogram

Acum să scriem care este raportul dintre șaizeci de ruble la două kilograme. Acest raport va fi din nou egal cu treizeci:

Aici coeficientul de proporționalitate directă este numărul 30. Acest coeficient arată câte ruble sunt pe kilogram de dulciuri. În acest exemplu, coeficientul joacă rolul prețului unui kilogram de mărfuri, deoarece prețul este raportul dintre costul mărfurilor și cantitatea acesteia.

Proporționalitate inversă

Luați în considerare următorul exemplu. Distanța dintre cele două orașe este de 80 km. Motociclistul a părăsit primul oraș și, cu o viteză de 20 km/h, a ajuns în al doilea oraș în 4 ore.

Dacă viteza unui motociclist era de 20 km/h, înseamnă că în fiecare oră a parcurs o distanță de douăzeci de kilometri. Să descriem în figură distanța parcursă de motociclist și timpul deplasării acestuia:

La întoarcere, viteza motociclistului era de 40 km/h, iar în aceeași călătorie a petrecut 2 ore.

Este ușor de observat că atunci când viteza se schimbă, timpul de mișcare se schimbă în aceeași măsură. Mai mult, s-a schimbat în sens invers - adică viteza a crescut, dar timpul, dimpotrivă, a scăzut.

Mărimi precum viteza și timpul sunt numite invers proporționale. Și relația dintre astfel de cantități se numește proporționalitate inversă.

Proporționalitatea inversă este relația dintre două mărimi în care o creștere a uneia dintre ele atrage după sine o scădere a celeilalte cu aceeași valoare.

și invers, dacă o cantitate scade de un anumit număr de ori, atunci cealaltă crește de același număr de ori.

De exemplu, dacă la întoarcere viteza motociclistului era de 10 km/h, atunci ar parcurge aceiași 80 km în 8 ore:

După cum se poate observa din exemplu, o scădere a vitezei a dus la o creștere a timpului de mișcare cu aceeași valoare.

Particularitatea cantităților invers proporționale este că produsul lor este întotdeauna constant. Adică, atunci când se modifică valorile cantităților invers proporționale, produsul lor rămâne neschimbat.

În exemplul luat în considerare, distanța dintre orașe a fost de 80 km. Când viteza și timpul de mișcare a motociclistului s-au schimbat, această distanță a rămas întotdeauna neschimbată

Un motociclist ar putea parcurge această distanță cu o viteză de 20 km/h în 4 ore, și cu o viteză de 40 km/h în 2 ore și cu o viteză de 10 km/h în 8 ore. În toate cazurile, produsul dintre viteză și timp a fost egal cu 80 km

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup VKontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

Lecție de matematică în clasa a VI-a

pe tema „Înainte și înapoi dependențe proporționale"

Dezvoltat
profesor de matematică
Instituția de învățământ municipală „Școala secundară Mikhailovskaya numită după
Erou al Uniunii Sovietice V.F. Nesterov"
Kleymenova D.M.

Obiectivele lecției :

1. Didactic :

promovează formarea și consolidarea abilităților de rezolvare a problemelor folosind proporții;

invata cum sa identifici doua marimi in conditii problematice si sa stabilesti tipul de relatie dintre ele;

scrieți o notă scurtă și faceți o proporție;

consolida abilitățile și abilitățile de a rezolva ecuații care au formă de proporții.

2. Dezvoltare :

dezvolta memoria, atenția, continuă dezvoltarea vorbirii matematice a elevilor;

promovează dezvoltarea activității creative a elevilor și a interesului pentru disciplina matematică.

3. Educativ :

cultivați acuratețea, dezvoltați interesul pentru matematică;

cultivați capacitatea de a asculta cu atenție opiniile celorlalți, cultivați încrederea în sine, cultivați o cultură a comunicării.

Echipament: OTS necesar pentru prezentare: calculator și proiector, foi de hârtie pentru notarea răspunsurilor, cartonașe pentru desfășurarea etapei de reflecție (câte trei pentru fiecare), indicator.

Tip de lecție: lecție de aplicare a cunoștințelor.

Forme de organizare a lecțiilor:munca frontală, colectivă, individuală.

Structura lecției:

Moment organizatoric, salutări, urări.

Verificarea materialului studiat.

Mesaj cu subiectul lecției.

Repetarea materialului învățat.

Etapa controlului și autocontrolului cunoștințelor și metodelor de acțiune.

Etapa de rezumare a lecției.

Teme pentru acasă.

Reflecţie.

În timpul orelor

Organizarea timpului. (diapozitivul 3)
(Salut, înregistrarea absenților, verificarea gradului de pregătire a elevilor pentru proces educațional, distribuirea de pliante și cartonașe pentru reflecție, verificarea gradului de pregătire a clasei pentru lecție, organizarea atenției elevului).

Profesorul citește: (diapozitivul nr. 3)

Matematica este baza și regina tuturor științelor,
Și te sfătuiesc să te împrietenești cu ea, prietene.
Dacă urmezi legile ei înțelepte,
Îți vei spori cunoștințele
Vei începe să le folosești?
Poți să înoți pe mare?
Puteți zbura în spațiu.
Puteți construi o casă pentru oameni:
Va rezista o sută de ani.
Nu fi leneș, lucrează, încearcă,
Înțelegerea sării științei.
Încercați să dovediți totul
Dar neobosit.

2. Verificarea materialului studiat.

(Identifică problemele în cunoștințele și metodele de activitate ale elevilor și determină motivele apariției acestora, elimină lacunele identificate în timpul testului.)

Sondaj oral: (diapozitivul nr. 4)

Care este raportul dintre două numere?

Cum să găsești o fracție dintr-un număr?

Ce este proporția?

Ce mărimi se numesc direct proporționale?

Ce arată raportul dintre două numere?

Cum să găsești un număr după fracția lui?

Principala proprietate a proporției.

Ce mărimi se numesc invers proporționale?

Termină propoziția: (diapozitivul 5). (Copiii îndeplinesc mai întâi sarcina în mod independent, notând pe bucăți de hârtie doar literele corespunzătoare răspunsului corect. Apoi ridică mâinile. După aceea, profesorul citește întrebarea cu voce tare, iar elevii răspund).

Dependența direct proporțională este o astfel de dependență a cantităților în care...

O dependență invers proporțională este o dependență de cantități în care...

Pentru a găsi termenul extrem necunoscut al proporției...

Termenul mediu al proporției este...

Proporția este corectă dacă...

CU) …Când o valoare crește de mai multe ori, cealaltă scade cu aceeași valoare.

X) ...produsul termenilor extremi este egal cu produsul termenilor medii ai proporției.

A) ... când o valoare crește de mai multe ori, cealaltă crește cu aceeași valoare.

P) ... trebuie să împărțiți produsul termenilor medii ai proporției la termenul extrem cunoscut.

U) ...cu cât o valoare crește de mai multe ori, cealaltă crește cu aceeași cantitate.

E) ...raportul dintre produsul termenilor extremi la media cunoscută.

Răspuns:SUCCES.(diapozitivul 6)

Dictarea grafică (diapozitivele 7-10).

Nu spune „da” sau „nu”

Și desenați o icoană.

„Da” cu semnul „+”, nu cu semnul „-”.

(Elevii lucrează independent. Răspunsurile sunt notate pe bucăți de hârtie. Autotest folosind diapozitivul nr. La sfârșitul lecției, profesorul se uită la bucățile de hârtie)

Dacă aria unui dreptunghi este constantă, atunci lungimea și lățimea acestuia sunt invers proporționale.

Înălțimea și vârsta copilului sunt direct proporționale.

Dacă lățimea unui dreptunghi este constantă, lungimea și aria lui sunt direct proporționale.

Viteza unei mașini și timpul în care se deplasează sunt invers proporționale.

Viteza unei mașini și distanța sa parcursă sunt invers proporționale.

Venitul unui birou de bilete de cinema este direct proporțional cu numărul de bilete vândute, vândute la același preț.

Capacitatea de transport a mașinilor și numărul lor sunt invers proporționale.

Perimetrul unui pătrat și lungimea laturii sale sunt direct proporționale.

La un preț constant, costul unui produs și masa acestuia sunt invers proporționale.

Răspuns: + - + + - + + - -(Diapozitivul nr. 10)

Obțineți o evaluare. (diapozitivul nr. 11)

8 -9 răspunsuri corecte - „5”

6-7 răspunsuri corecte - „4”

4-5 răspunsuri corecte - „3”

Numărarea orală: (diapozitivele 12-13)

Haide, lasă creioanele deoparte!

Fara hartii, fara pixuri, fara creta!

Numărarea verbală! Facem chestia asta

Numai prin puterea minții și a sufletului!

Exercițiu: Găsiți termenul necunoscut al proporției:

Răspunsuri: 1) 39; 24; 3; 24; 21.

2)10; 3; 13.

Mesaj cu subiectul lecției. diapozitivul nr. 14 (Oferă motivație pentru școlari să studieze.)

Subiectul lecției noastre este „Relații direct și invers proporționale”.

În lecțiile anterioare, ne-am uitat la dependența directă și invers proporțională a cantităților. Astăzi în lecție vom rezolva diverse probleme folosind proporții, stabilind tipul de conexiune între date. Să repetăm ​​proprietatea de bază a proporțiilor. Și următoarea lecție, încheind pe această temă, adică. lecție – test.

Demonstrat diapozitivul numărul 15

Etapa generalizării și sistematizării cunoștințelor.

1) Sarcina 1.

Creați proporții pentru a rezolva probleme:(lucrează în caiete)

A)Un biciclist parcurge 75 km in 3 ore. Cât timp îi va lua unui biciclist să parcurgă 125 km cu aceeași viteză?

b) 8 conducte identice umplu un bazin în 25 de minute. Câte minute vor dura pentru a umple o piscină cu 10 astfel de țevi?

c) O echipă de 8 muncitori finalizează sarcina în 15 zile. Câți lucrători pot îndeplini această sarcină în 10 zile în timp ce lucrează la aceeași productivitate?

d) Din 5,6 kg de roșii se obțin 2 litri de sos de roșii. Cati litri de sos se pot obtine din 54 kg de rosii?

Verifică răspunsuri. ( Slide nr. 16) (autoevaluare: se pune + sau - în creioncaiete; analiza erorilor)

Raspunsuri:a) 3:x=75:125c) 8: x=10: 15

b) 8:10= X:2 5 d) 5,6:54=2: X

2) Minutul de educație fizică. (diapozitivul nr. 17-22)

Ne-am ridicat repede de pe birouri

Și au mers pe loc.

Și apoi am zâmbit

Se întindeau din ce în ce mai sus.

Sat down - se ridică, sat down - se ridică

Într-un minut am prins putere.

Îndreptați-vă umerii

Ridicați, coborâți,

Virați la dreapta, virați la stânga

Și așează-te din nou la biroul tău.

3) Rezolvați problema (diapozitivul numărul 23)

№788 (pag. 130, manualul lui Vilenkin)(după ce l-ai analizat singur)

Primavara, in timpul lucrarilor de amenajare a orasului, pe strada au fost plantati tei. 95% din toți teii plantați au fost acceptați. Câți tei au fost plantați dacă au fost plantați 57 de tei?

Citiți problema.

Ce două cantități sunt discutate în problemă?(despre numărul de tei și procentele acestora)

Care este relația dintre aceste cantități?(direct proportional)

Faceți o scurtă notă, proporționați și rezolvați problema.

Soluţie:

;
; x=60.

Răspuns: au fost plantați 60 de tei.

4) Rezolvați problema: (diapozitivul nr. 24-25) (după analiză, decideți singur; verificare reciprocă, apoi soluția este afișată pe ecran, diapozitivul nr. 23)

Pentru a încălzi clădirea școlii, cărbunele a fost depozitat timp de 180 de zile la o rată de consum de 0,6 tone de cărbune pe zi. Câte zile va dura această aprovizionare dacă se cheltuiesc 0,5 t zilnic?

Soluţie:

Scurtă intrare:

Să facem o proporție:

;
;
zile

Răspuns: 216 zile.

5) nr. 793 (pag. 131)(parsarea câmpului independent; autocontrol.

(Diapozitivul nr. 26)

ÎN minereu de fier Pentru 7 părți de fier există 3 părți de impurități. Câte tone de impurități sunt în minereul care conține 73,5 tone de fier?

Soluţie: (diapozitivul nr. 27)

;
;

Răspuns: 31,5 kg de impurități.

6) Însumarea rezultatelor etapei. (diapozitivul nr. 28)

Deci, să formulăm un algoritm pentru rezolvarea problemelor folosind proporții.

Algoritm pentru rezolvarea problemelor directe

și relații invers proporționale:

Un număr necunoscut este notat cu litera x.

Condiția este scrisă sub formă de tabel.

Se stabilește tipul de relație între cantități.

O relație direct proporțională este indicată prin săgeți direcționate identic, iar o relație invers proporțională este indicată prin săgeți direcționate opus.

Proporția este înregistrată.

Membrul ei necunoscut este localizat.

5. Repetarea materialului studiat. (diapozitivul nr. 29)

№763(i)(pagina 125)(cu comentarii la bord)

6. Etapa controlului și autocontrolului cunoștințelor și metodelor de acțiune.
(diapozitivul nr. 30-32)

Muncă independentă (10 - 15 min) (Verificare reciprocă: folosind diapozitive gata făcute, elevii verifică reciproc munca independentă, notând + sau -. La sfârșitul lecției, profesorul colectează caiete pentru revizuire).

Rezolvați probleme făcând proporții.

№1. Biciclistul a petrecut 0,7 ore călătorind dintr-un sat în altul cu o viteză de 12,5 km/h.Cu ce ​​viteză a trebuit să parcurgă acest drum în 0,5 ore?

Soluţie:

Scurtă intrare:

Să facem o proporție:

;
;
km/h

Raspuns: 17,5 km/h

№2. Din 5 kg de prune proaspete se obține 1,5 kg de prune uscate. Câte prune vor da 17,5 kg de prune proaspete?

Soluţie:

Scurtă intrare:

Să facem o proporție:

;
;
kg

Raspuns: 5,25 kg

№3. Mașina a condus 500 km, folosind 35 de litri de benzină. Câți litri de benzină vor fi necesari pentru a parcurge 420 km?

Soluţie:

Scurtă intrare:

Capitolul 3 RELAȚII ȘI PROPORȚII

Folosind proporții poți rezolva probleme.

Știți, de exemplu, că costul unui produs depinde de cantitatea acestuia: cu cât se achiziționează mai multă cantitate dintr-un produs, cu atât valoarea acestuia va fi mai mare. Astfel de mărimi se numesc direct proporționale.

Tine minte!

Două mărimi se numesc direct proporționale dacă, atunci când o mărime crește (descrește) de mai multe ori, cealaltă mărime crește (descrește) de același număr de ori.

Problema 1. Pentru 2 kg de dulciuri am plătit 72 UAH. Cât vor costa 4,5 kg din aceste dulciuri?

Soluții.

Notă:

Dacă două cantități sunt direct proporționale, atunci proporția este formată din raportul valorilor corespunzătoare acestor cantități.

În practică, pe lângă dependența direct proporțională a cantităților, există și o dependență invers proporțională. De exemplu, în drum spre școală, când timpul este scurt, îți mărești viteza pentru a nu întârzia la cursuri. Prin urmare, viteza mișcării tale depinde de ora de mișcare: cu cât timpul de mișcare este mai scurt, cu atât viteza ta va fi mai mare. Astfel de mărimi se numesc invers proporționale.

Tine minte!

Două mărimi se numesc invers proporționale dacă, atunci când o cantitate crește (descrește) de mai multe ori, cealaltă cantitate scade (crește) de același număr de ori.

Problema 2. O mașină, care se deplasa cu o viteză de 90 km/h, a parcurs distanța de la Cherkassy la Kiev în 2 h 3 ce viteză s-a deplasat în direcția opusă dacă a parcurs distanța de la Kiev la Cerkassy în 2,5 h?

Soluții.

Notă:

dacă două mărimi sunt invers proporționale, atunci proporția este formată din rapoartele reciproc inverse ale valorilor corespunzătoare acestor mărimi.

Două mărimi sunt întotdeauna direct proporționale sau invers proporționale? Să speculăm. De exemplu, în timpul unei boli, temperatura unui copil poate crește și scădea pe parcursul mai multor zile. Și aici nu există dependență, ceea ce înseamnă că nu poate exista proporționalitate. Dar înălțimea unui copil crește constant pe măsură ce vârsta lui crește. În consecință, există o relație între cantități, ceea ce înseamnă că există motive pentru a analiza datele proporționale ale cantităților. Este clar că nu există nicio dependență proporțională aici, deci nu este nevoie să aflăm exact cum aceste mărimi proporționale sunt directe sau inverse. Dacă două mărimi sunt proporționale, atunci sunt posibile doar două opțiuni, care se exclud reciproc - fie proporționalitate directă, fie proporționalitate inversă.

Află mai multe

Numele călugărului matematician italian este indirect legat de istoria raportului de aur Leonardo din Pisa (1180-1240 p.), mai cunoscut sub numele de Fibonacci (fiul lui Bonacci).

A călătorit mult în Orient, a introdus în Europa cifrele indiene (arabe). În 1202, a fost publicată lucrarea sa de matematică „Cartea lui Abaci” (tablete de numărare), care aduna toate problemele cunoscute la acea vreme. Una dintre sarcini a fost: „Câte perechi de iepuri se vor naște dintr-o pereche într-un an?” Argumentând pe acest subiect, Fibonacci a construit următoarea serie de numere:

0, 1, 1,2, 3, 5, 8, 13,21, 34,55, ... .

Această succesiune de numere este acum cunoscută sub numele de seria Fibonacci. Particularitatea acestei secvențe de numere este că fiecare dintre membrii săi, începând cu al treilea, este egal cu suma celor doi anterioare:

0 + 1 = 1; 1+1 = 2; 1+2 = 3; 2 + 3 = 5;

3 + 5 = 8; 5 + 8=13; 8 + 13 = 21; 13 + 21=34

similar, iar raportul numerelor învecinate dintr-o serie se apropie de raportul de aur. De exemplu:

21: 34 = 0,617, a34: 55 = 0,618.

ȚINE minte IMPORTANTUL

1. Ce mărimi se numesc direct proporționale? Dă exemple.

2. Cum rezolvă problemele care implică proporționalitate directă?

3. Ce mărimi se numesc invers proporționale? Dă exemple.

4. Rezolv probleme care implică proporționalitate inversă?

5. Două mărimi sunt întotdeauna proporționale?

589". Două mărimi sunt direct proporţionale. Cum se va schimba o mărime dacă cealaltă: a) creşte de 5 ori; b) scade de 2 ori?

Explică-ți răspunsul.

590". Pe baza condițiilor problemei, am făcut o intrare prescurtată:

1)3-36, 2) 70-3, 3) 2-100,

4-48; 60-2; 4-50.

Sunt aceste cantități direct proporționale?

591". Două mărimi sunt invers proporționale. Cum se va schimba o cantitate dacă cealaltă:

a) va crește de 4 ori; b) va scadea de 6 ori?

Explică-ți răspunsul.

592". Pe baza condițiilor problemei, am făcut o intrare prescurtată:

1) 80-4, 2)3-18, 3)10-8,

160 - 2; 5 - 30; 4 - 20.

Sunt aceste mărimi invers proporționale?

593°. Determinați dacă este direct proporțională această dependență cantități:

1) costul mărfurilor achiziționate la un preț și cantitatea de mărfuri;

2) masa unei cutii de ciocolată și numărul de ciocolate identice din cutie;

3) distanța parcursă de mașină cu viteză constantă și timpul de deplasare;

4) viteza de mișcare și timpul de mișcare pentru a parcurge o anumită distanță;

5) greutatea și înălțimea unei persoane;

b) masa fructelor de pădure și masa zahărului pentru prepararea gemului;

7) perimetrul dreptunghiului și lungimea uneia dintre laturile acestuia;

8) lungimea laturii pătratului și perimetrul acestuia.

594°. Folosind forma prescurtată a problemei, găsiți x dacă mărimile sunt direct proporționale.

1) 3 kg de dulciuri - 36 UAH, 2) 15 părți - 3 ore,

6 kg dulciuri x; x -2 ore.

595°. Cât costă 10 kg de dulciuri dacă ai plătit 128 UAH pentru 4 kg de astfel de dulciuri?

596°. Pentru 3 kg de mere am plătit 24 UAH. Cât costă 7 kg de astfel de mere?

597°. În 4 ore barca a parcurs 80 km. Cât de departe va parcurge barca în 2 ore, deplasându-se cu aceeași viteză?

598°. Un turist a mers 20 km în 5 ore. Câte ore îi vor dura unui turist să parcurgă o distanță de 28 km, deplasându-se cu aceeași viteză?

599°. La coacerea pâinii din 1 kg de făină de secară se obține 1,4 kg de pâine. Câtă făină este necesară pentru a face 42 de chintale de pâine?

600°. Din 3 kg boabe de cafea crude se obtin 2,5 kg boabe prajite. Câte kilograme de boabe de cafea crude trebuie luate pentru a obține 10 kg de boabe de cafea prăjite?

601°. Mașina a parcurs o distanță de 210 km în 3 ore. Care este distanța parcursă de o mașină în 2 ore, care se deplasează cu aceeași viteză?

602°. Maimuța gibon fără coadă, sărind din copac în copac, parcurge o distanță de 32 km în 2 ore. Cât de departe va acoperi gibonul în 3 ore?

603°. Determinați dacă această dependență a cantităților este invers proporțională:

1) prețul produsului și prețul de achiziție;

2) masa cutiei de ciocolată și costul acesteia;

3) viteza de mișcare și timpul de mișcare pentru a parcurge o anumită distanță;

4) viteza mașinii și distanța pe care a parcurs-o cu viteză constantă;

5) cantitatea de muncă efectuată și timpul necesar pentru finalizarea acesteia;

6) productivitatea muncii și timpul necesar pentru a finaliza o anumită cantitate de muncă;

7) numărul de mașini și încărcătura pe care o vor transporta într-un anumit timp;

8) lungimea laturii pătratului și aria acestuia.

604°. Folosind forma prescurtată a problemei, găsiți x dacă mărimile sunt invers proporționale.

1) 3 h - 80 km/h, 2) 5 -8 zile lucrătoare,

4 h - x; x -10 zile.

605°. 3 dulgheri au finalizat comanda pentru productia de mobila in 12 zile. În câte zile vor putea 6 dulgheri să finalizeze o comandă dacă productivitatea muncii lor este aceeași?

606°, Câte zile vor dura 6 lucrători pentru a finaliza sarcina dacă 2 lucrători pot finaliza această sarcină în 9 zile?

607°. Cangurul roșu s-a deplasat timp de 3 ore cu o viteză de 55 km/h. Care trebuie să fie viteza cangurului pentru ca acesta să poată parcurge această distanță în 2,5 ore?

608°. Care trebuie să fie viteza trenului conform noului orar pentru a parcurge distanța dintre două stații în 4 ore, dacă după vechiul program, deplasându-se cu viteza de 100 km/h a parcurs-o în 5 ore?

609. Pentru 4 kg de fursecuri am plătit 56 UAH. Cât vor costa 3 kg de dulciuri, al căror preț este cu 2 UAH mai mult decât prețul fursecurilor?

610. 5 kg de mere costă 40 UAH. Aflați costul a 2 kg de pere, al căror preț este cu 4 UAH mai mult decât prețul merelor.

611. Pendulul unui ceas de perete face 730 de oscilații în 15 minute. Câte oscilații va face într-o oră? Cât timp va dura pendulului să facă 2190 de oscilații?

612. Natalya a plătit 60 UAH pentru 24 de caiete. Cât costă 20 din aceste caiete? Câte dintre aceste notebook-uri puteți cumpăra cu 45 UAH?

613. Într-o cutie sunt 12 litri de lapte. A fost turnat în mod egal în 6 cutii. Câți litri de lapte sunt în fiecare cutie? Câte borcane de trei litri pot fi umplute cu lapte din această cutie?

614. 6 litri de apă curg printr-un robinet de apă într-un minut. Câtă apă va curge din robinet într-o jumătate de oră? Cât timp va dura 27 de litri de apă să curgă prin robinet?

615. Distanța dintre stații este de 360 ​​km. Cât va dura un tren pentru a parcurge această distanță dacă parcurge 90 km într-o oră? Care trebuie să fie viteza trenului pentru ca acesta să poată parcurge această distanță în 4 ore și 30 de minute?

616. Distanța dintre sate este de 18 km. Cât durează un biciclist a cărui viteză este de 12 km/h pentru a parcurge această distanță? Cât de repede trebuie să se deplaseze un pieton pentru a parcurge această distanță în 6 ore?

617. Două tractoare au arat un câmp în 6 zile. Câte zile vor dura 4 tractoare pentru a curăța acest câmp dacă lucrează cu aceeași productivitate a muncii? De câte tractoare sunt necesare pentru a arat acest câmp în 2 zile?

618. Opt camioane pot transporta marfa în 3 zile. Câte zile vor dura 6 astfel de camioane pentru a transporta mărfuri? Câte camioane vor fi necesare pentru a transporta această încărcătură în 2 zile?

619. Compune și rezolvă o problemă pe:

1) proporționalitate directă, pentru a rezolva care trebuie să creați o proporție

2) proporționalitate inversă, pentru a rezolva care trebuie să alcătuiți proporția x: 4 = 120: 160.

620. Compuneți și rezolvați o problemă pe: 1) proporționalitate directă, pentru a cărei rezolvare trebuie să creați o proporție

2) proporționalitate inversă, pentru a rezolva care trebuie să faceți proporția 3: x = 90: 60.

621 *. Tarasik poate merge pe jos de la gară la sat în 20 de minute. Cât timp îi va lua să meargă cu bicicleta de la gară la sat dacă viteza lui pe bicicletă este de 2 ori mai mare decât viteza pe jos?

622*. Un maestru, lucrând independent, finalizează munca în 3 zile și împreună cu un student - în 2 zile. În câte zile poate un student să finalizeze această lucrare independent?

623*. Dima alergă 4 ture pe banda de alergare în același timp cu Katya alergă 3 ture. Katya a alergat 12 ture. Câte ture parcurge Dima în acest timp?

624*. Apa poate fi pompată dintr-o piscină în 1 oră și 15 minute. Cât timp după începerea lucrărilor va rămâne 0,2 din cantitatea de apă rămasă în piscină care era acolo la început?

PUNEȚI-O ÎN PRACTICĂ

625. Pentru tipărirea cărții s-a planificat plasarea a 28 de rânduri pe fiecare pagină, cu 40 de litere în fiecare rând. Cu toate acestea, s-a dovedit că are mai mult sens să plasați 35 de rânduri pe fiecare pagină. Câte litere vor fi plasate pe fiecare rând în timpul tipăririi acestei cărți, dacă numărul de litere de pe pagină nu se modifică?

626. Pentru a pregăti 12 prăjituri, trebuie să luați albușul unui ou și 3 linguri de zahăr. Câte dintre aceste produse trebuie să luați pentru a pregăti 24 dintre aceste piese? Câte dintre aceste prăjituri vei primi dacă ai 3 ouă?

PROBLEME DE REVIZUIRE

627. Ce număr trebuie introdus în ultima celulă a lanțului?

628. Rezolvați ecuația:

Cele două mărimi sunt numite direct proportional, dacă atunci când unul dintre ele crește de mai multe ori, celălalt crește cu aceeași cantitate. În consecință, atunci când unul dintre ele scade de mai multe ori, celălalt scade cu aceeași cantitate.

Relația dintre astfel de cantități este o relație direct proporțională. Exemple de dependență direct proporțională:

1) la viteza constanta, distanta parcursa este direct proportionala cu timpul;

2) perimetrul unui pătrat și latura acestuia sunt mărimi direct proporționale;

3) costul unui produs achiziționat la un preț este direct proporțional cu cantitatea acestuia.

Pentru a distinge o relație direct proporțională de una inversă, puteți folosi proverbul: „Cu cât mai departe în pădure, cu atât mai mult lemn de foc”.

Este convenabil să rezolvi probleme care implică mărimi direct proporționale folosind proporții.

1) Pentru a face 10 piese ai nevoie de 3,5 kg de metal. Cât metal va intra în fabricarea a 12 dintre aceste piese?

(Raționăm astfel:

1. În coloana completată, plasați o săgeată în direcția de la cel mai mare număr la cel mai mic.

2. Cu cât sunt mai multe piese, cu atât este nevoie de mai mult metal pentru a le face. Aceasta înseamnă că aceasta este o relație direct proporțională.

Fie nevoie de x kg de metal pentru a face 12 părți. Alcătuim proporția (în direcția de la începutul săgeții până la sfârșitul acesteia):

12:10=x:3,5

Pentru a găsi , trebuie să împărțiți produsul termenilor extremi la termenul mediu cunoscut:

Aceasta înseamnă că vor fi necesare 4,2 kg de metal.

Răspuns: 4,2 kg.

2) Pentru 15 metri de țesătură au plătit 1680 de ruble. Cât costă 12 metri dintr-o astfel de țesătură?

(1. În coloana completată, plasați o săgeată în direcția de la cel mai mare număr la cel mai mic.

2. Cu cât cumperi mai puțină țesătură, cu atât mai puțin trebuie să plătești pentru ea. Aceasta înseamnă că aceasta este o relație direct proporțională.

3. Prin urmare, a doua săgeată este în aceeași direcție cu prima).

Fie că x ruble costă 12 metri de țesătură. Facem o proporție (de la începutul săgeții până la sfârșitul ei):

15:12=1680:x

Pentru a găsi termenul extrem necunoscut al proporției, împărțiți produsul termenilor de mijloc la termenul extrem cunoscut al proporției:

Aceasta înseamnă că 12 metri costă 1344 de ruble.

Răspuns: 1344 de ruble.

Clasă: 6

În munca mea folosesc forme diferiteși metodele de predare, încerc să folosesc o varietate de metode de organizare a activităților educaționale, astfel încât elevii să fie interesați să lucreze la clasă. Numai în acest caz crește activitatea cognitivă a elevilor, iar gândirea începe să funcționeze mai productiv și creativ. Unul dintre mijloacele de creștere a interesului pentru subiect este utilizarea tehnologiei informației.

Utilizarea tehnologiilor informatice la clasă vă permite să schimbați continuu formele de lucru, să alternați constant exerciții orale și scrise, să implementați diferite abordări ale rezolvării problemelor matematice, iar acest lucru creează și menține constant tensiunea intelectuală a elevilor și formează în ei o interes durabil pentru studierea acestui subiect.

Munca în grup la lecție stimulează activitatea cognitivă a elevilor, promovează implicarea acestora în activități creative și comunicare. În procesul muncii individuale, elevii înșiși se străduiesc să rezolve problemele; educația se transformă în autoeducație.

Completarea sarcinilor creative contribuie la aplicarea cunoștințelor școlare în situații din viața reală.

Tip de lecție: lecție combinată

Obiectivele lecției:

• Cognitiv:
  • asigurarea înțelegerii conștiente de către elevi a conceptelor de dependență directă și invers proporțională în rezolvarea problemelor;
  • verificați-vă nivelul de cunoștințe pe această temă prin diverse forme muncă.
• De dezvoltare:
  • să activeze activitatea mentală a elevilor prin participarea fiecăruia dintre ei la procesul de muncă;
  • dezvoltarea atenției, memoriei, abilităților intelectuale și creative;
  • dezvolta sfera emoțională elevii în procesul de învățare;
  • dezvolta controlul și autocontrolul.
• Educational:
  • să creeze sentimente de cooperare și asistență reciprocă;
  • dezvoltarea abilităților practice;
  • dezvolta interesul pentru subiectul studiat.

Planul lecției:

1. Moment organizatoric (2 min.)
2. Numărarea orală (4 min.)
3. Analiza problemelor rezolvate de elevi (5 min.)
4. Minut de educație fizică (2 min.)
5. Consolidarea materialului studiat, lucru în grup (16 min.)
6. Muncă independentă (13 min.)
7. Rezumatul lecției (2 min.)
8. Tema pentru acasă (1 min.)

ÎN CURILE CURĂRILOR

1. Moment organizatoric

Salutare reciprocă, înregistrarea temei lecției. Organizarea muncii cu carduri de autocontrol.

2. Repetarea materialului

a) Rezolvarea problemelor care implică proporționalitate directă și inversă de către doi elevi de la tablă
b) restul repetă oral conceptele de bază:

• Cum se numesc numerele x și y în proporția x: a = b: y?
• egalitatea a două relații se numește...
• Ce fel de relație se numește direct proporțională?
• Ce fel de relație se numește invers proporțională?
• o sutime dintr-un număr este...

Lucrul cu carduri de autocontrol (număr maxim de puncte – 1).

3. Numărarea orală

1. Jocul „Tăcere”

a) Care dintre egalităţi pot fi numite proporţii?

Dacă proporția este corectă, atunci elevii ridică cartonașe verzi; dacă nu, atunci cartonașe roșii.

b) Următoarele relații sunt direct sau invers proporționale?

1) numărul de cititori din numărul de cărți din bibliotecă;
2) distanța parcursă de mașină cu o viteză constantă și timpul de mișcare a acestuia;
3) vârsta persoanei și mărimea pantofilor;
4) perimetrul pătratului și lungimea laturilor acestuia;
5) viteza și timpul la trecerea pe aceeași secțiune a căii.

Dacă afirmația este adevărată, atunci elevii ridică cartonașe verzi; dacă nu, atunci cartonașe roșii.

Lucrul cu carduri de autocontrol (scorul maxim pentru numărarea orală este 2).

2. Analiza problemelor rezolvate de elevi la tablă.

a) Rândunica a zburat pe o anumită distanță în 0,5 ore cu o viteză de 50 km/h. Câte minute îi va lua unui viteză să zboare pe aceeași distanță dacă viteza sa este de 100 km/h?

Soluţie:

Fie ca x ore să fie timpul de zbor al rapidului.

0,25 h = 25/100 = 1/4 h = 15 min.

Răspuns: în 15 minute.

b) La fabrica de zahăr a fost adusă sfeclă roșie, din care se obține 12% zahăr. Cât zahăr se va produce din 30 de tone de sfeclă din acest soi?

Soluţie:

Lasă x t de zahăr să iasă.

Răspuns: 3,6 t.

4. Minutul de educație fizică

5. Munca în grup

Sunt cărți pe mesele tale. Au câte 4 sarcini fiecare. Grupele 1, 3, 5 decid începând de la nr. 1. Grupele 2, 4, 6 se rezolvă începând cu numărul 4 (în ordine inversă).

1) 80 kg de cartofi conțin 14 kg de amidon. Găsiți procentul de amidon din astfel de cartofi.

Soluţie:

Lăsați x% amidon să fie conținut în cartofi.

17,5% este amidon.

Răspuns: 17, 5 %

2) Puteți înota dintr-un sat în altul de-a lungul râului în 1,5 ore.Cât timp va dura o barcă cu motor pentru a parcurge acest traseu dacă viteza bărcii este de 3 km/h și viteza bărcii este de 13,5 km/ h?

Soluţie:

Fie x ore timpul în care barca se deplasează

Răspuns: 20 de minute

3) La curățarea semințelor de floarea soarelui, 28% este coajă. Câte cereale pure se vor produce din 150 de tone de semințe de floarea soarelui?

Soluţie:

Să se obțină x t de cereale.

150 – 42 = 108 (t)

108 tone de cereale.

Răspuns: 108 t.

4) Pentru transportul mărfii au fost necesare 48 de vehicule cu o capacitate de transport de 7,5 tone Câte vehicule cu o capacitate de transport de 4,5 tone sunt necesare pentru a transporta aceeași marfă?

Soluţie:

Să fie luate x vehicule cu o capacitate de transport de 4,5 tone.

Răspuns: 80 de mașini.

Verificarea soluțiilor la problemele de pe tablă.

Lucrul cu carduri de autocontrol (număr maxim de puncte – 8; fiecare sarcină 2 puncte)

5. Munca individuală independentă 4 variante.

Opțiunea I

1) Tata a plătit 48 de ruble pentru 4 cutii identice de creioane. Cât costă 7 dintre aceste cutii de creioane?

2) Trei elevi au plivit un pat de grădină în 4 ore. Câte ore vor dura 2 elevi pentru a finaliza aceeași lucrare?

Opțiunea II

1) La gătirea cărnii, rămâne 65% din masă. Câtă carne gătită vei obține din 2 kg de carne crudă?

2) Patru zidari pot finaliza lucrarea în 15 zile. În câte zile pot termina această lucrare trei zidari?

Opțiunea III

1) Floarea de tei pierde 74% din greutate. Câtă floare uscată de tei se poate obține din 300 kg de proaspăt?

2) Un motociclist a condus timp de 3 ore cu viteza de 60 km/h. Câte ore îi va lua să parcurgă aceeași distanță cu o viteză de 45 km/h?

varianta IV

1) Fermierii cubanezi ne oferă trestie de zahăr pentru producția de zahăr. Când este transformată în zahăr, trestia de zahăr pierde 91% din masa inițială. De câtă trestie de zahăr aveți nevoie pentru a obține 900 kg de zahăr?

2) Într-o zi fierbinte, 6 Kostsy au băut un butoi de kvas în 1,5 ore Câți Kostsy vor bea același butoi în 3 ore?

7. Rezumând lecția

– Ce tipuri de probleme am rezolvat la clasă?

Elevii rezumă lecția în fișe de autocontrol și acordă note

16-17 puncte – „5”
13-15 puncte – „4”
9-12 puncte – „3”

– Obiectivele lecției au fost atinse și, cel mai important, munca s-a desfășurat într-o atmosferă creativă.

8. Tema pentru acasă

Repetați pașii 13-18.

Temă manuală: Nr. 817, Nr. 812, Nr. diferenţiat 818.

Literatură

1. Manual de matematică pentru clasa a VI-a a instituțiilor de învățământ general, autori: N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A.S. Cesnokov, S.I. Shvartsburd, Moscova. „Mnemosyne”, 2011.
2. Culegere de sarcini de testare pentru controlul tematic și final Matematică clasa a VI-a Moscova, „Intellect-Center” 2009.
3. A.I. Ershova, V.V. Goloborodko. Matematică 6. Independentă şi hârtii de test.– M: Ilexa, 2011.