Discutați definiția unei funcții și cum să o definiți. Rezumat - Funcții numerice și proprietățile lor. Relații proporționale directe și inverse - fișier n1.doc Generalizarea temei: funcții numerice și proprietățile acestora
n1.doc
Colegiul Pedagogic OGOI SPO Ryazan
ABSTRACT
Tema: „Funcțiile numerice și proprietățile lor. Relații proporționale directe și inverse"
Titova Elena Vladimirovna
Specialitatea: 050709 „Predare în școala primară cu pregătire suplimentară în domeniul învățământului preșcolar”
Curs: 1 Grupa: 2
Departament: scoala
Șef: Pristuplyuk Olga Nikolaevna
Ryazan
Introducere…………………………………………………………………………………………… 3
Partea teoretică
Funcții numerice
1.2 Metode de specificare a funcțiilor……………………………………………………….6
1.3 Proprietățile funcției………………………………………………………7
2. Relații directe și invers proporționale
2.1 Conceptul de proporționalitate directă……..9
2.2 Proprietăţi ale dependenţei proporţionale directe……………………………………………………….10
2.3 Conceptul de proporționalitate inversă și proprietățile sale…………………………………………………………………………-
Partea practică
3.1 Propedeutica funcțională în cursul inițial de matematică....11
3.2 Rezolvarea problemelor care implică mărimi proporțional dependente……18
Concluzie………………………………………………………………………………….21
Lista referințelor………………………………………..22
Introducere
În matematică, ideea de funcție a apărut împreună cu conceptul de cantitate. Era strâns legat de conceptele geometrice și mecanice. Termenul de funcție (din latină – execuție) a fost introdus pentru prima dată de Leibniz în 1694. Prin funcție a înțeles abscisele, ordonatele și alte segmente asociate cu un punct care descrie o anumită dreaptă.
În prima jumătate a secolului al XVIII-lea. a existat o tranziție de la o reprezentare vizuală a conceptului de funcție la o definiție analitică. Matematicianul elvețian Johann Bernoulli, și apoi academicianul Leonhard Euler, credeau că funcția
Acest expresie analitică, compus dintr-o variabilă și o constantă.
Cu alte cuvinte, funcția este exprimată prin diferite tipuri de formule: y=ax+b, y= =axІ+bx+c etc.
Astăzi știm că o funcție poate fi exprimată nu numai în limbaj matematic, ci și grafic. Descoperitorul acestei metode a fost Descartes. Această descoperire a jucat un rol uriaș în dezvoltarea ulterioară a matematicii: a avut loc trecerea de la puncte la numere, de la linii la ecuații, de la geometrie la algebră. Astfel, a devenit posibilă găsirea unor tehnici comune pentru rezolvarea problemelor.
Pe de altă parte, datorită metodei coordonatelor, a devenit posibilă reprezentarea unor dependențe diferite din punct de vedere geometric.
Astfel, graficele oferă o reprezentare vizuală a naturii relației dintre cantități; ele sunt adesea folosite în diferite domenii ale științei și tehnologiei.
Principalele tendințe în dezvoltarea învățământului școlar modern se exprimă în ideile de umanizare, umanitarizare, abordare bazată pe activitate și orientată spre personalitate a organizării procesului de învățământ.
În baza predării matematicii în școlile secundare, iese în prim plan principiul priorității funcției de dezvoltare a predării.
În consecință, studierea conceptului de funcție numerică în școala elementară este o componentă destul de semnificativă în formarea conceptelor matematice ale școlarilor. Pentru profesor clasele primare Este necesar să se sublinieze studiul acestui concept, deoarece există o relație directă între funcție și multe domenii ale activității umane, care în viitor vor ajuta copiii să intre în lumea științei.
in afara de asta , Elevii, de regulă, înțeleg în mod formal definiția conceptului de funcție și nu au o înțelegere holistică a dependenței funcționale, de exemplu. nu își pot aplica cunoștințele la rezolvarea problemelor matematice și practice; asociaţi o funcţie exclusiv cu o expresie analitică în care variabila la exprimată printr-o variabilă X; nu poate interpreta reprezentări ale funcției în diferite modele; le este dificil să construiască grafice ale funcțiilor pe baza proprietăților lor etc.
Motivele acestor dificultăți sunt legate nu numai și nu atât de metodologia de studiu a materialului funcțional într-un curs de algebră, ci de nepregătirea gândirii elevilor de a percepe și asimila conceptul de „funcție”.
Aceasta înseamnă că înainte de introducerea conceptului de „funcție”, este necesar să se lucreze la formarea abilităților de gândire funcțională, astfel încât „în momentul în care ideea generală a dependenței funcționale ar trebui să intre în conștiința studenților, această conștiință va fi suficient de pregătită pentru percepția substanțială și eficientă, și nu doar formală, a unui nou concept și a ideilor și abilităților asociate” (A.Ya. Khinchin)
1. Funcții numerice
1.1 Dezvoltarea conceptului de dependență funcțională în matematică
Să analizăm progresul dezvoltării ideilor pedagogice în domeniul predării cea mai importantă componentă a matematicii - dependența funcțională.
Linia funcțională a cursului școlar de matematică este unul dintre cursurile de frunte în algebră, algebră și începuturile analizei. Caracteristica principală material educativ Această linie este că cu ajutorul ei puteți stabili diverse conexiuni în predarea matematicii.
De-a lungul mai multor secole, conceptul de funcție s-a schimbat și s-a îmbunătățit. Necesitatea studierii dependenței funcționale într-un curs școlar de matematică a fost în centrul presei pedagogice încă din a doua jumătate a secolului al XIX-lea secol. Metodologii cunoscuți precum M.V. Ostrogradsky, V.N. Shklarevich, S.I. Shokhor-Trotsky, V.E. Serdobinsky, V.P. Sheremetevsky au acordat multă atenție acestei probleme în lucrările lor.
Dezvoltarea ideii de dependență funcțională a decurs în mai multe etape:
Primul stagiu- etapa introducerii conceptului de funcţie (în principal printr-o expresie analitică) în cursul de matematică şcolară.
Faza a doua Introducerea conceptului de funcție într-un curs de algebră de liceu se caracterizează în principal printr-o trecere la o reprezentare grafică a dependenței funcționale și o extindere a gamei de funcții studiate.
A treia etapă Dezvoltarea școlii rusești a început în anii 20. secolul douăzeci. Analiza literaturii metodologice perioada sovietică a arătat că introducerea conceptului de funcție în cursul școlar de matematică a fost însoțită de discuții aprinse și ne-a permis să identificăm patru probleme principale în jurul cărora au existat diferențe de opinie în rândul metodologilor și anume:
1) scopul și semnificația studierii conceptului de funcție de către elevi;
2) abordări ale definirii unei funcţii;
3) problematica propedeuticii functionale;
4) locul şi volumul materialului funcţional în cadrul cursului de matematică şcolară.
Etapa a patra datorită transferului economiei RSFSR pe o bază planificată
În 1934, școala a primit primul manual stabil de A.P. Kiselev, „Algebră”, revizuit sub conducerea lui A.P. Barsukov în două părți.
A doua parte a inclus secțiunile „Funcțiile și graficele lor”, „Funcția cadranică”. În plus, în secțiunea „Generalizarea conceptului de grad” au fost luate în considerare funcția exponențială și graficul acesteia, iar în secțiunea „Logaritmi” au fost luate în considerare funcția logaritmică și graficul acesteia.
În ea a fost definită funcția prin conceptul de mărime variabilă: „Acea mărime variabilă, ale cărei valori numerice se modifică în funcție de valorile numerice ale altuia, se numește variabilă dependentă sau funcție de o altă cantitate variabilă.” Cu toate acestea, nu reflectă ideea de corespondență și nu există nicio mențiune despre o expresie analitică, ceea ce ne permite să concluzionam că această definiție are un defect semnificativ.
I. Ya. Khinchin a acordat multă atenție acestei probleme în lucrările sale.
Omul de știință a considerat formarea unei idei de funcție ca o manifestare a formalismului în predare. El credea că în liceu conceptul de funcție ar trebui predat pe baza conceptului de corespondență.
Această perioadă este caracterizată de timp insuficient pentru a studia funcțiile, sisteme de exerciții prost concepute și lipsa de înțelegere a elevilor. adevărată esență conceptul de funcție, nivel scăzut aptitudinile funcţionale şi grafice ale absolvenţilor de şcoală.
Astfel, a apărut din nou necesitatea reformării predării matematicii în școlile secundare. Restructurarea întregii matematici școlare pe baza unei abordări teoretice a seturilor a marcat a cincea etapă în dezvoltarea ideii de dependență funcțională. Ideea abordării teoretice a seturilor a fost întreprinsă de un grup de oameni de știință francezi uniți sub pseudonimul Nicolas Bourbaki. La Roymont (Franţa, 1959) a avut loc o întâlnire internaţională, la care a fost proclamată răsturnarea tuturor cursurilor convenţionale. Accentul s-a pus pe structurile și unificările tuturor matematicii școlare bazate pe teoria mulțimilor.
Un rol important în dezvoltarea ideilor de reformă l-au jucat articolele lui V.L. Goncharov, în care autorul a evidențiat importanța propedeuticii funcționale timpurii și pe termen lung și a propus utilizarea unor exerciții constând în efectuarea unui număr de operațiuni prestabilite. substituții numerice în aceeași expresie de literă dată.
Stabilizarea programelor și manualelor a creat terenul pentru schimbări pozitive în calitatea cunoștințelor funcționale ale elevilor. La sfârșitul anilor șaizeci și începutul anilor șaptezeci, împreună cu recenzii negative, au început să apară unele în presă în care s-a remarcat o anumită îmbunătățire a cunoștințelor absolvenților de școală despre funcții și grafice. Cu toate acestea, nivelul general de dezvoltare matematică a elevilor a rămas în general insuficient. Cursurile școlare de matematică au continuat să aloce o cantitate exagerată de timp pregătirii formale și nu au acordat suficientă atenție dezvoltării capacității elevilor de a învăța independent.
1.2 Metode de specificare a funcţiilor
Asa de, functie numerica este o corespondență între o mulțime numerică R de numere reale, în care fiecărui număr din mulțimea X corespunde unui singur număr din mulțimea R.
În consecință, X reprezintă domeniul de definire al funcției (DOF).
Funcția în sine este desemnată cu litere mici ale alfabetului latin (f, d, e, k).
Dacă o funcție f este dată pe o mulțime X, atunci numărul real y corespunzător numărului x din mulțimea X este notat cu f(x) (y=f(x)).
Se numește variabila x argument. Se numește mulțimea numerelor de forma f(x) pentru tot x intervalul de funcțiif.
Cel mai adesea sunt specificate funcții tipuri variate formule: y=2x+3, y=xІ, y=3xі, y=?3xІ, unde x este un număr real, y este numărul singular corespunzător.
Cu toate acestea, cu o singură formulă puteți seta o multime de funcții, a căror diferență este determinată numai de domeniul de definiție:
Y= 2x-3, unde x aparține mulțimii numerelor reale și y=2x-3,
X - aparținând mulțimii numerelor naturale.
Adesea, atunci când se specifică o funcție folosind o formulă, OOF nu este specificat (OOF este domeniul de definire al expresiei f(x)).
De asemenea funcții numerice Este destul de convenabil să prezentați vizual, de exemplu. folosind un plan de coordonate. 
1.3 Proprietățile funcției.
Ca multe altele, funcțiile numerice au următoarele proprietăți:
Creșterea, descreșterea, monotonitatea, domeniul definiției și domeniul valorii unei funcții, mărginirea și nemărginirea, par și impar, periodicitatea.
Domeniul și gama de funcții.
În matematica elementară, funcțiile sunt studiate numai pe mulțimea numerelor reale R. Aceasta înseamnă că argumentul unei funcții poate lua doar acele valori reale pentru care funcția este definită, adică. acceptă de asemenea numai valori reale. Mulțimea X a tuturor valorilor reale admisibile ale argumentului x pentru care este definită funcția y = f(x) se numește domeniul funcției. Mulțimea Y a tuturor valorilor reale ale lui y pe care le ia o funcție se numește intervalul funcției. Acum putem da o definiție mai precisă a unei funcții: regula (legea) corespondenței dintre mulțimile X și Y, conform căreia pentru fiecare element din mulțimea X se poate găsi unul și un singur element din mulțimea Y, este numită funcție. 
O funcţie este considerată definită dacă: este specificat domeniul de definire al funcţiei X; este specificat intervalul de valori ale funcției Y; regula (legea) corespondenței este cunoscută și astfel încât pentru fiecare valoare a argumentului poate fi găsită o singură valoare a funcției. Această cerință de unicitate a funcției este obligatorie.
Funcții limitate și nelimitate. O funcție se numește mărginită dacă există un număr M pozitiv astfel încât | f(x) | M pentru toate valorile lui x. Dacă un astfel de număr nu există, atunci funcția este nelimitată.
Funcții pare și impare. Dacă pentru orice x din domeniul de definire al funcției se aplică următoarele: f (- x) = f (x), atunci funcția se numește pară; dacă apare: f (- x) = - f (x), atunci funcția se numește impar. Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Y (Fig. 5), iar graficul unei funcții impare este simetric față de origine (Fig. 6). 
Funcția periodică. O funcție f (x) este periodică dacă există un număr T diferit de zero, astfel încât pentru orice x din domeniul de definire al funcției se respectă următoarele: f (x + T) = f (x). Acest număr cel mai mic se numește perioada funcției. Toate funcții trigonometrice sunt periodice.
Dar cea mai importantă proprietate pentru funcția de învățare în clasele primare este monoton.
Funcția monotonă. Dacă pentru oricare două valori ale argumentului x1 și x2 condiția x2 > x1 implică f (x2) > f (x1), atunci funcția | f(x) | numită în creștere; dacă pentru orice x1 și x2 condiția x2 > x1 implică f (x2)
2. Relații directe și invers proporționale.
2.1 Conceptul de proporționalitate directă.
În școala elementară, funcția se manifestă sub forma unor relații directe și invers proporționale.
Proporționalitate directă- aceasta este, în primul rând, funcţie, care poate fi dat folosind formula y=kx, unde k este un număr real diferit de zero. Numele funcției y = kx este asociat cu variabilele x și y conținute în această formulă. Dacă atitudine două mărimi sunt egale cu un număr diferit de zero, apoi sunt numite direct proportional.
K este coeficientul de proporționalitate.
În general, funcția y=kx este un model matematic al multor situații reale luate în considerare la cursul inițial de matematică.
De exemplu, să presupunem că există 2 kg de făină într-un pachet și au fost achiziționate x astfel de pachete, atunci întreaga masă de făină achiziționată este y. Aceasta poate fi scrisă ca o formulă astfel: y=2x, unde 2=k.
2.2 Proprietăți de proporționalitate directă.
Proporționalitatea directă are o serie de proprietăți:
Domeniul de definiție al funcției y=kx este mulțimea numerelor reale R;
Un grafic de proporționalitate directă este o linie dreaptă care trece prin origine;
Pentru k>0, funcția y=kx crește pe întregul domeniu de definiție (pentru k
Dacă funcția f este proporționalitate directă, atunci (x1,y1),(x2,y2) sunt perechi de variabile corespunzătoare x și y, unde x nu este egal cu zero, ceea ce înseamnă x1/x2=y1/y2.
Xde mai multe ori valoarea pozitivă corespunzătoare y crește (descrește) cu aceeași cantitate.
2.3 Conceptul de proporționalitate inversă.
Proporționalitate inversă- Acest funcţie, care poate fi dat folosind formula y=k/x, unde k este un număr real diferit de zero. Numele funcției y = k/x este asociat cu variabilele x și y, al căror produs este egal cu un număr real care nu este egal cu zero.
Proprietăți de proporționalitate inversă:
Domeniul de definiție și domeniul de valori al funcției y=k/x este mulțimea numerelor reale R;
Graficul proporționalității directe – hiperbolă;
Când k 0, respectiv, scade pe întregul domeniu de definiție, ramuri - în jos)
Dacă funcția f este proporționalitate inversă, atunci (x1,y1),(x2,y2) sunt perechi de variabile corespunzătoare x și y, unde x nu este egal cu zero, ceea ce înseamnă x1/x2=y2/y1.
Dacă valorile variabilelorXȘiyatunci vor fi numere reale pozitive
cu variabilă crescătoare (descrescătoare).Xde câteva ori valoarea corespunzătoare a lui y scade (crește) cu aceeași cantitate.
Partea practică
3.1 Propedeutica funcțională în cursul inițial de matematică
Conceptul de dependență funcțională este unul dintre cele mai importante în știința matematică, prin urmare, formarea acestui concept în rândul elevilor este o sarcină importantă în activitățile intenționate ale profesorului de a dezvolta gândirea matematică și activitatea creativă a copiilor. Dezvoltarea gândirii funcționale presupune, în primul rând, dezvoltarea capacității de a descoperi noi conexiuni și de a stăpâni tehnici și deprinderi educaționale generale.
În cursul inițial de matematică, un rol semnificativ ar trebui acordat propedeuticii funcționale, care prevede pregătirea studenților pentru a studia cursuri sistematice de algebră și geometrie și, de asemenea, le insuflă natura dialectică a gândirii, o înțelegere a relațiilor cauzale dintre fenomene ale realităţii înconjurătoare. În acest sens, vom schița principalele direcții ale activității propedeutice în stadiul inițial de predare a disciplinei conform programului L.G. Peterson:
Conceptul de mulțimi, corespondența elementelor a două mulțimi și funcții. Dependența rezultatelor operatii aritmetice de la schimbarea componentelor.
Metode tabulare, verbale, analitice, grafice de specificare a unei funcții.
Dependență liniară.
Sistem de coordonate, prima și a doua coordonată, pereche ordonată.
Rezolvarea celor mai simple probleme combinatorii: compilarea și numărarea numărului de permutări posibile, submulțimi de elemente ale unei mulțimi finite..
Utilizarea enumerării sistematice a valorilor naturale ale una și două variabile atunci când rezolvați problemele plotului.
Completarea tabelelor cu calcule aritmetice, date din condițiile problemelor aplicate. Selectarea datelor dintr-un tabel după condiție.
Relația dintre mărimile proporționale; studiul aplicat al graficelor lor.
Conţinut curs initial matematica le permite elevilor să înțeleagă una dintre cele mai importante idei din matematică - ideea de conformitate.La îndeplinirea sarcinilor de găsire a semnificațiilor expresiilor și de completare a tabelelor, elevii stabilesc că fiecărei perechi de numere corespunde nu mai mult de un număr obținut ca rezultat. Cu toate acestea, pentru a înțelege acest lucru, conținutul tabelelor trebuie analizat.
Creați toate exemplele posibile de adăugare a două numere cu o singură cifră, cu răspunsul 12.
La finalizarea acestei sarcini, elevii stabilesc o relație între două seturi de valori de termeni. Corespondența stabilită este o funcție, deoarece fiecare valoare a primului termen corespunde unei singure valori a celui de-al doilea termen cu o sumă constantă.
Într-o vază sunt 10 mere. Câte mere vor rămâne dacă iei 2 mere? 3 mere? 5 mere? Scrieți soluția în tabel. De ce depinde rezultatul? Cu câte unități se schimbă? De ce?
Această problemă prezintă de fapt funcția la = 10 - X, unde variabila X ia valorile 2, 3, 5. În urma îndeplinirii acestei sarcini, elevii trebuie să concluzioneze: cu cât subtraendul este mai mare, cu atât diferența este mai mică.
Ideea de corespondență funcțională este prezentă și în exerciții precum:
Conectați cu o săgeată expresiile matematice și valorile numerice corespunzătoare:
15 + 6 27 35
Introducere simboluri cu litere vă permite să introduceți elevilor cele mai importante concepte ale matematicii moderne - variabilă, ecuație, inegalitate, ceea ce contribuie la dezvoltarea gândirii funcționale, deoarece ideea de dependență funcțională este strâns legată de acestea. Când lucrează cu o variabilă, elevii realizează că literele incluse într-o expresie pot lua diferite valori numerice, iar expresia literă în sine este o notație generalizată a expresiilor numerice.
Experiența elevilor care comunică cu exerciții pe stabilirea tiparelor în secvențe de numere și continuarea lor:
1, 2, 3, 4… (la = X + 1)
1, 3, 5, 7… (la= 2 · X + 1)
Concept cantități, alături de conceptul de număr, este conceptul principal al cursului inițial de matematică. Materialul din această secțiune este o sursă bogată pentru implementarea propedeuticii funcționale indirecte. În primul rând, aceasta este dependența (invers proporțională) dintre unitatea de măsură (măsură) selectată și valoarea sa numerică (măsura) - cu cât măsura este mai mare, cu atât numărul obținut ca urmare a măsurării mărimii cu această măsură este mai mic. Prin urmare, este important ca atunci când lucrează cu fiecare mărime, elevii să câștige experiență în măsurarea cantităților cu standarde diferite pentru a alege în mod conștient, mai întâi una convenabilă, apoi o singură măsurătoare.
În al doilea rând, la studierea cantităților care caracterizează procesele de mișcare, muncă, cumpărare și vânzare, se formează idei despre relația dintre viteză, timp și distanță, preț, cantitate și cost în procesul de rezolvare a problemelor de cuvinte următoarele tipuri- reducerea la unitate (găsirea celei de-a patra proporționale), găsirea necunoscutului din două diferențe, împărțirea proporțională.
Este deosebit de dificil pentru elevi să înțeleagă relația dintre aceste cantități, deoarece conceptul de „dependență proporțională” nu este subiect de studiu și asimilare special. În programul L.G. Peterson rezolvă metodic această problemă utilizând următoarele tehnici:
- Rezolvarea problemelor cu datele lipsă (condiția „deschisă”):
Casa lui Vasya până la școală este la 540 m, iar cea a lui Pașa este la 480 m. Cine locuiește mai aproape? Cine va ajunge acolo mai repede?
Sasha a cumpărat caiete pentru 30 de ruble și creioane pentru 45 de ruble. Pe ce obiecte a cheltuit cei mai mulți bani? Ce articole a mai cumpărat?
Analizând textele acestor probleme, elevii descoperă că le lipsesc datele și că răspunsurile la întrebări depind de preț și viteză.
- Fixarea condițiilor sarcinilor nu numai într-un tabel (așa cum se propune în metoda clasică), ci și sub forma unei diagrame. Acest lucru vă permite să „vizualizați” dependențele luate în considerare în problemă. Deci, dacă obiectele în mișcare parcurg aceeași distanță de 12 km în timpi diferiți (2 ore, 3 ore, 4 ore, 6 ore), atunci folosind diagrama relația inversă este interpretată clar - cu cât mai multe părți (timp), cu atât mai mică fiecare. parte (viteza).
- Schimbați una dintre datele sarcinii și comparați rezultatele rezolvării problemelor.
La cantina școlii au fost aduse 48 kg de mere. Câte cutii ar putea aduce dacă toate cutiile ar conține aceeași cantitate de mere?
Elevii completează enunțul problemei și stabilesc relația dintre cantități folosind diverse instrumente de structurare cunoștințe teoretice- într-un tabel, diagramă și verbal.
Aici este util să se acorde atenție raportului multiplu al cantităților luate în considerare - de câte ori mai mult este una dintre cantități, de câte ori mai mult (mai puțin) este cealaltă, a treia fiind constantă.
În școala elementară, elevii sunt implicit introduși tabelar, analitic, verbal, grafic atribuiri de funcții.
De exemplu, relația dintre viteză, timp și distanță poate fi exprimată:
A) verbal: „pentru a găsi distanța, trebuie să înmulți viteza cu timpul”;
B) analitic: s= v t;
B) tabelar: v =5 km/h
d) grafic (folosind o rază sau un unghi de coordonate).
Mod grafic de a specifica dependența dintre v, t, s ne permite să ne formăm o idee despre viteză ca schimbare a locației unui obiect în mișcare pe unitatea de timp (împreună cu cea general acceptată - ca distanță parcursă pe unitatea de timp) și o comparație a graficelor mișcării a două corpuri (care se mișcă independent unul de celălalt) clarifică ideea de viteză ca mărime care caracterizează viteza de mișcare.
Expresii numerice compuse(cu și fără paranteze), calcularea valorilor acestora în conformitate cu regulile ordinii acțiunilor permite elevilor să realizeze că rezultatul depinde de ordinea în care sunt efectuate acțiunile.
Aranjați parantezele pentru a forma egalități corecte.
20 + 30: 5=10, 20 + 30: 5 = 26
În cursul L.G. Peterson, studenților li se prezintă implicit dependență liniară, ca caz special al unei funcţii. Această funcție poate fi specificată printr-o formulă de formă la= kh + b, Unde X- variabila independenta, kȘi b- numere. Domeniul său este mulțimea tuturor numerelor reale.
După ce a parcurs 350 de kilometri, trenul a început să circule timp de t ore cu o viteză de 60 km/h. Câți kilometri a parcurs trenul în total?(350 + 60 · t)
Prin îndeplinirea sarcinilor cu numere numite, elevii își dau seama de dependență valori numerice ale cantităților din utilizarea diferitelor unități de măsură.
Același segment a fost măsurat mai întâi în centimetri, apoi în decimetri. În primul caz, numărul pe care l-am obținut a fost cu 135 mai mult decât în al doilea. Care este lungimea segmentului în centimetri? (Dependenţă= 10 · X)
În procesul studierii cursului inițial de matematică, elevii formează conceptul de serie naturală de numere, un segment al unei serii naturale, asimilează proprietățile unei serii naturale de numere - infinit, ordine etc., formă ideea posibilității de creștere nelimitată numar natural sau o scădere a cotei sale.
La cursul de matematică pentru clasele 3-4, se acordă o atenție deosebită învățării elevilor să folosească formule, concluzia lor independentă. Este important aici să-i învățăm pe elevi să prezinte aceleași informații în diferite forme- grafic și analitic, acordând școlarilor dreptul de a alege o formă în conformitate cu stilurile lor cognitive.
Elevii sunt interesați în special de sarcinile legate de analizarea tabelelor cu valori variabile, „descoperirea” dependențelor dintre ele și scrierea lor sub formă de formule.
Atunci când analizează numerele prezentate în tabel, elevii observă cu ușurință că numerele din prima linie cresc cu unu, numerele din a doua linie cresc cu patru. Sarcina profesorului este să acorde atenție relației dintre valorile variabilelor AȘi b. Pentru a consolida orientarea aplicată a educației matematice, această situație ar trebui „revitalizată” și transferată la statutul de parcelă.
Pentru a dezvolta capacitatea elevilor de a deriva formule, trebuie să-i învățați să scrie diferite enunțuri în limbaj matematic (sub formă de egalități):
Manipulați de trei ori mai scump decât un creion (R = La + 3);
Număr A Când se împarte la 5, restul este 2 ( A= 5 · b + 2);
Lungimea dreptunghiului este cu 12 cm mai mare decât lățimea ( A = b + 12).
O condiție prealabilă este să discutați posibilele opțiuni pentru valorile acestor cantități și să completați tabelele corespunzătoare.
Un loc aparte în cursul L.G. Peterson preia sarcini legate de cercetare matematică:
Reprezentați numărul 16 ca un produs al doi factori în moduri diferite. Pentru fiecare metodă, găsiți suma factorilor. In ce caz a fost obtinuta suma mai mica? Faceți același lucru cu numerele 36 și 48. Ce presupuneți?
La îndeplinirea unor sarcini similare (pentru a studia relația dintre numărul de unghiuri ale unui poligon și valoarea totală a gradului de măsură a unghiurilor, dintre valoarea perimetrului figurilor de diferite forme cu aceeași zonă etc.), elevii își îmbunătățesc abilități în lucrul cu un tabel, deoarece este convenabil să înregistrați soluția într-un tabel. În plus, metoda tabelară de fixare a soluției este utilizată atunci când se rezolvă probleme matematice non-standard folosind metoda căutării ordonate sau selecției raționale.
În clasă sunt 13 copii. Băieții au tot atâtea dinți cât au fetele de la mâini și de la picioare. Câți băieți și câte fete sunt în clasă? (Fiecare băiat are exact 32 de dinți).
Predarea matematicii conform programului L.G. Peterson se asigură că elevii înțeleg relația dintre rezultatele și componentele operațiilor aritmetice și o idee despre „viteza” modificării rezultatului operațiilor aritmetice în funcție de modificările componentelor:
Exerciții de compunere a numerelor;
Metode particulare de calcule (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 · 5 = 12 · 10: 2);
Estimarea sumei, diferenței, produsului, coeficientului.
Atunci când efectuați sarcini ca acestea, este important să prezentați informațiile într-o manieră multisenzorială.
Cum se va schimba suma dacă un termen este mărit cu 10 și al doilea este micșorat cu 5?
Cum se va schimba aria unui dreptunghi (sau produsul a două numere) dacă una dintre laturi (unul dintre numere) este mărită cu 3?
O parte semnificativă a elevilor realizează astfel de sarcini prin înlocuirea unor valori numerice specifice. Competentă metodologică în această situație ar fi interpretarea grafică și analitică a condiției.
(A+ 3) · b = A· b+ 3 ·b
Conceptul de funcție în liceu este asociat cu sistem de coordonate. În cursul L.G. Peterson conține material pentru lucrări propedeutice în această direcție:
Segment numeric, rază numerică, rază de coordonate;
Tabelul pitagoreic, coordonatele pe plan (unghiul de coordonate);
Programele de trafic;
Diagrame circulare, cu bare și cu linii care reprezintă vizual relațiile dintre cantități discrete.
Deci, studiul operațiilor aritmetice, cu creșterea și scăderea unui număr cu mai multe unități sau de mai multe ori, relația dintre componente și rezultatele operațiilor aritmetice, rezolvarea problemelor privind găsirea proporționalei a patra, privind relația dintre viteză, timp și distanță; preț, cantitate și valoare; masa unui obiect individual, cantitatea lor și masa totala; productivitate, timp și muncă; etc., pe de o parte, stau la baza formării conceptului de funcție, iar pe de altă parte, sunt studiate pe baza conceptelor funcționale. De remarcat că modelarea grafică are o semnificație propedeutică destul de mare: interpretarea grafică a condițiilor problemei, desen, desen etc. Informațiile prezentate sub formă grafică sunt mai ușor de perceput, încăpătoare și mai degrabă condiționate, concepute pentru a transmite informații doar despre caracteristicile esențiale ale unui obiect și pentru a dezvolta abilitățile grafice ale elevilor.
În plus, rezultatul propedeuticii dependenței funcționale ar trebui să fie o activitate mentală ridicată a școlarilor mai mici, dezvoltarea abilităților intelectuale, generale și matematice specifice. Toate acestea creează o bază solidă nu numai pentru rezolvarea problemelor metodologice ale matematicii primare - formarea abilităților de calcul, capacitatea de a rezolva probleme cu cuvinte etc., ci și pentru implementarea posibilităților de dezvoltare a conținutului matematic și, nu mai puțin important, pentru studiul cu succes a funcţiilor în liceu.
3.2 Rezolvarea problemelor care implică mărimi proporțional dependente
Rezolvarea unei probleme înseamnă folosirea unei secvențe de acțiuni logic corecte
și operațiuni cu numere, cantități, disponibile în mod explicit sau implicit în problemă,
relații pentru a îndeplini cerința sarcinii (răspunde la întrebarea acesteia).
Principalele în matematică sunt: aritmeticȘi
algebric modalități de rezolvare a problemelor. La aritmetic cale
răspunsul la întrebarea problemei se găsește ca urmare a efectuării aritmeticii
acțiuni asupra numerelor.
Diferite metode aritmetice pentru rezolvarea aceleiași probleme sunt diferite
relațiile dintre date, date și necunoscute, date și ceea ce se caută,
care stă la baza alegerii operațiilor aritmetice sau a secvenței
folosind aceste relații la alegerea acțiunilor.
Rezolvarea unei probleme de cuvinte folosind aritmetica este o activitate complexă.
decisiv. Cu toate acestea, există mai multe etape în ea:
1. Percepția și analiza conținutului sarcinii.
2. Cauta si intocmeste un plan de rezolvare a problemei.
3. Executarea planului de solutii. Formularea concluziei despre îndeplinirea cerinței
sarcini (răspunzând la întrebarea sarcinii).
4. Verificarea soluției și eliminarea erorilor, dacă există.
Probleme de împărțire proporțională sunt introduse în moduri diferite: poți oferi
pentru a rezolva o problemă gata făcută sau o puteți compune mai întâi transformând problema
pentru a găsi a patra proporțională. În ambele cazuri, succesul soluției
problemele de împărţire proporţională vor fi determinate de o solidă capacitate de rezolvare
probleme de găsire a celei de-a patra proporționale, așadar, ca
pregătirea trebuie să includă rezolvarea problemelor de tipul adecvat de găsit
al patrulea proporțional. De aceea este de preferat al doilea
opțiunile menționate pentru introducerea problemelor de împărțire proporțională.
Trecerea la rezolvarea problemelor gata făcute din manual, precum și a problemelor compilate
profesor, inclusiv diverse grupuri cantități, trebuie mai întâi să stabilim ce
cantitățile discutate în problemă, apoi scrieți problema pe scurt în tabel,
după ce a împărțit anterior întrebarea problemei în două întrebări, dacă conține cuvântul
fiecare. De regulă, elevii completează soluția în mod independent, analizează
efectuate numai cu elevi individuali. În loc de o notă scurtă, puteți face
desen. De exemplu, dacă problema implică bucăți de pânză, bobine de sârmă și
etc., atunci ele pot fi reprezentate prin segmente prin scrierea numericei corespunzătoare
valorile acestor cantități. Rețineți că nu ar trebui să efectuați o alergare scurtă de fiecare dată.
înregistrarea sau desenul, dacă elevul, după ce a citit problema, știe să o rezolve, atunci
lasa-l pe el sa decida, si pe cei carora le este greu sa foloseasca o nota scurta sau un desen
Pentru a rezolva sarcina. Treptat sarcinile ar trebui să devină mai complexe prin introducere
date suplimentare (de exemplu: „Prima bucată conținea 16 m de materie, iar a doua
de 2 ori mai puțin.”) sau a pune o întrebare (de exemplu: „Câți metri
Era mai multă materie în prima bucată decât în a doua?).
Când vă familiarizați cu soluția la problema diviziunii disproporționate, puteți merge
un alt mod: mai întâi rezolvați problemele gata făcute și apoi executați
transformând problema găsirii celui de-al patrulea proporţional într-o problemă de
împărțirea proporțională și, după rezolvarea acestora, se compară atât problemele în sine cât și
deciziile lor.
Exercițiile ajută la generalizarea capacității de a rezolva probleme de tipul luat în considerare.
natura creativă. Să numim câteva dintre ele.
Înainte de a o rezolva, este util să întrebați care dintre întrebările din problemă va primi răspuns
un număr mai mare și de ce, și după ce a decis să verifice dacă corespunde acestui tip
numerele rezultate, care va fi una dintre modalitățile de verificare a soluției. Poți mai departe
aflați dacă răspunsul ar fi putut produce aceleași numere și în ce condiții.
Exerciții utile elevilor să compună probleme și apoi să le rezolve,
și exerciții de transformare a sarcinilor. Aceasta este, în primul rând, o compilație
probleme similare celei rezolvate. Deci, după rezolvarea problemei cu cantitățile: preț,
cantitate și cost - se oferă să compun și să rezolve o problemă similară cu
aceleași cantități sau cu altele, cum ar fi viteza, timpul și distanța.
Aceasta este o compilație de probleme pentru rezolvarea lor, scrisă separat
actiuni, si sub forma de exprimare, este alcatuirea si rezolvarea problemelor conform acestora
notație schematică scurtă
1 cale:
X = 15*30 / 8 = 56 ruble 25 copeici
Metoda 2: cantitatea de pânză a crescut de 15/8 ori, ceea ce înseamnă că vor plăti de 15/8 ori mai mulți bani
X =30*15/8 = 56 ruble 25 copeici
2. Un anume domn a chemat un tâmplar și i-a poruncit să construiască o curte. I-a dat 20 de muncitori și l-a întrebat în câte zile îi vor construi curtea. Tâmplarul a răspuns: în 30 de zile. Însă stăpânul trebuie să o construiască în 5 zile, iar pentru aceasta l-a întrebat pe dulgher: câți oameni trebuie să ai ca să poți construi o curte cu ei în 5 zile; iar tâmplarul, nedumerit, te întreabă, aritmeticiane: câți oameni trebuie să angajeze pentru a construi o curte în 5 zile?
O condiție scurtă neterminată este scrisă pe tablă:
Varianta I: proportie
Opțiunea II: fără proporții
eu. 
II. X = 20*6 = 120 muncitori
3. Au luat 560 de soldați cu mâncare timp de 7 luni, dar li s-a ordonat să slujească 10 luni și au vrut să scoată oameni de la ei înșiși, ca să fie suficientă mâncare pentru 10 luni. Întrebarea este, câți oameni ar trebui reduse?
O sarcină străveche.
Rezolvați această problemă fără proporție:
(Numărul de luni crește cu un factor, ceea ce înseamnă că numărul de soldați scade cu un factor.
560 – 392 = 168 (soldații trebuie redusi)
În antichitate, pentru a rezolva multe tipuri de probleme, existau reguli speciale pentru rezolvarea lor. Probleme care ne sunt familiare direct și proporționalitate inversă, în care a patra valoare trebuie găsită din trei valori a două cantități, au fost numite probleme de „regulă triplă”.
Dacă, pentru trei cantități, au fost date cinci valori și a fost necesar să se găsească a șasea, atunci regula se numea „cvintuplu”. În mod similar, pentru patru cantități a existat o „regula septenară”. Problemele care implică aplicarea acestor reguli au fost numite și probleme de „regulă triplă complexă”.
4.
Trei găini au depus 3 ouă în 3 zile. Câte ouă vor depune 12 găini în 12 zile?
| Pui | zile | ouă |
| 3 | 3 | 3 |
| 12 | 12 | X |
Trebuie să aflați:
De câte ori a crescut numărul găinilor? (de 4 ori)
Cum s-a schimbat numărul de ouă dacă numărul de zile nu s-a schimbat? (creste de 4 ori)
De câte ori a crescut numărul de zile? (de 4 ori)
Cum s-a schimbat numărul de ouă? (creste de 4 ori)
X = 3*4*4 =48(ouă)
5
. Dacă un scrib poate scrie 15 frunze în 8 zile, de câți scriitori va fi nevoie pentru a scrie 405 foi în 9 zile?
(numărul cărturarilor crește odată cu creșterea foilor cu ori și scade
Din creșterea zilelor de lucru 
(cărturari)).
Să luăm în considerare o problemă mai complexă cu patru mărimi.
6.
Pentru a ilumina 18 camere, s-au folosit 120 de tone de kerosen în 48 de zile, cu câte 4 lămpi aprinse în fiecare cameră. Câte zile vor dura 125 de kilograme de kerosen dacă 20 de camere sunt iluminate și 3 lămpi sunt aprinse în fiecare cameră?
Numărul de zile de utilizare a kerosenului crește odată cu creșterea cantității de kerosen în
ori şi de la reducerea lămpilor cu un factor.
Numărul de zile de utilizare a kerosenului scade odată cu creșterea numărului de încăperi 20 ori.
X = 48 * * : = 60 (zile)
Valoarea finală este X = 60. Aceasta înseamnă că 125 de kilograme de kerosen durează 60 de zile.
Concluzie
Sistemul metodologic de studiere a dependenței funcționale în școala primară, dezvoltat în contextul educației modulare, reprezintă o integritate alcătuită din interrelația dintre principalele componente (țintă, conținut, organizațional, tehnologic, diagnostic) și principii (modularitate, perspectivă conștientă, deschidere, concentrarea învățării pe dezvoltarea personalității elevului, versatilitatea consultanței metodologice).
Abordarea modulară este un mijloc de îmbunătățire a procesului de studiere a dependenței funcționale la elevi școală primară, care permite: studenților să stăpânească un sistem de cunoștințe funcționale și metode de acțiune, abilități practice (operaționale); profesorul - să-și dezvolte gândirea matematică bazată pe material funcțional, să cultive independența în învățare.
Suportul metodologic pentru procesul de studiere a funcțiilor în școala primară se construiește pe baza unor programe modulare, care stau la baza identificării tiparelor fundamentale care sunt obligatorii pentru înțelegerea temei, asimilarea cu succes și completă a conținutului materialului educațional, precum și achiziția. de către studenți cu cunoștințe, abilități și abilități solide.
Bibliografie.
Demidova T. E., Tonkikh A. P., Teoria și practica rezolvării problemelor de text: Manual. ajutor pentru elevi superior ped. manual stabilimente. – M.: Centrul editorial „Academia”, 2002. -288 p.
Friedman L. M. Matematică: Tutorial pentru profesorii și studenții universităților și colegiilor pedagogice. – M.: Presa școlară, 2002.- 208 p.
Stoilova L.P., Pyshkalo A.M. Fundamentele unui curs inițial de matematică: Manual. manual pentru studenții la pedagogie. uch - sch pe special. „Predarea în clasele elementare ale învăţământului general. Shk." - M.: Educație, 1998. – 320 de ani.
Stoilova L.P. Matematică: Manual pentru elevi. superior Ped. manual stabilimente. – M.: Centrul de editură „Akakdemiya”, 1999. – 424 p.
Pekhletsky I. D. Matematică: manual. – Ediția a II-a stereotipă – M.: Centrul de editură „Academia”; Măiestrie, 2002. – 304 p.
Kryuchkova V.V. Lucrează la probleme cu cantități proporționale în modul de dezvoltare: Trusa de instrumente pentru profesorii care încep clase: Partea 2 / Institutul Regional de Dezvoltare Educațională Ryazan. Ryazan, 1996. – 75 de secunde.
Padun T. A. Sarcini nestandardizate la cursul matematicii elementare: Metodologice. Recomandat Pentru a ajuta profesorii din școala primară / Ryaz. Regiune Institutul pentru Dezvoltare Educațională. – Ryazan, 2003 – 85 p.
Glazer G.I.Istoria matematicii în școală: clasele IX – X. Manual pentru profesori. – M.: Educație, 1983. – 351 p., ill.
Dorofeev G.V. Un curs orientat spre științe umaniste stă la baza disciplinei educaționale „Matematică” în școala secundară // Matematică la școală. – 1997. - Nr. 4. - P.59-66, p. 59.
Probleme actuale în predarea matematicii în școala primară. / Ed. M.I. Moreau, A.M. Puffy. - M.: Pedagogie, 1977. - 262 p.
Bantova M.A., Beltyukova G.V. Metode de predare a matematicii în școala primară. - M.: Pedagogie, 1984. - 301 p.
Davydov V.V. Matematică, clasa a III-a: Manual pentru școala elementară de 4 ani. - M.: Centrul de editură „Academia”, 1998. - 212 p.
Moro M.I. şi altele.Matematică: Manual pentru clasa a III-a a unei şcoli elementare de trei ani şi a IV-a a unei şcoli elementare de patru ani. / Ed. Kalyagina Yu.M. - M.: Educație, 1997. - 240 p.
Peterson L.G. Matematică, clasa a III-a. Părțile 1, 2. Manual pentru școala elementară de 4 ani. - M.: „Balass”, 2001.
Au multe proprietăți:
1. Funcția este numită monoton pe un anumit interval A, dacă crește sau scade pe acest interval
2. Funcția este numită crescând pe un anumit interval A, dacă pentru orice numere din mulțimea lor A este îndeplinită următoarea condiție:.
Graficul unei funcții crescătoare are o caracteristică specială: atunci când se deplasează de-a lungul axei x de la stânga la dreapta de-a lungul intervalului A ordonatele punctelor graficului cresc (Fig. 4).
3. Funcția este numită in scadere la un anumit interval A, dacă pentru orice numere sunt multe A conditia este indeplinita:.
Graficul unei funcții descrescătoare are o caracteristică specială: atunci când se deplasează de-a lungul axei x de la stânga la dreapta de-a lungul intervalului A ordonatele punctelor graficului scad (Fig. 4).
4. Funcția este numită chiar
pe vreun platou X, dacă condiția este îndeplinită: 
.
Graficul unei funcții pare este simetric față de axa ordonatelor (Fig. 2).
5. Funcția este numită ciudat
pe vreun platou X, dacă condiția este îndeplinită: 
.
Graficul unei funcții impare este simetric față de origine (Fig. 2).
6. Dacă funcţia y = f(x)
f(x) f(x), apoi se spune că funcția y = f(x) acceptă cea mai mică valoare
la=f(x) la X= X(Fig. 2, funcția ia cea mai mică valoare în punctul cu coordonatele (0;0)).
7. Dacă funcţia y = f(x) este definită pe mulțimea X și există astfel încât pentru orice inegalitate f(x) f(x), apoi se spune că funcția y = f(x) acceptă cea mai mare valoare la=f(x) la X= X(Fig. 4, funcția nu are cele mai mari și cele mai mici valori) .
Daca pentru aceasta functie y = f(x) toate proprietățile enumerate au fost studiate, apoi spun că studiu funcții.
Funcția numerică Această corespondență între un set de numere este numită Xși multe R numere reale, în care fiecare număr din mulțime X se potrivește cu un singur număr dintr-un set R. O multime de X numit domeniul functiei
. Funcțiile sunt indicate prin litere f, g, h etc Dacă f– functie definita pe platou X, apoi număr real y, corespunzător numărului X sunt multe dintre ele X, adesea notat f(x) si scrie
y = f(x). Variabil X asta se numeste argument. Set de numere ale formularului f(x) numit intervalul de funcții
Funcția este specificată folosind o formulă. De exemplu , y = 2X - 2. Dacă, atunci când se specifică o funcție folosind o formulă, domeniul ei de definiție nu este indicat, atunci se presupune că domeniul de definire al funcției este domeniul de definire al expresiei f(x).
1. Funcția este numită monoton pe un anumit interval A, dacă crește sau scade pe acest interval
2. Funcția este numită crescând pe un anumit interval A, dacă pentru orice numere din mulţimea lor A este îndeplinită următoarea condiţie: .
Graficul unei funcții crescătoare are o caracteristică specială: atunci când se deplasează de-a lungul axei x de la stânga la dreapta de-a lungul intervalului A ordonatele punctelor graficului cresc (Fig. 4).
3. Funcția este numită in scadere la un anumit interval A, dacă pentru orice numere sunt multe A este îndeplinită condiția: .
Graficul unei funcții descrescătoare are o caracteristică specială: atunci când se deplasează de-a lungul axei x de la stânga la dreapta de-a lungul intervalului A ordonatele punctelor graficului scad (Fig. 4).
4. Funcția este numită chiar
pe vreun platou X, dacă condiția este îndeplinită: 
.
Graficul unei funcții pare este simetric față de axa ordonatelor (Fig. 2).
5. Funcția este numită ciudat
pe vreun platou X, dacă condiția este îndeplinită: 
.
Graficul unei funcții impare este simetric față de origine (Fig. 2).
6. Dacă funcţia y = f(x)
f(x) f(x), apoi se spune că funcția y = f(x) acceptă cea mai mică valoare
la =f(x) la X= X(Fig. 2, funcția ia cea mai mică valoare în punctul cu coordonatele (0;0)).
7. Dacă funcţia y = f(x) este definită pe mulțimea X și există astfel încât pentru orice inegalitate f(x) f(x), apoi se spune că funcția y = f(x) acceptă cea mai mare valoare la =f(x) la X= X(Fig. 4, funcția nu are cele mai mari și cele mai mici valori) .
Daca pentru aceasta functie y = f(x) toate proprietățile enumerate au fost studiate, apoi spun că studiu funcții.
Limite.
Un număr A se numește limita unei funcții deoarece x tinde spre ∞ dacă pentru orice E>0, există δ (E)>0 astfel încât pentru tot x satisface inegalitatea |x|>δ inegalitatea |F(x) -A| Un număr A se numește limita unei funcții deoarece X tinde spre X 0 dacă pentru orice E>0, există δ (E)>0 astfel încât pentru toate X≠X 0 satisface inegalitatea |X-X 0 |<δ выполняется неравенство |F(x)-A| LIMITE UNILATERALE. La definirea limitei, X tinde spre X0 într-o manieră arbitrară, adică din orice direcție. Când X tinde spre X0, astfel încât să fie întotdeauna mai mic decât X0, atunci limita se numește limită la X0 din stânga. Sau o limită pentru stângaci. Limita din dreapta este definită în mod similar. Aceasta este o corespondență în care fiecare element x din mulțimea D, după o anumită regulă, este asociat cu un anumit număr y, în funcție de x. Notație: y = f(x) x y Variabilă independentă sau variabilă dependentă de argument sau valoarea funcției D(f) E(f) Domeniul funcției Domeniul funcției Funcție numerică cu domeniul D
Uniformitatea funcției Funcția y=f(x) este numită chiar dacă pentru orice valoare x din domeniul definiției egalitatea f(-x)=f(x) este satisfăcută. Funcția y=f(x) se numește impar dacă pentru orice valoare x din domeniul de definiție este valabilă egalitatea f(-x)=-f(x).
Monotonitatea unei funcții (Mărirea și scăderea unei funcții) Se spune că funcția y=f(x) este crescătoare pe mulțimea X є D(f) dacă pentru orice puncte x 1 și x 2 ale mulțimii X astfel încât x 1 f(x 2) f(x 2)">
Cum se construiește un grafic al unei funcții periodice Dacă funcția y=f(x) are o perioadă T, atunci pentru a construi un grafic al funcției trebuie mai întâi să construiți o ramură (undă, parte) a graficului pe orice interval de lungime T și apoi deplasați această ramură de-a lungul axei x la dreapta și la stânga cu T, 2T, 3T etc.
Mărginirea unei funcții O funcție y=f(x) se numește mărginită de jos pe mulțimea X є D(f) dacă toate valorile acestei funcții din mulțimea X sunt mai mari decât un anumit număr. (adică dacă există un număr m astfel încât pentru orice valoare x є X inegalitatea să fie valabilă: f(x) > m. Funcția y=f(x) se numește mărginită de sus pe mulțimea X є D(f) dacă toate valorile acestei funcții din mulțimea X sunt mai mici decât un anumit număr (adică, dacă există un număr M astfel încât pentru orice valoare x є X să fie valabilă următoarea inegalitate: f(x) m. Funcția y=f(x) ) se numește mărginit mai sus pe mulțimea X є D(f), dacă toate valorile acestei funcții pe mulțimea X sunt mai mici decât un anumit număr (adică dacă există un număr M astfel încât pentru orice valoare x є X, următoarea inegalitate este valabilă: f(x)
Cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției Numărul m se numește cea mai mică valoare a funcției y=f(x) pe mulțimea X є D(f), dacă: 1) există un punct x o є X astfel încât f(x o )=m; 2) Pentru orice valoare x є X este satisfăcută inegalitatea f(x)f(x o).Numărul M se numește cea mai mare valoare a funcției y=f(x) pe mulțimea X є D(f), dacă: 1) există un punct x o є X astfel încât f(x o)=M; 2) Pentru orice valoare x є X inegalitatea f(x)f(x o) este satisfăcută
Convexitatea unei funcții O funcție este convexă în sus pe un interval X cu Dif) dacă, conectând oricare două puncte ale graficului său cu abscisa lui X printr-un segment, aflăm că partea corespunzătoare a graficului se află deasupra segmentului desenat. O funcție este considerată a fi convexă în jos pe un interval X cu D(f) dacă, conectând oricare două puncte ale graficului său cu abscisa lui X cu un segment, aflăm că partea corespunzătoare a graficului se află sub segmentul desenat.
Continuitatea unei funcții, continuitatea unei funcții pe un interval X înseamnă că graficul unei funcții pe un interval dat nu are puncte de întrerupere (adică este o linie continuă). Cometariu. De fapt, despre continuitatea unei funcții putem vorbi doar atunci când se dovedește că funcția este continuă. Dar definiția corespunzătoare este complexă și nu suntem încă în stare să facem acest lucru (o vom da mai târziu, în § 26). Același lucru se poate spune despre conceptul de convexitate. Prin urmare, atunci când discutăm aceste două proprietăți ale funcțiilor, vom continua să ne bazăm pe concepte vizuale și intuitive.
Puncte extreme și extreme ale funcției. Punctele maxime și minime ale unei funcții se numesc puncte extreme ale funcției. Definiție. Un punct x 0 se numește un punct minim al unei funcții f dacă pentru tot x dintr-o vecinătate a lui x 0 este valabilă inegalitatea f(x) f(x 0). Definiție. Un punct x 0 se numește punct maxim al unei funcții f dacă pentru toți x dintr-o vecinătate a lui x 0 este valabilă inegalitatea f(x) f(x 0).
Schema de studiu a unei funcții 1 - Domeniul definiției 2 - par (impar) 3 - cea mai mică perioadă pozitivă 4 - intervale de creștere și descreștere 5 - puncte de extreme și extreme ale funcției 6 - mărginirea funcției 7 - continuitatea funcției funcția 8 - cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției 9 - Gama de valori 10 - convexitatea funcției
Lecțiile 1-2. Definirea unei funcții numerice și metode de specificare a acesteia Ţintă: discutați definiția unei funcții și cum să o definiți. I. Comunicarea temei și a scopului lecțiilor II. Revizuirea materialelor de clasa a IX-a Diverse aspecte ale acestui subiect au fost deja tratate în clasele 7-9. Acum trebuie să extindem și să rezumam informațiile despre funcții. Să vă reamintim că subiectul este unul dintre cele mai importante pentru întregul curs de matematică. Diverse funcții vor fi studiate până la absolvire și mai departe în instituțiile de învățământ superior. Acest subiect este strâns legat de rezolvarea ecuațiilor, inegalităților, problemelor de cuvinte, progresiilor etc. Definiție 1. Să fie date două seturi de numere reale D si E si este indicata legea f conform căreia fiecare număr x∈ D se potrivește cu numărul singular y ∈ E (vezi poza). Apoi ei spun că funcția y = f(x ) sau y(x) cu domeniul de definiție (O.O.) D și zona de schimbare (O.I.) E. În acest caz, valoarea x este numită variabilă independentă (sau argument al funcției), valoarea y este numită variabilă dependentă (sau valoarea funcției). Domeniul funcției f înseamnă D(f ). Setul format din toate numerele f(x ) (gamă de funcții f), notăm E(f). Exemplul 1 Luați în considerare funcția Evident, pentru o funcție dată, pentru orice număr admisibil x, poate fi găsită o singură valoare a lui y (adică pentru fiecare valoare a lui x îi corespunde câte o valoare a lui y). Să luăm acum în considerare domeniul de definiție și domeniul de variație al acestei funcții. Este posibil să se extragă rădăcina pătrată a expresiei (x - 2) numai dacă această valoare este nenegativă, adică x - 2 ≥ 0 sau x ≥ 2. Găsiți Funcțiile raționale sunt adesea folosite în matematică. În acest caz, funcțiile formei f(x ) = p(x) (unde p(x) este un polinom) se numesc funcții raționale întregi. Funcțiile formei(unde p(x) și q(x ) - polinoame) se numesc funcții fracționale-raționale. Evident, o fracțiuneeste definit dacă numitorul q(x ) nu dispare. Prin urmare, domeniul de definire al funcției raționale fracționale- mulţimea tuturor numerelor reale din care sunt excluse rădăcinile polinomului q(x). Exemplul 2 Functie rationala Amintiți-vă că unirea mulțimilor A și B este o mulțime formată din toate elementele incluse în cel puțin una dintre mulțimile A sau B. Unirea mulțimilor A și B se notează cu simbolul A U B. Astfel, unirea segmentelor și (3; 9) este un interval (intervale neintersectante) se notează cu . Revenind la exemplu, putem scrie:Deoarece pentru toate valorile acceptabile ale lui x fracțianu dispare, atunci funcția f(x ) ia toate valorile cu excepția lui 3. Prin urmare Exemplul 3 Să găsim domeniul de definiție al funcției raționale fracționale Numitorii fracțiilor dispar la x = 2, x = 1 și x = -3. Prin urmare, domeniul de definire a acestei funcții Exemplul 4 Dependenta Exemplul 5 Sunt prezentate grafice a două dependențe y(x ). Să stabilim care dintre ele este o funcție. În fig. iar graficul funcției este dat, deoarece în orice punct x 0 o singură valoare y0 corespunde. În fig. b este un grafic al unui fel de dependență (dar nu o funcție), deoarece astfel de puncte există (de exemplu, x 0 ), care corespund mai multor valori y (de exemplu, y1 și y2). Să luăm acum în considerare principalele modalități de specificare a funcțiilor. 1) Analitic (folosind o formulă sau formule). Exemplul 6 Să ne uităm la funcții: În ciuda formei sale neobișnuite, această relație definește și o funcție. Pentru orice valoare a lui x este ușor de găsit valoarea lui y. De exemplu, pentru x = -0,37 (deoarece x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, atunci folosim expresia inferioară) avem: c) 3x + y = 2y - x2. Să exprimăm valoarea y din această relație: 3x + x2 = 2y - y sau x2 + 3x = y. Astfel, această relație definește și funcția y = x2 + 3x. 2) Tabular Exemplul 7 Să scriem un tabel de pătrate y pentru numerele x. 2,25
6,25
Datele din tabel definesc, de asemenea, o funcție - pentru fiecare valoare (dată în tabel) a lui x, poate fi găsită o singură valoare a lui y. De exemplu, y(1,5) = 2,25, y(5) = 25 etc. 3) Grafic Într-un sistem de coordonate dreptunghiulare, pentru a descrie dependența funcțională y(x), este convenabil să folosiți un desen special - un grafic al funcției. Definiție 2. Graficul unei funcții y(x ) este mulțimea tuturor punctelor sistemului de coordonate, ale căror abscise sunt egale cu valorile variabilei independente x, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale variabilei dependente y. În virtutea acestei definiții, toate perechile de puncte (x0, y0) care satisfac dependența funcțională y(x) sunt situate pe graficul funcției. Orice alte perechi de puncte care nu satisfac dependența y(x ), funcțiile nu se află pe grafic. Exemplul 8 Dată o funcție 1. Aflați valoarea funcției y laDeoarece y(-2) = -6, atunci punctul A (-2; -6) aparține graficului acestei funcții. 2. Determinați valoarea funcției y at Din moment ce y (-3) = -11, atunci punctul B (-3; -10) nu aparține graficului acestei funcții. Conform acestui grafic al funcției y = f(x ) este ușor de găsit domeniul definiției D(f ) și interval E(f ) funcții. Pentru a face acest lucru, punctele graficului sunt proiectate pe axele de coordonate. Atunci abscisele acestor puncte formează domeniul de definiție D(f ), ordonate - interval de valori E(f). Să comparăm diferite moduri de a defini o funcție. Metoda analitică ar trebui considerată cea mai completă. Vă permite să creați un tabel de valori ale funcției pentru unele valori de argument, să construiți un grafic al funcției și să efectuați cercetările necesare ale funcției. În același timp, metoda tabelară vă permite să găsiți rapid și ușor valoarea funcției pentru unele valori de argument. Graficul unei funcții arată clar comportamentul acesteia. Prin urmare, nu ar trebui să se opună diferitelor metode de specificare a unei funcții; fiecare dintre ele are propriile sale avantaje și dezavantaje. În practică, sunt utilizate toate cele trei moduri de a specifica o funcție. Exemplul 9 Având în vedere funcția y = 2x2 - 3x +1. Să găsim: a) y (2); b) y (-3x); c) y(x + 1). Pentru a găsi valoarea unei funcții pentru o anumită valoare a argumentului, este necesar să se substituie această valoare a argumentului în forma analitică a funcției. Prin urmare obținem: Exemplul 10 Se știe că y(3 - x) = 2x2 - 4. Să aflăm: a) y(x); b) y(-2). a) Să o notăm prin literă z = 3, atunci x = 3 - z . Să substituim această valoare x în forma analitică a acestei funcții y(3 - x) = 2x2 - 4 și obținem: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z)2 - 4 sau y (z) = 2 (3 - z)2 - 4 sau y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4 sau y (z) = 2x2 - 12 z + 14. Deoarece nu contează ce literă este notat argumentul funcției - z, x, t sau oricare altul, obținem imediat: y(x) = 2x2 - 12x + 14; b) Acum este ușor să găsiți y(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46. Exemplul 11 Se știe că Să notăm prin literă z = x - 2, apoi x = z + 2 și notează starea problemei: sau Ne interesează necunoscutul A. Pentru a-l găsi, folosim metoda adunării algebrice. Prin urmare, să înmulțim prima ecuație cu numărul (-2), a doua ecuație cu numărul 3. Obținem: Să adăugăm aceste ecuații: În concluzie, observăm că până la sfârșitul clasei a 9-a au fost studiate următoarele proprietăți și grafice: a) funcţia liniară y = kx + m (graficul este o linie dreaptă); b) funcţia pătratică y = ax2 + b x + c (graf - parabolă); c) funcţie liniară fracţională(grafic - hiperbolă), în special funcții d) funcția de putere y = xa (în special, funcția e) funcţiile y = |x|. Pentru studiul suplimentar al materialului, vă recomandăm să repetați proprietățile și graficele acestor funcții. Următoarele lecții vor acoperi metodele de bază de conversie a graficelor. 1. Definiți o funcție numerică. 2. Explicați cum să definiți o funcție. 3. Ceea ce se numește unirea mulțimilor A și B? 4. Ce funcții se numesc numere întregi raționale? 5. Ce funcții se numesc rațional fracțional? Care este domeniul de definire a unor astfel de funcții? 6. Ceea ce se numește graficul unei funcții f(x)? 7. Dați proprietățile și graficele principalelor funcții. IV. Temă de lecție § 1, nr. 1 (a, d); 2 (c, d); 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 6 (c); 7 (a, b); 8 (c, d); 10 ( A ); 13 (c, d); 16 (a, b); 18. V. Tema pentru acasă § 1, nr. 1 (b, c); 2 (a, b); 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 6 (g); 7 (c, d); 8 (a, b); 10 (b); 13 (a, b); 16 (c, d); 19. VI. Sarcini creative 1. Găsiți funcția y = f(x), dacă: Raspunsuri: 2. Găsiți funcția y = f(x) dacă: Raspunsuri: VII. Rezumând lecțiile
Pentru a găsi y pentru fiecare valoare a lui x, trebuie să efectuați următoarele operații: scădeți numărul 2 (x - 2) din valoarea lui x, extrageți rădăcina pătrată a acestei expresiiși la final adăugați numărul 3Mulțimea acestor operații (sau legea conform căreia se caută valoarea y pentru fiecare valoare a lui x) se numește funcție y(x). De exemplu, pentru x = 6 găsimAstfel, pentru a calcula funcția y într-un punct dat x, este necesar să înlocuim această valoare x în funcția dată y(x).
Deoarece prin definiţia unei rădăcini aritmetice
apoi adăugăm numărul 3 la toate părțile acestei inegalități, obținem:
sau 3 ≤ y< +∞. Находим
definit pentru x - 2 ≠ 0, i.e. X ≠ 2. Prin urmare, domeniul de definire al acestei funcții este mulțimea tuturor numerelor reale care nu sunt egale cu 2, adică uniunea intervalelor (-∞; 2) și (2; ∞).
nu mai este o funcție. Într-adevăr, dacă dorim să calculăm valoarea lui y, de exemplu, pentru x = 1, atunci folosind formula superioară găsim: y = 2 1 - 3 = -1, iar folosind formula inferioară obținem: y = 12 + 1 = 2. Astfel, o valoare x(x = 1) corespund a două valori ale lui y (y = -1 și y = 2). Prin urmare, această dependență (prin definiție) nu este o funcție.
Din metoda de găsire a lui y este clar că orice valoare x corespunde unei singure valori y.
Punctul cu coordonate aparține graficului acestei funcții: a) (-2; -6); b) (-3; -10)?
Să găsim x(y).
La vom scrie aceeași condiție pentru argument (- z): 
Pentru comoditate, introducem noi variabile a = y (z) și b = y (- z ). Pentru astfel de variabile obținem un sistem de ecuații liniare
Unde 
Deoarece argumentul funcției poate fi notat cu orice literă, avem:
Se încarcă...
