Prelucrarea rezultatelor măsurătorilor cantităților fizice de fokin. Procedura de prelucrare a rezultatelor măsurătorilor directe. Calculul erorilor măsurătorilor directe

Pentru a reduce influența erorilor aleatoare, este necesar să se măsoare această valoare de mai multe ori. Să presupunem că măsurăm o cantitate x. În urma măsurătorilor, am obținut următoarele valori:

x1, x2, x3, ... xn. (2)

Această serie de valori x se numește eșantion. Având o astfel de probă, putem evalua rezultatul măsurării. Vom nota valoarea care va fi o astfel de estimare. Dar, deoarece această valoare de evaluare a măsurătorii nu va reprezenta valoarea adevărată a mărimii măsurate, este necesar să se estimeze eroarea acesteia. Să presupunem că putem determina eroarea estimată Dx. În acest caz, putem scrie rezultatul măsurării în formă

Deoarece valorile estimate ale rezultatului măsurării și ale erorii Dx nu sunt exacte, înregistrarea (3) a rezultatului măsurării trebuie să fie însoțită de o indicație a fiabilității acestuia P. Fiabilitatea sau probabilitatea de încredere este înțeleasă ca probabilitatea ca valoarea adevărată a valorii măsurate este cuprinsă în intervalul indicat de înregistrarea (3). Acest interval în sine se numește interval de încredere.

De exemplu, la măsurarea lungimii unui anumit segment, am scris rezultatul final în formă

l = (8,34 ± 0,02) mm, (P = 0,95)

Aceasta înseamnă că din 100 de șanse sunt 95 ca adevărata valoare a lungimii segmentului să fie în intervalul de la 8,32 la 8,36 mm.

Astfel, sarcina este de a găsi, în eșantionul dat (2), o estimare a rezultatului măsurării, eroarea acestuia Dx și fiabilitatea P.

Această problemă poate fi rezolvată folosind teoria probabilității și statistica matematică.

În cele mai multe cazuri, erorile aleatoare respectă legea distribuției normale stabilită de Gauss. Legea distribuției normale a erorilor este exprimată prin formula

unde Dx este abaterea de la valoarea adevărată;

y este adevărata eroare pătratică medie;

y 2 este dispersia, a cărei valoare caracterizează răspândirea variabilelor aleatoare.

După cum se poate observa din (4), funcția are o valoare maximă la x = 0, în plus, este pară.

Figura 16 prezintă un grafic al acestei funcții. Semnificația funcției (4) este că aria figurii cuprinsă între curbă, axa Dx și două ordonate din punctele Dx1 și Dx2 (zona umbrită în Fig. 16) este numeric egală cu probabilitatea cu care orice citirea se încadrează în intervalul (Dx1, Dx2 ) .

Deoarece curba este distribuită simetric în jurul ordonatei, se poate argumenta că erorile de mărime egală, dar semn opus sunt la fel de probabile. Și acest lucru face posibilă luarea valorii medii a tuturor elementelor eșantionului ca evaluare a rezultatelor măsurătorilor (2)

unde n este numărul de măsurători.

Deci, dacă n măsurători sunt efectuate în aceleași condiții, atunci cea mai probabilă valoare a valorii măsurate va fi valoarea medie (aritmetică). Mărimea tinde către valoarea adevărată m a mărimii măsurate când n > ?.

Eroarea pătratică medie a unui rezultat individual de măsurare se numește cantitate (6)

Caracterizează eroarea fiecărei măsurători individuale. Când n > ? S tinde spre o limită constantă y

Pe măsură ce y crește, răspândirea citirilor crește, adică precizia măsurării devine mai mică.

Eroarea medie pătratică a mediei aritmetice este valoarea (8)

Aceasta este legea fundamentală a creșterii preciziei pe măsură ce crește numărul de măsurători.

Eroarea caracterizează acuratețea cu care se obține valoarea medie a valorii măsurate Rezultatul se scrie sub forma:

Această metodă de calcul a erorilor dă rezultate bune (cu o fiabilitate de 0,68) doar în cazul în care aceeași valoare a fost măsurată de cel puțin 30 - 50 de ori.

În 1908, Student a arătat că abordarea statistică este valabilă chiar și cu un număr mic de măsurători. Distribuția studentului pentru numărul de măsurători n > ? se transformă într-o distribuție Gaussiană, iar când numărul este mic, acesta diferă de acesta.

Pentru a calcula eroarea absolută cu un număr mic de măsurători, se introduce un coeficient special, în funcție de fiabilitatea P și de numărul de măsurători n, numit coeficient

t. studentului.

Omitând justificarea teoretică a introducerii ei, observăm că

Dx = t. (10)

unde Dx este eroarea absolută pentru o probabilitate de încredere dată;

eroarea pătratică medie a mediei aritmetice.

Coeficienții elevului sunt prezentați în tabel.

Din cele spuse rezultă:

Valoarea erorii pătratice medii face posibilă calcularea probabilității ca valoarea adevărată a valorii măsurate să se încadreze în orice interval în apropierea mediei aritmetice.

Când n > ? > 0, adică intervalul în care se află valoarea adevărată a lui m cu o probabilitate dată tinde spre zero pe măsură ce numărul măsurătorilor crește. S-ar părea că prin creșterea lui n, se poate obține rezultatul cu orice grad de precizie. Cu toate acestea, acuratețea crește semnificativ doar până când eroarea aleatorie devine comparabilă cu cea sistematică. O creștere suplimentară a numărului de măsurători este nepractică, deoarece acuratețea finală a rezultatului va depinde doar de eroarea sistematică. Cunoscând amploarea erorii sistematice, nu este dificil să setați valoarea admisibilă a erorii aleatoare, luând-o, de exemplu, egală cu 10% din cea sistematică. Prin stabilirea unei anumite valori P pentru intervalul de încredere ales în acest fel (de exemplu, P = 0,95), nu este dificil să se găsească numărul necesar de măsurători care să garanteze o influență mică a erorii aleatorii asupra acurateței rezultatului.

Pentru a face acest lucru, este mai convenabil să folosiți tabelul coeficienților Student, în care intervalele sunt specificate în fracțiuni din valoarea y, care este o măsură a preciziei unui experiment dat în raport cu erorile aleatoare.

La procesarea rezultatelor măsurătorilor directe, se propune următoarea ordine a operațiilor:

Înregistrați rezultatul fiecărei măsurători în tabel.

Calculați media n măsurători

Găsiți eroarea unei măsurători individuale

Calculați erorile pătrate ale măsurătorilor individuale

(Dx 1)2, (Dx 2)2, ... , (Dx n)2.

Determinați eroarea pătratică medie a mediei aritmetice

Setați valoarea fiabilității (de obicei P = 0,95).

Determinați coeficientul Student t pentru o fiabilitate dată P și numărul de măsurători efectuate n.

Găsiți intervalul de încredere (eroarea de măsurare)

Dacă mărimea erorii în rezultatul măsurării Dx se dovedește a fi comparabilă cu mărimea erorii instrumentului d, atunci luați ca limită a intervalului de încredere

Dacă una dintre erori este de trei sau mai multe ori mai mică decât cealaltă, atunci aruncați-o pe cea mai mică.

Scrieți rezultatul final în formular

Erorile aleatoare au următoarele proprietăți.

Cu un număr mare de măsurători, erori de mărime egală, dar semn opus apar la fel de des.

Erorile mari sunt mai puțin probabil să apară decât cele mici. Din relații (1), rescriindu-le în forma

X = x 1 + x 1

X = x 2 + x 2

X = x n + x n

și adăugând într-o coloană, puteți determina valoarea adevărată a valorii măsurate după cum urmează:

sau
.

(2)

acestea. valoarea adevărată a mărimii măsurate este egală cu media aritmetică a rezultatelor măsurătorii dacă există infinit de multe dintre ele. Cu un număr limitat, și cu atât mai mult cu un număr mic de măsurători, cu care ne ocupăm de obicei în practică, egalitatea (2) este aproximativă.

Fie ca urmare a mai multor măsurători să se obțină următoarele valori ale mărimii măsurate X: 13,4; 13,2; 13,3; 13,4; 13,3; 13,2; 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13.1. Să construim o diagramă de distribuție a acestor rezultate, graficând citirile instrumentului pe axa absciselor în ordine crescătoare. Distanțele dintre punctele adiacente de-a lungul axei absciselor sunt egale cu de două ori eroarea maximă de citire a instrumentului. În cazul nostru, numărarea se face până la 0,1. Aceasta este egală cu o diviziune a scării marcată pe axa absciselor. Pe axa ordonatelor trasăm valorile proporțional cu numărul relativ de rezultate corespunzător citirii unui anumit instrument. Numărul relativ, sau frecvența relativă a rezultatelor egală cu x k, va fi notat cu W(x k). În cazul nostru

Atribuim fiecare x k

(3)

unde A este coeficientul de proporționalitate.

Diagrama, care se numește histogramă, diferă de un grafic obișnuit prin faptul că punctele nu sunt conectate printr-o linie curbă netedă, ci pași sunt trasați prin ele. Evident, aria pasului deasupra unei anumite valori a lui xk este proporțională cu frecvența relativă de apariție a acestui rezultat. Alegând corespunzător coeficientul de proporționalitate din expresia (3), această zonă poate fi egalată cu frecvența relativă de apariție a rezultatului x k. Apoi suma ariilor tuturor treptelor, ca suma frecvențelor relative ale tuturor rezultatelor , ar trebui să fie egal cu unitatea

De aici găsim A=10. Condiția (4) se numește condiția de normalizare pentru funcția (3).

Dacă faceți o serie de măsurători cu n măsurători în fiecare serie, atunci pentru un n mic, frecvențele relative de aceeași valoare x k găsite din serii diferite pot diferi semnificativ unele de altele. Pe măsură ce numărul de măsurători într-o serie crește, fluctuațiile valorilor lui W(x k) scad și aceste valori se apropie de un anumit număr constant, care se numește probabilitatea rezultatului x k și se notează P(x k).

Să presupunem că atunci când efectuăm un experiment, nu numărăm rezultatul la diviziuni întregi ale scalei sau fracțiile acestora, dar putem fixa punctul în care s-a oprit săgeata. Apoi, cu un număr nelimitat de măsurători, săgeata va vizita fiecare punct de pe scară. Distribuția rezultatelor măsurătorilor în acest caz devine continuă și, în loc de histogramă în trepte, este descrisă printr-o curbă continuă y=f(x). Pe baza proprietăților erorilor aleatoare, putem concluziona că curba trebuie să fie simetrică și, prin urmare, maximul ei cade pe valoarea medie aritmetică a rezultatelor măsurătorii, egală cu valoarea adevărată a valorii măsurate. În cazul unei distribuții continue a rezultatelor măsurătorilor, nu există

Nu are sens să vorbim despre probabilitatea vreuneia dintre valorile lor, pentru că există valori care sunt arbitrar apropiate de cea luată în considerare. Acum ar trebui să ne punem întrebarea despre probabilitatea de a întâlni un rezultat la măsurători într-un anumit interval în jurul valorii xk, egală cu
,
. La fel cum pe o histogramă frecvența relativă a rezultatului x k a fost egală cu aria pasului construit deasupra acestui rezultat, pe graficul pentru o distribuție continuă probabilitatea de a găsi un rezultat în interval (
,
), este egală cu aria trapezului curbat construit pe acest interval și mărginit de curba f(x). Notația matematică pentru acest rezultat este

Dacă
putin, adica aria trapezului curbat umbrit este înlocuită aproximativ cu aria unui dreptunghi cu aceeași bază și înălțime egală cu f(x k). Funcția f(x) se numește densitatea de probabilitate a distribuției rezultatelor măsurătorilor. Probabilitatea de a găsi x pe un anumit interval este egală cu densitatea de probabilitate pentru un interval dat înmulțită cu lungimea acestuia.

Curba de distribuție a rezultatelor măsurătorilor, obținută experimental pentru o anumită secțiune a scalei instrumentului, dacă se continuă, apropiindu-se asimptotic de abscisă din stânga și din dreapta, este bine descrisă analitic printr-o funcție a formei

(5)

Așa cum aria totală a tuturor pașilor de pe histogramă a fost egală cu unu, întreaga zonă dintre curba f(x) și axa x, care are semnificația probabilității de a întâlni cel puțin o valoare x în timpul măsurătorilor , este de asemenea egal cu unu. Distribuția descrisă de această funcție se numește distribuție normală. Parametrul principal al distribuției normale este varianța 2. O valoare aproximativă a dispersiei poate fi găsită din rezultatele măsurătorii folosind formula

(6)

Această formulă oferă o valoare de dispersie apropiată de valoarea reală numai pentru un număr mare de măsurători. De exemplu, σ 2 găsită din rezultatele a 100 de măsurători poate avea o abatere de la valoarea reală de 15%, găsită din 10 măsurători este deja de 40%. Varianta determină forma curbei de distribuție normală. Când erorile aleatoare sunt mici, dispersia, după cum rezultă din (6), este mică. Curba f(x) în acest caz este mai îngustă și mai clară în apropierea valorii adevărate a lui X și tinde la zero mai repede atunci când se îndepărtează de ea decât în ​​cazul erorilor mari. Figura următoare arată cum se modifică forma curbei f(x) pentru o distribuție normală în funcție de σ.

În teoria probabilității, se dovedește că dacă luăm în considerare nu distribuția rezultatelor măsurătorilor, ci distribuția valorilor medii aritmetice găsite dintr-o serie de n măsurători din fiecare serie, atunci se supune și legii normale, dar cu o dispersie. de n ori mai mic.

Probabilitatea de a găsi un rezultat de măsurare într-un anumit interval (
) lângă valoarea adevărată a valorii măsurate este egală cu aria trapezului curbiliniu construit pe acest interval și mărginit deasupra de curba f(x). Dimensiunea intervalului
Se obișnuiește să se măsoare în unități proporționale cu rădăcina pătrată a varianței
În funcţie de valoarea lui k pe interval
există un trapez curbat de suprafață mai mare sau mai mică, adică

unde F(k) este o funcție a lui k. Calculele arată că atunci când

k=1,

k=2,

k=3,

Din aceasta se vede clar că pe interval
reprezintă aproximativ 95% din aria de sub curba f(x). Acest fapt este în deplină concordanță cu a doua proprietate a erorilor aleatorii, care afirmă că erorile mari sunt puțin probabile. Erori care depășesc magnitudinea
, apare cu o probabilitate mai mică de 5%. Rescrisă pentru distribuția valorii medii aritmetice a n măsurători, expresia (7) ia forma

(8)

Magnitudinea în (7) și (8) pot fi determinate pe baza rezultatelor măsurătorilor numai aproximativ conform formulei (6)

Înlocuind această valoare în expresia (8), ajungem la dreapta nu F(k), ci un fel optiune noua, în funcție nu numai de mărimea intervalului considerat de valori X, ci și de numărul de măsurători efectuate
în plus

deoarece Numai cu un număr foarte mare de măsurători formula (6) devine suficient de precisă.

După ce am rezolvat sistemul a două inegalități din paranteze din partea stângă a acestei expresii privind adevărata valoare a lui X, îl putem rescrie sub forma

Expresia (9) determină probabilitatea cu care valoarea adevărată a lui X se află într-un anumit interval de lungime despre valoare . În teoria erorilor, această probabilitate se numește fiabilitate, iar intervalul corespunzător pentru valoarea adevărată se numește interval de încredere. Funcţie
calculat în funcție de t n și n și a fost întocmit un tabel detaliat pentru acesta. Tabelul are 2 intrări: pot n și pon. Cu ajutorul lui, pentru un număr dat de măsurători n, se poate găsi, având în vedere o anumită valoare de fiabilitate P, valoarea lui t n, numită coeficient Student.

Analiza tabelului arată că pentru un anumit număr de măsurători cu cerința creșterii fiabilității, obținem valori crescătoare ale t n, adică. mărirea intervalului de încredere. O fiabilitate egală cu unu ar corespunde unui interval de încredere egal cu infinitul. Setând o anumită fiabilitate, putem îngusta intervalul de încredere pentru valoarea adevărată prin creșterea numărului de măsurători, deoarece S n se modifică nesemnificativ și scade atât din cauza scăderii numărătorului cât și a creșterii numitorului. După ce ați efectuat un număr suficient de experimente, puteți face un interval de încredere de orice valoare mică. Dar când n este mare, o creștere suplimentară a numărului de experimente reduce foarte lent intervalul de încredere, iar cantitatea de lucru de calcul crește semnificativ. Uneori, în munca practică, este convenabil să folosiți o regulă aproximativă: pentru a reduce de mai multe ori intervalul de încredere găsit dintr-un număr mic de măsurători, trebuie să creșteți numărul de măsurători cu aceeași cantitate.

EXEMPLU DE PRELUCRARE REZULTATE ALE MĂSURĂTORILOR DIRECTE

Să luăm ca date experimentale primele trei rezultate din 12, pe baza cărora a fost construită histograma X: 13,4; 13,2; 13.3.

Să setăm fiabilitatea, care este de obicei acceptată într-un laborator de instruire, P = 95%. Din tabelul pentru P = 0,95 și n = 3 găsim t n = 4,3.

sau

cu o fiabilitate de 95%. Ultimul rezultat este de obicei scris ca egalitate

Dacă intervalul de încredere al unei astfel de valori nu este adecvat (de exemplu, în cazul în care eroarea instrumentală este 0,1) și dorim să o reducem la jumătate, numărul de măsurători ar trebui dublat.

Dacă luăm, de exemplu, ultimele 6 valori din aceleași 12 rezultate (pentru primele șase se sugerează să faceți singur calculul)

X: 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13.1,

Acea

Valoarea coeficientului t n se găsește din tabel pentru P = 0,95 și n = 6; tn = 2,6.

În acest caz
Să descriem pe axa numerică intervalul de încredere pentru valoarea adevărată în primul și al doilea caz.

Intervalul calculat din 6 dimensiuni se află, așa cum era de așteptat, în interiorul intervalului găsit din trei dimensiuni.

Eroarea instrumentului introduce o eroare sistematică în rezultate, care extinde intervalele de încredere afișate pe axă cu 0,1. Prin urmare, rezultatele înregistrate ținând cont de eroarea instrumentală au forma

1)
2)

Procedura de prelucrare a rezultatelor măsurătorilor directe

1. Înainte de procesarea rezultatelor măsurătorilor, este extrem de important să setați nivelul de încredere α (de obicei 0,9 sau 0,95).

2. Analizați tabelul de înregistrare a rezultatelor și identificați posibilele erori. Rezultatele care conțin greșeli trebuie eliminate.

3. Calculați media aritmetică a unei serii de măsurători:

Unde n- numărul de măsurători, A i- rezultat i a-a dimensiune.

4. Găsiți erorile măsurătorilor individuale:

Δ A i = A i – ‹A›. (2)

5. Calculați eroarea pătratică medie a rezultatului mediei aritmetice a unei serii de măsurători:

(3)

6. Evaluați contribuția erorilor aleatoare la jumătatea lățimii intervalului de încredere:

Δ A c = t(n,α) S(A), (4)

Unde t(n,α) – Coeficientul Student (Tabelul 1).

Tabelul 1 - Coeficientul elevului la sensuri diferite probabilitatea de încredere α și un număr diferit de experimente n

7. Determinați eroarea instrumentului Δ A pr (eroarea absolută a dispozitivului este indicată în pașaportul dispozitivului sau este calculată pe baza clasei de precizie a dispozitivului).

8. Aflați jumătatea lățimii intervalului de încredere (eroarea absolută) a valorii măsurate folosind formula aproximativă:

(5)

(Formule mai precise pentru procesarea rezultatelor măsurătorilor directe sunt date, de exemplu, în).

9. Notați rezultatul măsurării sub forma unui interval de încredere:

A=(± Δ A) unitate, α = … (6)

Instrumentele de măsurare digitale dau valoarea cantităților pe care le măsoară cu o eroare, egal cu valoarea o unitate a ultimei cifre de pe scara instrumentului. Deci, dacă un voltmetru digital arată o valoare de 20,45 mV, atunci eroarea absolută de măsurare este egală cu mV.

Erorile sistematice apar și atunci când se utilizează valori constante determinate din tabele. În astfel de cazuri, se presupune că eroarea este egală cu jumătate din ultima cifră semnificativă. De exemplu, dacă în tabel valoarea densității oțelului este dată ca 7,9∙103 kg/m3, atunci eroarea absolută în acest caz este egală cu https://pandia.ru/text/77/496/images/image009_52. gif" width= "123" height="24 src=">se folosește formula

, (1)

unde https://pandia.ru/text/77/496/images/image012_40.gif" width="16" height="24">, sunt derivate parțiale ale funcției față de variabila https://pandia. ru/text/77 /496/images/image014_34.gif" width="65 height=44" height="44">.

Derivate parțiale față de variabile dȘi h va fi egal

https://pandia.ru/text/77/496/images/image017_27.gif" width="71" height="44 src=">.

Astfel, formula pentru determinarea erorii sistematice absolute la măsurarea volumului unui cilindru în conformitate cu are următoarea formă

,

unde și sunt erori de instrument la măsurarea diametrului și înălțimii cilindrului

3. Estimarea erorii aleatoare.

Intervalul de încredere și probabilitatea de încredere

https://pandia.ru/text/77/496/images/image016_30.gif" width="12 height=23" height="23">.gif" width="45" height="21 src="> - funcţie de distribuţie a erorilor aleatoare (erori), care caracterizează probabilitatea unei erori, σ – eroare pătratică medie.

Mărimea σ nu este o variabilă aleatoare și caracterizează procesul de măsurare. Dacă condițiile de măsurare nu se modifică, atunci σ rămâne o valoare constantă. Pătratul acestei mărimi se numește dispersie de măsurare. Cu cât dispersia este mai mică, cu atât răspândirea valorilor individuale este mai mică și precizia măsurării este mai mare.

Valoarea exactă a erorii pătratice medii σ, precum și valoarea adevărată a valorii măsurate, sunt necunoscute. Există o așa-numită estimare statistică a acestui parametru, conform căreia eroarea pătratică medie este egală cu eroarea pătratică medie a mediei aritmetice. A cărui valoare este determinată de formulă

, (3)

unde https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17"> este media aritmetică a valorilor obținute; n– numărul de măsurători.

Cu cât este mai mare numărul de măsurători, cu atât este mai mică https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15" height="17 src="> și eroarea absolută aleatorie, cu atât rezultatul măsurării va fi înregistrat în formularul https://pandia.ru/text/77/496/images/image029_11.gif" width="45" height="19"> la , care conține valoarea reală a cantității măsurate μ, se numește interval de încredere. Deoarece https://pandia.ru/text/77/496/images/image025_16.gif" width="19 height=24" height="24"> este aproape de σ. Pentru a găsi intervalul de încredere și probabilitatea de încredere cu o este utilizat un număr mic de măsurători, cu care ne ocupăm în timpul lucrului de laborator Distribuția probabilității elevilor. Aceasta este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare numite Coeficientul elevului, dă valoarea intervalului de încredere în fracții din eroarea pătratică medie a mediei aritmetice.

Distribuția de probabilitate a acestei mărimi nu depinde de σ2, ci depinde semnificativ de numărul de experimente n. Odată cu creșterea numărului de experimente n distribuția Student tinde spre distribuția Gauss.

Funcția de distribuție este tabelată (Tabelul 1). Valoarea coeficientului Student se află la intersecția dreptei corespunzătoare numărului de măsurători n, iar coloana corespunzătoare probabilității de încredere α

Tabelul 1.

Folosind datele din tabel, puteți:

1) determinați intervalul de încredere, având în vedere o anumită probabilitate;

2) selectați un interval de încredere și determinați probabilitatea de încredere.

Pentru măsurători indirecte, eroarea pătratică medie a valorii medii aritmetice a funcției calculate prin formula

. (5)

Intervalul de încredere și probabilitatea de încredere sunt determinate în același mod ca și în cazul măsurătorilor directe.

Estimarea erorii totale de măsurare. Înregistrați rezultatul final.

Eroarea totală a rezultatului măsurării valorii X va fi determinată ca rădăcină medie pătrată a erorilor sistematice și aleatorii

, (6)

Unde δх – eroare instrument, Δ X- eroare aleatorie.

X poate fi o mărime măsurată direct sau indirect.

, α=…, E=… (7)

Trebuie avut în vedere faptul că formulele teoriei erorii în sine sunt valabile pentru un număr mare de măsurători. Prin urmare, valoarea aleatoriei și, prin urmare, eroarea totală, este determinată la mic n cu o mare greseala. La calcularea Δ X cu numărul de măsurători, se recomandă limitarea unei cifre semnificative dacă este mai mare de 3 și a două dacă prima cifră semnificativă este mai mică de 3. De exemplu, dacă Δ X= 0,042, apoi aruncăm 2 și scriem Δ X=0,04, iar dacă Δ X=0,123, atunci scriem Δ X=0,12.

Numărul de cifre al rezultatului și eroarea totală trebuie să fie aceleași. Prin urmare, media aritmetică a erorii ar trebui să fie aceeași. Prin urmare, media aritmetică este mai întâi calculată cu o cifră mai mult decât măsurarea, iar la înregistrarea rezultatului, valoarea acesteia este rafinată la numărul de cifre ale erorii totale.

4. Metodologia de calcul a erorilor de măsurare.

Erori de măsurători directe

La prelucrarea rezultatelor măsurătorilor directe, se recomandă adoptarea următoarei ordini de operații.

Se efectuează măsurători ale unui parametru fizic dat n ori in aceleasi conditii, iar rezultatele sunt înregistrate într-un tabel. Dacă rezultatele unor măsurători diferă semnificativ ca valoare față de alte măsurători, atunci acestea sunt eliminate ca erori dacă nu sunt confirmate după verificare. Se calculează media aritmetică a n măsurători identice. Este luată ca valoare cea mai probabilă a mărimii măsurate

Se găsesc erorile absolute ale măsurătorilor individuale Se calculează pătratele erorilor absolute ale măsurătorilor individuale (Δ X i)2 Să se determine eroarea pătratică medie a mediei aritmetice

.

Se stabilește valoarea probabilității de încredere α. În laboratoarele de atelier se obișnuiește să se stabilească α=0,95. Se găsește coeficientul Student pentru o probabilitate de încredere dată α și numărul de măsurători efectuate (vezi tabel).Eroarea aleatorie este determinată

Eroarea totală este determinată

Se estimează eroarea relativă a rezultatului măsurării

.

Rezultatul final se scrie sub formă

C α=… E=…%.

5. Eroarea măsurătorilor indirecte

Când se evaluează valoarea adevărată a unei valori măsurate indirect https://pandia.ru/text/77/496/images/image045_6.gif" width="75" height="24">, pot fi utilizate două metode.

Prima cale folosit dacă valoarea y determinate în diferite condiţii experimentale. În acest caz, pentru fiecare dintre valori se calculează , iar apoi se determină media aritmetică a tuturor valorilor yi

Eroarea sistematică (instrumentală) este găsită pe baza erorilor instrumentale cunoscute ale tuturor măsurătorilor folosind formula. Eroarea aleatorie în acest caz este definită ca eroarea de măsurare directă.

A doua cale se aplică dacă această funcție y determinată de mai multe ori cu aceleași măsurători..gif" width="75" height="24">. În practica noastră de laborator, a doua metodă de determinare a unei mărimi măsurate indirect este mai des folosită y. Eroarea sistematică (instrumentală), ca și în prima metodă, se găsește pe baza erorilor instrumentale cunoscute ale tuturor măsurătorilor folosind formula

. (10)

Pentru a găsi eroarea aleatorie a unei măsurători indirecte, se calculează mai întâi erorile pătratice medii ale mediei aritmetice a măsurătorilor individuale. Apoi se găsește eroarea pătratică medie a valorii y. Stabilirea probabilității de încredere α, găsirea coeficientului Student https://pandia.ru/text/77/496/images/image048_2.gif" width="83" height="23">, cu α=… E=…% .

6. Exemplu de proiectare a lucrărilor de laborator

Lucrare de laborator nr 1

DETERMINAREA VOLUMULUI CILINDRU

Accesorii: etrier cu o valoare a diviziunii de 0,05 mm, un micrometru cu o valoare a diviziunii de 0,01 mm, un corp cilindric.

Scopul lucrării: familiarizarea cu cele mai simple măsurători fizice, determinarea volumului unui cilindru, calculul erorilor în măsurători directe și indirecte.

Măsurați diametrul cilindrului de cel puțin 5 ori cu un șubler și înălțimea acestuia cu un micrometru.

Formula de calcul pentru calcularea volumului unui cilindru

unde d este diametrul cilindrului; h – înălțime.

Rezultatele măsurătorilor

Masa 2.

1. Scopul lucrării: studiul metodelor de măsurare mărimi fizice, tehnici practice de prelucrare și analiză a rezultatelor măsurătorilor. Studiul vernierilor.

2. Scurtă teorie

Metode de măsurare a mărimilor fizice. Erori de măsurare

Măsurarea în sensul larg al cuvântului este o operație prin care se stabilește o relație numerică între mărimea care se măsoară și o măsură preselectată. Vom lua în considerare măsurarea mărimilor fizice.

O mărime fizică este o proprietate care este comună calitativ multor obiecte (sisteme fizice, stările și procesele lor care au loc în ele), dar cantitativ este individuală pentru fiecare obiect fizic.

A măsura o mărime fizică înseamnă a o compara cu o altă mărime, omogenă, luată ca unitate de măsură.

Pentru măsurarea mărimilor fizice se folosesc diverse mijloace tehnice, special concepute în acest scop și având proprietăți metrologice standardizate.

Să explicăm câteva dintre instrumentele de măsură indicate.

O măsură este un instrument de măsurare sub forma unui corp sau dispozitiv conceput pentru a reproduce cantități de una sau mai multe dimensiuni, ale căror valori sunt cunoscute cu precizia necesară măsurătorilor. Un exemplu de măsură este o greutate, un balon de măsurare sau o riglă de cântar.

Spre deosebire de o măsură, un dispozitiv de măsurare nu reproduce o valoare cunoscută a unei mărimi. Acesta convertește mărimea măsurată într-o indicație sau semnal proporțional cu mărimea măsurată într-o formă care poate fi reprodusă direct. Un exemplu de instrument de măsurare este un ampermetru, voltmetru, termocuplu etc.

Măsurătorile mărimilor fizice pot diferi unele de altele prin caracteristici tehnice sau metodologice. Din punct de vedere metodologic, măsurătorile mărimilor fizice se pretează la o anumită sistematizare. Ele pot fi, de exemplu, împărțite în directe și indirecte.

Dacă mărimea măsurată este comparată direct cu unitatea de măsură corespunzătoare sau determinată prin citirea citirilor unui dispozitiv de măsurare, calibrat în unitățile corespunzătoare, atunci o astfel de măsurare se numește directă. De exemplu, măsurarea grosimii unui fir cu un micrometru, a duratei de timp cu un cronometru și a intensității curentului cu un ampermetru sunt directe.

Majoritatea mărimilor fizice sunt măsurate indirect. Măsurarea indirectă este o măsurătoare în care mărimea fizică dorită nu este măsurată direct, ci este calculată din rezultatele măsurătorilor directe ale unor mărimi auxiliare asociate cu mărimea dorită printr-o anumită relație funcțională.

Orice măsurători ale mărimilor fizice produc rezultate care conțin inevitabil erori (erori). Aceste erori sunt cauzate de o mare varietate de motive (imperfecțiunea măsurilor și a instrumentelor de măsurare, imperfecțiunea sentimentelor noastre). Rezultatele măsurătorilor sunt deci doar aproximative, mai mult sau mai puțin apropiate de valorile adevărate ale mărimilor măsurate.

Diferența dintre valoarea reală a mărimii măsurate X iar ceea ce este măsurat efectiv se numește eroare absolută adevărată sau eroare de măsurare:

Eroarea relativă este o cantitate abstractă, este exprimată în fracții de unitate sau ca procent și, prin urmare, vă permite să comparați precizia măsurătorilor efectuate independent una de cealaltă (de exemplu, precizia măsurării diametrului și înălțimii unui cilindru) .

Deoarece nicio măsurătoare nu poate da adevărata valoare a mărimii măsurate, sarcina măsurării oricărei mărimi fizice este de a găsi cea mai probabilă valoare aproximativă a acestei mărimi, precum și de a determina și evalua eroarea permisă.

Erorile (erorile) care apar la măsurarea mărimilor fizice sunt împărțite în trei grupe: brute, sistematice, aleatorii. Erorile mari (ratele) sunt erori care distorsionează în mod clar rezultatele măsurătorilor. Cauzele erorilor grave pot fi defecțiuni ale configurației experimentale sau ale instrumentului de măsurare. Dar cel mai adesea aceasta este o consecință a greșelilor experimentatorului însuși: determinarea incorectă a valorii diviziunii instrumentului de măsurare, numărarea incorectă a diviziunilor pe scara instrumentului, înregistrarea eronată a rezultatelor măsurătorilor directe etc. în urma prezentării, vom presupune că măsurătorile nu conțin erori grosolane.

Erorile sistematice sunt cauzate de acțiunea unor factori care sunt constante ca mărime și direcție. De exemplu, inexactitatea în fabricarea măsurilor, gradarea incorectă a cântarilor sau instalarea incorectă a instrumentelor de măsurare, precum și influența constantă și unilaterală asupra valorii măsurate sau instalarea de măsurare a oricărui factor extern.

La repetarea măsurătorilor unei mărimi date în aceleași condiții, eroarea sistematică se repetă de fiecare dată, având aceeași mărime și semn, sau se modifică conform unei anumite legi. Cu o analiză atentă a principiului de funcționare a instrumentelor utilizate, a tehnicii de măsurare și a condițiilor de mediu, erorile sistematice pot fi fie eliminate în procesul de măsurare propriu-zis, fie luate în considerare în rezultatul final al măsurării prin efectuarea unei corecții adecvate.

Erorile aleatorii sunt cauzate de acțiunea unui număr mare de factori foarte diverși, de obicei variabili, care în cea mai mare parte nu pot fi luați în considerare și controlați și se manifestă diferit în fiecare măsurătoare individuală. Datorită dezordinei acțiunii combinate a acestor factori, este imposibil să se prevadă apariția unei erori aleatorii și să prezică amploarea și semnul acesteia. O eroare de acest fel se numește aleatorie deoarece apariția ei este o chestiune de întâmplare, apariția ei nu rezultă din condițiile experimentale date. Ea poate să existe sau să nu existe.

Erorile aleatorii se manifestă prin faptul că, în condiții experimentale neschimbate și cu erorile sistematice complet excluse, rezultatele măsurătorilor repetate ale aceleiași cantități se dovedesc a fi ușor diferite unele de altele. Erorile aleatorii, din motivele menționate mai sus, nu pot fi excluse din rezultatele măsurătorilor, cum ar fi erorile sistematice.

3 legea distribuirii erorilor aleatorii

Este imposibil să evitați sau să eliminați complet erorile aleatorii, deoarece factorii care le cauzează nu pot fi luați în considerare și sunt de natură aleatorie. Se pune întrebarea: cum se reduce influența erorilor aleatorii asupra rezultatului final al măsurării și cum se evaluează acuratețea și fiabilitatea acestuia din urmă? Răspunsul la această întrebare este oferit de teoria probabilității. Teoria probabilității este o știință matematică care elucidează tiparele evenimentelor (fenomenelor) aleatorii care se manifestă sub influența unui număr mare de factori aleatori.

Erorile de măsurare aleatoare aparțin grupului de mărimi continue. Mărimile continue sunt caracterizate de un număr infinit de valori posibile. Probabilitatea oricărei valori a unei variabile aleatoare continue este infinitezimală. Prin urmare, pentru a identifica distribuția probabilității pentru o variabilă aleatoare continuă, de exemplu, cantitatea, luăm în considerare un număr de intervale de valori ale acestei mărimi și numărăm frecvențele de apariție a valorilor cantității în fiecare. interval. Un tabel care arată intervalele în ordinea distribuției lor de-a lungul axei x și frecvențele corespunzătoare se numește serie statistică (Tabelul 1).

tabelul 1

O serie statistică este reprezentată grafic sub forma unei curbe în trepte, care se numește histogramă. Când se construiește o histogramă, intervalele de valori posibile ale unei variabile aleatoare sunt reprezentate de-a lungul axei absciselor, iar frecvențele sau numărul de cazuri când valoarea unei variabile aleatoare se încadrează într-un interval dat sunt reprezentate de-a lungul axei ordonatelor. Pentru cele mai multe dintre erorile aleatoare care ne interesează, histograma are forma prezentată în Fig. 1. În această figură, înălțimea și, prin urmare, aria dreptunghiului pentru fiecare interval de eroare, este proporțională cu numărul de experimente în care a fost observată această eroare.

Odată cu creșterea numărului de experimente (măsurători) și scăderea intervalului de diviziune a axei absciselor, histograma își pierde caracterul treptat și tinde (tranziții) către o curbă netedă (Fig. 2). O astfel de curbă se numește curba densității distribuției pentru o variabilă aleatoare dată, iar ecuația care descrie această curbă se numește legea de distribuție a variabilei aleatoare.

O variabilă aleatoare este considerată a fi complet determinată dacă legea distribuției sale este cunoscută. Această lege poate fi prezentată (precizată) în formă integrală sau diferențială. Legea distribuției integrale a unei variabile aleatoare se notează printr-un simbol și se numește funcție de distribuție. Funcția derivată a se numește densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare X sau legea distribuției diferențiale:

.

Când se rezolvă multe probleme practice, nu este nevoie să se caracterizeze o variabilă aleatoare într-un mod exhaustiv. Este suficient să indicați doar câteva dintre caracteristicile sale numerice, de exemplu, așteptarea sa matematică (puteți scrie) și dispersia (puteți scrie).

Pentru o variabilă aleatoare continuă X cu densitate de probabilitate, așteptarea matematică este calculată folosind formula

. (3)

Pentru o variabilă aleatoare continuă X dispersia este determinată de formula:

. (4)

Rădăcina pătrată pozitivă a varianței este notată prin simbol și se numește abatere standard (abreviată ca s.d.o.):

. (5)

Pentru un număr finit de experimente, media aritmetică a valorilor observate (măsurate) este luată ca estimare , adică și și - așteptarea matematică și abaterea standard - parametrii distribuției normale, a căror semnificație fizică și metoda de calcul au fost explicate mai sus.

Când luăm în considerare proprietățile și caracteristicile distribuției erorilor aleatoare, ne vom limita doar la legea normală, deoarece erorile de măsurare aleatoare sunt cel mai adesea distribuite normal (conform legii lui Gauss). Inseamna:

1) eroarea de măsurare aleatorie poate lua orice valoare în interval

2) erorile aleatorii, egale în valoare absolută, dar opuse în semn, sunt la fel de probabile, adică apar la fel de des;

3) cu cât valoarea absolută a erorilor aleatoare este mai mare, cu atât acestea sunt mai puțin probabile, adică apar mai puțin frecvent.