Cum să găsiți baza unui sistem dat de vectori. Dependență liniară. Baza unui sistem de vectori Este o bază

O combinație liniară de vectori este un vector
, unde λ 1, ..., λ m sunt coeficienți arbitrari.

Sistem vectorial
se numește dependent liniar dacă există o combinație liniară a acesteia egală cu , care are cel puțin un coeficient diferit de zero.

Sistem vectorial
se numește liniar independent dacă în oricare dintre combinațiile sale liniare egal cu , toți coeficienții sunt zero.

Baza sistemului vectorial
este numit subsistemul său nevid liniar independent, prin care poate fi exprimat orice vector al sistemului.

Exemplul 2. Găsiți baza unui sistem de vectori = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) și exprimă vectorii rămași prin bază.

Rezolvare: Construim o matrice în care coordonatele acestor vectori sunt aranjate în coloane. Îl aducem într-o formă treptat.

~
~
~
.

Baza acestui sistem este formată din vectori ,,, care corespund elementelor conducătoare ale liniilor, evidențiate în cercuri. Pentru a exprima un vector rezolvați ecuația x 1 +x 2 + x 4 =. Se reduce la un sistem de ecuații liniare, a cărui matrice este obținută din permutarea inițială a coloanei corespunzătoare , în locul coloanei de membri liberi. Prin urmare, pentru a rezolva sistemul, folosim matricea rezultată în formă treptă, făcând rearanjamentele necesare în ea.

Găsim în mod constant:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Observație 1. Dacă este necesar să se exprimă mai mulți vectori prin bază, atunci pentru fiecare dintre ei se construiește un sistem corespunzător de ecuații liniare. Aceste sisteme vor diferi doar în coloanele de membri liberi. Prin urmare, pentru a le rezolva, puteți crea o matrice, care va avea mai multe coloane de termeni liberi. Mai mult, fiecare sistem este rezolvat independent de celelalte.

Observația 2. Pentru a exprima orice vector, este suficient să folosiți doar vectorii de bază ai sistemului care îl precedă. În acest caz, nu este nevoie să reformatați matricea; este suficient să puneți o linie verticală în locul potrivit.

Exercițiul 2. Aflați baza sistemului de vectori și exprimați vectorii rămași prin baza:

A) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

V) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Sistem fundamental de soluții

Un sistem de ecuații liniare se numește omogen dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero.

Sistemul fundamental de soluții al unui sistem omogen de ecuații liniare stă la baza mulțimii soluțiilor sale.

Să ni se dea un sistem neomogen de ecuații liniare. Un sistem omogen asociat unuia dat este un sistem obținut dintr-unul dat prin înlocuirea tuturor termenilor liberi cu zerouri.

Dacă sistemul neomogen este consistent și nedefinit, atunci soluția sa arbitrară are forma f n +  1 f o1 + ... +  k f o k, unde f n este o soluție particulară a sistemului neomogen și f o1, ... , f o k este soluţiile de sistem fundamentale ale sistemului omogen asociat.

Exemplul 3. Găsiți o anumită soluție a sistemului neomogen din Exemplul 1 și sistem fundamental soluţii ale sistemului omogen asociat.

Soluție.Să scriem soluția obținută în exemplul 1 sub formă vectorială și să descompunăm vectorul rezultat într-o sumă peste parametrii liberi prezenți în el și valori numerice fixe:

= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, – 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0) ).

Se obține f n = (– 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Cometariu. Problema găsirii unui sistem fundamental de soluții la un sistem omogen este rezolvată în mod similar.

Exercițiul 3.1 Aflați sistemul fundamental de soluții al unui sistem omogen:

A)

b)

c) 2x 1 – x 2 +3x 3 = 0.

Exercițiul 3.2. Găsiți o anumită soluție pentru sistemul neomogen și un sistem fundamental de soluții pentru sistemul omogen asociat:

A)

b)

În geometrie, un vector este înțeles ca un segment direcționat, iar vectorii obținuți unul de celălalt prin translație paralelă sunt considerați egali. Toți vectorii egali sunt tratați ca același vector. Originea vectorului poate fi plasată în orice punct din spațiu sau plan.

Dacă coordonatele capetelor vectorului sunt date în spațiu: A(X 1 , y 1 , z 1), B(X 2 , y 2 , z 2), atunci

= (X 2 – X 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

O formulă similară este valabilă în avion. Aceasta înseamnă că vectorul poate fi scris ca o linie de coordonate. Operațiile pe vectori, cum ar fi adunarea și înmulțirea cu un număr, pe șiruri sunt efectuate pe componente. Acest lucru face posibilă extinderea conceptului de vector, înțelegând un vector ca orice șir de numere. De exemplu, soluția unui sistem de ecuații liniare, precum și orice set de valori ale variabilelor sistemului, pot fi văzute ca un vector.

Pe șiruri de aceeași lungime, operația de adunare se realizează conform regulii

(a 1, a 2, …, a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+b n). (2)

Înmulțirea unui șir cu un număr urmează regula

l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)

Un set de vectori rând de o lungime dată n cu operaţiile indicate de adunare a vectorilor şi înmulţire cu un număr formează o structură algebrică numită spațiu liniar n-dimensional.

O combinație liniară de vectori este un vector , unde λ 1 , ... , λ m– coeficienți arbitrari.

Un sistem de vectori se numește dependent liniar dacă există o combinație liniară a acestuia egală cu , în care există cel puțin un coeficient diferit de zero.

Un sistem de vectori se numește liniar independent dacă în orice combinație liniară egală cu , toți coeficienții sunt zero.

Astfel, rezolvarea problemei dependenței liniare a unui sistem de vectori se reduce la rezolvarea ecuației

X 1 + X 2 + … + x m = . (4)

Dacă această ecuație are soluții diferite de zero, atunci sistemul de vectori este dependent liniar. Dacă soluția zero este unică, atunci sistemul de vectori este liniar independent.

Pentru a rezolva sistemul (4), pentru claritate, vectorii pot fi scriși nu ca rânduri, ci ca coloane.

Apoi, după ce au efectuat transformări pe partea stângă, ajungem la un sistem de ecuații liniare echivalent cu ecuația (4). Matricea principală a acestui sistem este formată din coordonatele vectorilor originali aranjați în coloane. O coloană de termeni liberi nu este necesară aici, deoarece sistemul este omogen.

Bază sistem de vectori (finiți sau infiniti, în special, total spațiu liniar) este subsistemul său nevid liniar independent, prin care poate fi exprimat orice vector al sistemului.

Exemplul 1.5.2. Aflați baza sistemului de vectori = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) și exprimă vectorii rămași prin bază.

Soluţie. Construim o matrice în care coordonatele acestor vectori sunt aranjate în coloane. Aceasta este matricea sistemului X 1 + X 2 + X 3 + X 4 =. . Reducem matricea la forma treptat:

~ ~ ~

Baza acestui sistem de vectori o formează vectorii , , , cărora le corespund elementele conducătoare ale rândurilor, evidențiate în cercuri. Pentru a exprima vectorul, rezolvăm ecuația X 1 + X 2 + X 4 = . Se reduce la un sistem de ecuații liniare, a cărui matrice se obține din original prin rearanjarea coloanei corespunzătoare lui , în locul coloanei de termeni liberi. Prin urmare, la reducerea la o formă în trepte, pe matrice se vor face aceleași transformări ca mai sus. Aceasta înseamnă că puteți utiliza matricea rezultată într-o formă în pas, făcând rearanjamentele necesare ale coloanelor din ea: plasăm coloanele cu cercuri în stânga barei verticale, iar coloana corespunzătoare vectorului este plasată în dreapta a barului.

Găsim în mod constant:

X 4 = 0;

X 2 = 2;

X 1 + 4 = 3, X 1 = –1;

cometariu. Dacă este necesar să se exprimă mai mulți vectori prin bază, atunci pentru fiecare dintre ei se construiește un sistem corespunzător de ecuații liniare. Aceste sisteme vor diferi doar în coloanele de membri liberi. Mai mult, fiecare sistem este rezolvat independent de celelalte.

Exercițiul 1.4. Găsiți baza sistemului de vectori și exprimați vectorii rămași prin baza:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, –6, –2).

Într-un sistem dat de vectori, baza poate fi de obicei identificată căi diferite, dar toate bazele vor avea același număr de vectori. Numărul de vectori din baza unui spațiu liniar se numește dimensiunea spațiului. Pentru n-spaţiu liniar dimensional n– aceasta este dimensiunea spațiului, deoarece acest spațiu are o bază standard = (1, 0, ... , 0), = (0, 1, ... , 0), ... , = (0, 0), , ... , 1). Prin această bază orice vector = (a 1 , a 2 , … , a n) se exprimă după cum urmează:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, … ,1) = a 1 + a 2 +… + a n .

Astfel, componentele din rândul vectorului = (a 1 , a 2 , … , a n) sunt coeficienții săi în expansiunea prin baza standard.

Linii drepte pe un plan

Sarcina geometriei analitice este aplicarea metodei coordonatelor la probleme geometrice. Astfel, problema este tradusă în formă algebrică și rezolvată cu ajutorul algebrei.

Exprimarea formei numit combinație liniară de vectori A 1 , A 2 ,...,A n cu cote λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Determinarea dependenței liniare a unui sistem de vectori

Sistem vectorial A 1 , A 2 ,...,A n numit dependent liniar, dacă există un set de numere diferit de zero λ 1, λ 2 ,...,λ n, în care combinaţia liniară de vectori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n egal cu vectorul zero, adică sistemul de ecuații: are o soluție diferită de zero.
Set de numere λ 1, λ 2 ,...,λ n este diferit de zero dacă cel puțin unul dintre numere λ 1, λ 2 ,...,λ n diferit de zero.

Determinarea independenței liniare a unui sistem de vectori

Sistem vectorial A 1 , A 2 ,...,A n numit liniar independent, dacă combinația liniară a acestor vectori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n egal cu vectorul zero numai pentru un set zero de numere λ 1, λ 2 ,...,λ n , adică sistemul de ecuații: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ are o soluție unică zero.

Verificați dacă un sistem de vectori este dependent liniar

Soluţie:

1. Compunem un sistem de ecuații:

2. O rezolvăm folosind metoda Gauss. Transformările Jordanano ale sistemului sunt date în Tabelul 29.1. La calcul, părțile din dreapta ale sistemului nu sunt notate, deoarece sunt egale cu zero și nu se modifică în timpul transformărilor Jordan.

3. Din ultimele trei rânduri ale tabelului notează un sistem rezolvat echivalent cu cel original sistem:

4. Obținem soluția generală a sistemului:

5. După ce ați stabilit valoarea variabilei libere x 3 =1 la discreția dvs., obținem o anumită soluție diferită de zero X=(-3,2,1).

Răspuns: Astfel, pentru o mulțime de numere nenule (-3,2,1), combinația liniară de vectori este egală cu vectorul zero -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Prin urmare, sistem vectorial dependent liniar.

Proprietățile sistemelor vectoriale

Proprietate (1)
Dacă un sistem de vectori este dependent liniar, atunci cel puțin unul dintre vectori este extins în ceea ce privește ceilalți și, dimpotrivă, dacă cel puțin unul dintre vectorii sistemului este extins în raport cu ceilalți, atunci sistemul de vectori este dependent liniar.

Proprietate (2)
Dacă orice subsistem de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este dependent liniar.

Proprietate (3)
Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este liniar independent.

Proprietate (4)
Orice sistem de vectori care conține un vector zero este dependent liniar.

Proprietate (5)
Un sistem de vectori m-dimensionali este întotdeauna dependent liniar dacă numărul de vectori n este mai mare decât dimensiunea lor (n>m)

Baza sistemului vectorial

Baza sistemului vectorial A 1 , A 2 ,..., A n un astfel de subsistem B 1 , B 2 ,...,B r se numește(fiecare dintre vectorii B 1,B 2,...,B r este unul dintre vectorii A 1, A 2,..., A n), care îndeplinește următoarele condiții:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r liniar sistem independent vectori;
2. orice vector A j sistemul A 1 , A 2 ,..., A n este exprimat liniar prin vectorii B 1 , B 2 ,..., B r

r— numărul de vectori incluși în bază.

Teorema 29.1 Pe baza unitară a unui sistem de vectori.

Dacă un sistem de vectori m-dimensionali conține m vectori unitari diferiți E 1 E 2 ,..., E m , atunci ei formează baza sistemului.

Algoritm pentru găsirea bazei unui sistem de vectori

Pentru a afla baza sistemului de vectori A 1 ,A 2 ,...,A n este necesar:

• Creați un sistem omogen de ecuații corespunzător sistemului de vectori A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Adu acest sistem

Găsiți baza sistemului de vectori și vectori care nu sunt incluși în bază, extindeți-le în funcție de bază:

A 1 = {5, 2, -3, 1}, A 2 = {4, 1, -2, 3}, A 3 = {1, 1, -1, -2}, A 4 = {3, 4, -1, 2}, A 5 = {13, 8, -7, 4}.

Soluţie. Considerăm un sistem omogen de ecuații liniare

A 1 X 1 + A 2 X 2 + A 3 X 3 + A 4 X 4 + A 5 X 5 = 0

sau în formă extinsă.

Vom rezolva acest sistem prin metoda Gaussiană, fără a schimba rândurile și coloanele și, în plus, alegând elementul principal nu în colțul din stânga sus, ci de-a lungul întregului rând. Provocarea este să selectați partea diagonală a sistemului transformat de vectori.

~ ~

~ ~ ~ .

Sistemul de vectori permis, echivalent cu cel original, are forma

A 1 1 X 1 + A 2 1 X 2 + A 3 1 X 3 + A 4 1 X 4 + A 5 1 X 5 = 0 ,

Unde A 1 1 = , A 2 1 = , A 3 1 = , A 4 1 = , A 5 1 = . (1)

Vectori A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 formează un sistem diagonal. Prin urmare, vectorii A 1 , A 3 , A 4 formează baza sistemului vectorial A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 .

Să extindem acum vectorii A 2 Și A 5 pe bază A 1 , A 3 , A 4 . Pentru a face acest lucru, extindem mai întâi vectorii corespunzători A 2 1 Și A 5 1 sistem diagonal A 1 1 , A 3 1 , A 4 1, având în vedere că coeficienții de expansiune a unui vector de-a lungul sistemului diagonal sunt coordonatele acestuia x i.

Din (1) avem:

A 2 1 = A 3 1 · (-1) + A 4 1 0 + A 1 1 ·1 => A 2 1 = A 1 1 – A 3 1 .

A 5 1 = A 3 1 0 + A 4 1 1 + A 1 1 ·2 => A 5 1 = 2A 1 1 + A 4 1 .

Vectori A 2 Și A 5 sunt extinse în bază A 1 , A 3 , A 4 cu aceiași coeficienți ca vectorii A 2 1 Și A 5 1 sistem diagonal A 1 1 , A 3 1 , A 4 1 (acei coeficienți x i). Prin urmare,

A 2 = A 1 – A 3 , A 5 = 2A 1 + A 4 .

Sarcini. 1.Găsiți baza sistemului de vectori și vectori neincluși în bază, extindeți-le în funcție de bază:

1. A 1 = { 1, 2, 1 }, A 2 = { 2, 1, 3 }, A 3 = { 1, 5, 0 }, A 4 = { 2, -2, 4 }.

2. A 1 = { 1, 1, 2 }, A 2 = { 0, 1, 2 }, A 3 = { 2, 1, -4 }, A 4 = { 1, 1, 0 }.

3. A 1 = { 1, -2, 3 }, A 2 = { 0, 1, -1 }, A 3 = { 1, 3, 0 }, A 4 = { 0, -7, 3 }, A 5 = { 1, 1, 1 }.

4. A 1 = { 1, 2, -2 }, A 2 = { 0, -1, 4 }, A 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Găsiți toate bazele sistemului vectorial:

1. A 1 = { 1, 1, 2 }, A 2 = { 3, 1, 2 }, A 3 = { 1, 2, 1 }, A 4 = { 2, 1, 2 }.

2. A 1 = { 1, 1, 1 }, A 2 = { -3, -5, 5 }, A 3 = { 3, 4, -1 }, A 4 = { 1, -1, 4 }.