Definiți puterea unui număr cu un exponent rațional. O diplomă cu un exponent rațional și real. Proprietăți ale gradelor cu exponenți naturali

După ce puterea unui număr a fost determinată, este logic să vorbim despre proprietăți de grad. În acest articol vom oferi proprietățile de bază ale puterii unui număr, atingând toți exponenții posibili. Aici vom oferi dovezi ale tuturor proprietăților gradelor și, de asemenea, vom arăta cum sunt utilizate aceste proprietăți la rezolvarea exemplelor.

Navigare în pagină.

Proprietăți ale gradelor cu exponenți naturali

Prin definiția unei puteri cu exponent natural, puterea a n este produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a. Pe baza acestei definiții și, de asemenea, folosind proprietățile înmulțirii numerelor reale, putem obține și justifica următoarele proprietăți de grad cu exponent natural:

proprietatea principală a gradului a m ·a n =a m+n, generalizarea acestuia;
proprietatea puterilor câte cu baze identice a m:a n =a m−n ;
proprietatea puterii produsului (a·b) n =a n ·b n , extensia sa;
proprietatea coeficientului la gradul natural (a:b) n =a n:b n ;
ridicarea unui grad la o putere (a m) n =a m·n, generalizarea lui (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
compararea gradului cu zero:
- dacă a>0, atunci a n>0 pentru orice număr natural n;
- dacă a=0, atunci a n =0;
- în cazul în care o<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 dacă a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
dacă a și b sunt numere pozitive și a
dacă m și n sunt numere naturale astfel încât m>n , atunci la 0 0 inegalitatea a m >a n este adevărată.

Să observăm imediat că toate egalitățile scrise sunt identicîn condițiile specificate, atât părțile din dreapta cât și cele din stânga pot fi schimbate. De exemplu, proprietatea principală a fracției a m ·a n =a m+n cu simplificarea expresiilor folosit adesea sub forma a m+n =a m ·a n .

Acum să ne uităm la fiecare dintre ele în detaliu.

Să începem cu proprietatea produsului a două puteri cu aceleași baze, care se numește principala proprietate a gradului: pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n, egalitatea a m ·a n =a m+n este adevărată.

Să demonstrăm principala proprietate a gradului. Prin definiția unei puteri cu exponent natural, produsul puterilor cu aceleași baze de forma a m ·a n poate fi scris ca produs. Datorită proprietăților înmulțirii, expresia rezultată poate fi scrisă ca , iar acest produs este o putere a numărului a cu exponent natural m+n, adică un m+n. Aceasta completează dovada.

Să dăm un exemplu care confirmă proprietatea principală a gradului. Să luăm grade cu aceleași baze 2 și puteri naturale 2 și 3, folosind proprietatea de bază a gradelor putem scrie egalitatea 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Să-i verificăm validitatea calculând valorile expresiilor 2 2 · 2 3 și 2 5 . Efectuând exponentiație, avem 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32și 2 5 =2·2·2·2·2=32, deoarece se obțin valori egale, atunci egalitatea 2 2 ·2 3 =2 5 este corectă și confirmă proprietatea principală a gradului.

Proprietatea de bază a unui grad, bazată pe proprietățile înmulțirii, poate fi generalizată la produsul a trei sau mai multe puteri cu aceleași baze și exponenți naturali. Deci, pentru orice număr k de numere naturale n 1, n 2, …, n k următoarea egalitate este adevărată: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

De exemplu, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Putem trece la următoarea proprietate a puterilor cu un exponent natural – proprietatea puterilor coeficiente cu aceleasi baze: pentru orice număr real diferit de zero a și numere naturale arbitrare m și n care îndeplinesc condiția m>n, egalitatea a m:a n =a m−n este adevărată.

Înainte de a prezenta dovada acestei proprietăți, să discutăm semnificația condițiilor suplimentare din formulare. Condiția a≠0 este necesară pentru a evita împărțirea la zero, deoarece 0 n =0, iar când ne-am familiarizat cu împărțirea, am convenit că nu putem împărți la zero. Se introduce condiția m>n astfel încât să nu depășim exponenții naturali. Într-adevăr, pentru m>n exponentul a m−n este numar natural, altfel va fi fie zero (ceea ce se întâmplă când m−n) fie un număr negativ (ceea ce se întâmplă când m
Dovada. Proprietatea principală a unei fracții ne permite să scriem egalitatea a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Din egalitatea rezultată a m−n ·a n =a m și rezultă că a m−n este un coeficient al puterilor a m și a n . Aceasta dovedește proprietatea puterilor coeficiente cu baze identice.

Să dăm un exemplu. Să luăm două grade cu aceleași baze π și exponenți naturali 5 și 2, egalitatea π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 corespunde proprietății considerate a gradului.

Acum să luăm în considerare proprietatea puterii produsului: puterea naturală n a produsului a oricăror două numere reale a și b este egală cu produsul puterilor a n și b n , adică (a·b) n =a n ·b n .

Într-adevăr, prin definiția unui grad cu exponent natural avem . Pe baza proprietăților înmulțirii, ultimul produs poate fi rescris ca , care este egal cu a n · b n .

Iată un exemplu: .

Această proprietate se extinde la puterea produsului a trei sau mai mulți factori. Adică, proprietatea gradului natural n a produsului k factori se scrie ca (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Pentru claritate, vom arăta această proprietate cu un exemplu. Pentru produsul a trei factori la puterea lui 7 avem .

Următoarea proprietate este proprietatea unui coeficient in natura: câtul numerelor reale a și b, b≠0 la puterea naturală n este egal cu câtul puterilor a n și b n, adică (a:b) n =a n:b n.

Dovada poate fi efectuată folosind proprietatea anterioară. Asa de (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, iar din egalitatea (a:b) n ·b n =a n rezultă că (a:b) n este câtul a n împărțit la b n .

Să scriem această proprietate folosind numere specifice ca exemplu: .

Acum haideți să-i spunem proprietatea de a ridica o putere la o putere: pentru orice număr real a și orice numere naturale m și n, puterea lui a m la puterea lui n este egală cu puterea numărului a cu exponent m·n, adică (a m) n =a m·n.

De exemplu, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Dovada proprietății putere-la-grad este următorul lanț de egalități: .

Proprietatea luată în considerare poate fi extinsă grad în grad, etc. De exemplu, pentru orice numere naturale p, q, r și s, egalitatea . Pentru o mai mare claritate, iată un exemplu cu numere specifice: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Rămâne să ne oprim asupra proprietăților de a compara grade cu un exponent natural.

Să începem prin a demonstra proprietatea de a compara zero și putere cu un exponent natural.

Mai întâi, să demonstrăm că a n >0 pentru orice a>0.

Produsul a două numere pozitive este un număr pozitiv, după cum reiese din definiția înmulțirii. Acest fapt și proprietățile înmulțirii sugerează că rezultatul înmulțirii oricărui număr de numere pozitive va fi, de asemenea, un număr pozitiv. Iar puterea unui număr a cu exponent natural n, prin definiție, este produsul a n factori, fiecare dintre care este egal cu a. Aceste argumente ne permit să afirmăm că pentru orice bază pozitivă a, gradul a n este un număr pozitiv. Datorită proprietății dovedite 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 și .

Este destul de evident că pentru orice număr natural n cu a=0 gradul lui n este zero. Într-adevăr, 0 n =0·0·…·0=0 . De exemplu, 0 3 =0 și 0 762 =0.

Să trecem la bazele negative ale gradului.

Să începem cu cazul în care exponentul este un număr par, să-l notăm ca 2·m, unde m este un număr natural. Apoi . Pentru fiecare dintre produsele de forma a·a este egal cu produsul modulelor numerelor a și a, ceea ce înseamnă că este un număr pozitiv. Prin urmare, produsul va fi, de asemenea, pozitiv și gradul a 2·m. Să dăm exemple: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 și .

În cele din urmă, când baza a este un număr negativ și exponentul este un număr impar 2 m−1, atunci . Toate produsele a·a sunt numere pozitive, produsul acestor numere pozitive este de asemenea pozitiv, iar înmulțirea lui cu numărul negativ rămas a are ca rezultat un număr negativ. Datorită acestei proprietăți (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Să trecem la proprietatea de a compara puteri cu aceiași exponenți naturali, care are următoarea formulare: a două puteri cu aceiași exponenți naturali, n este mai mic decât cea a cărei bază este mai mică și mai mare este cea a cărei bază este mai mare. . Să demonstrăm.

Inegalitatea a n proprietățile inegalităților o inegalitate demonstrabilă de forma a n este de asemenea adevărată (2.2) 7 și .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate ale puterilor cu exponenți naturali. Să o formulăm. Dintre două puteri cu exponenți naturali și baze pozitive identice mai mici decât una, cea al cărei exponent este mai mic este mai mare; iar a două puteri cu exponenți naturali și baze identice mai mari decât una, cea al cărei exponent este mai mare este mai mare. Să trecem la dovedirea acestei proprietăți.

Să demonstrăm că pentru m>n și 0 0 datorită condiției inițiale m>n, ceea ce înseamnă că la 0
Rămâne de dovedit a doua parte a proprietății. Să demonstrăm că pentru m>n și a>1 a m >a n este adevărat. Diferența a m −a n după scoaterea a n din paranteze ia forma a n ·(a m−n −1) . Acest produs este pozitiv, deoarece pentru a>1 gradul a n este un număr pozitiv, iar diferența a m−n −1 este un număr pozitiv, deoarece m−n>0 datorită condiției inițiale, iar pentru a>1 gradul un m−n este mai mare decât unu. În consecință, a m −a n >0 și a m >a n , care este ceea ce trebuia demonstrat. Această proprietate este ilustrată de inegalitatea 3 7 >3 2.

Proprietățile puterilor cu exponenți întregi
Deoarece numerele întregi pozitive sunt numere naturale, atunci toate proprietățile puterilor cu exponenți întregi pozitivi coincid exact cu proprietățile puterilor cu exponenți naturali enumerate și dovedite în paragraful anterior.

Am definit un grad cu un exponent întreg negativ, precum și un grad cu un exponent zero, în așa fel încât toate proprietățile gradelor cu exponenți naturali, exprimate prin egalități, să rămână valabile. Prin urmare, toate aceste proprietăți sunt valabile atât pentru exponenții zero, cât și pentru exponenții negativi, în timp ce, desigur, bazele puterilor sunt diferite de zero.

Deci, pentru orice numere reale și non-nule a și b, precum și pentru orice numere întregi m și n, următoarele sunt adevărate: proprietățile puterilor cu exponenți întregi:

a m ·a n =a m+n ;

a m:a n =a m−n ;

(a·b) n =a n ·b n ;

(a:b) n =a n:b n ;

(a m) n =a m·n ;

dacă n este un număr întreg pozitiv, a și b sunt numere pozitive și a b−n ;

dacă m și n sunt numere întregi și m>n , atunci la 0 1 inegalitatea a m >a n este valabilă.

Când a=0, puterile a m și a n au sens numai atunci când ambele m și n sunt numere întregi pozitive, adică numere naturale. Astfel, proprietățile tocmai scrise sunt valabile și pentru cazurile în care a=0 și numerele m și n sunt numere întregi pozitive.

Demonstrarea fiecăreia dintre aceste proprietăți nu este dificilă; pentru a face acest lucru, este suficient să folosiți definițiile de grade cu exponenți naturali și întregi, precum și proprietățile operațiilor cu numere reale. Ca exemplu, să demonstrăm că proprietatea putere-la-putere este valabilă atât pentru numerele întregi pozitive, cât și pentru numerele întregi nepozitive. Pentru a face acest lucru, trebuie să arătați că, dacă p este zero sau un număr natural și q este zero sau un număr natural, atunci egalitățile (a p) q =a p·q, (a -p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) și (a −p) −q =a (−p)·(−q). Hai să o facem.

Pentru p și q pozitive, egalitatea (a p) q =a p·q a fost dovedită în paragraful anterior. Dacă p=0, atunci avem (a 0) q =1 q =1 și a 0·q =a 0 =1, de unde (a 0) q =a 0·q. În mod similar, dacă q=0, atunci (a p) 0 =1 și a p·0 =a 0 =1, de unde (a p) 0 =a p·0. Dacă ambele p=0 și q=0, atunci (a 0) 0 =1 0 =1 și a 0·0 =a 0 =1, de unde (a 0) 0 =a 0·0.

Acum demonstrăm că (a −p) q =a (−p)·q . Prin definiția unei puteri cu un exponent întreg negativ, atunci . Prin proprietatea coeficientilor la puteri pe care le avem . Deoarece 1 p =1·1·…·1=1 și , atunci . Ultima expresie, prin definiție, este o putere de forma a −(p·q), care, datorită regulilor de înmulțire, poate fi scrisă ca a (−p)·q.

De asemenea .

ȘI .

Folosind același principiu, puteți demonstra toate celelalte proprietăți ale unui grad cu un exponent întreg, scris sub formă de egalități.

În penultima dintre proprietățile înregistrate, merită să ne oprim asupra dovezii inegalității a -n >b -n, care este valabilă pentru orice număr întreg negativ -n și orice a și b pozitiv pentru care condiția a este îndeplinită. . Întrucât prin condiția a 0 . Produsul a n · b n este de asemenea pozitiv ca produsul numerelor pozitive a n și b n . Atunci fracția rezultată este pozitivă ca câtul numerelor pozitive b n −a n și a n ·b n . Prin urmare, de unde a −n >b −n , care este ceea ce trebuia demonstrat.

Ultima proprietate a puterilor cu exponenți întregi este demonstrată în același mod ca o proprietate similară a puterilor cu exponenți naturali.

Proprietățile puterilor cu exponenți raționali

Am definit un grad cu un exponent fracționar extinzându-i proprietățile unui grad cu un exponent întreg. Cu alte cuvinte, puterile cu exponenți fracționari au aceleași proprietăți ca și puterile cu exponenți întregi. Și anume:

Dovada proprietăților gradelor cu exponenți fracționari se bazează pe definirea unui grad cu exponent fracționar și pe proprietățile unui grad cu exponent întreg. Să oferim dovezi.

Prin definiția unei puteri cu exponent fracționar și , atunci . Proprietățile rădăcinii aritmetice ne permit să scriem următoarele egalități. În plus, folosind proprietatea unui grad cu exponent întreg, obținem , din care, prin definiția unui grad cu exponent fracționar, avem , iar indicatorul gradului obţinut poate fi transformat astfel: . Aceasta completează dovada.

A doua proprietate a puterilor cu exponenți fracționari este demonstrată într-un mod absolut similar:

Egalitățile rămase sunt dovedite folosind principii similare:

Să trecem la demonstrarea următoarei proprietăți. Să demonstrăm că pentru orice a și b pozitiv, a b p . Să scriem numărul rațional p ca m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Condiții p<0 и p>0 în acest caz condiţiile m<0 и m>0 în consecință. Pentru m>0 și a
În mod similar, pentru m<0 имеем a m >b m , de unde, adică, și a p >b p .

Rămâne de demonstrat ultima dintre proprietățile enumerate. Să demonstrăm că pentru numerele raționale p și q, p>q la 0 0 – inegalitatea a p >a q . Putem reduce întotdeauna numerele raționale p și q la un numitor comun, chiar dacă obținem fracții obișnuite și , unde m 1 și m 2 sunt numere întregi, iar n este un număr natural. În acest caz, condiţia p>q va corespunde condiţiei m 1 >m 2, care rezultă din. Apoi, prin proprietatea de a compara puteri cu aceleași baze și exponenți naturali la 0 1 – inegalitatea a m 1 >a m 2 . Aceste inegalități în proprietățile rădăcinilor pot fi rescrise în consecință ca Și . Iar definirea unui grad cu exponent rațional ne permite să trecem la inegalități și, în consecință. De aici tragem concluzia finală: pentru p>q și 0 0 – inegalitatea a p >a q .

Proprietățile puterilor cu exponenți iraționali

Din modul în care este definit un grad cu exponent irațional, putem concluziona că are toate proprietățile gradelor cu exponent rațional. Deci pentru orice a>0, b>0 și numere iraționale p și q următoarele sunt adevărate proprietățile puterilor cu exponenți iraționali:

a p ·a q =a p+q ;

a p:a q =a p−q ;

(a·b) p =a p ·b p ;

(a:b) p =a p:b p ;

(a p) q =a p·q ;

pentru orice numere pozitive a și b, a 0 inegalitatea a p b p ;

pentru numerele iraționale p și q, p>q la 0 0 – inegalitatea a p >a q .

Din aceasta putem concluziona că puterile cu orice exponenți reali p și q pentru a>0 au aceleași proprietăți.

Bibliografie.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Manual de matematică pentru clasa a V-a. institutii de invatamant.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VII-a. institutii de invatamant.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. institutii de invatamant.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru clasa a IX-a. institutii de invatamant.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi altele.Algebra şi începuturile analizei: Manual pentru clasele 10 - 11 ale instituţiilor de învăţământ general.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice).

Putere cu exponent rațional
Setul de numere raționale include numere întregi și fracționale.
Definiția 1

Puterea unui număr $a$ cu exponent întreg $n$ este rezultatul înmulțirii numărului $a$ cu el însuși $n$ ori, și: $a^n=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$, pentru $n>0$; $a^n=\frac(1)(a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)$, pentru $n
Definiția 2

Puterea unui număr $a$ cu exponent sub forma unei fracții $\frac(m)(n)$ se numește $n$-a rădăcină a lui $a$ la gradul $m$: $a^\frac(m)(n)=\sqrt[n](a^m)$, unde $a>0$, $ n$ este un număr natural, $m$ este un număr întreg.
Definiția 3

Puterea lui zero cu exponent ca fracție $\frac(m)(n)$ este definit după cum urmează: $0^\frac(m)(n)=\sqrt[n](0^m)=0$, unde $m$ este un număr întreg, $m>0$, $n$ este un număr natural număr.
Există o altă abordare pentru determinarea puterii unui număr cu exponent fracționar, care arată posibilitatea existenței unei puteri a unui număr negativ sau a unui exponent fracțional negativ.
De exemplu, expresiile $\sqrt((-3)^6)$, $\sqrt((-3)^3)$ sau $\sqrt((-7)^(-10))$ au sens, deci și expresiile $(-3)^\frac(6)(7)$, $(-3)^\frac(3)(7)$ și $(-7)^\frac(-10)(6) $ ar trebui să aibă sens, în timp ce, conform definiției, puterile cu exponent sub forma unei fracții cu bază negativă nu există.

Să dăm o altă definiție:
Puterea unui număr $a$ cu exponent fracționar $\frac(m)(n)$ se numește $\sqrt[n](a^m)$ în următoarele cazuri:
Pentru orice număr real $a$, întreg $m>0$ și număr natural impar $n$.

De exemplu, $13,4^\frac(7)(3)=\sqrt(13,4^7)$, $(-11)^\frac(8)(5)=\sqrt((-11)^8 )$.

Pentru orice număr real diferit de zero $a$, întreg negativ $m$ și impar $n$.

De exemplu, $13,4^\frac(-7)(3)=\sqrt(13,4^(-7))$, $(-11)^\frac(-8)(5)=\sqrt(( -11) ^(-8))$.

Pentru orice număr nenegativ $a$, întreg pozitiv $m$ și chiar $n$.

De exemplu, $13,4^\frac(7)(4)=\sqrt(13,4^7)$, $11^\frac(3)(16)=\sqrt(11^3)$.

Pentru orice $a$ pozitiv, întreg negativ $m$ și chiar $n$.

De exemplu, $13.4^\frac(-7)(4)=\sqrt(13.4^(-7))$, $11^\frac(-3)(8)=\sqrt(11^(-3 ))$ .

În alte condiții, este imposibil să se determine gradul cu un indicator fracțional.

De exemplu, $(-13,4)^\frac(10)(3)=\sqrt((-13,4)^(10))$, $(-11)^\frac(5)(4)= \sqrt( (-11)^5)$.

În plus, atunci când se aplică această definiție, este important ca exponentul fracționar $\frac(m)(n)$ să fie o fracție ireductibilă.

Seriozitatea acestei remarci este că puterea unui număr negativ cu un exponent reductibil fracționar, de exemplu, $\frac(10)(14)$ va fi un număr pozitiv, iar puterea aceluiași număr cu un exponent deja redus $\frac(5)(7)$ va fi un număr negativ.
De exemplu, $(-1)^\frac(10)(14)=\sqrt((-1)^(10))=\sqrt(1^(10))=1$ și $(-1) ^ \frac(5)(7)=\sqrt((-1)^5)=-1$.
Astfel, la reducerea fracției $\frac(10)(14)=\frac(5)(7)$, egalitatea $(-1)^\frac(10)(14)=(-1)^\ frac (5)(7)$.
Nota 1

Trebuie remarcat faptul că este adesea folosită prima definiție mai convenabilă și mai simplă a gradului cu un exponent sub formă de fracție.

Dacă un exponent fracționar este scris ca o fracție mixtă sau zecimală, este necesar să convertiți exponentul în forma unei fracții obișnuite.

De exemplu, $(2 \frac(3)(7))^(1 \frac(2)(7))=(2 \frac(3)(7))^\frac(9)(7)=\ sqrt ((2 \frac(3)(7))^9)$, $7^(3,6)=7^\frac(36)(10)=\sqrt(7^(36))$.
Grad cu exponent irațional și real
LA valabil numerele includ numerele raționale și iraționale.
Să analizăm conceptul de grad cu exponent irațional, deoarece gradul cu un exponent rațional pe care l-am considerat.
Luați în considerare o succesiune de aproximări ale numărului $\alpha$, care sunt numere raționale. Acestea. avem o succesiune de numere raționale $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\ldots$, care definesc numărul $\alpha$ cu orice grad de precizie. Dacă calculăm puterile cu acești exponenți $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots$, atunci se dovedește că aceste numere sunt aproximații la un număr $ b$.
Definiția 4

Număr grad $a>0$ cu exponent irațional $\alpha$ este o expresie $a^\alpha$ care are o valoare egală cu limita secvenței $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots $, unde $ \alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, … sunt aproximări zecimale succesive ale numărului irațional $\alpha$.

MBOU "Sidorskaya"

scoala generala"

Elaborarea unui plan general lectie deschisa

la algebră în clasa a XI-a pe tema:

Pregătit și realizat

profesor de matematica

Iskhakova E.F.

Schița unei lecții deschise de algebră în clasa a XI-a.

Subiect : „O diplomă cu un exponent rațional.”

Tipul de lecție : Învățarea de materiale noi

Obiectivele lecției:

Introduceți studenții conceptul de diplomă cu exponent rațional și proprietățile sale de bază, pe baza materialului studiat anterior (grad cu exponent întreg).
Dezvoltați abilitățile de calcul și capacitatea de a converti și compara numere cu exponenți raționali.
Dezvoltarea competențelor matematice și a interesului matematic la elevi.

Echipamente : Fișe de activitate, prezentare student după grad cu indicator întreg, prezentare profesor după grad cu indicator rațional, laptop, proiector multimedia, ecran.

În timpul orelor:

Organizarea timpului.

Verificarea stăpânirii temei acoperite folosind carduri de sarcini individuale.

Sarcina nr. 1.

=2;

B) =x + 5;

Rezolvați sistemul de ecuații iraționale: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Sarcina nr. 2.

Rezolvați ecuația irațională: = - 3;

B) = x - 2;

Rezolvați sistemul de ecuații iraționale: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Comunicați subiectul și obiectivele lecției.

Tema lecției noastre de astăzi este „ Putere cu exponent rațional».

Explicarea materialului nou folosind exemplul materialului studiat anterior.

Sunteți deja familiarizat cu conceptul de diplomă cu exponent întreg. Cine mă va ajuta să le amintesc?

Repetare folosind prezentarea " Gradul cu un exponent întreg».

Pentru orice numere a, b și orice numere întregi m și n, egalitățile sunt valabile:

a m * a n =a m+n ;

a m: a n =a m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn ;

(a b) n =a n * b n ;

(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;

a 1 =a ; a 0 = 1(a ≠ 0)

Astăzi vom generaliza conceptul de putere a unui număr și vom da sens expresiilor care au un exponent fracționar. Să vă prezentăm definiție grade cu un exponent rațional (Prezentarea „Grad cu un exponent rațional”):

Puterea unui > 0 cu exponent rațional r = , Unde m este un număr întreg și n – natural ( n > 1), numit numărul m .

Deci, prin definiție, obținem asta = m .

Să încercăm să aplicăm această definiție la finalizarea unei sarcini.

EXEMPLU Nr. 1

I Prezentați expresia ca rădăcină a unui număr:

A) B) ÎN) .

Acum să încercăm să aplicăm această definiție în sens invers

II Exprimați expresia ca putere cu un exponent rațional:

A) 2 B) ÎN) 5 .

Puterea lui 0 este definită numai pentru exponenții pozitivi.

0 r= 0 pentru orice r> 0.

Folosind această definiție, Case veți completa #428 și #429.

Să arătăm acum că cu definiția unui grad cu exponent rațional formulată mai sus, se păstrează proprietățile de bază ale gradelor, care sunt adevărate pentru orice exponenți.

Pentru orice numere raționale r și s și orice a și b pozitive, sunt valabile următoarele egalități:

1 0 . A r A s =a r+s ;

EXEMPLU: *

20 . a r: a s =a r-s ;

EXEMPLU: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

EXEMPLU: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = A r b r ; 5 0 . ( = .

EXEMPLU: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

EXEMPLU de utilizare a mai multor proprietăți simultan: * : .

Minut de educație fizică.

Am pus pixurile pe birou, am îndreptat spatele, iar acum ajungem înainte, vrem să atingem tabla. Acum l-am ridicat și ne-am aplecat dreapta, stânga, înainte, înapoi. Mi-ai arătat mâinile tale, acum arată-mi cum pot dansa degetele tale.

Lucrul la material

Să notăm încă două proprietăți ale puterilor cu exponenți raționali:

6 0 . Lăsa r este un număr rațional și 0< a < b . Тогда

A r < b r la r> 0,

A r < b r la r< 0.

7 0 . Pentru orice numere raționalerȘi s din inegalitate r> s urmează că

A r>a r pentru a > 1,

A r < а r la 0< а < 1.

EXEMPLU: Comparați numerele:

ȘI ; 2 300 și 3 200 .

Rezumatul lecției:

Astăzi, în lecție, am amintit proprietățile unui grad cu un exponent întreg, am învățat definiția și proprietățile de bază ale unui grad cu un exponent rațional și am examinat aplicarea acestui material teoretic în practică atunci când efectuați exerciții. Aș dori să vă atrag atenția asupra faptului că subiectul „Exponent cu exponent rațional” este obligatoriu în Teme de examen de stat unificat. In pregatire teme pentru acasă ( Nr. 428 și Nr. 429

De la exponenți întregi ai numărului a, se sugerează trecerea la exponenți raționali. Mai jos vom defini un grad cu exponent rațional și vom face acest lucru în așa fel încât să fie păstrate toate proprietățile unui grad cu exponent întreg. Acest lucru este necesar deoarece numerele întregi fac parte din numerele raționale.

Se știe că mulțimea numerelor raționale este formată din numere întregi și fracții, iar fiecare fracție poate fi reprezentată ca o fracție ordinară pozitivă sau negativă. Am definit un grad cu un exponent întreg în paragraful anterior, prin urmare, pentru a completa definiția unui grad cu un exponent rațional, trebuie să dăm sens gradului numărului A cu un indicator fracţional m/n, Unde m este un număr întreg și n- naturală. Hai să o facem.

Să considerăm un grad cu un exponent fracționar de forma . Pentru ca proprietatea putere-la-putere să rămână valabilă, egalitatea trebuie să fie valabilă . Dacă luăm în considerare egalitatea rezultată și modul în care am determinat rădăcina a n-a a gradului, atunci este logic să acceptăm, cu condiția ca dat fiind m, nȘi A expresia are sens.

Este ușor de verificat că pentru toate proprietățile unui grad cu exponent întreg sunt valabile (acest lucru s-a făcut în secțiunea proprietățile unui grad cu exponent rațional).

Raționamentul de mai sus ne permite să facem următoarele concluzie: dacă sunt date date m, nȘi A expresia are sens, apoi puterea numărului A cu un indicator fracţional m/n numită rădăcină n gradul de Aîntr-o măsură m.

Această afirmație ne aduce aproape de definiția unui grad cu exponent fracționar. Tot ce rămâne este să descriem la ce m, nȘi A expresia are sens. În funcţie de restricţiile impuse m, nȘi A Există două abordări principale.

1. Cea mai simplă modalitate este de a impune o restricție asupra A, după ce a acceptat a≥0 pentru pozitiv mȘi a>0 pentru negativ m(de cand m≤0 grad 0 m nedeterminat). Apoi obținem următoarea definiție a unui grad cu exponent fracționar.

Definiție.

Puterea unui număr pozitiv A cu un indicator fracţional m/n , Unde m- întreg, și n– un număr natural, numit rădăcină n--lea din număr Aîntr-o măsură m, acesta este, .

Puterea fracționată a lui zero este, de asemenea, determinată cu singura avertizare că indicatorul trebuie să fie pozitiv.

Definiție.

Puterea lui zero cu exponent pozitiv fracționar m/n , Unde m este un număr întreg pozitiv și n– număr natural, definit ca .
Când gradul nu este determinat, adică gradul numărului zero cu un exponent negativ fracționar nu are sens.

Trebuie remarcat faptul că, cu această definiție a unui grad cu un exponent fracțional, există o avertizare: pentru unele negative A si ceva mȘi n expresia are sens, dar am înlăturat aceste cazuri introducând condiția a≥0. De exemplu, intrările au sens sau , iar definiția dată mai sus ne obligă să spunem că puterile cu un exponent fracționar al formei nu au sens, deoarece baza nu ar trebui să fie negativă.

2. O altă abordare pentru determinarea gradului cu un exponent fracționar m/n constă în considerarea separată a exponenților pari și impari ai rădăcinii. Această abordare necesită o condiție suplimentară: puterea numărului A, al cărei exponent este o fracție ordinară reductibilă, este considerată o putere a numărului A, al cărui indicator este fracția ireductibilă corespunzătoare (importanța acestei condiții va fi explicată mai jos). Adică dacă m/n este o fracție ireductibilă, atunci pentru orice număr natural k gradul este înlocuit preliminar cu .

Pentru chiar n si pozitive m expresia are sens pentru orice non-negativ A(o rădăcină pară a unui număr negativ nu are sens), pentru negativ m număr A trebuie să fie în continuare diferit de zero (altfel va fi împărțire la zero). Și pentru ciudat n si pozitive m număr A poate fi orice (o rădăcină impară este definită pentru orice număr real) și pentru negativ m număr A trebuie să fie diferit de zero (astfel încât să nu existe împărțire cu zero).

Raționamentul de mai sus ne conduce la această definiție a unui grad cu exponent fracționar.

Definiție.

Lăsa m/n– fracție ireductibilă, m- întreg, și n- numar natural. Pentru orice fracție reductibilă, gradul este înlocuit cu . Gradul de A cu un exponent fracționar ireductibil m/n- este pentru

o orice număr real A, total pozitiv mși ciudat natural n, De exemplu, ;

o orice număr real diferit de zero A, întreg negativ mși ciudat n, De exemplu, ;

o orice număr nenegativ A, total pozitiv mși chiar n, De exemplu, ;

o orice pozitiv A, întreg negativ mși chiar n, De exemplu, ;

o în alte cazuri, gradul cu un indicator fracționar nu este determinat, deoarece de exemplu gradele nu sunt definite .a nu atribuim nicio semnificație intrării; definim puterea numărului zero pentru exponenții fracționali pozitivi m/n Cum , pentru exponenții fracționali negativi puterea numărului zero nu este determinată.

În încheierea acestui punct, să atragem atenția asupra faptului că un exponent fracționar poate fi scris ca o fracție zecimală sau un număr mixt, de exemplu, . Pentru a calcula valorile expresiilor de acest tip, trebuie să scrieți exponentul sub forma unei fracții obișnuite și apoi să utilizați definiția exponentului cu un exponent fracționar. Pentru exemplele de mai sus avem Și

Lecția video „Exponent cu un exponent rațional” conține o imagine material educativ pentru a preda o lecție pe această temă. Lecția video conține informații despre conceptul de diplomă cu exponent rațional, proprietățile unor astfel de grade, precum și exemple care descriu utilizarea materialului educațional pentru a rezolva probleme practice. Scopul acestei lecții video este de a prezenta clar și clar materialul educațional, de a facilita dezvoltarea și memorarea acestuia de către elevi și de a dezvolta capacitatea de a rezolva probleme folosind conceptele învățate.

Principalele avantaje ale lecției video sunt capacitatea de a efectua vizual transformări și calcule, capacitatea de a folosi efecte de animație pentru a îmbunătăți eficiența învățării. Acompaniamentul vocal ajută la dezvoltarea vorbirii matematice corecte și, de asemenea, face posibilă înlocuirea explicației profesorului, eliberându-l să efectueze munca individuală.

Lecția video începe prin introducerea subiectului. Când conectați studiul unui subiect nou cu material studiat anterior, se sugerează să ne amintim că n √a este altfel notat cu 1/n pentru n natural și a pozitiv. Această reprezentare n-rădăcină este afișată pe ecran. În continuare, ne propunem să luăm în considerare ce înseamnă expresia a m/n, în care a este un număr pozitiv și m/n este o fracție. Este dată definiția unui grad cu exponent rațional ca m/n = n √a m, evidențiată în cadru. Se observă că n poate fi un număr natural, iar m poate fi un număr întreg.

După definirea unui grad cu un exponent rațional, semnificația acestuia este dezvăluită prin exemple: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. De asemenea, arată un exemplu în care o putere reprezentată printr-o zecimală este convertită într-o fracție pentru a fi reprezentată ca rădăcină: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 și un exemplu cu o putere negativă: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Particularitatea cazului special când baza gradului este zero este indicată separat. Este notat ca acest grad are sens doar cu un exponent fracționar pozitiv. În acest caz, valoarea sa este zero: 0 m/n =0.

O altă caracteristică a unui grad cu un exponent rațional este remarcată - că un grad cu un exponent fracționar nu poate fi considerat cu un exponent fracționar. Sunt date exemple de notare incorectă a gradului: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

În continuare, în lecția video discutăm proprietățile unui grad cu un exponent rațional. Se observă că proprietățile unui grad cu exponent întreg vor fi valabile și pentru un grad cu exponent rațional. Se propune reamintirea listei de proprietăți care sunt valabile și în acest caz:

La înmulțirea puterilor cu aceleași baze, exponenții lor se adună: a p a q =a p+q.

Împărțirea gradelor cu aceleași baze se reduce la un grad cu o bază dată și diferența de exponenți: a p:a q =a p-q.

Dacă ridicăm gradul la o anumită putere, atunci ajungem la un grad cu o bază dată și produsul exponenților: (a p) q =a pq.

Toate aceste proprietăți sunt valabile pentru puteri cu exponenți raționali p, q și bază pozitivă a>0. De asemenea, transformările de grade la deschiderea parantezelor rămân adevărate:

(ab) p =a p b p - ridicarea la o putere cu un exponent rațional a produsului a două numere se reduce la produsul numerelor, fiecare dintre acestea fiind ridicat la o putere dată.

(a/b) p =a p /b p - ridicarea unei fracții la o putere cu exponent rațional se reduce la o fracție al cărei numărător și numitor sunt ridicați la o putere dată.

Tutorialul video discută exemple de rezolvare care utilizează proprietățile considerate ale puterilor cu un exponent rațional. Primul exemplu vă cere să găsiți valoarea unei expresii care conține variabilele x într-o putere fracționară: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). În ciuda complexității expresiei, folosind proprietățile puterilor, aceasta poate fi rezolvată destul de simplu. Rezolvarea problemei începe cu simplificarea expresiei, care folosește regula ridicării unei puteri cu un exponent rațional la o putere, precum și înmulțirea puterilor cu aceeași bază. După înlocuirea valorii date x=8 în expresia simplificată x 1/3 +48, este ușor să obțineți valoarea - 50.

În al doilea exemplu, trebuie să reduceți o fracție al cărei numărător și numitor conțin puteri cu un exponent rațional. Folosind proprietățile gradului, extragem din diferență factorul x 1/3, care apoi se reduce în numărător și numitor, iar folosind formula pentru diferența de pătrate, numărătorul este factorizat, ceea ce dă reduceri ulterioare de identice. factori la numărător și numitor. Rezultatul unor astfel de transformări este fracția scurtă x 1/4 +3.

Lecția video „Exponent cu un exponent rațional” poate fi folosită în loc ca profesorul să explice un nou subiect de lecție. Acest manual conține și suficient informatii complete Pentru auto-studiu student. Materialul poate fi util și pentru învățământul la distanță.