Ce este definiția limitată a funcției? Limitele funcţiilor monotone. Lecție și prezentare pe tema: „Proprietăți ale unei funcții. Funcții crescătoare și descrescătoare”

Vă rugăm să rețineți: toate definițiile implică o mulțime numerică X, care face parte din domeniul funcției: X cu D(f). În practică, cel mai adesea există cazuri când X este un interval numeric (segment, interval, rază etc.).

Definiția 1.

Se spune că o funcție y = f(x) crește pe o mulțime X cu D(f) dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 ale mulțimii X astfel încât x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Definiția 2.

Se spune că o funcție y = f(x) este descrescătoare pe o mulțime X cu D(f) dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 ale mulțimii X astfel încât x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x 2).

În practică, este mai convenabil să se utilizeze următoarele formulări: o funcție crește dacă o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției; o funcție scade dacă o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției.

În clasele a VII-a și a VIII-a am folosit următoarea interpretare geometrică a conceptelor de creștere sau scădere a unei funcții: deplasându-ne de-a lungul graficului unei funcții crescătoare de la stânga la dreapta, parcă urcăm un deal (Fig. 55); deplasându-ne de-a lungul graficului unei funcții descrescătoare de la stânga la dreapta, este ca și cum am coborî un deal (Fig. 56).
De obicei, termenii „funcție de creștere” și „funcție descrescătoare” sunt combinați sub denumirea generală de funcție monotonă, iar studiul unei funcții pentru creștere sau scădere se numește studiul unei funcții pentru monotonitate.

Să remarcăm încă o împrejurare: dacă o funcție crește (sau scade) în domeniul său natural de definire, atunci de obicei spunem că funcția este în creștere (sau descreștere) - fără a indica mulțimea numerică X.

Exemplul 1.

Examinați funcția pentru monotonitate:

A) y = x 3 + 2; b) y = 5 - 2x.

Soluţie:

a) Luați valori arbitrare ale argumentului x 1 și x 2 și fie x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Ultima inegalitate înseamnă că f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Deci de la x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), ceea ce înseamnă că funcția dată este descrescătoare (pe întreaga linie numerică).

Definiția 3.

Se spune că o funcție y - f(x) este mărginită de jos pe o mulțime X cu D(f) dacă toate valorile funcției de pe mulțimea X sunt mai mari decât un anumit număr (cu alte cuvinte, dacă există un număr m astfel încât pentru orice valoare x є X inegalitatea f( x) >m).

Definiția 4.

Se spune că o funcție y = f(x) este mărginită de sus pe o mulțime X cu D(f) dacă toate valorile funcției sunt mai mici decât un anumit număr (cu alte cuvinte, dacă există un număr M astfel că pentru orice valoare x є X este valabilă inegalitatea f(x).< М).

Dacă nu este specificată mulțimea X, atunci se înțelege că vorbim despre funcția fiind mărginită de jos sau de sus în întregul domeniu de definiție.

Dacă o funcție este mărginită atât dedesubt, cât și de deasupra, atunci se numește mărginită.

Mărginirea unei funcții este ușor de citit din graficul ei: dacă o funcție este mărginită de jos, atunci graficul ei este situat în întregime deasupra unei anumite linii orizontale y = m (Fig. 57); dacă o funcție este mărginită de sus, atunci graficul ei este situat în întregime sub o linie orizontală y = M (Fig. 58).

Exemplul 2. Examinați mărginirea unei funcții
Soluţie. Pe de o parte, inegalitatea este destul de evidentă (prin definiția unei rădăcini pătrate, aceasta înseamnă că funcția este mărginită mai jos. Pe de altă parte, avem și, prin urmare,
Aceasta înseamnă că funcția este limitată superioară. Acum priviți graficul funcției date (Fig. 52 din paragraful anterior). Limitarea funcției atât de mai sus, cât și de dedesubt poate fi citită destul de ușor din grafic.

Definiția 5.

Numărul m se numește cea mai mică valoare a funcției y = f(x) pe mulțimea X C D(f) dacă:

1) în X există un punct x 0 astfel încât f(x 0) = m;

2) pentru tot x din X inegalitatea m>f(x 0) este valabilă.

Definiția 6.

Numărul M se numește cea mai mare valoare a funcției y = f(x) pe mulțimea X C D(f), dacă:
1) în X există un punct x 0 astfel încât f(x 0) = M;
2) pentru tot x din X inegalitatea
Am notat cea mai mică valoare a unei funcții în clasele a VII-a și a VIII-a cu simbolul y, iar cea mai mare cu simbolul y.

Dacă mulțimea X nu este specificată, atunci se presupune că vorbim despre găsirea celui mai mic sau cea mai mare valoare funcţionează în întregul domeniu al definiţiei.

Următoarele afirmații utile sunt destul de evidente:

1) Dacă o funcție are Y, atunci este mărginită mai jos.
2) Dacă o funcție are Y, atunci este mărginită mai sus.
3) Dacă funcția nu este mărginită mai jos, atunci Y nu există.
4) Dacă funcția nu este mărginită mai sus, atunci Y nu există.

Exemplul 3.

Găsiți cele mai mici și cele mai mari valori ale unei funcții
Soluţie.

Este destul de evident, mai ales dacă folosiți graficul funcției (Fig. 52), că = 0 (funcția atinge această valoare în punctele x = -3 și x = 3), a = 3 (funcția atinge această valoare la x = 0.
În clasele a VII-a și a VIII-a am menționat încă două proprietăți ale funcțiilor. Prima a fost numită proprietatea de convexitate a unei funcții. O funcție este considerată a fi convexă în jos pe un interval X dacă, conectând oricare două puncte ale graficului său (cu abscisele din X) cu un segment de linie dreaptă, aflăm că partea corespunzătoare a graficului se află sub segmentul desenat (Fig. . 59). continuitate O funcție este convexă în sus pe un interval X dacă, conectând oricare două puncte ale graficului său (cu abscisele din X) ale funcției cu un segment de linie dreaptă, aflăm că partea corespunzătoare a graficului se află deasupra segmentului desenat ( Fig. 60).

A doua proprietate - continuitatea unei functii pe intervalul X - inseamna ca graficul functiei pe intervalul X este continuu, i.e. nu are intepaturi sau sarituri.

Cometariu.

De fapt, în matematică totul este, după cum se spune, „exact opusul”: graficul unei funcții este reprezentat ca o linie continuă (fără înțepături sau sărituri) numai atunci când se dovedește continuitatea funcției. Dar o definiție formală a continuității unei funcții, care este destul de complexă și subtilă, nu este încă în capacitatea noastră. Același lucru se poate spune despre convexitatea unei funcții. Când discutăm aceste două proprietăți ale funcțiilor, ne vom baza în continuare pe concepte vizuale și intuitive.

Acum să ne revizuim cunoștințele. Amintindu-ne de funcțiile pe care le-am studiat în clasele a VII-a și a VIII-a, să clarificăm cum arată graficele lor și să enumerăm proprietățile funcției, respectând o anumită ordine, de exemplu aceasta: domeniul de definiție; monoton; prescripţie; , ; continuitate; gamă; convex.

Ulterior, vor apărea noi proprietăți ale funcțiilor, iar lista de proprietăți se va modifica în consecință.

1. Funcția constantă y = C

Graficul funcției y = C este prezentat în Fig. 61 - linie dreaptă, paralelă cu axa x. Aceasta este o caracteristică atât de neinteresantă încât nu are rost să-i enumerați proprietățile.

Graficul funcției y = kx + m este o dreaptă (Fig. 62, 63).

Proprietățile funcției y = kx + m:

1)
2) crește dacă k > 0 (Fig. 62), scade dacă k< 0 (рис. 63);

4) nu există nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare;
5) funcția este continuă;
6)
7) nu are sens să vorbim despre convexitate.

Graficul funcției y = kx 2 este o parabolă cu un vârf la origine și cu ramuri îndreptate în sus dacă k > O (Fig. 64), și în jos dacă k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Proprietățile funcției y - kx 2:

Pentru cazul k> 0 (Fig. 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = nu există;
5) continuu;
6) E(f) = funcția scade, iar pe interval, scade pe rază;
7) convex în sus.

Graficul funcției y = f(x) este reprezentat punct cu punct; Cu cât luăm mai multe puncte ale formei (x; f(x)), cu atât vom obține o idee mai precisă a graficului. Dacă luați multe dintre aceste puncte, atunci veți obține o imagine mai completă a graficului. În acest caz, intuiția ne spune că graficul ar trebui să fie reprezentat ca o linie continuă (în acest caz, sub forma unei parabole). Și apoi, citind graficul, tragem concluzii despre continuitatea funcției, despre convexitatea acesteia în jos sau în sus, despre intervalul de valori al funcției. Trebuie să înțelegeți că dintre cele șapte proprietăți enumerate, numai proprietățile 1), 2), 3), 4) sunt „legitime” - „legitime” în sensul că le putem justifica prin referire la definiții precise. Avem doar idei vizuale și intuitive despre proprietățile rămase. Apropo, nu este nimic în neregulă cu asta. Din istoria dezvoltării matematicii se știe că omenirea a folosit adesea și multă vreme diverse proprietăți ale anumitor obiecte, fără a cunoaște definițiile exacte. Apoi, când astfel de definiții au putut fi formulate, totul a căzut la loc.

Graficul funcției este o hiperbolă, axele de coordonate servesc ca asimptote ale hiperbolei (Fig. 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) dacă k > 0, atunci funcţia scade pe raza deschisă (-oo, 0) şi pe raza deschisă (0, +oo) (Fig. 66); dacă să< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nu este limitat nici de jos, nici de sus;
4) nu există nici cea mai mică, nici cea mai mare valoare;
5) funcţia este continuă pe raza deschisă (-oo, 0) şi pe raza deschisă (0, +oo);
6) E(f) = (-oo,0) U (0,+oo);
7) dacă k > 0, atunci funcția este convexă în sus la x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, adică pe grinda deschisă (0, +oo) (Fig. 66). Dacă să< 0, то функция выпукла вверх при х >O și convex în jos la x< О (рис. 67).
Graficul funcției este o ramură a unei parabole (Fig. 68). Proprietățile funcției:
1) D(f) = , crește pe rază. Pe acest segment $16-x^2≤16$ sau $\sqrt(16-x^2)≤4$, dar aceasta înseamnă mărginit de sus.
Răspuns: funcția noastră este limitată la două linii drepte $y=0$ și $y=4$.

Cea mai mare și cea mai mică valoare

Cea mai mică valoare a funcției y= f(x) pe mulțimea X⊂D(f) este un număr m astfel încât:

b) Pentru orice хϵХ, $f(x)≥f(x0)$ este valabil.

Cea mai mare valoare a funcției y=f(x) pe mulțimea X⊂D(f) este un număr m astfel încât:
a) Există un x0 astfel încât $f(x0)=m$.
b) Pentru orice хϵХ, $f(x)≤f(x0)$ este valabil.

Cele mai mari și cele mai mici valori sunt de obicei notate cu y max. și numele y .

Conceptele de mărginire și cea mai mare cu cea mai mică valoare a unei funcții sunt strâns legate. Următoarele afirmații sunt adevărate:
a) Dacă există o valoare minimă pentru o funcție, atunci aceasta este mărginită mai jos.
b) Dacă o funcție are cea mai mare valoare, atunci este mărginită mai sus.
c) Dacă funcția nu este mărginită mai sus, atunci cea mai mare valoare nu există.
d) Dacă funcția nu este mărginită mai jos, atunci cea mai mică valoare nu există.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Rezolvare: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Pentru $х=4$ $f(4)=5$, pentru toate celelalte valori funcția ia valori mai mici sau nu există, adică aceasta este cea mai mare valoare a funcției.
Prin definiție: $9-4x^2+16x≥0$. Să găsim rădăcinile trinomului pătratic $(2x+1)(2x-9)≥0$. La $x=-0,5$ și $x=4,5$ funcția dispare; în toate celelalte puncte este mai mare decât zero. Atunci, prin definiție, cea mai mică valoare a funcției este egală cu zero.
Răspuns: y max. =5 și y numele. =0.

Băieți, am studiat și conceptul de convexitate a unei funcții. Când rezolvăm unele probleme, este posibil să avem nevoie de această proprietate. Această proprietate este, de asemenea, ușor de determinat folosind grafice.

O funcție este convexă în jos dacă oricare două puncte de pe graficul funcției originale sunt conectate și graficul funcției este sub linia de conectare a punctelor.

O funcție este convexă în sus dacă oricare două puncte de pe graficul funcției originale sunt conectate și graficul funcției este deasupra liniei de conectare a punctelor.

O funcție este continuă dacă graficul funcției noastre nu are întreruperi, de exemplu, ca graficul funcției de mai sus.

Dacă trebuie să găsiți proprietățile unei funcții, atunci succesiunea de căutare a proprietăților este următoarea:
a) Domeniul de definire.
b) Monotonia.
c) Limitare.
d) Cea mai mare și cea mai mică valoare.
d) Continuitate.
e) Gama de valori.

Aflați proprietățile funcției $y=-2x+5$.
Soluţie.
a) Domeniul definiției D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonia. Să verificăm orice valori x1 și x2 și să fie x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Din moment ce x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) Limitare. Evident, funcția nu este limitată.
d) Cea mai mare și cea mai mică valoare. Deoarece funcția este nemărginită, nu există o valoare maximă sau minimă.
d) Continuitate. Graficul funcției noastre nu are pauze, atunci funcția este continuă.
e) Gama de valori. E(y)=(-∞;+∞).

Probleme privind proprietățile unei funcții pentru soluție independentă

Vom numi funcția y=f(x) BOUNDED UPPER (BOTTOM) pe mulțimea A din domeniul definiției D(f) dacă un astfel de număr există M , că pentru orice x din această mulțime condiția este îndeplinită

Folosind simboluri logice, definiția poate fi scrisă astfel:

f(x) – delimitat deasupra pe platou

(f(x) – delimitat de jos pe platou

Sunt de asemenea introduse în considerare funcțiile limitate în modul sau pur și simplu limitate.

Vom numi o funcție MĂRȚITĂ pe mulțimea A din domeniul definiției dacă există un număr pozitiv M astfel încât

În limbajul simbolurilor logice

f(x) – limitat pe platou

O funcție care nu este mărginită se numește nemărginită. Știm că definițiile date prin negație au puțin conținut. Pentru a formula această afirmație ca definiție, folosim proprietățile operațiilor de cuantificare (3.6) și (3.7). Apoi, negând limitarea unei funcții în limbajul simbolurilor logice va da:

f(x) – limitat pe platou

Rezultatul obţinut ne permite să formulăm următoarea definiţie.

O funcție se numește NELIMITAT pe o mulțime A aparținând domeniului de definiție al funcției dacă pe această mulțime pentru orice număr pozitiv M există o astfel de valoare a argumentului x , că valoarea va depăși în continuare valoarea lui M, adică.

Ca exemplu, luați în considerare funcția

Este definită pe toată axa reală. Dacă luăm segmentul [–2;1] (mulțimea A), atunci pe el va fi mărginit atât deasupra cât și dedesubt.

Într-adevăr, pentru a arăta că este mărginit de sus, trebuie să luăm în considerare predicatul

și arătați că există (există) un astfel de M încât pentru tot x luat pe intervalul [–2;1], acesta va fi adevărat

Găsirea unui astfel de M nu este dificilă. Putem presupune M = 7, cuantificatorul existenței implică găsirea a cel puțin o valoare a lui M. Prezența unui astfel de M confirmă faptul că funcția pe intervalul [–2;1] este mărginită de sus.

Pentru a demonstra că este mărginit de jos, trebuie să luăm în considerare predicatul

Valoarea lui M care asigură adevărul unui predicat dat este, de exemplu, M = –100.

Se poate dovedi că funcția va fi limitată și în modul: pentru tot x din intervalul [–2;1], valorile funcției coincid cu valorile lui , astfel încât M putem lua, pt. de exemplu, valoarea anterioară M = 7.

Să arătăm că aceeași funcție, dar pe interval, va fi nelimitată, adică

Pentru a arăta că un astfel de x există, luați în considerare afirmația

Căutând valorile cerute ale lui x printre valorile pozitive ale argumentului, obținem

Aceasta înseamnă că indiferent de ce M pozitiv luăm, valorile lui x care asigură îndeplinirea inegalității

se obtin din relatia .

Considerând o funcție pe întreaga axă reală, se poate demonstra că este nemărginită în valoare absolută.

Într-adevăr, din inegalitate

Adică, indiferent cât de mare este M pozitiv, sau va asigura îndeplinirea inegalității .

FUNCȚIE EXTREMĂ.

Funcția are la punct Cu local maxim (minim), dacă există o astfel de vecinătate a acestui punct care pt X¹ Cu din acest cartier se menține inegalitatea

mai ales că punctul extremum poate fi doar un punct intern al intervalului și f(x) la acesta trebuie neapărat definit. Cazuri posibile absența unui extremum sunt prezentate în Fig. 8.8.

Dacă o funcție crește (descrește) la un anumit interval și scade (crește) la un anumit interval, atunci punctul Cu este un punct maxim (minim) local.

Absența unui maxim al funcției f(x) în punctul Cu poate fi formulat astfel:

_______________________

f(x) are un maxim la punctul c

Aceasta înseamnă că dacă punctul c nu este un punct maxim local, atunci indiferent de vecinătatea care include punctul c ca intern, va exista cel puțin o valoare x diferită de c pentru care . Astfel, dacă nu există un maxim în punctul c, atunci în acest punct poate să nu existe deloc extremum, sau poate fi un punct minim (Fig. 8.9).

Conceptul de extremum oferă o evaluare comparativă a valorii unei funcții în orice punct în raport cu cele din apropiere. O comparație similară a valorilor funcției poate fi efectuată pentru toate punctele dintr-un anumit interval.

Valoarea MAXIMĂ (CEI MICA) a unei funcții dintr-o mulțime este valoarea acesteia într-un punct din această mulțime astfel încât – la . Cea mai mare valoare a funcției este atinsă în punctul interior al segmentului și cea mai mică – la capătul său stâng.

Pentru a determina cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții specificate pe un interval, este necesar să se selecteze cel mai mare (cel mai mic) număr dintre toate valorile maximelor (minimelor) acesteia, precum și valorile acceptate. la capetele intervalului. Aceasta va fi cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției. Această regulă va fi clarificată ulterior.

Problema găsirii celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții pe un interval deschis nu este întotdeauna ușor de rezolvat. De exemplu, funcția

în intervalul (Fig. 8.11) nu le are.

Să ne asigurăm, de exemplu, că această funcție nu are cea mai mare semnificație. De fapt, ținând cont de monotonitatea funcției, se poate argumenta că, indiferent cât de aproape am seta valorile lui x la stânga unității, vor exista și alte x în care valorile funcției vor fi să fie mai mare decât valorile sale la punctele fixe luate, dar totuși mai mici de unu.