Derivate parțiale a 3 variabile. Derivate parțiale de ordinul întâi. Diferenţial complet. În mod similar, obținem incrementul parțial al lui z peste y

Funcții a două variabile, derivate parțiale, diferențiale și gradient

Subiectul 5.Funcțiile a două variabile.

derivate parțiale

Definirea unei funcții a două variabile, metode de setare.

Derivate parțiale.

Gradientul unei funcții a unei variabile

Găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții a două variabile într-un domeniu mărginit închis

1. Definirea unei funcţii a mai multor variabile, metode de setare

Pentru funcţiile a două variabile
domeniul definirii este ceva set de puncte dintr-un plan
, iar intervalul de valori este intervalul de pe axă
.

Pentru reprezentare vizuală funcţiile a două modificări nyh sunt aplicate linii de nivel.

Exemplu . Pentru funcție
construiți un grafic și linii de nivel. Scrieți ecuația dreptei de nivel care trece prin punct
.

Graficul unei funcții liniare este avion in spatiu.

Pentru o funcție, graficul este un plan care trece prin puncte
,
,
.

Linii de nivel de funcție sunt drepte paralele a căror ecuație este
.

Pentru funcţie liniară a două variabile
liniile de nivel sunt date de ecuație
si reprezinta o familie de drepte paralele pe un plan.

Graficul unei funcții 0 1 2 X

Linii de nivel de funcție

Proiecte privatefuncţii derivate a două variabile

Luați în considerare funcția
. Să dăm variabila la punct
increment arbitrar
, plecând valoare variabilă neschimbat. Creșterea funcției corespunzătoare

numit increment privat al unei funcții prin variabilă la punct
.

Definit în mod similar increment parțial al funcțieidupă variabilă: .

Desemnarederivată parțială cu privire la: , ,
,
.

Derivată parțială a unei funcții față de o variabilă numită limită finală :

Denumiri: , ,
,
.

Pentru a găsi derivata parțială
după variabilă, sunt utilizate regulile de diferențiere a unei funcții a unei variabile, presupunând că variabila este constantă..

În mod similar, pentru a găsi derivata parțială în raport cu o variabilă o variabilă este considerată constantă .

Exemplu . Pentru funcție
găsiți derivate parțiale
,
și calculați valorile lor la punctul
.

Derivată parțială a unei funcții
prin variabilă se presupune că este constantă:

Să găsim derivata parțială a funcției în raport cu , presupunând constantă:

Să calculăm valorile derivatelor parțiale la
,
:

;
.

Derivate parțiale de ordinul doi funcțiile mai multor variabile se numesc derivate parțiale ale derivatelor parțiale de ordinul întâi.

Să notăm derivatele parțiale de ordinul 2 pentru funcția:

;
;

;
.

;
etc.

Dacă derivatele parțiale mixte ale funcțiilor mai multor variabile sunt continue la un moment dat
, atunci ei egale între eleîn acest moment. Aceasta înseamnă că pentru o funcție a două variabile, valorile derivatelor parțiale mixte nu depind de ordinea diferențierii:

Exemplu. Pentru funcție, găsiți derivatele parțiale de ordinul doi
Și
.

Soluţie

Derivata parțială mixtă se găsește prin diferențierea succesivă mai întâi a funcției prin (presupunând constantă), apoi diferențierea derivatei
de (considerând constantă).

Derivata se gaseste prin diferentierea mai intai a functiei fata de , apoi derivata fata de .

Derivatele parțiale mixte sunt egale între ele:
.

3. Gradientul unei funcții a două variabile

Proprietăți de gradient

Exemplu . Dată o funcție
. Găsiți gradientul
la punct
și construiește-l.

Soluţie

Să găsim coordonatele gradientului - derivate parțiale.

La punctul
gradient egal cu . Începutul vectorului
la punct , iar sfârșitul la punct .

4. Găsirea celor mai mari și mai mici valori ale unei funcții a două variabile într-o zonă limitată închisă

Formularea problemei. Să existe o regiune delimitată închisă în plan
este dat de un sistem de inegalităţi de formă
. Este necesar să se găsească puncte în regiunea în care funcția ia cele mai mari și cele mai mici valori.

Este important problema găsirii unui extremum, al cărui model matematic conţine liniar restricţii (ecuaţii, inegalităţi) şi liniar funcţie
.

Formularea problemei. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții
(2.1)

sub restricții

(2.2)

. (2.3)

Deoarece nu există puncte critice pentru o funcție liniară a mai multor variabile interior regiune
, atunci soluția optimă, care oferă un extremum funcției obiectiv, este atinsă numai la hotarul regiunii. Pentru o regiune definită de constrângeri liniare, punctele extremului posibil sunt puncte de colț. Acest lucru ne permite să luăm în considerare soluția problemei metoda grafica.

Rezolvarea grafică a unui sistem de inegalități liniare

Pentru a rezolva această problemă grafic, trebuie să fiți capabil să rezolvați grafic sisteme de inegalități liniare cu două variabile.

Procedură:

Rețineți că inegalitatea
defineste semiplan de coordonate drepte(din axa
), și inegalitatea
- semiplan de coordonate superioare(din axa
).

Exemplu. Rezolvați grafic inegalitatea
.

Să scriem ecuația liniei de limită
și construiește-l pe baza a două puncte, de exemplu,
Și
. O linie dreaptă împarte un plan în două semiplane.

Coordonatele punctului
satisface inegalitatea (
– adevărat), ceea ce înseamnă că coordonatele tuturor punctelor semiplanului care conține punctul satisfac inegalitatea. Soluția inegalității vor fi coordonatele punctelor semiplanului situate la dreapta liniei de frontieră, inclusiv punctele de pe graniță. Semiplanul dorit este evidențiat în figură.

Soluţie
sistem de inegalități se numește acceptabil, dacă coordonatele sale sunt nenegative, . Setul de soluții fezabile ale sistemului de inegalități formează o regiune care este situată în primul sfert al planului de coordonate.

Exemplu. Construiți domeniul de soluție al sistemului de inegalități

Soluțiile inegalităților sunt:

1)
- semiplan situat la stânga și dedesubt față de linia dreaptă ( )
;

2)
– semiplan situat în semiplanul din dreapta jos în raport cu linia dreaptă ( )
;

3)
- semiplan situat la dreapta dreptei ( )
;

4) - semiplan deasupra axei x, adică linie dreaptă ( )
.

Gama de soluții fezabile a unui sistem dat de inegalități liniare este o mulțime de puncte situate în interiorul și la limita patrulaterului
, care este intersecție patru semiavioane.

Reprezentarea geometrică a unei funcții liniare

(linii de nivel și gradient)

Să stabilim valoarea
, obținem ecuația
, care definește geometric o linie dreaptă. În fiecare punct al liniei funcția ia valoarea si este linie de nivel. Dăruind sensuri diferite, De exemplu,

, ... , obținem o mulțime de linii de nivel - multime de paralele direct.

Să construim gradient- vector
, ale căror coordonate sunt egale cu valorile coeficienților variabilelor din funcție
. Acest vector: 1) perpendicular pe fiecare linie dreaptă (linie de nivel)
; 2) arată direcția de creștere a funcției obiectiv.

Exemplu . Trasează linii de nivel și funcții de gradient
.

Liniile de nivel la , , sunt drepte

,
,

, paralele între ele. Gradientul este un vector perpendicular pe fiecare linie de nivel.

Găsirea grafică a valorilor mai mari și cele mai mici ale unei funcții liniare într-o zonă

Formularea geometrică a problemei. Aflați în domeniul soluției sistemului de inegalități liniare punctul prin care trece linia de nivel, corespunzător celei mai mari (mai mici) valori a unei funcții liniare cu două variabile.

Secvențiere:

4. Aflați coordonatele punctului A rezolvând sistemul de ecuații de drepte care se intersectează în punctul A și calculați cea mai mică valoare a funcției
. La fel și pentru punctul B și cea mai mare valoare funcții
. construit pe puncte.variabile Privatderivatefuncții mai multe variabileși tehnica de diferențiere. Extremum funcțiiDouăvariabile si este necesar...

Fiecare derivată parțială (prin Xși prin y) a unei funcții a două variabile este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile pentru o valoare fixă a celeilalte variabile:

(Unde y= const),

(Unde X= const).

Prin urmare, derivatele parțiale sunt calculate folosind formule și reguli pentru calcularea derivatelor funcțiilor unei variabile, luând în considerare cealaltă constantă variabilă.

Dacă nu aveți nevoie de o analiză a exemplelor și de teoria minimă necesară pentru aceasta, ci aveți nevoie doar de o soluție la problema dvs., atunci accesați calculator de derivate parțiale online .

Dacă este greu să vă concentrați pentru a urmări unde se află constanta în funcție, atunci în schița de soluție a exemplului, în loc de o variabilă cu o valoare fixă, puteți înlocui orice număr - atunci puteți calcula rapid derivata parțială ca derivata obisnuita a unei functii a unei variabile. Trebuie doar să vă amintiți să returnați constanta (o variabilă cu o valoare fixă) la locul ei când terminați proiectul final.

Proprietatea derivatelor parțiale descrisă mai sus rezultă din definiția derivatelor parțiale, care poate apărea în întrebările de examen. Prin urmare, pentru a vă familiariza cu definiția de mai jos, puteți deschide referința teoretică.

Conceptul de continuitate a unei funcții z= f(X, y) într-un punct este definit în mod similar cu acest concept pentru o funcție a unei variabile.

Funcţie z = f(X, y) se numeste continuu intr-un punct daca

Diferența (2) se numește increment total al funcției z(se obține ca urmare a creșterii ambelor argumente).

Să fie dată funcția z= f(X, y) și punct

Dacă funcția se schimbă z apare atunci când doar unul dintre argumente se schimbă, de exemplu, X, cu o valoare fixă a altui argument y, atunci funcția va primi un increment

numită creștere parțială a funcției f(X, y) De X.

Luând în considerare o schimbare a funcției zîn funcție de schimbarea doar a unuia dintre argumente, trecem efectiv la o funcție a unei variabile.

Dacă există o limită finită

atunci se numește derivată parțială a funcției f(X, y) prin argumentare Xși este indicată de unul dintre simboluri

(4)

Creșterea parțială este determinată în mod similar z De y:

și derivată parțială f(X, y) De y:

(6)

Exemplul 1.

Soluţie. Găsim derivata parțială față de variabila „x”:

(y fix);

Găsim derivata parțială față de variabila „y”:

(X fix).

După cum puteți vedea, nu contează în ce măsură variabila este fixă: în acest caz este pur și simplu un anumit număr care este un factor (ca și în cazul derivatei obișnuite) al variabilei cu care găsim derivata parțială. . Dacă variabila fixă nu este înmulțită cu variabila cu care găsim derivata parțială, atunci această constantă singuratică, indiferent în ce măsură, ca în cazul derivatei obișnuite, dispare.

Exemplul 2. Dată o funcție

Găsiți derivate parțiale

(prin X) și (prin Y) și calculați valorile lor la punctul A (1; 2).

Soluţie. La fix y derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției putere ( tabelul funcțiilor derivate ale unei variabile):

La fix X derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției exponențiale, iar al doilea - ca derivată a unei constante:

Acum să calculăm valorile acestor derivate parțiale la punctul respectiv A (1; 2):

Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator de derivate parțiale online .

Exemplul 3. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

Soluţie. Într-un singur pas găsim

(y X, de parcă argumentul sinelui ar fi 5 X: la fel, 5 apare înaintea semnului funcției);

(X este fix și este în acest caz un multiplicator la y).

Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator de derivate parțiale online .

Derivatele parțiale ale unei funcții de trei sau mai multe variabile sunt definite în mod similar.

Dacă fiecare set de valori ( X; y; ...; t) variabile independente din mulţime D corespunde unei anumite valori u din multi E, Acea u numită funcţie de variabile X, y, ..., t si denota u= f(X, y, ..., t).

Pentru funcțiile a trei sau mai multe variabile, nu există o interpretare geometrică.

Derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile sunt, de asemenea, determinate și calculate sub ipoteza că doar una dintre variabilele independente se modifică, în timp ce celelalte sunt fixe.

Exemplul 4. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

Soluţie. yȘi z fix:

XȘi z fix:

XȘi y fix:

Găsiți singur derivate parțiale și apoi uitați-vă la soluții

Exemplul 5.

Exemplul 6. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții.

Derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile are același lucru sensul mecanic este același cu derivata unei funcții a unei variabile, este rata de modificare a funcției în raport cu o modificare a unuia dintre argumente.

Exemplul 8. Valoarea cantitativă a debitului P călătorii feroviari pot fi exprimați prin funcție

Unde P– numărul de pasageri, N– numărul de rezidenți ai punctelor corespondente, R- distanta dintre puncte.

Derivată parțială a unei funcții P De R, egal

arată că scăderea fluxului de pasageri este invers proporțională cu pătratul distanței dintre punctele corespunzătoare cu același număr de rezidenți în puncte.

Derivată parțială P De N, egal

arată că creșterea fluxului de pasageri este proporțională cu dublul numărului de locuitori ai localităților aflate la aceeași distanță între puncte.

Puteți verifica soluția problemelor derivate parțiale la calculator de derivate parțiale online .

Diferenţial complet

Produsul unei derivate parțiale și incrementul variabilei independente corespunzătoare se numește diferențială parțială. Diferențele parțiale se notează după cum urmează:

Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Pentru o funcție a două variabile independente, diferența totală este exprimată prin egalitate

(7)

Exemplul 9. Găsiți diferența completă a unei funcții

Soluţie. Rezultatul utilizării formulei (7):

Se spune că o funcție care are o diferență totală în fiecare punct al unui anumit domeniu este diferențiabilă în acel domeniu.

Găsiți singur diferența totală și apoi uitați-vă la soluție

La fel ca și în cazul unei funcții a unei variabile, diferențiabilitatea unei funcții într-un anumit domeniu implică continuitatea acesteia în acest domeniu, dar nu invers.

Să formulăm fără dovezi o condiție suficientă pentru derivabilitatea unei funcții.

Teorema. Dacă funcţia z= f(X, y) are derivate parțiale continue

într-o regiune dată, atunci este diferențiabilă în această regiune și diferența sa este exprimată prin formula (7).

Se poate demonstra că, la fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, diferența funcției este partea liniară principală a incrementului funcției, deci în cazul unei funcții de mai multe variabile, diferența totală este principala, liniară în raport cu incrementele variabilelor independente, parte din incrementul total al funcției.

Pentru o funcție de două variabile, incrementul total al funcției are forma

(8)

unde α și β sunt infinitezimale la și .

Derivate parțiale de ordin superior

Derivate parțiale și funcții f(X, y) în sine sunt unele funcții ale acelorași variabile și, la rândul lor, pot avea derivate față de diferite variabile, care sunt numite derivate parțiale de ordin superior.

Definiție 1.11 Să fie dată o funcție a două variabile z=z(x,y), (x,y)D . Punct M 0 (X 0 ;y 0 ) - punctul intern al zonei D .

Dacă în D există un astfel de cartier U.M. 0 puncte M 0 , care pentru toate punctele

apoi punct M 0 se numește punct maxim local. Și sensul în sine z(M 0 ) - maxim local.

Și dacă pentru toate punctele

apoi punct M 0 se numește punctul minim local al funcției z(x,y) . Și sensul în sine z(M 0 ) - minim local.

Maximul local și minimul local se numesc extreme locale ale funcției z(x,y) . În fig. 1.4 explică semnificația geometrică a maximului local: M 0 - punct maxim, deoarece la suprafata z =z (x,y) punctul său corespunzător C 0 este mai înalt decât orice punct învecinat C (aceasta este localitatea maximului).

Rețineți că, în general, există puncte pe suprafață (de exemplu, ÎN ), care sunt situate deasupra C 0 , dar aceste puncte (de exemplu, ÎN ) nu sunt „vecinate” până la obiect C 0 .

În special, punctul ÎN corespunde conceptului de maxim global:

Minimul global este definit în mod similar:

Găsirea maximelor și minimelor globale va fi discutată în secțiunea 1.10.

Teorema 1.3(condiții necesare pentru un extremum).

Să fie dată funcția z =z (x,y), (x,y)D . Punct M 0 (X 0 ;y 0 D - punctul extremum local.

Dacă în acest moment există z" X Și z" y , Acea

Dovada geometrică este „evidentă”. Dacă la punct C 0 trageți un plan tangent pe (Fig. 1.4), apoi va trece „în mod natural” pe orizontală, adică într-un unghi 0° la axa Oh iar la axă OU .

Apoi, în conformitate cu semnificația geometrică a derivatelor parțiale (Fig. 1.3):

care era ceea ce trebuia dovedit.

Definiția 1.12.

Dacă la punct M 0 sunt îndeplinite condițiile (1.41), atunci se numește punct staționar al funcției z(x,y) .

Teorema 1.4(condiții suficiente pentru un extremum).

Să fie dat z =z (x,y), (x,y)D , care are derivate parțiale de ordinul doi într-o apropiere a punctului M 0 (X 0 ,y 0 )D . în plus M 0 - punct staționar (adică sunt îndeplinite condițiile necesare (1.41). Să calculăm:

Demonstrarea teoremei folosește subiecte (formula lui Taylor pentru funcțiile mai multor variabile și teoria formelor pătratice) care nu sunt tratate în acest tutorial.

Exemplul 1.13.

Explorează până la extrem:

Soluţie

1. Găsiți puncte staționare prin rezolvarea sistemului (1.41):

adică se găsesc patru puncte staţionare. 2.

prin teorema 1.4 în punctul în care există un minim. în plus

prin teorema 1.4 la punctul

Maxim. în plus

Și nu trebuie să căutați nimic: în articolul nostru separat am pregătit deja totul, astfel încât să puteți face acest lucru. Și acum vom vorbi despre derivate parțiale.

Bun venit pe canalul nostru Telegram pentru buletine informative utile și știri actuale pentru studenți.

Funcția a două sau mai multe variabile

Înainte de a vorbi despre derivate parțiale, trebuie să atingem conceptul de funcție a mai multor variabile, fără de care nu are rost la o derivată parțială. La școală suntem obișnuiți să ne ocupăm de funcțiile unei variabile:

Am considerat anterior derivatele unor astfel de funcții. Graficul unei funcții a unei variabile este o dreaptă pe un plan: o dreaptă, o parabolă, o hiperbolă etc.

Dacă adăugăm o altă variabilă? Veți obține următoarea funcție:

Este o funcție a două variabile independente XȘi y. Graficul unei astfel de funcții este o suprafață în spatiu tridimensional: o minge, hiperboloid, paraboloid sau vreun alt cal sferic în vid. Funcții derivate parțiale z X și respectiv Y sunt scrise după cum urmează:

Există, de asemenea, funcții a trei sau mai multe variabile. Adevărat, este imposibil să desenezi un grafic al unei astfel de funcție: acest lucru ar necesita cel puțin un spațiu cu patru dimensiuni, care nu poate fi reprezentat.

Derivată parțială de ordinul întâi

Să ne amintim regula principală:

La calcularea derivatei parțiale față de una dintre variabile, a doua variabilă este luată ca o constantă. În caz contrar, regulile de calcul al derivatului nu se modifică.

Adică, derivata parțială nu este în esență diferită de cea obișnuită. Așadar, ține în fața ochilor tabelul derivatelor funcțiilor elementare și regulile de calcul a derivatelor obișnuite. Să ne uităm la un exemplu pentru a fi complet clar. Să presupunem că trebuie să calculăm derivatele parțiale de ordinul întâi ale următoarei funcții:

Mai întâi, să luăm derivata parțială față de x, considerând y un număr obișnuit:

Acum calculăm derivata parțială față de y, luând x ca constantă:

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în acest sens, iar succesul cu exemple mai complexe este doar o chestiune de practică.

Derivată parțială de ordinul doi

Cum se găsește derivata parțială de ordinul doi? La fel ca primul. Pentru a găsi derivate parțiale de ordinul doi, luați pur și simplu derivata derivatei de ordinul întâi. Să revenim la exemplul de mai sus și să calculăm derivatele parțiale de ordinul doi.

De către jucător:

Derivatele parțiale de ordinul trei și de ordinul superior nu diferă în principiul calculului. Să sistematizăm regulile:

La diferențierea cu o variabilă independentă, a doua este luată ca o constantă.
O derivată de ordinul doi este o derivată a unei derivate de ordinul întâi. De ordinul trei – derivată de ordinul doi, etc.

Derivate parțiale și funcții diferențiale totale

O întrebare frecventă în sarcinile practice este găsirea diferenţialului total al unei funcţii. Pentru o funcție de mai multe variabile, diferența totală este definită ca partea liniară principală a micului increment total al funcției în raport cu incrementele argumentelor.

Definiția sună greoaie, dar cu litere totul este mai simplu. Diferenţial complet O funcție de ordinul întâi a mai multor variabile arată astfel:

Știind cum se calculează derivatele parțiale, nu există nicio problemă în calcularea diferenţialului total.

Derivatele parțiale nu sunt un subiect atât de inutil. De exemplu, ecuațiile diferențiale parțiale de ordinul doi sunt utilizate pe scară largă pentru a descrie matematic procesele fizice din viața reală.

Aici am oferit doar o idee generală, superficială, a derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Sunteți interesat de acest subiect sau aveți întrebări specifice? Întrebați-i în comentarii și contactați experții serviciilor profesionale pentru studenți pentru asistență calificată și de urgență în studiile dumneavoastră. Cu noi nu vei ramane singur cu problema!

Principiul general al găsirii derivatelor parțiale de ordinul doi ale unei funcții a trei variabile este similar cu principiul găsirii derivatelor parțiale de ordinul doi ale unei funcții a două variabile.

Pentru a găsi derivate parțiale de ordinul doi, trebuie mai întâi să găsiți derivate parțiale de ordinul întâi sau, într-o altă notație:

Există nouă derivate parțiale de ordinul doi.

Primul grup este derivatele a doua în raport cu aceleași variabile:

Sau – a doua derivată în raport cu „x”;

Sau – a doua derivată în raport cu „Y”;

Sau – a doua derivată în raport cu „zet”.

Al doilea grup este amestecat Derivate parțiale de ordinul 2, există șase dintre ele:

Sau - amestecat derivat „prin x igrek”;

Sau - amestecat derivat „prin jocul x”;

Sau - amestecat derivată „față de x z”;

Sau - amestecat derivată „prin zt x”;

Sau - amestecat derivat „cu privire la igrek z”;

Sau - amestecat derivat „prin zt igrek”.

Ca și în cazul unei funcții a două variabile, atunci când rezolvați probleme, vă puteți concentra pe următoarele egalități ale derivatelor mixte de ordinul doi:

Notă: strict vorbind, acesta nu este întotdeauna cazul. Pentru ca derivatele mixte să fie egale, trebuie îndeplinită cerința continuității acestora.

Pentru orice eventualitate, iată câteva exemple despre cum să citiți corect această rușine cu voce tare:

- „două lovituri au de două ori un joc”;

– „de doi y by de z pătrat”;

– „sunt două linii în X și Z”;

- „de two y po de zet po de igrek.”

Exemplul 10

Găsiți toate derivatele parțiale de ordinul întâi și al doilea pentru o funcție a trei variabile:

Soluţie: Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi:

Luăm derivatul găsit

și diferențiază-l prin „Y”:

Luăm derivatul găsit

și diferențiază-l prin „x”:

Egalitatea este îndeplinită. Amenda.

Să ne ocupăm de a doua pereche de derivate mixte.

Luăm derivatul găsit

și diferențiază-l prin „z”:

Luăm derivatul găsit

și diferențiază-l prin „x”:

Egalitatea este îndeplinită. Amenda.

Ne ocupăm de a treia pereche de derivate mixte într-un mod similar:

Egalitatea este îndeplinită. Amenda.

După munca depusă, putem garanta că, în primul rând, am găsit corect toate derivatele parțiale de ordinul I, iar în al doilea rând, am găsit corect și derivatele parțiale mixte de ordinul 2.

Rămâne să găsiți încă trei derivate parțiale de ordinul doi; aici, pentru a evita greșelile, ar trebui să vă concentrați atenția cât mai mult posibil:

Gata. Repet, sarcina nu este atât de grea, cât este voluminoasă. Soluția poate fi scurtată și referită la egalități ale derivatelor parțiale mixte, dar în acest caz nu va exista nicio verificare. Prin urmare, este mai bine să petreceți timp și să găsiți Toate derivate (în plus, profesorul poate solicita acest lucru) sau, în ultimă instanță, verificați proiectul.

Exemplul 11

Găsiți toate derivatele parțiale de ordinul întâi și al doilea pentru o funcție a trei variabile

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2:Soluţie:

Exemplul 4:Soluţie: Să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi.

Să creăm un diferențial complet de primă ordine:

Exemplul 6:Soluţie: M(1, -1, 0):

Exemplul 7:Soluţie: Să calculăm derivatele parțiale de ordinul întâi în acest punctM(1, 1, 1):

Exemplul 9:Soluţie:

Exemplul 11:Soluţie: Să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi:

Să găsim derivatele parțiale de ordinul doi:

Integrale

8.1. Integrală nedefinită. Eșantion de soluții detaliate

Să începem să studiem subiectul " integrală nedefinită", și vom analiza, de asemenea, în detaliu exemple de soluții la cele mai simple (și nu atât de simple) integrale. Ca de obicei, ne vom limita la minimul de teorie, care este în numeroase manuale; sarcina noastră este să învățăm cum să rezolvăm integralele.

Ce trebuie să știți pentru a stăpâni cu succes materialul? Pentru a face față calculului integral, trebuie să poți găsi derivate la minimum, la un nivel intermediar. Nu va fi o risipă de experiență dacă aveți câteva zeci, sau mai bine zis, sute de derivate găsite independent în subordine. Cel puțin, nu ar trebui să fii confuz de sarcini pentru a diferenția cele mai simple și mai comune funcții.

S-ar părea, ce legătură au derivatele cu asta dacă articolul este despre integrale?! Iată chestia. Cert este că găsirea derivatelor și găsirea integralelor nedefinite (diferențiere și integrare) sunt două acțiuni reciproc inverse, cum ar fi adunarea/scăderea sau înmulțirea/împărțirea. Astfel, fără pricepere și orice experiență în găsirea de derivate, din păcate, nu poți merge mai departe.

În acest sens, vom avea nevoie de următoarele materiale didactice: Tabelul derivatelorȘi Tabelul integralelor.

Care este dificultatea în a învăța integralele nedefinite? Dacă în derivate există strict 5 reguli de diferențiere, un tabel de derivate și un algoritm de acțiuni destul de clar, atunci în integrale totul este diferit. Există zeci de metode și tehnici de integrare. Și, dacă metoda de integrare este inițial aleasă incorect (adică nu știți cum să rezolvați), atunci puteți „înțepa” integrala literalmente zile întregi, ca un adevărat puzzle, încercând să descoperiți diferite tehnici și trucuri. Unora chiar le place.

Apropo, am auzit destul de des de la studenți (nu sunt specializați în științe umaniste) o opinie de genul: „Nu am avut niciodată vreun interes să rezolv o limită sau o derivată, dar integralele sunt o chestiune complet diferită, este fascinant, există întotdeauna o dorința de a „hack” o integrală complexă.” . Stop. Ajunge de umor negru, să trecem la aceste integrale foarte nedefinite.

Deoarece există multe modalități de a o rezolva, atunci de unde ar trebui să înceapă un ceainic să studieze integralele nedefinite? În calculul integral, în opinia noastră, există trei piloni sau un fel de „axă” în jurul cărora se învârte totul. În primul rând, ar trebui să înțelegeți bine cele mai simple integrale (acest articol).

Apoi, trebuie să parcurgeți lecția în detaliu. ASTA ESTE CEA MAI IMPORTANTĂ TEHNICĂ! Poate chiar cel mai important articol dintre toate articolele despre integrale. Și în al treilea rând, cu siguranță ar trebui să citiți metoda integrarii prin piese, deoarece integrează o clasă largă de funcții. Dacă stăpânești măcar aceste trei lecții, atunci nu vei mai avea două. S-ar putea să fii iertat că nu știi integrale ale funcții trigonometrice , integrale ale fracțiilor, integrale ale funcţiilor fracţionale-raţionale, integrale ale funcțiilor iraționale (rădăcini), dar dacă „ai probleme” cu metoda de înlocuire sau metoda de integrare pe piese, atunci va fi foarte, foarte rău.

Deci, să începem simplu. Să ne uităm la tabelul integralelor. Ca și în cazul derivatelor, observăm câteva reguli de integrare și un tabel de integrale ale unor funcții elementare. Orice integrală de tabel (și într-adevăr orice integrală nedefinită) are forma:

Să înțelegem imediat notațiile și termenii:

– pictograma integrală.

– funcția integrand (scrisă cu litera „s”).

– pictogramă diferenţial. Ne vom uita la ce este asta foarte curând. Principalul lucru este că atunci când scrieți integrala și în timpul soluției, este important să nu pierdeți această pictogramă. Va fi un defect vizibil.

– expresie integrandă sau „umplere” a integralei.

– antiderivat funcţie.

– . Nu este nevoie să fii foarte încărcat cu termeni; cel mai important lucru aici este că în orice integrală nedefinită se adaugă o constantă la răspuns.

Rezolvarea unei integrale nedefinite înseamnă a găsimulte funcții primitive din integrantul dat

Să ne uităm din nou la intrare:

Să ne uităm la tabelul integralelor.

Ce se întâmplă? Avem părțile din stânga A se transforma în la alte funcţii: .

Să simplificăm definiția noastră:

Rezolvați integrale nedefinite - aceasta înseamnă TRANSFORMĂ-l într-o funcție nedefinită (până la o constantă). , folosind unele reguli, tehnici și un tabel.

Luați, de exemplu, integrala tabelului . Ce s-a întâmplat? Notația simbolică a evoluat în multe funcții primitive.

Ca și în cazul derivatelor, pentru a învăța cum să găsești integralele, nu este necesar să fii conștient de ce este o funcție integrală sau antiderivată din punct de vedere teoretic. Este suficient să efectuați pur și simplu transformări conform unor reguli formale. Deci, în caz că Nu este deloc necesar să înțelegem de ce integrala se transformă în . Puteți lua aceasta și alte formule de la sine înțeles. Toată lumea folosește electricitate, dar puțini oameni se gândesc la modul în care electronii călătoresc prin fire.

Deoarece diferențierea și integrarea sunt operații opuse, pentru orice antiderivată care este găsită corect, următoarele este adevărată:

Cu alte cuvinte, dacă diferențiați răspunsul corect, atunci trebuie să obțineți funcția integrand originală.

Să revenim la aceeași integrală de tabel .

Să verificăm validitatea acestei formule. Luăm derivata părții drepte:

este funcția integrand originală.

Apropo, a devenit mai clar de ce o constantă este întotdeauna atribuită unei funcții. Când este diferențiată, constanta se transformă întotdeauna la zero.

Rezolvați integrale nedefinite- înseamnă a găsi o multime de toata lumea antiderivate, și nu doar o funcție. În exemplul de tabel luat în considerare, , , , etc. – toate aceste funcții sunt soluții ale integralei. Există infinit de soluții, așa că le scriem pe scurt:

Astfel, orice integrală nedefinită este destul de ușor de verificat. Aceasta este o compensație pentru un numar mare de integrale de diferite tipuri.

Să trecem la a lua în considerare exemple specifice. Să începem, ca și în studiul derivatei, cu două reguli de integrare:

- constant C poate (și ar trebui) să fie scos din semnul integral.

– integrala sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) a două integrale. Această regulă este valabilă pentru orice număr de termeni.

După cum puteți vedea, regulile sunt practic aceleași ca pentru instrumentele derivate. Uneori sunt chemați proprietăți de liniaritate integrală.

Exemplul 1

Aflați integrala nedefinită.

Efectuați verificarea.

Soluţie: Este mai convenabil să-l convertiți ca.

(1) Aplicați regula . Uităm să notăm pictograma diferențială dx sub fiecare integrală. De ce sub fiecare? dx– acesta este un multiplicator cu drepturi depline. Dacă o descriem în detaliu, primul pas ar trebui scris astfel:

(2) Potrivit regulii mutam toate constantele dincolo de semnele integralelor. Vă rugăm să rețineți că în ultimul mandat tg 5 este o constantă, o scoatem și noi.

În plus, la acest pas pregătim rădăcini și puteri pentru integrare. La fel ca în cazul diferențierii, rădăcinile trebuie reprezentate în formă . Mutați rădăcinile și puterile care sunt situate în numitor în sus.

Notă: Spre deosebire de derivate, rădăcinile din integrale nu trebuie reduse întotdeauna la forma , și mutați gradele în sus.

De exemplu, - aceasta este o integrală de tabel gata făcută, care a fost deja calculată înaintea dvs. și tot felul de trucuri chinezești precum complet inutil. De asemenea: – aceasta este, de asemenea, o integrală de tabel; nu are rost să reprezentați fracția în formă . Studiați cu atenție masa!

(3) Toate integralele noastre sunt tabulare. Efectuăm transformarea folosind un tabel folosind formulele: , Și

pentru o funcție de putere - .

Trebuie remarcat faptul că integrala tabelului este un caz special al formulei pentru o funcție de putere: .

Constant C este suficient să adăugați o dată la sfârșitul expresiei

(mai degrabă decât să le pună după fiecare integrală).

(4) Scriem rezultatul obținut într-o formă mai compactă, când toate puterile sunt de forma

din nou le reprezentăm sub formă de rădăcini și resetăm puterile cu un exponent negativ înapoi în numitor.

Examinare. Pentru a efectua verificarea, trebuie să diferențiați răspunsul primit:

A primit originalul integrand, adică integrala a fost găsită corect. Din ce au dansat, s-au întors. E bine când povestea cu integrala se termină astfel.

Din când în când, există o abordare ușor diferită pentru verificarea unei integrale nedefinite, atunci când nu este derivată, dar diferența este luată din răspuns:

Ca rezultat, obținem nu o funcție integrand, ci o expresie integrand.

Nu vă fie frică de conceptul de diferențial.

Diferenţialul este derivata înmulţită cu dx.

Cu toate acestea, ceea ce este important pentru noi nu sunt subtilitățile teoretice, ci ce să facem în continuare cu această diferență. Diferența se dezvăluie astfel: pictograma d îl scoatem, punem un prim în dreapta deasupra parantezei, adăugăm un factor la sfârșitul expresiei dx :

Original primit integrand, adică integrala a fost găsită corect.

După cum puteți vedea, diferența se reduce la găsirea derivatei. Îmi place a doua metodă de a verifica mai puțin, deoarece trebuie să trag în plus paranteze mari și să trag pictograma diferențial dx până la finalul verificării. Deși este mai corect, sau „mai respectabil” sau așa ceva.

De fapt, a fost posibil să păstrăm tăcerea cu privire la a doua metodă de verificare. Ideea nu este în metodă, ci în faptul că am învățat să deschidem diferența. Din nou.

Diferența este dezvăluită după cum urmează:

1) pictograma d elimina;

2) în dreapta deasupra parantezei punem o lovitură (denotația derivatului);

3) la sfârșitul expresiei atribuim un factor dx .

De exemplu:

Tine minte asta. Vom avea nevoie de această tehnică foarte curând.

Exemplul 2

Când găsim o integrală nedefinită, încercăm ÎNTOTDEAUNA să verificămÎn plus, există o mare oportunitate pentru asta. Nu toate tipurile de sarcini în matematică superioară sunt un dar din acest punct de vedere. Nu contează că verificarea nu este adesea necesară în sarcinile de control; nimeni și nimic nu vă împiedică să o faceți pe draft. O excepție poate fi făcută numai atunci când nu este suficient timp (de exemplu, în timpul unui test sau examen). Personal, verific integral integrale și consider că lipsa verificării este un hack job și o sarcină prost finalizată.

Exemplul 3

Aflați integrala nedefinită:

. Efectuați verificarea.

Rezolvare: Analizând integrala, vedem că sub integrală avem produsul a două funcții și chiar exponențiarea unei expresii întregi. Din păcate, în domeniul luptei integrale Nu bun si confortabil formule de integrare a produsului și a coeficientului la fel de: sau .

Prin urmare, atunci când este dat un produs sau un coeficient, este întotdeauna logic să vedem dacă este posibil să transformăm integrandul într-o sumă? Exemplul luat în considerare este cazul când este posibil.

În primul rând, vom prezenta soluția completă, comentariile vor fi mai jos.

(1) Folosim vechea formulă bună a pătratului sumei pentru orice numere reale, scăpând de gradul peste paranteză comună. în afara parantezelor şi aplicând formula de înmulţire prescurtată în sens invers: .

Exemplul 4

Aflați integrala nedefinită

Efectuați verificarea.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Răspunsul și soluția completă sunt la sfârșitul lecției.

Exemplul 5

Aflați integrala nedefinită

. Efectuați verificarea.

În acest exemplu, integrandul este o fracție. Când vedem o fracție în integrand, primul gând ar trebui să fie întrebarea: „Este posibil să scăpăm cumva de această fracție sau măcar să o simplificăm?”

Observăm că numitorul conține o singură rădăcină a lui „X”. Unul din domeniu nu este un războinic, ceea ce înseamnă că putem împărți numărătorul la numitor termen cu termen:

Nu comentăm acțiunile cu puteri fracționale, deoarece acestea au fost discutate de multe ori în articole despre derivata unei funcții.

Dacă încă ești perplex de un astfel de exemplu ca

și în niciun caz nu iese răspunsul corect,

De asemenea, rețineți că soluției lipsește un pas și anume aplicarea regulilor , . De obicei, cu ceva experiență în rezolvarea integralelor, aceste reguli sunt considerate un fapt evident și nu sunt descrise în detaliu.

Exemplul 6

Aflați integrala nedefinită. Efectuați verificarea.

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Răspunsul și soluția completă sunt la sfârșitul lecției.

În cazul general, cu fracții în integrale, nu totul este atât de simplu; material suplimentar despre integrarea fracțiilor de unele tipuri poate fi găsit în articol: Integrarea unor fracții. Dar, înainte de a trece la articolul de mai sus, trebuie să vă familiarizați cu lecția: Metoda înlocuirii în integrală nedefinită. Ideea este că subsumarea unei funcții într-o metodă de înlocuire diferențială sau variabilă este punct-cheieîn studiul temei, deoarece se găsește nu numai „în sarcinile pure pe metoda înlocuirii”, ci și în multe alte tipuri de integrale.

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 2: Soluție:

Exemplul 4: Soluție:

În acest exemplu am folosit formula de înmulțire prescurtată

Exemplul 6: Soluție:

Metoda de schimbare a unei variabile într-o integrală nedefinită. Exemple de soluții

În această lecție ne vom familiariza cu una dintre cele mai importante și mai comune tehnici care este folosită la rezolvarea integralelor nedefinite - metoda schimbării variabilelor. Stăpânirea cu succes a materialului necesită cunoștințe inițiale și abilități de integrare. Dacă aveți senzația unui fierbător gol, plin în calcul integral, atunci ar trebui să vă familiarizați mai întâi cu materialul Integrală nedefinită. Exemple de soluții, unde este explicat într-o formă accesibilă ce este o integrală și sunt analizate în detaliu exemple de bază pentru începători.

Din punct de vedere tehnic, metoda de schimbare a unei variabile într-o integrală nedefinită este implementată în două moduri:

– Subsumarea funcției sub semnul diferențial.

– Schimbarea efectivă a variabilei.

În esență, acestea sunt același lucru, dar designul soluției arată diferit. Să începem cu un caz mai simplu.