Dipendenza lineare. Base del sistema vettoriale. Dipendenza lineare e indipendenza lineare dei vettori. Base dei vettori. Sistema di coordinate affine Dato un sistema vettoriale finito, trovare

Nell'articolo sui vettori n-dimensionali siamo arrivati ​​al concetto di uno spazio lineare generato da un insieme di vettori n-dimensionali. Ora dobbiamo considerare concetti altrettanto importanti, come la dimensione e la base di uno spazio vettoriale. Sono direttamente correlati al concetto di sistema di vettori linearmente indipendenti, quindi si consiglia inoltre di ricordare le basi di questo argomento.

Introduciamo alcune definizioni.

Definizione 1

Dimensione dello spazio vettoriale– un numero corrispondente al numero massimo di vettori linearmente indipendenti in questo spazio.

Definizione 2

Base dello spazio vettoriale– un insieme di vettori linearmente indipendenti, ordinati e in numero pari alla dimensione dello spazio.

Consideriamo un certo spazio di n -vettori. La sua dimensione è corrispondentemente pari a n. Prendiamo un sistema di n vettori di unità:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Usiamo questi vettori come componenti della matrice A: sarà una matrice unitaria con dimensione n per n. Il rango di questa matrice è n. Pertanto, il sistema vettoriale e (1) , e (2) , . . . , e(n) è linearmente indipendente. In questo caso è impossibile aggiungere un solo vettore al sistema senza violarne l'indipendenza lineare.

Poiché il numero di vettori nel sistema è n, allora la dimensione dello spazio dei vettori n-dimensionali è n, e i vettori unitari sono e (1), e (2), . . . , e (n) sono la base dello spazio specificato.

Dalla definizione risultante possiamo concludere: qualsiasi sistema di vettori n-dimensionali in cui il numero di vettori è inferiore a n non è una base dello spazio.

Se scambiamo il primo e il secondo vettore, otteniamo un sistema di vettori e (2) , e (1) , . . . , e(n) . Costituirà anche la base di uno spazio vettoriale n-dimensionale. Creiamo una matrice prendendo come righe i vettori del sistema risultante. La matrice può essere ottenuta dalla matrice identità scambiando le prime due righe, il suo rango sarà n. Sistema e(2) , e(1) , . . . , e(n) è linearmente indipendente ed è la base di uno spazio vettoriale n-dimensionale.

Riorganizzando altri vettori nel sistema originale, otteniamo un'altra base.

Possiamo prendere un sistema linearmente indipendente di vettori non unitari e rappresenterà anche la base di uno spazio vettoriale n-dimensionale.

Definizione 3

Uno spazio vettoriale di dimensione n ha tante basi quanti sono i sistemi linearmente indipendenti di vettori n-dimensionali di numero n.

L'aereo è uno spazio bidimensionale: la sua base sarà costituita da due vettori qualsiasi non collineari. La base dello spazio tridimensionale saranno tre vettori qualsiasi non complanari.

Consideriamo l'applicazione di questa teoria utilizzando esempi specifici.

Esempio 1

Dati iniziali: vettori

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2)

È necessario determinare se i vettori specificati sono la base di uno spazio vettoriale tridimensionale.

Soluzione

Per risolvere il problema, studiamo il sistema dato di vettori per dipendenza lineare. Creiamo una matrice, dove le righe sono le coordinate dei vettori. Determiniamo il rango della matrice.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Di conseguenza, i vettori specificati dalla condizione del problema sono linearmente indipendenti e il loro numero è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale: sono la base dello spazio vettoriale.

Risposta: i vettori indicati sono la base dello spazio vettoriale.

Esempio 2

Dati iniziali: vettori

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)

È necessario determinare se il sistema di vettori specificato può essere la base dello spazio tridimensionale.

Soluzione

Il sistema di vettori specificato nella dichiarazione del problema è linearmente dipendente, perché numero massimo vettori linearmente indipendenti è uguale a 3. Pertanto, il sistema di vettori indicato non può servire come base per uno spazio vettoriale tridimensionale. Ma vale la pena notare che il sottosistema del sistema originale a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) è una base.

Risposta: il sistema di vettori indicato non è una base.

Esempio 3

Dati iniziali: vettori

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Possono essere la base dello spazio quadridimensionale?

Soluzione

Creiamo una matrice utilizzando le coordinate dei vettori indicati come righe

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Utilizzando il metodo gaussiano, determiniamo il rango della matrice:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Di conseguenza, il sistema di dati vettori è linearmente indipendente e il loro numero è uguale alla dimensione dello spazio vettoriale: sono la base di uno spazio vettoriale quadridimensionale.

Risposta: i vettori indicati sono la base dello spazio quadridimensionale.

Esempio 4

Dati iniziali: vettori

un (1) = (1, 2, - 1, - 2) un (2) = (0, 2, 1, - 3) un (3) = (1, 0, 0, 5)

Costituiscono la base di uno spazio di dimensione 4?

Soluzione

Il sistema originale di vettori è linearmente indipendente, ma il numero di vettori in esso contenuti non è sufficiente per diventare la base di uno spazio quadridimensionale.

Risposta: no, non lo fanno.

Scomposizione di un vettore in una base

Supponiamo che i vettori arbitrari e (1) , e (2) , . . . , e (n) sono la base di uno spazio vettoriale n-dimensionale. Aggiungiamo loro un certo vettore n-dimensionale x →: il sistema di vettori risultante diventerà linearmente dipendente. Le proprietà della dipendenza lineare stabiliscono che almeno uno dei vettori di un tale sistema può essere espresso linearmente tramite gli altri. Riformulando questa affermazione, possiamo dire che almeno uno dei vettori di un sistema linearmente dipendente può essere espanso nei rimanenti vettori.

Siamo così arrivati ​​alla formulazione del teorema più importante:

Definizione 4

Qualsiasi vettore di uno spazio vettoriale n-dimensionale può essere scomposto in modo univoco in una base.

Prova 1

Dimostriamo questo teorema:

impostiamo le basi dello spazio vettoriale n-dimensionale - e (1) , e (2) , . . . , e(n) . Rendiamo il sistema linearmente dipendente aggiungendovi un vettore n-dimensionale x →. Questo vettore può essere espresso linearmente in termini dei vettori originali e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , dove x 1 , x 2 , . . . , x n - alcuni numeri.

Ora dimostriamo che tale scomposizione è unica. Supponiamo che non sia così e che esista un'altra scomposizione simile:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , dove x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - alcuni numeri.

Sottraiamo dai lati sinistro e destro di questa uguaglianza, rispettivamente, i lati sinistro e destro dell'uguaglianza x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Noi abbiamo:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Sistema di vettori base e (1) , e (2) , . . . , e(n) è linearmente indipendente; per definizione di indipendenza lineare di un sistema di vettori, l'uguaglianza di cui sopra è possibile solo quando tutti i coefficienti sono (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) sarà uguale a zero. Da cui sarà giusto: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . E questo risulta essere l’unica possibilità per scomporre un vettore in una base.

In questo caso i coefficienti x 1, x 2, . . . , x n sono chiamate le coordinate del vettore x → nella base e (1) , e (2) , . . . , e(n) .

La teoria provata rende chiara l’espressione “dato un vettore n-dimensionale x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)”: si considera un vettore x → n-dimensionale e si specificano le sue coordinate in un certa base. È anche chiaro che lo stesso vettore in un'altra base di spazio n-dimensionale avrà coordinate diverse.

Consideriamo il seguente esempio: supponiamo che in qualche base dello spazio vettoriale n-dimensionale sia dato un sistema di n vettori linearmente indipendenti

ed è dato anche il vettore x = (x 1 , x 2 , . . . , x n).

Vettori e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) in questo caso sono anche la base di questo spazio vettoriale.

Supponiamo che sia necessario determinare le coordinate del vettore x → nella base e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , indicato come x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x~n.

Il vettore x → sarà rappresentato come segue:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Scriviamo questa espressione in forma di coordinate:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . + x ~ n e 2 (n) , . e n (1) + x ~ n e n (2) + .

L'uguaglianza risultante è equivalente a un sistema di n espressioni algebriche lineari con n variabili lineari incognite x ~ 1, x ~ 2, . . . , x~n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

La matrice di questo sistema avrà la seguente forma:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Sia questa una matrice A, e le sue colonne siano vettori di un sistema di vettori linearmente indipendenti e 1 (1), e 2 (2), . . . , e (n) . Il rango della matrice è n e il suo determinante è diverso da zero. Ciò indica che il sistema di equazioni ha un'unica soluzione, determinata con qualsiasi metodo conveniente: ad esempio il metodo Cramer o il metodo della matrice. In questo modo possiamo determinare le coordinate x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vettore x → nella base e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Applichiamo la teoria considerata a un esempio specifico.

Esempio 6

Dati iniziali: i vettori sono specificati sulla base dello spazio tridimensionale

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

È necessario confermare il fatto che il sistema di vettori e (1), e (2), e (3) serve anche come base di un dato spazio e anche determinare le coordinate del vettore x in una data base.

Soluzione

Il sistema di vettori e (1), e (2), e (3) sarà la base dello spazio tridimensionale se è linearmente indipendente. Scopriamo questa possibilità determinando il rango della matrice A, le cui righe sono i vettori dati e (1), e (2), e (3).

Utilizziamo il metodo gaussiano:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R an k (A) = 3 . Pertanto, il sistema di vettori e (1), e (2), e (3) è linearmente indipendente ed è una base.

Sia il vettore x → avere coordinate x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 nella base. La relazione tra queste coordinate è determinata dall'equazione:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Applichiamo i valori in base alle condizioni del problema:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Risolviamo il sistema di equazioni utilizzando il metodo di Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Pertanto, il vettore x → nella base e (1), e (2), e (3) ha coordinate x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Risposta: x = (1, 1, 1)

Rapporto tra basi

Supponiamo che in qualche base dello spazio vettoriale n-dimensionale due lineari sistemi indipendenti vettori:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Questi sistemi sono anche basi di un dato spazio.

Sia c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - coordinate del vettore c (1) nella base e (1) , e (2) , . . . , e (3) , allora la relazione di coordinate sarà data da un sistema di equazioni lineari:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Il sistema può essere rappresentato come una matrice come segue:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Facciamo la stessa voce per il vettore c (2) per analogia:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Combiniamo le uguaglianze della matrice in un'unica espressione:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Determinerà la connessione tra i vettori di due basi diverse.

Utilizzando lo stesso principio, è possibile esprimere tutti i vettori base e(1) , e(2) , . . . , e (3) attraverso la base c (1) , c (2) , . . . , c(n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Diamo le seguenti definizioni:

Definizione 5

Matrice c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) è la matrice di transizione dalla base e (1) , e (2) , . . . , e (3)

alla base c (1) , c (2) , . . . , c(n).

Definizione 6

Matrice e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) è la matrice di transizione dalla base c (1) , c (2) , . . . , c(n)

alla base e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Da queste uguaglianze è ovvio che

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

quelli. le matrici di transizione sono reciproche.

Diamo un'occhiata alla teoria utilizzando un esempio specifico.

Esempio 7

Dati iniziali:è necessario trovare la matrice di transizione dalla base

c (1) = (1, 2, 1) c (2) = (2, 3, 3) c (3) = (3, 7, 1)

e (1) = (3, 1, 4) e (2) = (5, 2, 1) e (3) = (1, 1, - 6)

È inoltre necessario indicare la relazione tra le coordinate di un vettore arbitrario x → nelle basi indicate.

Soluzione

1. Sia T la matrice di transizione, allora l'uguaglianza sarà vera:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Moltiplica entrambi i lati dell'uguaglianza per

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

e otteniamo:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definire la matrice di transizione:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Definiamo la relazione tra le coordinate del vettore x → :

Supponiamo che nella base c (1) , c (2) , . . . , c (n) vettore x → ha coordinate x 1 , x 2 , x 3 , quindi:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

e nella base e (1) , e (2) , . . . , e (3) ha coordinate x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, quindi:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Perché Se i lati di sinistra di queste uguaglianze sono uguali, possiamo uguagliare anche i lati di destra:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Moltiplica entrambi i membri a destra per

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

e otteniamo:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Dall'altro lato

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Le ultime uguaglianze mostrano la relazione tra le coordinate del vettore x → in entrambe le basi.

Risposta: matrice di transizione

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Le coordinate del vettore x → nelle basi date sono legate dalla relazione:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

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Dipendenza lineare E indipendenza lineare vettori.
Base dei vettori. Sistema di coordinate affini

C'è un carretto con cioccolatini nell'auditorium e ogni visitatore oggi riceverà una dolce coppia: geometria analitica con algebra lineare. Questo articolo coprirà due sezioni contemporaneamente. matematica superiore, e vedremo come se la cavano in un unico involucro. Prenditi una pausa, mangia un Twix! ...cavolo, che sciocchezze. Anche se, okay, non darò punti, alla fine dovresti avere un atteggiamento positivo nei confronti dello studio.

Dipendenza lineare dei vettori, indipendenza dal vettore lineare, base di vettori e altri termini non hanno solo un'interpretazione geometrica, ma soprattutto un significato algebrico. Il concetto stesso di “vettore” dal punto di vista dell'algebra lineare non è sempre il vettore “ordinario” che possiamo rappresentare su un piano o nello spazio. Non è necessario cercare lontano le prove, prova a disegnare un vettore dello spazio a cinque dimensioni . Oppure il vettore meteorologico, per il quale sono appena andato a Gismeteo: – temperatura e Pressione atmosferica rispettivamente. L'esempio, ovviamente, non è corretto dal punto di vista delle proprietà dello spazio vettoriale, ma tuttavia nessuno vieta di formalizzare questi parametri come vettore. Respiro d'autunno...

No, non ti annoierò con la teoria, spazi vettoriali lineari, il compito è quello capire definizioni e teoremi. I nuovi termini (dipendenza lineare, indipendenza, combinazione lineare, base, ecc.) si applicano a tutti i vettori da un punto di vista algebrico, ma verranno forniti esempi geometrici. Quindi tutto è semplice, accessibile e chiaro. Oltre ai problemi di geometria analitica, prenderemo in considerazione anche alcuni problemi tipici dell'algebra. Per padroneggiare il materiale, è consigliabile familiarizzare con le lezioni Vettori per manichini E Come calcolare il determinante?

Dipendenza e indipendenza lineare dei vettori piani.
Base piana e sistema di coordinate affini

Consideriamo il piano della scrivania del tuo computer (solo un tavolo, un comodino, il pavimento, il soffitto, qualunque cosa tu voglia). L'attività consisterà nelle seguenti azioni:

1) Seleziona la base dell'aereo. In parole povere, il piano di un tavolo ha una lunghezza e una larghezza, quindi è intuitivo che saranno necessari due vettori per costruire la base. Un vettore chiaramente non è sufficiente, tre vettori sono troppi.

2) In base alla base selezionata impostare il sistema di coordinate(griglia delle coordinate) per assegnare le coordinate a tutti gli oggetti sul tavolo.

Non sorprenderti, all'inizio le spiegazioni saranno sulle dita. Inoltre, sul tuo. Per favore, posizionalo indice sinistro sul bordo del piano del tavolo in modo da poter guardare il monitor. Questo sarà un vettore. Adesso posto mignolo mano destra sul bordo del tavolo allo stesso modo, in modo che sia rivolto verso lo schermo del monitor. Questo sarà un vettore. Sorridi, stai benissimo! Cosa possiamo dire dei vettori? Vettori di dati collineare, che significa lineare espressi l'uno attraverso l'altro:
, beh, o viceversa: , dove è un numero diverso da zero.

Puoi vedere un'immagine di questa azione in classe. Vettori per manichini, dove ho spiegato la regola per moltiplicare un vettore per un numero.

Le tue dita poseranno la base sul piano della scrivania del computer? Ovviamente no. I vettori collineari viaggiano avanti e indietro solo direzione e un piano ha lunghezza e larghezza.

Tali vettori sono chiamati linearmente dipendente.

Riferimento: Le parole "lineare", "linearmente" denotano il fatto che nelle equazioni ed espressioni matematiche non ci sono quadrati, cubi, altre potenze, logaritmi, seni, ecc. Esistono solo espressioni e dipendenze lineari (1° grado).

Due vettori piani linearmente dipendente se e solo se sono collineari.

Incrocia le dita sul tavolo in modo che tra loro vi sia un angolo diverso da 0 o 180 gradi. Due vettori pianilineare Non dipendenti se e solo se non sono collineari. Quindi, la base è ottenuta. Non c'è bisogno di vergognarsi del fatto che la base si sia rivelata "distorta" con vettori non perpendicolari di diversa lunghezza. Molto presto vedremo che non solo un angolo di 90 gradi è adatto alla sua costruzione, e non solo vettori unitari di uguale lunghezza

Qualunque vettore aereo l'unico modo viene ampliato secondo la base:
, dove sono i numeri reali. I numeri vengono chiamati coordinate vettoriali su questa base.

Si dice anche così vettorepresentato come combinazione lineare vettori di base. Cioè, l'espressione si chiama decomposizione vettorialeper base O combinazione lineare vettori di base.

Ad esempio possiamo dire che il vettore è scomposto lungo una base ortonormale del piano, oppure possiamo dire che è rappresentato come una combinazione lineare di vettori.

Formuliamo definizione di base formalmente: La base dell'aereoè chiamata una coppia di vettori linearmente indipendenti (non collineari), , in cui Qualunque un vettore piano è una combinazione lineare di vettori base.

Un punto essenziale della definizione è il fatto che vengono presi i vettori in un certo ordine. Basi – queste sono due basi completamente diverse! Come si suol dire, non puoi sostituire il mignolo della mano sinistra al posto del mignolo della mano destra.

Abbiamo individuato le basi, ma non è sufficiente impostare una griglia di coordinate e assegnare le coordinate a ciascun oggetto sulla scrivania del computer. Perché non è abbastanza? I vettori sono liberi e vagano per tutto il piano. Allora come si assegnano le coordinate a quei piccoli punti sporchi sul tavolo che rimangono dopo un fine settimana selvaggio? Serve un punto di partenza. E un punto del genere è un punto familiare a tutti: l'origine delle coordinate. Comprendiamo il sistema di coordinate:

Inizierò con il sistema “scuola”. Già nella lezione introduttiva Vettori per manichini Ho evidenziato alcune differenze tra il sistema di coordinate rettangolari e la base ortonormale. Ecco l'immagine standard:

Quando ne parlano sistema di coordinate rettangolari, quindi molto spesso significano l'origine, gli assi delle coordinate e la scala lungo gli assi. Prova a digitare "sistema di coordinate rettangolari" in un motore di ricerca e vedrai che molte fonti ti parleranno degli assi di coordinate familiari dalla 5a alla 6a elementare e come tracciare i punti su un piano.

D'altra parte, sembra che un sistema di coordinate rettangolari possa essere completamente definito in termini di base ortonormale. E questo è quasi vero. La dicitura è la seguente:

origine, E Ortonormale la base è fissata Sistema di coordinate del piano cartesiano rettangolare . Cioè, il sistema di coordinate rettangolari decisamenteè definito da un singolo punto e due vettori unitari ortogonali. Ecco perché vedi il disegno che ho fornito sopra: nei problemi geometrici, sia i vettori che gli assi delle coordinate vengono spesso (ma non sempre) disegnati.

Penso che tutti lo capiscano usando un punto (origine) e una base ortonormale QUALSIASI PUNTO sull'aereo e QUALSIASI VETTORE sull'aereoè possibile assegnare le coordinate. In senso figurato, “tutto su un aereo può essere numerato”.

I vettori di coordinate devono essere unità? No, possono avere una lunghezza arbitraria diversa da zero. Consideriamo un punto e due vettori ortogonali di lunghezza arbitraria diversa da zero:

Tale base è chiamata ortogonale. L'origine delle coordinate con i vettori è definita da una griglia di coordinate e qualsiasi punto del piano, qualsiasi vettore ha le sue coordinate in una data base. Ad esempio, o. L'ovvio inconveniente è che i vettori delle coordinate V caso generale hanno lunghezze diverse diverse dall'unità. Se le lunghezze sono uguali all'unità, si ottiene la consueta base ortonormale.

! Nota : nella base ortogonale, così come di seguito nelle basi affini del piano e dello spazio, si considerano le unità lungo gli assi CONDIZIONALE. Ad esempio, un'unità lungo l'asse x contiene 4 cm, un'unità lungo l'asse delle ordinate contiene 2 cm. Questa informazione è sufficiente per convertire, se necessario, le coordinate “non standard” nei “nostri soliti centimetri”.

E la seconda domanda, alla quale in realtà è già stata data risposta, è se l'angolo tra i vettori base deve essere uguale a 90 gradi? NO! Come afferma la definizione, i vettori base devono essere solo non collineare. Di conseguenza, l'angolo può essere qualsiasi cosa tranne 0 e 180 gradi.

Un punto sull'aereo chiamato origine, E non collineare vettori, , impostato sistema di coordinate del piano affine :

A volte viene chiamato un tale sistema di coordinate obliquo sistema. A titolo di esempio, il disegno mostra punti e vettori:

Come hai capito, il sistema di coordinate affini è ancora meno conveniente, le formule per le lunghezze di vettori e segmenti, di cui abbiamo discusso nella seconda parte della lezione, non funzionano; Vettori per manichini, tante deliziose formule legate a prodotto scalare di vettori. Ma sono valide le regole per aggiungere vettori e moltiplicare un vettore per un numero, le formule per dividere un segmento in questa relazione, così come alcuni altri tipi di problemi che considereremo presto.

E la conclusione è che il caso speciale più conveniente di un sistema di coordinate affine è il sistema rettangolare cartesiano. Ecco perché devi vederla molto spesso, mia cara. ...Tuttavia, tutto in questa vita è relativo: ci sono molte situazioni in cui un angolo obliquo (o qualche altro, ad esempio, polare) sistema di coordinate. E agli umanoidi potrebbero piacere tali sistemi =)

Passiamo alla parte pratica. Tutti i problemi di questa lezione sono validi sia per il sistema di coordinate rettangolari che per il caso affine generale. Non c'è niente di complicato qui, tutto il materiale è accessibile anche a uno scolaro.

Come determinare la collinearità dei vettori piani?

Cosa tipica. In ordine per due vettori piani fossero collineari, è necessario e sufficiente che le loro coordinate corrispondenti siano proporzionali Essenzialmente, questo è un dettaglio, coordinata per coordinata, della relazione ovvia.

Esempio 1

a) Controlla se i vettori sono collineari .
b) I vettori formano una base? ?

Soluzione:
a) Scopriamo se esiste per i vettori coefficiente di proporzionalità, tale che le uguaglianze siano soddisfatte:

Ti parlerò sicuramente della versione “stupida” dell’applicazione di questa regola, che funziona abbastanza bene nella pratica. L'idea è di fare subito la proporzione e vedere se è corretta:

Facciamo una proporzione dai rapporti delle coordinate corrispondenti dei vettori:

Accorciamo:
, quindi le coordinate corrispondenti sono proporzionali, quindi,

La relazione potrebbe essere fatta al contrario; questa è un'opzione equivalente:

Per l'autotest, è possibile utilizzare il fatto che i vettori collineari sono espressi linearmente l'uno attraverso l'altro. In questo caso si realizzano le uguaglianze . La loro validità può essere facilmente verificata attraverso operazioni elementari con i vettori:

b) Due vettori piani formano una base se non sono collineari (linearmente indipendenti). Esaminiamo i vettori per la collinearità . Creiamo un sistema:

Dalla prima equazione segue che , dalla seconda equazione segue che , che significa il sistema è incoerente(nessuna soluzione). Pertanto, le coordinate corrispondenti dei vettori non sono proporzionali.

Conclusione: i vettori sono linearmente indipendenti e formano una base.

Una versione semplificata della soluzione è simile alla seguente:

Facciamo una proporzione dalle coordinate corrispondenti dei vettori :
, il che significa che questi vettori sono linearmente indipendenti e formano una base.

Di solito questa opzione non viene rifiutata dai revisori, ma sorge un problema nei casi in cui alcune coordinate sono uguali a zero. Come questo: . O così: . O così: . Come lavorare attraverso la proporzione qui? (in effetti, non puoi dividere per zero). È per questo motivo che ho definito “sciocca” la soluzione semplificata.

Risposta: a) , b) forma.

Un piccolo esempio creativo per la tua soluzione:

Esempio 2

A quale valore del parametro sono i vettori saranno collineari?

Nella soluzione campione il parametro si trova attraverso la proporzione.

Esiste un modo algebrico elegante per verificare la collinearità dei vettori. Sistematizziamo le nostre conoscenze e aggiungiamole come quinto punto:

Per due vettori piani le seguenti affermazioni sono equivalenti:

2) i vettori formano una base;
3) i vettori non sono collineari;

+ 5) il determinante composto dalle coordinate di questi vettori è diverso da zero.

Rispettivamente, le seguenti affermazioni opposte sono equivalenti:
1) i vettori sono linearmente dipendenti;
2) i vettori non costituiscono una base;
3) i vettori sono collineari;
4) i vettori possono essere espressi linearmente l'uno attraverso l'altro;
+ 5) il determinante composto dalle coordinate di questi vettori è uguale a zero.

Spero davvero, davvero, che a questo punto tu abbia già compreso tutti i termini e le affermazioni che hai incontrato.

Vediamo più da vicino il nuovo, quinto punto: due vettori piani sono collineari se e solo se il determinante composto dalle coordinate dei vettori dati è uguale a zero:. Per uso di questa caratteristica Naturalmente, devi essere in grado di farlo trovare determinanti.

Decidiamo Esempio 1 nel secondo modo:

a) Calcoliamo il determinante formato dalle coordinate dei vettori :
, il che significa che questi vettori sono collineari.

b) Due vettori piani formano una base se non sono collineari (linearmente indipendenti). Calcoliamo il determinante formato dalle coordinate vettoriali :
, il che significa che i vettori sono linearmente indipendenti e formano una base.

Risposta: a) , b) forma.

Sembra molto più compatto e più carino di una soluzione con proporzioni.

Con l'aiuto del materiale considerato è possibile stabilire non solo la collinearità dei vettori, ma anche dimostrare il parallelismo dei segmenti e delle rette. Consideriamo un paio di problemi con forme geometriche specifiche.

Esempio 3

Sono dati i vertici di un quadrilatero. Dimostrare che un quadrilatero è un parallelogramma.

Prova: Non è necessario creare un disegno del problema, poiché la soluzione sarà puramente analitica. Ricordiamo la definizione di parallelogramma:
Parallelogramma Si chiama quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli a coppie.

Occorre quindi dimostrare:
1) parallelismo dei lati opposti e;
2) parallelismo dei lati opposti e.

Dimostriamo:

1) Trova i vettori:

2) Trova i vettori:

Il risultato è lo stesso vettore (“secondo la scuola” – vettori uguali). La collinearità è abbastanza evidente, ma è meglio formalizzare la decisione in modo chiaro, con accordo. Calcoliamo il determinante formato dalle coordinate vettoriali:
, il che significa che questi vettori sono collineari e .

Conclusione: Lati opposti i quadrilateri sono paralleli a coppie, il che significa che è un parallelogramma per definizione. Q.E.D.

Figure più buone e diverse:

Esempio 4

Sono dati i vertici di un quadrilatero. Dimostrare che un quadrilatero è un trapezio.

Per una formulazione più rigorosa della dimostrazione, ovviamente, è meglio ottenere la definizione di trapezio, ma è sufficiente ricordare semplicemente come appare.

Questo è un compito che devi risolvere da solo. Soluzione completa alla fine della lezione.

E ora è il momento di spostarsi lentamente dall’aereo allo spazio:

Come determinare la collinearità dei vettori spaziali?

La regola è molto simile. Affinché due vettori spaziali siano collineari è necessario e sufficiente che le loro coordinate corrispondenti siano proporzionali.

Esempio 5

Scopri se i seguenti vettori spaziali sono collineari:

UN) ;
B)
V)

Soluzione:
a) Controlliamo se esiste un coefficiente di proporzionalità per le corrispondenti coordinate dei vettori:

Il sistema non ha soluzione, il che significa che i vettori non sono collineari.

Il “semplificato” viene formalizzato controllando la proporzione. In questo caso:
– le coordinate corrispondenti non sono proporzionali, cioè i vettori non sono collineari.

Risposta: i vettori non sono collineari.

b-c) Questi sono punti per una decisione indipendente. Provalo in due modi.

Esiste un metodo per verificare la collinearità dei vettori spaziali tramite un determinante del terzo ordine, questo metodo è trattato nell'articolo Prodotto vettoriale di vettori.

Analogamente al caso del piano, gli strumenti considerati possono essere utilizzati per studiare il parallelismo di segmenti spaziali e linee rette.

Benvenuti nella seconda sezione:

Dipendenza e indipendenza lineare dei vettori nello spazio tridimensionale.
Base spaziale e sistema di coordinate affini

Molti dei modelli che abbiamo esaminato sull’aereo saranno validi per lo spazio. Ho cercato di ridurre al minimo gli appunti teorici, visto che la parte del leone delle informazioni è già stata masticata. Ti consiglio però di leggere attentamente la parte introduttiva, poiché appariranno nuovi termini e concetti.

Ora, invece del piano della scrivania del computer, esploriamo lo spazio tridimensionale. Per prima cosa, creiamo le sue basi. Qualcuno ora è in casa, qualcuno è fuori, ma in ogni caso non possiamo sfuggire alle tre dimensioni: larghezza, lunghezza e altezza. Pertanto, per costruire una base, saranno necessari tre vettori spaziali. Uno o due vettori non bastano, il quarto è superfluo.

E ancora ci riscaldiamo sulle dita. Per favore alza la mano e allargala in diverse direzioni pollice, indice e medio. Questi saranno vettori, guardano in direzioni diverse, lo hanno lunghezze diverse e hanno angoli diversi tra loro. Congratulazioni, la base dello spazio tridimensionale è pronta! A proposito, non è necessario dimostrarlo agli insegnanti, non importa quanto forte giri le dita, ma non c'è scampo dalle definizioni =)

Quindi, chiediamo questione importante, tre vettori qualsiasi formano una base dello spazio tridimensionale? Premere saldamente tre dita sulla parte superiore della scrivania del computer. Quello che è successo? Tre vettori si trovano sullo stesso piano e, grosso modo, abbiamo perso una delle dimensioni: l'altezza. Tali vettori sono Complanare ed è abbastanza ovvio che la base dello spazio tridimensionale non è stata creata.

Va notato che i vettori complanari non devono necessariamente giacere sullo stesso piano, possono essere su piani paralleli (basta non farlo con le dita, solo Salvador Dalì lo ha fatto =)).

Definizione: vengono chiamati i vettori Complanare, se esiste un piano al quale sono paralleli. È logico aggiungere qui che se tale piano non esiste, i vettori non saranno complanari.

Tre vettori complanari sono sempre linearmente dipendenti, cioè sono espressi linearmente l'uno attraverso l'altro. Per semplicità, immaginiamo ancora una volta che si trovino sullo stesso piano. Innanzitutto i vettori non solo sono complanari, ma possono anche essere collineari, quindi qualsiasi vettore può essere espresso attraverso qualsiasi vettore. Nel secondo caso, se ad esempio i vettori non sono collineari, allora il terzo vettore si esprime attraverso di essi in modo unico: (e perché è facile intuirlo dai materiali della sezione precedente).

È vero anche il contrario: tre vettori non complanari sono sempre linearmente indipendenti, cioè, non si esprimono in alcun modo l'uno attraverso l'altro. E, ovviamente, solo tali vettori possono costituire la base dello spazio tridimensionale.

Definizione: La base dello spazio tridimensionaleè chiamata tripla di vettori linearmente indipendenti (non complanari), presi in un certo ordine e qualsiasi vettore dello spazio l'unico modo viene scomposto su una data base, dove sono le coordinate del vettore in questa base

Ti ricordo che possiamo anche dire che il vettore è rappresentato nella forma combinazione lineare vettori di base.

Il concetto di sistema di coordinate viene introdotto esattamente nello stesso modo del caso piano e sono sufficienti tre vettori linearmente indipendenti qualsiasi:

origine, E non complanare vettori, presi in un certo ordine, impostato sistema di coordinate affini dello spazio tridimensionale :

Naturalmente, la griglia di coordinate è “obliqua” e scomoda, ma, tuttavia, il sistema di coordinate costruito ce lo consente decisamente determinare le coordinate di qualsiasi vettore e le coordinate di qualsiasi punto nello spazio. Similmente ad un piano, alcune formule che ho già menzionato non funzioneranno nel sistema di coordinate affini dello spazio.

Il caso speciale più familiare e conveniente di un sistema di coordinate affine, come tutti immaginano, è sistema di coordinate spaziali rettangolari:

Un punto nello spazio chiamato origine, E Ortonormale la base è fissata Sistema di coordinate spaziali cartesiane rettangolari . Immagine familiare:

Prima di passare ai compiti pratici, sistemizziamo nuovamente le informazioni:

Per tre vettori spaziali le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1) i vettori sono linearmente indipendenti;
2) i vettori formano una base;
3) i vettori non sono complanari;
4) i vettori non possono essere espressi linearmente l'uno attraverso l'altro;
5) il determinante, composto dalle coordinate di questi vettori, è diverso da zero.

Penso che le affermazioni opposte siano comprensibili.

La dipendenza/indipendenza lineare dei vettori spaziali viene tradizionalmente verificata utilizzando un determinante (punto 5). I restanti compiti pratici saranno di marcata natura algebrica. È ora di appendere al chiodo il bastone della geometria e impugnare la mazza da baseball dell'algebra lineare:

Tre vettori dello spazio sono complanari se e solo se il determinante composto dalle coordinate dei vettori dati è uguale a zero: .

Vorrei attirare la vostra attenzione su una piccola sfumatura tecnica: le coordinate dei vettori possono essere scritte non solo in colonne, ma anche in righe (il valore del determinante non cambierà per questo motivo - vedere proprietà dei determinanti). Ma è molto meglio in colonne, poiché è più utile per risolvere alcuni problemi pratici.

Per quei lettori che hanno un po' dimenticato i metodi di calcolo dei determinanti, o forse li capiscono poco, consiglio una delle mie lezioni più antiche: Come calcolare il determinante?

Esempio 6

Controlla se i seguenti vettori costituiscono la base dello spazio tridimensionale:

Soluzione: In effetti, l'intera soluzione si riduce al calcolo del determinante.

a) Calcoliamo il determinante formato dalle coordinate vettoriali (il determinante si rivela nella prima riga):

, il che significa che i vettori sono linearmente indipendenti (non complanari) e costituiscono la base dello spazio tridimensionale.

Risposta: questi vettori costituiscono una base

b) Questo è un punto per una decisione indipendente. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Incontra e compiti creativi:

Esempio 7

Per quale valore del parametro i vettori saranno complanari?

Soluzione: I vettori sono complanari se e solo se il determinante composto dalle coordinate di questi vettori è uguale a zero:

In sostanza, devi risolvere un'equazione con un determinante. Piombiamo sugli zeri come gli aquiloni sui jerboa: è meglio aprire il determinante nella seconda riga e sbarazzarci immediatamente degli svantaggi:

Effettuiamo ulteriori semplificazioni e riduciamo la questione alla più semplice equazione lineare:

Risposta: A

È facile controllare qui; per fare ciò, devi sostituire il valore risultante nel determinante originale e assicurartene , riaprendolo.

In conclusione, prenderemo in considerazione un altro problema tipico, di natura più algebrica e tradizionalmente incluso in un corso di algebra lineare. È così comune che merita un argomento a parte:

Dimostrare che 3 vettori costituiscono la base dello spazio tridimensionale
e trova in questa base le coordinate del 4° vettore

Esempio 8

Sono dati i vettori. Mostra che i vettori formano una base nello spazio tridimensionale e trova le coordinate del vettore in questa base.

Soluzione: Per prima cosa, affrontiamo la condizione. Per condizione, vengono forniti quattro vettori e, come puoi vedere, hanno già delle coordinate in qualche base. Quale sia questa base non ci interessa. Ed è interessante la cosa seguente: tre vettori potrebbero benissimo formare una nuova base. E la prima fase coincide completamente con la soluzione dell'Esempio 6: occorre verificare se i vettori sono veramente linearmente indipendenti:

Calcoliamo il determinante formato dalle coordinate vettoriali:

, il che significa che i vettori sono linearmente indipendenti e costituiscono la base dello spazio tridimensionale.

! Importante : coordinate vettoriali Necessariamente scrivere in colonne determinante, non nelle stringhe. Altrimenti si creerà confusione nell'ulteriore algoritmo risolutivo.

In geometria, per vettore si intende un segmento orientato e i vettori ottenuti l'uno dall'altro mediante traslazione parallela sono considerati uguali. Tutti i vettori uguali vengono trattati come lo stesso vettore. L'origine del vettore può essere posizionata in qualsiasi punto dello spazio o del piano.

Se le coordinate degli estremi del vettore sono date nello spazio: UN(X 1 , sì 1 , z 1), B(X 2 , sì 2 , z 2), quindi

= (X 2 – X 1 , sì 2 – sì 1 , z 2 – z 1). (1)

Una formula simile vale anche per l'aereo. Ciò significa che il vettore può essere scritto come una linea di coordinate. Le operazioni sui vettori, come l'addizione e la moltiplicazione per un numero, sulle stringhe vengono eseguite per componenti. Ciò consente di espandere il concetto di vettore, intendendo per vettore una qualsiasi stringa di numeri. Ad esempio, la soluzione di un sistema di equazioni lineari, così come qualsiasi insieme di valori delle variabili del sistema, può essere vista come un vettore.

Su stringhe della stessa lunghezza l'operazione di addizione viene eseguita secondo la regola

(a 1, a 2, …, a N) + (b1, b2,..., b N) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , ... , a N+b N). (2)

Moltiplicare una stringa per un numero segue la regola

l(a 1 , a 2 , … , a N) = (la1, la2,..., la N). (3)

Un insieme di vettori riga di una determinata lunghezza N con le indicate operazioni di addizione di vettori e moltiplicazione per un numero si forma una struttura algebrica denominata spazio lineare n-dimensionale.

Una combinazione lineare di vettori è un vettore , dove λ 1 , ... , λ M– coefficienti arbitrari.

Un sistema di vettori si dice linearmente dipendente se esiste una sua combinazione lineare uguale a , in cui esiste almeno un coefficiente diverso da zero.

Un sistema di vettori si dice linearmente indipendente se in ogni combinazione lineare uguale a , tutti i coefficienti sono zero.

Pertanto, la soluzione della questione della dipendenza lineare di un sistema di vettori si riduce alla risoluzione dell'equazione

X 1 + X 2 + … + x m = . (4)

Se questa equazione ha soluzioni diverse da zero, allora il sistema di vettori è linearmente dipendente. Se la soluzione zero è unica, allora il sistema di vettori è linearmente indipendente.

Per risolvere il sistema (4), per chiarezza, i vettori possono essere scritti non come righe, ma come colonne.

Quindi, dopo aver eseguito le trasformazioni sul membro sinistro, arriviamo a un sistema di equazioni lineari equivalente all'equazione (4). La matrice principale di questo sistema è formata dalle coordinate dei vettori originari disposti in colonne. Qui non è necessaria una colonna di termini liberi, poiché il sistema è omogeneo.

Base sistema di vettori (finito o infinito, in particolare, l'intero spazio lineare) è il suo sottosistema linearmente indipendente non vuoto, attraverso il quale qualsiasi vettore del sistema può essere espresso.

Esempio 1.5.2. Trova la base del sistema di vettori = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) ed esprimere i restanti vettori tramite la base.

Soluzione. Costruiamo una matrice in cui le coordinate di questi vettori sono disposte in colonne. Questa è la matrice del sistema X 1 + X 2 + X 3 + X 4 =. . Riduciamo la matrice alla forma graduale:

~ ~ ~

La base di questo sistema di vettori è formata dai vettori , , , ai quali corrispondono gli elementi iniziali delle righe, evidenziati in cerchi. Per esprimere il vettore, risolviamo l'equazione X 1 + X 2 + X 4 = . Si riduce ad un sistema di equazioni lineari, la cui matrice è ottenuta dall'originale riordinando la colonna corrispondente a , al posto della colonna dei termini liberi. Pertanto, quando si riduce ad una forma a gradini, sulla matrice verranno apportate le stesse trasformazioni di cui sopra. Ciò significa che è possibile utilizzare la matrice risultante in una forma graduale, apportando le necessarie riorganizzazioni delle colonne in essa contenute: posizioniamo le colonne con i cerchi a sinistra della barra verticale e la colonna corrispondente al vettore è posizionata a destra della barra.

Troviamo costantemente:

X 4 = 0;

X 2 = 2;

X 1 + 4 = 3, X 1 = –1;

Commento. Se è necessario esprimere più vettori attraverso la base, per ciascuno di essi viene costruito un corrispondente sistema di equazioni lineari. Questi sistemi differiranno solo nelle colonne dei membri gratuiti. Inoltre, ogni sistema è risolto indipendentemente dagli altri.

Esercizio 1.4. Trova la base del sistema di vettori ed esprimi i restanti vettori tramite la base:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, –6, –2).

In un dato sistema di vettori, di solito è possibile identificare la base diversi modi, ma tutte le basi avranno lo stesso numero di vettori. Il numero di vettori nella base di uno spazio lineare è chiamato dimensione dello spazio. Per N spazio lineare bidimensionale N– questa è la dimensione dello spazio, poiché questo spazio ha una base standard = (1, 0, ... , 0), = (0, 1, ... , 0), ... , = (0, 0 , ... , 1). Attraverso questa base ogni vettore = (a 1 , a 2 , … , a N) è espresso come segue:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a N) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a N(0, 0, … ,1) = a 1 + a 2 +… + a N .

Pertanto, le componenti nella riga del vettore = (a 1 , a 2 , … , a N) sono i suoi coefficienti nell'espansione attraverso la base standard.

Linee rette su un piano

Il compito della geometria analitica è l'applicazione del metodo delle coordinate a problemi geometrici. Pertanto, il problema viene tradotto in forma algebrica e risolto utilizzando l'algebra.

Trova la base del sistema di vettori e vettori non inclusi nella base, espandili secondo la base:

UN 1 = {5, 2, -3, 1}, UN 2 = {4, 1, -2, 3}, UN 3 = {1, 1, -1, -2}, UN 4 = {3, 4, -1, 2}, UN 5 = {13, 8, -7, 4}.

Soluzione. Consideriamo un sistema omogeneo di equazioni lineari

UN 1 X 1 + UN 2 X 2 + UN 3 X 3 + UN 4 X 4 + UN 5 X 5 = 0

o in forma estesa.

Risolveremo questo sistema con il metodo gaussiano, senza scambiare righe e colonne e, inoltre, scegliendo elemento principale non nell'angolo in alto a sinistra, ma lungo l'intera linea. La sfida è seleziona la parte diagonale del sistema di vettori trasformato.

~ ~

~ ~ ~ .

Il sistema di vettori consentito, equivalente a quello originale, ha la forma

UN 1 1 X 1 + UN 2 1 X 2 + UN 3 1 X 3 + UN 4 1 X 4 + UN 5 1 X 5 = 0 ,

Dove UN 1 1 = , UN 2 1 = , UN 3 1 = , UN 4 1 = , UN 5 1 = . (1)

Vettori UN 1 1 , UN 3 1 , UN 4 1 formano un sistema diagonale. Pertanto, i vettori UN 1 , UN 3 , UN 4 costituiscono la base del sistema vettoriale UN 1 , UN 2 , UN 3 , UN 4 , UN 5 .

Espandiamo ora i vettori UN 2 E UN 5 su base UN 1 , UN 3 , UN 4 . Per fare ciò, espandiamo prima i vettori corrispondenti UN 2 1 E UN 5 1 sistema diagonale UN 1 1 , UN 3 1 , UN 4 1, tenendo presente che i coefficienti di espansione di un vettore in un sistema diagonale sono le sue coordinate x io.

Dalla (1) abbiamo:

UN 2 1 = UN 3 1 · (-1) + UN 4 1 0 + UN 1 1 ·1 => UN 2 1 = UN 1 1 – UN 3 1 .

UN 5 1 = UN 3 1 0 + UN 4 1 1 + UN 1 1 ·2 => UN 5 1 = 2UN 1 1 + UN 4 1 .

Vettori UN 2 E UN 5 sono ampliati in base UN 1 , UN 3 , UN 4 con gli stessi coefficienti dei vettori UN 2 1 E UN 5 1 sistema diagonale UN 1 1 , UN 3 1 , UN 4 1 (quei coefficienti x io). Quindi,

UN 2 = UN 1 – UN 3 , UN 5 = 2UN 1 + UN 4 .

Compiti. 1.Trova la base del sistema di vettori e vettori non inclusi nella base, espandili secondo la base:

1. UN 1 = { 1, 2, 1 }, UN 2 = { 2, 1, 3 }, UN 3 = { 1, 5, 0 }, UN 4 = { 2, -2, 4 }.

2. UN 1 = { 1, 1, 2 }, UN 2 = { 0, 1, 2 }, UN 3 = { 2, 1, -4 }, UN 4 = { 1, 1, 0 }.

3. UN 1 = { 1, -2, 3 }, UN 2 = { 0, 1, -1 }, UN 3 = { 1, 3, 0 }, UN 4 = { 0, -7, 3 }, UN 5 = { 1, 1, 1 }.

4. UN 1 = { 1, 2, -2 }, UN 2 = { 0, -1, 4 }, UN 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Trova tutte le basi del sistema vettoriale:

1. UN 1 = { 1, 1, 2 }, UN 2 = { 3, 1, 2 }, UN 3 = { 1, 2, 1 }, UN 4 = { 2, 1, 2 }.

2. UN 1 = { 1, 1, 1 }, UN 2 = { -3, -5, 5 }, UN 3 = { 3, 4, -1 }, UN 4 = { 1, -1, 4 }.