مثلثاتی. مدول و آرگومان یک عدد مختلط. نماد مثلثاتی یافتن استدلال یک عدد مختلط

که نشان دهنده یک عدد مختلط $z=a+bi$ است، مدول عدد مختلط داده شده نامیده می شود.

مدول یک عدد مختلط داده شده با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

مثال 1

مدول اعداد مختلط داده شده را محاسبه کنید $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

ما مدول یک عدد مختلط $z=a+bi$ را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

برای عدد مختلط اصلی $z_(1) =13$، $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2)) = \sqrt (169) = 13 دلار

برای عدد مختلط اصلی $\، z_(2) =4i$، $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) را بدست می آوریم. ) = \sqrt(16) =4$

برای عدد مختلط اصلی $\، z_(3) =4+3i$، $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

تعریف 2

زاویه $\varphi $ که توسط جهت مثبت محور واقعی و بردار شعاع $\overrightarrow(OM) $ تشکیل شده است، که مربوط به عدد مختلط $z=a+bi$ است، آرگومان نامیده می شود. شماره داده شدهو با $\arg z$ نشان داده می شود.

یادداشت 1

مدول و آرگومان یک عدد مختلط معین به صراحت هنگام نمایش یک عدد مختلط به صورت مثلثاتی یا نمایی استفاده می شود:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - فرم مثلثاتی.
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - فرم نمایی.

مثال 2

یک عدد مختلط را به شکل مثلثاتی و نمایی بنویسید که با داده های زیر به دست می آید: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) داده‌های $r=3;\varphi =\pi $ را در فرمول‌های مربوطه جایگزین کنید و دریافت کنید:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - فرم مثلثاتی

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - فرم نمایی.

2) داده‌های $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ را در فرمول‌های مربوطه جایگزین کنید و دریافت کنید:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - فرم مثلثاتی

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - فرم نمایی.

مثال 3

مدول و آرگومان اعداد مختلط داده شده را تعیین کنید:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

مدول و آرگومان را با استفاده از فرمول هایی برای نوشتن یک عدد مختلط داده شده به ترتیب به صورت مثلثاتی و نمایی پیدا خواهیم کرد.

\ \

1) برای عدد مختلط اصلی $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ را بدست می آوریم .

2) برای عدد مختلط اولیه $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ ما $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $ را بدست آورید.

3) برای عدد مختلط اولیه $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4)) $$r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) برای عدد مختلط اصلی $z=13\cdot e^(i\pi ) $$r=13;\varphi =\pi $ را بدست می آوریم.

آرگومان $\varphi $ یک عدد مختلط $z=a+bi$ را می توان با استفاده از فرمول های زیر محاسبه کرد:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

در عمل، برای محاسبه مقدار آرگومان یک عدد مختلط $z=a+bi$، معمولاً از فرمول استفاده می شود:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ پی، a

یا سیستم معادلات را حل کنید

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) \end(آرایه)\right $.

مثال 4

آرگومان اعداد مختلط داده شده را محاسبه کنید: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

از آنجایی که $z=3$، پس $a=3،b=0$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با استفاده از فرمول (*) محاسبه کنیم:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

چون $z=4i$، پس $a=0,b=4$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با استفاده از فرمول (*) محاسبه کنیم:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

چون $z=1+i$، پس $a=1,b=1$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با حل سیستم (**) محاسبه کنیم:

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) =\frac(\sqrt(2))(2) \end(آرایه)\راست .\]

از درس مثلثات مشخص می شود که $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ برای زاویه مربوط به ربع مختصات اول و برابر با $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

از آنجایی که $z=-5$، سپس $a=-5,b=0$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با استفاده از فرمول (*) محاسبه کنیم:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

از آنجایی که $z=-2i$، سپس $a=0،b=-2$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با استفاده از فرمول (*) محاسبه کنیم:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

تبصره 2

عدد $z_(3)$ با نقطه $(0;1)$ نشان داده می شود، بنابراین، طول بردار شعاع مربوطه برابر با 1 است، یعنی. $r=1$ و آرگومان $\varphi =\frac(\pi )(2) $ مطابق تبصره 3.

عدد $z_(4)$ با نقطه $(0;-1)$ نشان داده می شود، بنابراین، طول بردار شعاع مربوطه 1 است، یعنی. $r=1$ و آرگومان $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ مطابق تبصره 3.

عدد $z_(5) $ با نقطه $(2;2)$ نشان داده می شود، بنابراین، طول بردار شعاع مربوطه برابر است با $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $، یعنی. $r=2\sqrt(2) $ و آرگومان $\varphi =\frac(\pi )(4) $ با خاصیت مثلث قائم الزاویه.

که نشان دهنده یک عدد مختلط $z=a+bi$ است، مدول عدد مختلط داده شده نامیده می شود.

مدول یک عدد مختلط داده شده با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

مثال 1

مدول اعداد مختلط داده شده را محاسبه کنید $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

ما مدول یک عدد مختلط $z=a+bi$ را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

برای عدد مختلط اصلی $z_(1) =13$، $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2)) = \sqrt (169) = 13 دلار

برای عدد مختلط اصلی $\، z_(2) =4i$، $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) را بدست می آوریم. ) = \sqrt(16) =4$

برای عدد مختلط اصلی $\، z_(3) =4+3i$، $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

تعریف 2

زاویه $\varphi $ تشکیل شده توسط جهت مثبت محور واقعی و بردار شعاع $\overrightarrow(OM) $ که مربوط به عدد مختلط $z=a+bi$ است، آرگومان این عدد نامیده می شود. با $\arg z$ نشان داده می شود.

یادداشت 1

مدول و آرگومان یک عدد مختلط معین به صراحت هنگام نمایش یک عدد مختلط به صورت مثلثاتی یا نمایی استفاده می شود:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - فرم مثلثاتی.
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - فرم نمایی.

مثال 2

یک عدد مختلط را به شکل مثلثاتی و نمایی بنویسید که با داده های زیر به دست می آید: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) داده‌های $r=3;\varphi =\pi $ را در فرمول‌های مربوطه جایگزین کنید و دریافت کنید:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - فرم مثلثاتی

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - فرم نمایی.

2) داده‌های $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ را در فرمول‌های مربوطه جایگزین کنید و دریافت کنید:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - فرم مثلثاتی

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - فرم نمایی.

مثال 3

مدول و آرگومان اعداد مختلط داده شده را تعیین کنید:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

مدول و آرگومان را با استفاده از فرمول هایی برای نوشتن یک عدد مختلط داده شده به ترتیب به صورت مثلثاتی و نمایی پیدا خواهیم کرد.

\ \

1) برای عدد مختلط اصلی $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ را بدست می آوریم .

2) برای عدد مختلط اولیه $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ ما $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $ را بدست آورید.

3) برای عدد مختلط اولیه $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4)) $$r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) برای عدد مختلط اصلی $z=13\cdot e^(i\pi ) $$r=13;\varphi =\pi $ را بدست می آوریم.

آرگومان $\varphi $ یک عدد مختلط $z=a+bi$ را می توان با استفاده از فرمول های زیر محاسبه کرد:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

در عمل، برای محاسبه مقدار آرگومان یک عدد مختلط $z=a+bi$، معمولاً از فرمول استفاده می شود:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ پی، a

یا سیستم معادلات را حل کنید

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) \end(آرایه)\right $.

مثال 4

آرگومان اعداد مختلط داده شده را محاسبه کنید: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

از آنجایی که $z=3$، پس $a=3،b=0$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با استفاده از فرمول (*) محاسبه کنیم:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

چون $z=4i$، پس $a=0,b=4$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با استفاده از فرمول (*) محاسبه کنیم:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

چون $z=1+i$، پس $a=1,b=1$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با حل سیستم (**) محاسبه کنیم:

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) =\frac(\sqrt(2))(2) \end(آرایه)\راست .\]

از درس مثلثات مشخص می شود که $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ برای زاویه مربوط به ربع مختصات اول و برابر با $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

از آنجایی که $z=-5$، سپس $a=-5,b=0$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با استفاده از فرمول (*) محاسبه کنیم:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

از آنجایی که $z=-2i$، سپس $a=0،b=-2$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با استفاده از فرمول (*) محاسبه کنیم:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

تبصره 2

عدد $z_(3)$ با نقطه $(0;1)$ نشان داده می شود، بنابراین، طول بردار شعاع مربوطه برابر با 1 است، یعنی. $r=1$ و آرگومان $\varphi =\frac(\pi )(2) $ مطابق تبصره 3.

عدد $z_(4)$ با نقطه $(0;-1)$ نشان داده می شود، بنابراین، طول بردار شعاع مربوطه 1 است، یعنی. $r=1$ و آرگومان $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ مطابق تبصره 3.

عدد $z_(5) $ با نقطه $(2;2)$ نشان داده می شود، بنابراین، طول بردار شعاع مربوطه برابر است با $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $، یعنی. $r=2\sqrt(2) $ و آرگومان $\varphi =\frac(\pi )(4) $ با خاصیت مثلث قائم الزاویه.

مربوط به این عدد: .
مدول یک عدد مختلط z را معمولاً | نشان می دهند z| یا ر.

اجازه دهید و اعداد واقعی به طوری که یک عدد مختلط (نماد معمول). سپس

بنیاد ویکی مدیا 2010.

ببینید «مدول یک عدد مختلط» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

مدول یک عدد مختلط- kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. مدول عدد مختلط vok. Betrag der komplexen Zahl, m rus. مدول یک عدد مختلط، m pranc. ماژول دو نامبر مجتمع، متر … Fizikos Terminų žodynas

- (مدول) بزرگی یک عدد بر حسب فاصله آن از 0. مدول یا قدر مطلق یک عدد واقعی x (که با |x| مشخص می شود)، تفاوت بین x و 0 بدون توجه به علامت است. بنابراین، اگر x0، آنگاه |x|=x و اگر x 0، آنگاه |x|=–x... فرهنگ لغت اقتصادی

برای یک عدد مختلط، مقدار مطلق را ببینید. مدول انتقال از سیستم لگاریتمی با پایه a به سیستمی با پایه b عدد 1/logab است... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

مقدار مطلق یا مدول یک عدد واقعی یا مختلط x فاصله x تا مبدا است. به طور دقیق تر: قدر مطلق یک عدد واقعی x یک عدد غیر منفی است که با |x| و به صورت زیر تعریف می شود: ... ... ویکی پدیا

ماژول در ریاضیات، 1) M. (یا قدر مطلق) یک عدد مختلط z = x + iy عدد ═ است (ریشه با علامت مثبت گرفته می شود). هنگام نمایش عدد مختلط z در فرم مثلثاتی z = r(cos j + i sin j) عدد حقیقی r است... ...

- (در ریاضیات) اندازه گیری برای مقایسه مقادیر همگن و برای بیان یکی از آنها با استفاده از دیگری. m به صورت یک عدد بیان می شود. فرهنگ لغت کلمات خارجی، در زبان روسی گنجانده شده است. Pavlenkov F.، 1907. ماژول (lat.). 1) عددی که ضرب می شود... ... فرهنگ لغات واژگان خارجی زبان روسی

ماژول یک عدد مختلط، مقدار مطلق را ببینید (مقدار مطلق را ببینید). مدول انتقال از سیستم لگاریتمی با پایه a به سیستمی با پایه b عدد 1/logab است... فرهنگ لغت دایره المعارفی

ماژول I (از لاتین اندازه گیری مدول) در معماری، یک واحد معمولی است که برای هماهنگ کردن اندازه بخش‌های یک ساختمان یا مجموعه اتخاذ می‌شود. در معماری ملل مختلفبسته به ویژگی های تجهیزات ساخت و ساز و ترکیب ساختمان های فراتر از M... ... دایره المعارف بزرگ شوروی

من؛ m [از لات. مدول اندازه گیری] 1. از چه. متخصص. کمیتی که l. ویژگی جامد. فشرده سازی M. M. الاستیسیته. 2. ریاضی. عدد واقعی، قدر مطلق یک عدد منفی یا مثبت. M. عدد مختلط. م... فرهنگ لغت دایره المعارفی

ویژگی های عددی هر ریاضی هدف - شی. معمولاً مقدار M یک عدد واقعی غیر منفی است، عنصری که ویژگی های خاصی دارد. خواص تعیین شده توسط ویژگی های مجموعه اشیاء مورد بررسی. مفهوم م....... دایره المعارف ریاضی

تعریف 8.3 (1).

طول |z| بردار z = (x,y) مدول عدد مختلط z = x + yi نامیده می شود

از آنجایی که طول هر ضلع مثلث از مجموع طول دو ضلع دیگر آن تجاوز نمی کند و قدر مطلق اختلاف طول دو ضلع مثلث کمتر از طول ضلع سوم نیست. سپس برای هر دو عدد مختلط z 1 و z 2 نابرابری ها برقرار است

تعریف 8.3 (2).

آرگومان عدد مختلط اگر φ زاویه ای باشد که توسط یک بردار غیرصفر z با محور واقعی تشکیل می شود، آنگاه هر زاویه ای از شکل (φ + 2πn، که در آن n یک عدد صحیح است و فقط یک زاویه از این نوع است، نیز زاویه ای خواهد بود که با بردار z با محور واقعی.

مجموعه تمام زوایای تشکیل شده توسط بردار غیرصفر z = = (x, y) با محور واقعی آرگومان عدد مختلط z = x + yi نامیده می شود و با arg z نشان داده می شود. هر عنصر از این مجموعه، مقدار آرگومان عدد z نامیده می شود (شکل 8.3(1)).

برنج. 8.3 (1).

از آنجایی که یک بردار غیرصفر یک صفحه به طور منحصربه‌فردی با طول و زاویه‌ای که با محور x تشکیل می‌دهد تعیین می‌شود، پس دو عدد مختلط متفاوت از صفر مساوی هستند اگر و فقط در صورتی که مقادیر مطلق و آرگومان‌های آنها برابر باشند.

برای مثال، اگر شرط 0≤φ بر مقادیر آرگومان φ عدد z اعمال شود.<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

تعریف 8.3. (3)

شکل مثلثاتی نوشتن یک عدد مختلط. قسمت های واقعی و خیالی یک عدد مختلط z = x + уi ≠ 0 از طریق مدول آن r= |z| و آرگومان φ به صورت زیر (از تعریف سینوس و کسینوس):

سمت راست این تساوی را شکل مثلثاتی نوشتن عدد مختلط z می نامند. همچنین از آن برای z = 0 استفاده خواهیم کرد. در این مورد، r = 0، و φ می تواند هر مقداری را بگیرد - آرگومان عدد 0 تعریف نشده است. بنابراین، هر عدد مختلط را می توان به صورت مثلثاتی نوشت.

همچنین مشخص است که اگر عدد مختلط z به شکل نوشته شود

پس عدد r مدول آن است، زیرا

و φ یکی از مقادیر آرگومان آن است

شکل مثلثاتی نوشتن اعداد مختلط می تواند به ویژه هنگام ضرب اعداد مختلط راحت باشد، به شما امکان می دهد معنای هندسی حاصلضرب اعداد مختلط را پیدا کنید.

بیایید فرمول هایی برای ضرب و تقسیم اعداد مختلط به صورت مثلثاتی پیدا کنیم. اگر

سپس طبق قانون ضرب اعداد مختلط (با استفاده از فرمول سینوس و کسینوس حاصل جمع)

بنابراین، هنگام ضرب اعداد مختلط، مقادیر مطلق آنها ضرب می شود و آرگومان ها اضافه می شوند:

با اعمال این فرمول به صورت متوالی بر روی n عدد مختلط، دریافت می کنیم

اگر همه n عدد مساوی باشند، به دست می آوریم

برای کجا

انجام

از این رو، برای یک عدد مختلط که قدر مطلق آن 1 است (از این رو، شکل دارد

این برابری نامیده می شود فرمول های مویور

به عبارت دیگر، هنگام تقسیم اعداد مختلط، ماژول های آنها تقسیم می شوند.

و آرگومان ها کم می شوند.

مثال 8.3 (1).

روی صفحه مختلط C مجموعه ای از نقاط را که شرایط زیر را برآورده می کند رسم کنید: