مثلثاتی. مدول و آرگومان یک عدد مختلط. نماد مثلثاتی: مدول و آرگومان یک عدد مختلط چیست؟

مربوط به این عدد: .
مدول یک عدد مختلط z را معمولاً | نشان می دهند z| یا ر.

اجازه دهید و اعداد واقعی به طوری که یک عدد مختلط (نماد معمول). سپس

بنیاد ویکی مدیا 2010.

ببینید "مدول یک عدد مختلط" در فرهنگ های دیگر چیست:

مدول یک عدد مختلط- kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. مدول عدد مختلط vok. Betrag der komplexen Zahl, m rus. مدول یک عدد مختلط، m pranc. ماژول دو نامبر مجتمع، m … Fizikos Terminų žodynas

- (مدول) قدر یک عدد بر حسب فاصله آن از 0. مدول یا قدر مطلق یک عدد واقعی x (که با |x| نشان داده می شود)، تفاوت بین x و 0 بدون توجه به علامت است. بنابراین، اگر x0، آنگاه |x|=x و اگر x 0، آنگاه |x|=–x... فرهنگ لغت اقتصادی

برای یک عدد مختلط، مقدار مطلق را ببینید. مدول انتقال از سیستم لگاریتمی با پایه a به سیستمی با پایه b عدد 1/logab است... فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

مقدار مطلق یا مدول یک عدد واقعی یا مختلط x فاصله x تا مبدا است. به طور دقیق تر: قدر مطلق یک عدد واقعی x یک عدد غیر منفی است که با |x| و به صورت زیر تعریف می شود: ... ... ویکی پدیا

ماژول در ریاضیات، 1) M. (یا قدر مطلق) یک عدد مختلط z = x + iy عدد ═ است (ریشه با علامت مثبت گرفته می شود). هنگام نمایش عدد مختلط z در فرم مثلثاتی z = r(cos j + i sin j) عدد حقیقی r است... ...

- (در ریاضیات) اندازه گیری برای مقایسه مقادیر همگن و برای بیان یکی از آنها با استفاده از دیگری. m به صورت یک عدد بیان می شود. فرهنگ لغت کلمات خارجی، در زبان روسی گنجانده شده است. Pavlenkov F.، 1907. ماژول (lat.). 1) عددی که ضرب می شود... ... فرهنگ لغات واژگان خارجی زبان روسی

ماژول یک عدد مختلط، مقدار مطلق را ببینید (مقدار مطلق را ببینید). مدول انتقال از سیستم لگاریتمی با پایه a به سیستمی با پایه b عدد 1/logab است... فرهنگ لغت دایره المعارفی

ماژول I (از لاتین اندازه گیری مدول) در معماری، یک واحد متعارف اتخاذ شده برای هماهنگ کردن اندازه های بخش های یک ساختمان یا مجموعه. در معماری ملل مختلفبسته به ویژگی های تجهیزات ساخت و ساز و ترکیب ساختمان های فراتر از M... ... دایره المعارف بزرگ شوروی

من؛ m [از لات. مدول اندازه گیری] 1. از چه. متخصص. کمیتی که l. ویژگی جامد. فشرده سازی M. M. الاستیسیته. 2. ریاضی. عدد واقعی، قدر مطلق یک عدد منفی یا مثبت. M. عدد مختلط. م... فرهنگ لغت دایره المعارفی

ویژگی های عددی هر ریاضی هدف - شی. معمولاً مقدار M یک عدد واقعی غیر منفی است، عنصری که ویژگی های خاصی دارد. خواص تعیین شده توسط ویژگی های مجموعه اشیاء مورد بررسی. مفهوم م....... دایره المعارف ریاضی

که نشان دهنده یک عدد مختلط $z=a+bi$ است، مدول عدد مختلط داده شده نامیده می شود.

مدول یک عدد مختلط داده شده با استفاده از فرمول زیر محاسبه می شود:

مثال 1

مدول اعداد مختلط داده شده را محاسبه کنید $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

ما مدول یک عدد مختلط $z=a+bi$ را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

برای عدد مختلط اصلی $z_(1) =13$، $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2)) = \sqrt (169) = 13 دلار

برای عدد مختلط اصلی $\، z_(2) =4i$، $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) را بدست می آوریم. ) = \sqrt(16) =4$

برای عدد مختلط اصلی $\، z_(3) =4+3i$، $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

تعریف 2

زاویه $\varphi $ که از جهت مثبت محور واقعی و بردار شعاع $\overrightarrow(OM) $ تشکیل شده است، که مربوط به عدد مختلط $z=a+bi$ است، آرگومان نامیده می شود. شماره داده شدهو با $\arg z$ نشان داده می شود.

یادداشت 1

مدول و آرگومان یک عدد مختلط معین به صراحت هنگام نمایش یک عدد مختلط به صورت مثلثاتی یا نمایی استفاده می شود:

$z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - فرم مثلثاتی.
$z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - فرم نمایی.

مثال 2

یک عدد مختلط را به شکل مثلثاتی و نمایی بنویسید که با داده های زیر به دست می آید: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) داده‌های $r=3;\varphi =\pi $ را در فرمول‌های مربوطه جایگزین کنید و دریافت کنید:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - فرم مثلثاتی

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - فرم نمایی.

2) داده‌های $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ را در فرمول‌های مربوطه جایگزین کنید و دریافت کنید:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - فرم مثلثاتی

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - فرم نمایی.

مثال 3

مدول و آرگومان اعداد مختلط داده شده را تعیین کنید:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

مدول و آرگومان را با استفاده از فرمول هایی برای نوشتن یک عدد مختلط داده شده به ترتیب به شکل مثلثاتی و نمایی پیدا خواهیم کرد.

\ \

1) برای عدد مختلط اصلی $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ را بدست می آوریم .

2) برای عدد مختلط اولیه $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ ما $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $ را بدست آورید.

3) برای عدد مختلط اولیه $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4)) $$r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) برای عدد مختلط اصلی $z=13\cdot e^(i\pi ) $$r=13;\varphi =\pi $ را بدست می آوریم.

آرگومان $\varphi $ یک عدد مختلط $z=a+bi$ را می توان با استفاده از فرمول های زیر محاسبه کرد:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

در عمل، برای محاسبه مقدار آرگومان یک عدد مختلط $z=a+bi$، معمولاً از فرمول استفاده می شود:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ پی، a

یا یک سیستم معادلات را حل کنید

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) \end(آرایه)\right $.

مثال 4

آرگومان اعداد مختلط داده شده را محاسبه کنید: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

چون $z=3$، پس $a=3،b=0$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با استفاده از فرمول (*) محاسبه کنیم:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

چون $z=4i$، پس $a=0،b=4$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با استفاده از فرمول (*) محاسبه کنیم:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

چون $z=1+i$، پس $a=1,b=1$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با حل سیستم (**) محاسبه کنیم:

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2)) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) \end(array)\right .\]

از درس مثلثات مشخص می شود که $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ برای زاویه مربوط به ربع مختصات اول و برابر با $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

از آنجایی که $z=-5$، سپس $a=-5,b=0$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با استفاده از فرمول (*) محاسبه کنیم:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

از آنجایی که $z=-2i$، سپس $a=0،b=-2$. بیایید آرگومان عدد مختلط اصلی را با استفاده از فرمول (*) محاسبه کنیم:

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

تبصره 2

عدد $z_(3)$ با نقطه $(0;1)$ نشان داده می شود، بنابراین، طول بردار شعاع مربوطه برابر با 1 است، یعنی. $r=1$ و آرگومان $\varphi =\frac(\pi )(2) $ مطابق تبصره 3.

عدد $z_(4)$ با نقطه $(0;-1)$ نشان داده می شود، بنابراین، طول بردار شعاع مربوطه 1 است، یعنی. $r=1$ و آرگومان $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ مطابق تبصره 3.

عدد $z_(5) $ با نقطه $(2;2)$ نشان داده می شود، بنابراین، طول بردار شعاع مربوطه برابر است با $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $، یعنی. $r=2\sqrt(2) $ و آرگومان $\varphi =\frac(\pi )(4) $ با خاصیت مثلث قائم الزاویه.

عدد مختلط عددی به شکل z =x + i * y است که x و y واقعی هستند شمارهو i = واحد خیالی (یعنی عددی که مربع آن -1 است). برای تعریف مفهوم بحث و جدلجامع شماره، لازم است یک عدد مختلط در صفحه مختلط در سیستم مختصات قطبی در نظر گرفته شود.

دستورالعمل ها

صفحه ای که مجتمع های پیچیده در آن نمایش داده می شوند شماره، پیچیده نامیده می شود. در این صفحه، محور افقی توسط واقعی اشغال شده است شماره(x)، و محور عمودی خیالی است شماره(y). در چنین صفحه ای، عدد با دو مختصات z = (x، y) داده می شود. در سیستم مختصات قطبی، مختصات یک نقطه مدول و آرگومان است. مدول فاصله |z| است از نقطه ای تا مبدأ آرگومان زاویه بین بردار اتصال نقطه و مبدا و محور افقی سیستم مختصات است (شکل را ببینید).

شکل نشان می دهد که ماژول پیچیده شماره z = x + i * y با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا می شود: |z| =؟ (x^2 + y^2). استدلال بعدی شماره z به عنوان یک زاویه حاد مثلث یافت می شود - از طریق مقادیر توابع مثلثاتی sin, cos, tg:sin = y / ? (x^2 + y^2)،
cos = x / ? (x^2 + y^2)
tg = y/x.

به عنوان مثال، اجازه دهید عدد z = 5 * (1 + ?3 * i) داده شود. اول از همه قسمت های واقعی و خیالی را انتخاب کنید: z = 5 +5 * ?3 * i. معلوم می شود که قسمت واقعی x = 5 است و قسمت خیالی y = 5 * ?3 است. محاسبه مدول شماره: |z| = ?(25 + 75) = ?100 = 10. بعد، سینوس زاویه را پیدا کنید: sin = 5 / 10 = 1 / 2. این آرگومان را نشان می دهد شماره z برابر با 30 درجه است.

مثال 2. عدد z = 5 * i داده شود. شکل نشان می دهد که زاویه = 90 درجه. این مقدار را با استفاده از فرمول بالا بررسی کنید. مختصات این را بنویسید شمارهدر صفحه مختلط: z = (0، 5). مدول شماره|z| = 5. مماس زاویه tg = 5 / 5 = 1. نتیجه می شود که = 90 درجه.

مثال 3. لازم است آرگومان مجموع دو عدد مختلط z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i را پیدا کنیم. طبق قوانین جمع این دو مجموعه را اضافه می کنید شماره: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. سپس، با استفاده از نمودار بالا، آرگومان را محاسبه کنید: tg = 9 / 3 = 3.